Đại ọ Tái uê T-ờ Đại ọ K0a ọ 0à ă Quý uỗi luỹ ừa ì ứ àm si uê : -ơ T0á Sơ ấ Mà số: 60.46.40 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v un lu n n vl lu lu Luậ ă Tạ Sĩ T0á ọ -ời - dẫ k0a ọ: S.TS Đàm ă ỉ Tái uê - 2011 S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ô ì đ-ợ 0à ại T-ờ Đại ọ K0a ọ - Đại ọ Tái uê ả iệ 1: ΡҺ¶п ьiƯп 2: n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu lu Luậ ă đ-ợ ả0 ệ - ội đồ ấm luậ ă ọ ại: T-ờ Đại ọ K0a ọ - Đại ọ Tái uê ăm 2011 ó ìm iu ại T- iệ Đại ọ Tái uê S húa bi Trung tõm Hc liu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Môເ lôເ K̟iÕп ƚҺøເ uẩ ị 1.1 Kái iệm à đồ ấu 1.1.1 ѴµпҺ 1.1.2 Ư kô Mi uê 1.1.3 §åпǥ ເÊu 1.1.4 Tг-êпǥ 1.2 đa ứ iệm n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n vl lu lu uỗi l ừa ì ứ 11 2.1 uỗi l ừa ì ƚҺøເ 11 2.2 D·ɣ ҺiƯu ເđa méƚ d·ɣ 17 2.3 Һµm siпҺ ƚҺ-êпǥ ѵµ d·ɣ Fiь0пaເເi, d·ɣ ເaƚalaп 20 2.4 Һµm siпҺ mὸ ѵµ d·ɣ sè Sƚiгliпǥ 24 2.5 àm si dà đa ứ e0ulli 27 2.6 Һµm siпҺ DiгiເҺleƚ ѵµ Һµm Zeƚa-Гiemaпп 34 2.7 TÝເҺ ô 37 2.8 §åпǥ пҺÊƚ ƚҺøເ Пewƚ0п 41 2.9 D·ɣ ƚгuɣ Һåi ѵίi Һµm siпҺ 48 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu T0 0á Һäເ ѵiƯເ sư dơпǥ ເ¸ເ k̟iÕп ƚҺøເ ƚ0¸п ເa0 ເÊρ đ iải quế ài 0á ổ ô điu ấ qua ọ ó kô ỉ i -ời làm 0á ó iu -ơ la ọ lời iải, mở ộ ầm iu iế 0á ọ mà ò u đ-ợ s ô mi sứ sá ạ0, ầm a0 ài 0á, mở ộ ài 0á d-i iu - ká au Sử dụ kiế ứ uỗi số đ iải quế ài 0á dà số mộ ấ đ - ậ - aờnđà iế ấ đ liê qua đế s c uy c g hạ h áọi cn h d·ɣ sè lµ méƚ ầ qua ọcnủa số iải í 0á ọ Ki iế st cao tihđại hv nc t n h unậ n iă ເËп ѵÊп văl ălunậ nđạv ậ n v n u ậ lu ận n văl lu si iê ká iu ầ ô iá0 ổ đ em ọ si iỏi, u l ô -ờ ấ ải đối mặ i ấ iu ài 0á kó liê qua đế uê đ T0 k ƚҺi Һäເ siпҺ ǥiái quèເ ǥia, ƚҺi 0limρiເ ƚ0¸п quèເ ế, i 0limi 0á si iê iữa -ờ đại ọ, a0 đẳ, ài 0á liê qua đế dà số a đ-ợ đ ậ -ờ l0ại ấ kó, đòi ỏi -ời ọ, -ời làm 0á ải ó mộ ầm iu iế ộ ấ sâu sắ kiế ứ dà số uỗi số mi đ-a a -ơ iải 0á a 0à iệ đ-ợ ài 0á Đ ụ ụ iệ ồi d- ọ si iỏi iệ a0 đổi ki iệm i ầ ô iá0 ồi d- ọ si iỏi qua âm ìm iu êm ầ à, đ-ợ s - dẫ ầ Đàm ă ỉ iả đà ọ ậ êm iế đ ài " uỗi luỹ ừa ì ứ àm si" Đ ài iải quế ấ đ ọ âm : -ơ I : Kiế ứ uẩ ị Tá iả ắ lại kiế ứ ả ấ : S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1 K̟Һ¸i iệm à đồ ấu 1.1.1 1.1.2 Ư kô Mi uê n yờ s c hc cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.3 §åпǥ ເÊu 1.1.4 Tг-êпǥ 1.2 đa ứ iệm -ơ II : uỗi luỹ ừa ì ứ Tá iả ii iệu kiế ứ 2.1 uỗi luỹ ừa ì ƚҺøເ 2.2 D·ɣ ҺiƯu ເđa méƚ d·ɣ 2.3 Һµm siпҺ ƚҺ-êпǥ ѵµ d·ɣ Fiь0пaເເi, d·ɣ ເaƚalaп 2.4 Һµm siпҺ mὸ ѵµ d·ɣ sè Sƚiгliпǥ 2.5 Һµm siпҺ ເđa d·ɣ đa ứ e0ulli 2.6 àm si Diile àm Zea-iema 2.7 Tí ô 2.8 Đồ ấ ứ ew0 2.9 Dà u ồi i àm si Luậ ă đ-ợ 0à às d-iyờns - dẫ ỉ ả0 ậ ƚ×пҺ c ọc gu hạ h áọi cn ເđa ΡǤS.TS Đàm ă ỉ - cnĐại S- ạm ội Tầ ®· dµпҺ h sĩt cao tҺäເ ạih hvạ văn nọđc t n h un n vi đá ắ mắ iả suố iu ời ia - dẫ vl lun iải n n v n n vlu ì làm luậ ă luTá lu n iả i ỏ lò iế sâu sắ đế lu Tầ Tá iả i ửi i ầ (ô) k0a T0á, ò Đà0 ạ0 T-ờ Đại ọ K0a ọ - Đại ọ Tái uê, ù ầ ô am ia iả kóa a0 ọ 2009-2011 lời ảm sâu sắ ô la0 dỗ ời ia qua Đồ ời i ửi lời ảm ậ l a0 ọ T0á K3 T-ờ Đại ọ K0a ọ đà độ iê i đ iả ì ọ ậ làm luậ ă Tá iả i ảm i Sở ội ụ, Sở iá0 dụ đà0 ạ0 ắ i, a iám iệu ổ T0á -ờ TT L-ơ Tài đà ạ0 điu kiệ i đ đ iả 0à kóa ọ Tá iả 0à ă Quý S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺ-¬пǥ Kiế ứ uẩ ị 1.1 Kái iệm à đồ ấu 1.1.1 Đị ĩa Ta ọi mộ ậ ợ ù i é 0á ên пǥ«i sỹ c uy c ọ g h cn th o hỏi ằ dấu + (пǥ-êi ƚa ƚҺ-êпǥ ®· ເҺ0 ƚг0пǥ Х k̟ý ҺiƯu ƚҺe0vạăcƚҺø ns ca ạtihƚὺ n c nth ă ọđ nậ ận v ạviăhn u l ă k̟ý ҺiƯu пҺ- ѵËɣ) ѵµ ọi v é ộ é â sa0 điu lun n v un lu n n văl lu ậ k̟iÖп sau ƚҺáa m·п: lu 1) Х ເïпǥ ѵίi ρҺÐρ ເéпǥ lµ méƚ пҺãm aьeп 2) Х ù i é â mộ ửa óm 3) é â â ối i é ộ: i ầ ƚïɣ ý х, ɣ,∈ z Х ƚa ເã: х(ɣ + z) = хɣ + хz (ɣ + z)х = ɣх + z ầ u lậ é ộ ì ký iệu ọi ầ kô ầ đối ứ (đối i é ộ ) mộ ầ ì ký iệu - ọi đối ếu é â ia0 0á ì a ả0 ia0 0á ếu é â ó ầ u lậ ì ầ ọi ầ ị ѵµ ƚҺ-êпǥ k̟Ý ҺiƯu lµ e Һaɣ 1.1.2 Ư kô Mi uê Đị ĩa1 : Ta ọi - ầ a = sa0 ເҺ0 ເã ь = ƚҺáa m·п quaп ҺÖ aь=0 ƒ Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Đị ĩa2 : Ta ọi mi uê mộ ó iu mộ ầ ử, ǥia0 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 0á, ó ị, kô ó - 1.1.3 Đồ ấu Đị ĩa Mộ đồ ấu (à) mộ mộ đế méƚ ѵµпҺ Ɣ sa0 ເҺ0: f (a + ь) = f (a) + f (ь) f (aь) = f (a) f (ь) ѵίi mäi a, ь ∈Х ПÕu Х = ì đồ ấu f ọi mộ đồ ấu Ta đị ĩa ấu, 0à ấu, đẳ ấu -ơ - đà đị ĩa ƚг0пǥ пҺãm 1.1.4 Tг-êпǥ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Đị ĩa: Ta ọi -ờ mộ mi uê ầ ká kô đu ó mộ ị đả0 ị óm â ậ mộ ia0 0á, ó ị, ó iu mộ ầ mộ -ờ ếu ỉ ếu {0} mộ óm đối i é â 1.2 đa ứ iệm Kế í ia0 0á mộ iế ê i , é ậ ợ: п Г[х] = {a0 + a1х + a2х2 + · · · + aпхп | ∈ Г} = Σ aiхi | ∈ Г Σ i=0 a i ƚҺuéເ ệ số a đ-ợ ọi ệ số a0 ấ, ò ệ số a0 đ-ợ ọi Mỗi ầ ửfd0()ủa f[] đ-ợ ọi mộ đa ứ iế i ệ số ệ số () K i a = ì đ-ợ ọi ậ f () đ-ợ S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 113 ài iải: i àm si -ờ f () = a0 + a1х + · · · + aпхп + · · · ເã ∞ Σ Σ f (1) = aпk̟ + aпk̟+1 + · · · + a(п+1)k̟−1 f (α) = п=0 ∞ aпk̟ + aпk̟+1α + · · · + a(п+1)k̟−1α − Σ п=0 f (α2) = ∞ Σk aпk̟ + aпk̟+1α + · · · + a(п+1)k̟−1α − Σ Σ2 п=0 · · · = ·· · ∞ Σ aпk̟ + aпk̟+1αk̟−1 + · ·· + a(п+1)k̟−1α(k̟−1)(k̟−1) Σ 2(k 1) f (αk̟−1) = п=0 Ьëi ѵ× + αs + α2s + · · · + αs(k̟−1) = ѵίi s = 1, 2, , k̟ − 1, ê ki ộ k đồ ấ ứ ê a ậ đ-ợ f (1)+f (2 )+à à Ã+f (αk̟ −1 ) = k̟ n=0 aпk ̟ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ѴÝ dô 2.9.4 Ѵίi số uê d-ơ , à í ổ a = Σ (−1)k̟ nΣ 3k ХÐƚ k̟Σ=0 ƚÝпҺ uầ 0à dà (a) ỉ a a : Bài giải: Xét hàm sinh th-ờng f (x) dÃy (bk = (−1)k n ) Khi ®ã ta cã ( 1) x − 3[п/2]−1 k=0 √ k̟ ҺÖ п f (x) = Σ пΣ k̟ k̟ п = (1 − x) ПҺ- ѵËɣ, ѵίiα = − + i ເã k ƚҺøເ 2 Σ n nΣ n (− 1)k̟ n Σ = Σ aп = (− 1)3k̟ = 3.f (1) + f (α) + f (α2)Σ k̟ =0 3k̟ 3k̟ k̟=0 √ Σ √ Σ п 3 п −i + +i Tãm l¹i 2 3 Һaɣ aп = (1 − α)n + (1 − α2)n = √ пπ 2.33k̟−1(−1)k̟ k̟Һi п = 6k̟ 3k ̟ k̟ k̟Һi п = 6k̟ + k3 ̟ − (−1) ̟ k ( 1) k̟Һi п = 6k̟ + = ƚæпǥ aп = 2( 3)п ເ0s 3k̟+1 [n/2]−1k̟+1 6k6k ++ suy (an) không tuần hoàn a3 0n ˙:3( 1) k̟Һi k̟Һiп = п= ̟ − Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 k ̟ + (−1)k̟+1 114 DƠ dµпǥ k̟Һi п = 6k̟ + n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 115 í dụ 2.9.5 i số uê d-ơ п, Һ·ɣ ƚÝпҺ ƚæпǥ aп = Σ ̟ 5п (1) k 5k k=0 ài iải: ХÐƚ Һµm siпҺ ƚҺ-êпǥ f (х) ເđa d·ɣ (ьk̟ = (−1)k k ) Ta ເã ҺÖ ƚҺøເ Σ 5п ПҺ- ѵËɣ, ѵίi α = п (−1) k ̟ 5пΣ k̟ = (1 − х) 2π + i siп 2π ເ0s ເã f (х) = k х 5п ̟ 5п k̟=0 k Σ Σ f (αk ) k̟=0 Σ(−1) Σ Σ 5п (− 1)5k̟ 5n = 51 5k̟ = aп = 5k̟ k̟=0 k̟=0 Һa ɣ (1 − α)5п + (1 − α2)5п + (1 3)5 + (1 4)5 ậ ậ đ-ợ ƚæпǥ Σ Σ π 10m 10m+1(−1)m siп + siп 10m 2π a2 m = 5 ѵµ a2m+1 = п+1Σ п+1Σ п−1 + ѴÝ dô 2.9.6 D·ɣ ) ƚҺáa m·п = − ѵµ a п+1 n = a + a (aп Σ ê п y sỹ c học cngu ··· h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih a1 v nth vă hnọ n unậ n iă + п+1 a1 + ѵίi mäi sè пǥuɣªп văl ălunậ nđạv > ứ mi ằ a2011 uê ia ҺÕƚ ເҺ0 2011 luận n v vălun∞ậ ậ хk̟ lu ận ∞ u l Σ Σ Σ aпхп Σ = - ậ ài iải: Dễ dà kim a k̟=0(k̟ + 1)! + п=1 п! ∞ Σ п e0 Đị lý 2.5.9 D0 an = a х х ∞ п Σ 1+ = x n! e − = n=0 n=1 n! ѵίi mäi п Đặ iệ a2011 = 2011 = e0 ệ 2.5.10 su a a2011 n uê ia ế 2011 í dụ 2.9.7 Dà (a) đị qua a1 = ѵµ aп = 1.2.aп−1 − 2.3.aп−2 + · · · + (−1)п(п − 1).п.a1 ѵίi mäi sè пǥuɣªп п “ ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ, k̟Һi п ak = n “ lu«n cã an+3 + 2an+2 + 5an+1 + k=1 ài iải: é f (х) = a1х + a2х2 + · · · + aпхп + · · · K̟Һi ®ã ƚa ເã ҺÖ ƚҺøເ f (х)(1.2.х − 2.3.х2 + · · · + (−1)п+1п.(п + 1).хп + · · · ) = f (х) − х 1 Tõ 3х2 +· · · = − + х = 1−х+х −х +· · · ƚa suɣ гa −1+2х−2х ( 2x+ 1) đ-ợ Lấ đạ0 àm ế ó 1.2.х 2.3.х + = ѵµ пҺ- ѵËɣ пҺËп − ··· Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 116 (х + 1)3 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 117 f (х) = х + 3х + 3х + х 3 +3х2 +х+1) = х4 +3х3 +3х2 +х Tõ f (х)(х п п “ ë ế, đ-ợ a = 1, a = a â a2, +à +sá số số 2, ѵµ a3п= as0 a3++1ҺƯ 3a2mèi = ເđa 0,quaп aпх+3, ҺƯ + aпƚг0пǥ aп ƚҺøເ = ѵίi п+1 +ҺÖ + diễ +2 + 3a uê iu ả sau đâ: a1 = a2 + a1 = a3 + a2 + 3a1 = a +a a3 + + 3a 3a2 + + aa1 == 01 a + a + a54 + 3a43 + a32= ···=··· a + 3aп−2 + + aп−3 = п + +aп−1 a п+1 + a п + +3a3a п−1 + a п−2 = a a a = п+2 п+1 п п−1 aп+3 + aп+2 + 3aп+1 + aп = п Σ ak̟ = ộ ế i ế đ-ợ a+3 + 2a+2 + 5aп+1 + k̟=1 1.3.5 (2п + 1) í dụ 2.9.8 Dà ) đị ởi = ѵίi mäi sè пǥuɣªп 2011п.п! (aп aп ∞ Σ п “ a п п=0 ên TÝпҺ sỹ c uy c ọ g h i cn 2п ọ ĩth o + ns ca ạtihhá c ă = aп ѵίi mäi п “ K̟Һi п → +∞ ài iải: i iê a +1 v n c đ nth vă ăhnọ ậ 2011(п + 1) n i u n văl nậ ạv a ƚҺ× aп+1 п → 2011 ălu nđ ận v unậ lu ận n vl lu lu - ậ uỗi l ƚҺõa f (х) = + a1 х + a2 х + · · · + a aпхп + · · ·0 lu«п lu«п Һéi ƚơ Tõ ҺƯ ƚҺøເ 2011(п + 1)aп+1 = 2пaп + 3aп suɣ гa 2011(п + 1)aп+1хп = ∞2х(пaпхп−1) + 3aпхп ເҺ0 п =J0, 1, 2,∞ ak k lấ ổ ấ ả ®-ỵເ 2011.Σ J ̟ Σ Σ Σ + 3.Σ ak̟+1 хk̟+1 = 2х akх̟ k̟ ΣJ 0 k̟=0+ 3f (x) hay k̟=2011 Khi ®ã ta cã hÖ thøc 2011 k̟f=(x) − = 2xf f J (x) − 2хΣf J (х) = 3f (х) Tõ ®©ɣ suɣ гa = LÊɣ ƚÝເҺ ρҺ©п Һai f J (х) 2011 − 2х f (х) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 118 ế đ-ợ l f () = Σ − = 2011 lп(2011− 2х) −+ a Һaɣ f () 3/2 ea ì f (0) = ê = 2011−3/2.ea Һaɣ ea = 20113/2 Tãm l¹i ƚa ເã f (х) = Σ 2011 Σ−3/2 Σ aп = 2009 20113/2 2011 − 2х Ѵίi х = ເã п=0 ѴÝ dô 2.9.9 Dà (a ) đị qua a = =21a Ã+( п п−1a+2a−3a п−2+· ·+a 1)a sè пǥuɣªп п “ ເҺøпǥ miпҺ1 ѵµ a3 =aп3a ѵµ п+2 п+1 п = ѵίi mäi ѵίi ҺÕƚmäi ເҺ0sè3 пǥuɣªп k̟Һi k 1. đị a e0 Từ su a a2k+1 ia ài iải: é f (х) = a1х + a2х2 + · · · + aпхп + · · · K̟Һi ®ã ƚa ເã Tõ −х f (х)(1х + 2х2 + · · · + пхп + · · · ) = f (х) − х = + х + х2 + х3 + ƚa suɣ гa 1х + 2х2 +· · · = ··· х 1)2 (х − х2 ậ f () = + đ-ợ f (х)(х − 3х + 1) = х3 − 2х2 + + â a s0 s¸пҺ ҺƯ sè ເđa хп, п “ ë ế, ậ đ-ợ a1 = 1, a2 = 1, a = 3a2, ѵµ aп+2 − 3aп+1 + aп = ѵίi mäi sè пǥuɣªп п “ Tõ dó ó ô ứ đị a n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ ∞ lu ѴÝ dô 2.9.10 Dà (a) đị qua a1 số uê “ TÝпҺ ƚỉпǥ T = п=0 = ѵµ a п+1 = 2п + 4(п + 1) aп i a ài iải: D0 4(+1)a+1 = 2a+3a пªп 4(п+1)aп+1хп = 2хпaпхп−1+ 3aпхп ѵίi mäi sè пǥuɣªп п ộ ấ ả ệ ứà a ậ ®-ỵເ ∞ J J ∞ Σ Σ Σ п Σ a х + Σ aпхп п+1 х = 2х n a п+1 п=0 п=0 ∞ п=0 Σ Đặ f () = =0 a Ki 4(f − 1)J = 2хf J + 3f Һaɣ (4 − 2х)f J = 3f ѵµ ПҺ- ѵËɣ (lп f )J = (l(2 ))J Đễ dà ເã f (х) = f 2− х − х Σ− 3 a a 2 (2 − х) e Ѵ× f (0) = a = ê e = Tóm lại f (х) = − suɣ гa fJ = Ѵίi х = ເã T = f (1) = 20 √2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 119 ѴÝ dụ 2.9.11 Dà (a ) đị qua a1 = ѵµ a п+1 = 2п + 3(п + 2) aп ѵίi mäi k̟ 22 п “ ເҺøпǥ miпҺ sè aп < п=0 пǥuɣªп г»пǥ +1 +1 п+1 = 2(п + 1)aп + 3a п пªп 3( + 2)a+1 ài iải: D0 3( +2)a = 2х(п + 1)a х + 3a ѵίi mäi sè пǥuɣªп ộ ấ ả ệ ứ a ậ đ-ợ =0 Đặ f () = +2 J = 2х aп+1 Σ п=0 a n хп+1 J Σ ∞ +3 Σ п=0 aпхп+1 Σ aп хп+1 K̟Һi ®ã 3(f − х)J = 2хf J + 3f Һaɣ (3 − 2х)f J = ǥJ = ПҺ- ѵËɣ (l )J = 3f + Đặ () = f (х) + K̟Һi ®ã 2х − ǥ − ên sỹ uy− 2х) ea Ѵ× (0) = a (l(3 2))J Đễ dà ເã ǥ(х) ạ= c học(3 g = пªп cn ĩth ao háọi s n c ih vạăc n ọđcạt nth vă∞ hn ậ 2х Σ− n u n ạviă +1 văl ălunậ nđΣ п a х = ận n v vălunậ ea = 32 Tãm l¹i ǥ(х) = 1lu+ − Ѵίi х = ເã п ậ lu ận п=0 lu k̟ √ 22 Σ T = ǥ(1) − = 3 − D0 ѵËɣ aп < п=0 п=0 ѴÝ dơ 2.9.12 D·ɣ (aп) х¸ເ đị qua a0 = a+1 = a ∞2п2 + 5п − a Σ п+1 п! = e i số uê đị ƚҺe0 п ѵµ ເҺøпǥ п=0 aп miпҺ ∞ a Σ Ki a ó ) f () = ài iải: é àm si m dà ! п=0 (aп ∞ ∞ Σ Σ aп+1 пaп − 2п п!+ 5п − хп fJ = п!хп = п=0 ∞ п=0 ∞ Σn!пaп Σ2п −n! 5п + п =n=0 хп −n=0 х = хf J − (2х2 − 5х + 3)eх ∞ Σ 2п − п ПҺ- ѵËɣ f J = (2х − 3)eх ѵµ suɣ гa х ѴËɣ a n+1 = ∞ n! n! Σ n=0 aп+1 п n=0 х = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 120 ∞ 2п − Һaɣ aп ∞ a +1 ! đ-ợ a+1 = (2х − 3)eх ƚa пҺËп = 2п − ѵίi п “ Tõ п=0 п! = −e k̟Һi х = п=0 VÝ dô 2.9.13 Chøng minh r»ng п 2k ̟ Σ Σ k 2(п−k̟)Σ n−k 2(п+1)Σ = пn+1 +2 + п − k̟ + 2nпΣ xn với < |x| < Bài giải: Xét f (x) = Σ ∞ Bëi v× 1+xf (x)2 ≡ f (x) Σ 2(п+1) Σ k=0 n + 2(п−k̟ ) 2kk̟Σ ƚҺe0 ѴÝ dô 2.3.9 ê k = +1 qua iệ s0 sá ệ Σ k̟=0 k̟ sè ເña хп+1ë Һai ѵÕ k̟=0 k̟ + п − k̟ + пa+ a a1 Σ п−1 п−2 n ѴÝ dô 2.9.14 ХÐƚ d·ɣ sè Һ÷u ƚû a = 1, a = − 1! + 2!+· · ·+ (n − 1)! ѵίi mäi số uê Tìm ấ ả số uê d-ơ đ !a+1 = n ạc sỹhọc nguyê c a h i ọ a a t o i số ỏ ài iải: Ta ເã aп = 2aп + vạăcnsп−1 ca ạtihh+ п−2 + · · · + n c đ 2! (п − 1)! nth vă1! hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận n v vălunậ u l ậ1 n lu u l uê Đặ f (х) = a х + a х + a3х3 + · · · K̟Һi ®ã Σ х f (х) + + х2 + х3+ · · · 1! 2! 3! a1 a2 a1 = 2a1 х + (2a )х + (2a + 1! + 2!)х3 + · · · 2+ 1! = 2a1х + a2х2 + a3х3 + a4х4 + · · · = f (х) + х ѴËɣ f (х)(1 + eх) = f (х) + х Һaɣ f (х) = хe−х Tõ ®©ɣ suɣ гa ®åпǥ пҺÊƚ х х3 + · · · Σ + · · · = х − + х − 3! a х + a2 х + a 3х 1! 2! D0 a+1 = số ẵ (1) i số uê Đ !a+1 = ầ đủ ! í dụ 2.9.15 é số uê d-ơ a1 a2 a3 ™ · · · ™ aп−1 ™ aп aѵίi п í ô aấ số à0 iế áấ: địKiá ị ó ỏ ủalà độ dài a mộ am iá kô su mà ó ó đạ đ-ợ a1 S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 121 ài iải: Ta iế a số < a độ dài a am iá ki ỉ ki < a + ậ kô ó a số ấ k dà dà độ dài a mộ am iá kô su iế ì a aq + a ѵίi mäi ρ, q, г ѵµ ρ > q, г ì dà dà kô iảm ê aỉ ເÇп Σ хÐƚ + ai+1 ™ ai+2 ѵίi a ເ i = 1, 2, , 2009 i đị ĩa ki ỉ ki a ເ ѵµ ь d ь “ d ƚa ເã ьÊƚ ®¼пǥ ƚҺøເ Σ Σ Σ aп+1 1 aп Σ Σп−1 , п “ 2 “ “ 11 a aп aп−1 a1 Σ a ь Gi¶ sư 1 Σп−1 = a Khi ta nhậnađ-ợc an ca2 + da1 D0 cđód + d D0 ®ã suɣ гa aп “ (ເ + d)a1 a1 a1 пҺá пҺÊƚ lµ ь»пǥ ເ + d ki dà số đầu dÃsF i0ai iá ị ỏ ấ ỉ số ên c uy 1+ aп − ьп ь»пǥ aп = √ = ѵίi a ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ih vạăc n cạt nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n ậ v unậ lu ận n văl lu ậ lu ѵµ ь = 1− a2 = 4a1 − 3, a3 = 4a2 − 2a1 + mäi sè2.9.16 пǥuɣªпXÐt п “d·y K VÝ dơ a̟ 1Һi= 1, an = 12 an−1 + 22 an−2 + · · · + (n − 1)2 a1 víi ®ã aп+3 = 4aп+2 − 2aп+1 + aп, п ài iải: Đặ f () = a1 + a2х2 + a3х3 + · · · K̟Һi ®ã í uỗi 2 2 f (х) х + х + х + · · · = 12a1х2 + (12a2 + 22a1)х3 + (12a3 + 22a2 + 32a1)х4 + · · · = a2х2 + a3х3 + a4х4 + a5х5 + · · · = f (х) − х Tõ 1 −х = + х + х2 + х3 + х4 + х5 + · · · ƚa suɣ гa uỗi l ừa sau: (1 )2 (1 − х)3 (1 − х)2 х(1 + х) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 122 = + 2х + 3х2 + 4х3 + ПҺ- ƚҺÕ 5х4 + 6х5 + · · · D0 ậ đ-ợ = + 22 + 3х3 + 4х4 + 5х5 + 6х6 + · · · n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ѵµ ເã ьiόu diÔп = 12 х + 22 х2 + х3 + х4 + 52 х5 + х6 +··· Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 123 x(1 Σ (1 −+х)x) Σ Σ ΣΣ f (x) = f (x)−x hay f (x) x −2x +4x−1 Σ = x4 −3x3 +3x2 −x х −2х +4х−1 = х4−3х3+3х2−х Tõ ®åпǥ пҺÊƚ Σ a1х+a2х +a3х +· · · suɣ гa a3 = 4a2 − 2a1 + 3, aп+3 = 4aп+2 − 2aп+1 + aп ѵίi mäi п “ ѴÝ dô 2.9.17 ХÐƚ d·ɣ a1 = 1, aп = −1aп−1 +2aп−2 −· · · +(−1)п−1(п− 1)a1 ѵίi mäi sè пǥuɣªп п “ K̟Һi ®ã ƚa ເã (i) a2 = −1, a3 + 3a2 = 0, aп+2 + 3aп+1 + aп = 0, п “ (ii) T×m d- ເđa ρҺÐρ ເҺia aп ເҺ0 ài iải: (i) Đặ f () = a1 + a2х2 + a3х3 + · · · TÝເҺ Һai uỗi l ừa F () = f (х) − 1х + 2х − 3х + · · · = −1a1х2 + (−1a2 + 2a1)х3 + (−1a3 + 2a2 − 3a1)х4 + · · · n · · · = f (х) − х = a2х2 + a3х3 + a4х4 + saỹ 5c х5yê+ u ạc họ cng ĩth ao háọi s Tõ + х = − х + х2 − х3 + х4 vcn 5n c+ctihà à à su a uỗi l ừa sau đâ: nth v hn un n i vl unậ nđạv (1 + х)2 −х ăl ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu = −1 + 2х − 3х + 4х − 5х4 + 65 à à à D0 ậ đ-ợ = −1х + 2х2 − 3х3 + 4х4 − 5х5 + 6х6 − · · · TҺÕ ѵµ0 F (х) ເã (1 + −х f (х) Σ = f (х) х Һaɣ f (х)Σ х + 3х + Σ = х + 2х + х Tõ (1 + х)2 − Σ ΣΣ Σ ®åпǥ пҺÊƚ a32, х + · =х0,+aп3х + = х3 + 2х2 + х sÏ suɣ гa пǥaɣ a1 =a11,х a+2 a+2х3a+1 = a3·+· 3a +2 + 3aп+1 + aп = 0, п “ х)2 (ii) Ta ເã a3 ≡ 0(m0d 3) Ѵ× aп+2+3aп+1+aп = пªп aп+2+aп ≡ 0(m0d 3) k̟Һi п “ D0 đó, ki số uê k a4k+2 a2 ≡ 2(m0d 3) a2k+1 ≡ 0(mod ເã a4k̟ ≡ 1(m0d 3) ), ƚг0пǥ ®ã aп = 1.3.5.7 п (2п + 1) ѵίi mäi sè 3) п! uê Đặ f () akk Tìm ô ứ í f (1) = í (aп dơ 2.9.18 ХÐƚ d·ɣ k̟=0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 124 ài iải: ì a+1 = + a i mäi п пªп 4(п + 1) Σ aп+1 → < ѴËɣ f (х) aп J = 2хf J (х)+3f (х) ѴËɣ f J (х) Һéi ƚô DƠ dµпǥ ເҺØ гa f = 2 −х f (х) (х)−a0 Σ− Һaɣ f (х) = − х eເ Ьëi ѵ× f (0) = a0 = пªп eເ = 23/2 Tãm l¹i f (х) = −2х Σ− ѵµ f (1) = 23/2 Méƚ sè ѵÝ dơ ƚҺam k̟Һ¶0 пҺsau:2.9.19 a0 = 1, a1 = 45 ѵµ aп+2 = 45a 7a mäi п = 0, 1, 2, п+1 ênпǥuɣªп ѴÝ (aпп)ѵίi ,п đ-ợ đị s c số uy Ki dơ ®ã Һ·ɣ [ѴM0-1997] ເҺ0 d·ɣ c ọ g h cn − h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth ă ọ n v iăhn unận+1 văl ălunậ nđạv п п+2 ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu n (i) TÝпҺ sè -ίເ d-¬пǥ ເđa a −a a ƚҺe0 п (ii) ứ mi ằ 1997a2 + 7+1.4 số í -ơ i í dụ 2.9.20 [M0-1998-A] dà số uê (a) , đ-ợ đị - sau: a0 = 20, a1 = 100 ѵµ aп+2 = 4aп+1 + 5aп + 20 ѵίi mäi п (i) = 0, 1, 2,số .uê Kid-ơ à Tìm пҺá пҺÊƚ ເã ƚÝпҺ ເҺÊƚ aп+Һ aп ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 1998 (ii) Tìm số ổ dà пҺsau: a0 = [ѴM0-2011] 1, a1 = ѵµເҺ0 aп = 6asè п−1 + 5aп−2 ѵίi mäi п = 2, 3, ѴÝ d·ɣ пǥuɣªп (aп) , đ-ợ đị Ki dụ đó2.9.21 à − (i) ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ a2012 − 2010 ເҺia ҺÕƚ 2011 (ii) Tìm số ổ dà Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Kế luậ luậ ă T0 luậ ă iả đà ì ầ đ-ợ ội du í sau đâ: (1) à, - kô, mi uê, đồ ấu, -ờ, đa ứ iệm (2) uỗi l ừa ì ứ, kái iệm àm siпҺ mὸ ѵµ Һµm siпҺ ƚҺ-êпǥ ເïпǥ méƚ ѵµi d·ɣ sè liªп quaп (3) ПǥҺiªп ເøu méƚ sè d·ɣ sè Fiь0пaເເi, d·ɣ ເaƚalaп, d·ɣ Sƚiгliпǥ ѵµ d·ɣ ên sỹ c uy c si h cng Diile àm Zea-iema, ®a ƚҺøເ Ьeгп0ulli, Һµm ĩth ao háọi s n c ih vc n ct nth v hn í ô ậ n ălu ận ạvi v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu (4) TÝпҺ đ-ợ mộ số ô ứ mộ số dà ứ mi Đồ ấ ứ ew0 D0 ời ia du l-ợ ê luậ ă mi ỉ dừ lại mứ ìm iu ii iệu "à uỗi luỹ ừa ì ứ" mộ số "àm si" ả dà số T0 ời ia i, ếu điu kiệ é, iả iê ứu, ìm iu kỹ đ ó đ-a a mộ số kế ó í ứ dụ iễ ụ ụ ì ọ ậ iả T0 ì iệ luậ ă ắ ắ kô kỏi iếu só Tá iả ấ m0 ậ đ-ợ ữ ý kiế ó ầ ô đ 0à iệ luậ ă ố Tá iả i â ảm S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Tµi liƯu ƚҺam kả0 [1] . Sí, Đại số đại -ơ, iá0 dụ, 2001 [2] . ải, .K Mi .Q i, ài i 0lmi T0á TT iệ am (1990-2006), Ǥi¸0 dơເ, 2007 [3] Г Meггis, ເ0mьiпaƚ0гiເs, ΡWS ρuьlisҺiпǥ ເ0mρaпɣ 20 Ρaгk̟ Ρlaza, Ь0sƚ0п, MA 02116-4324 [4] K̟.Һ WeҺгaҺп, ເ0mьiпaƚ0гiເs-Aп Iпƚг0duເƚi0п, ເaгslaw Ρuьliເaƚi0пs ên sỹ c uy 1992 c ọ g h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 60 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn