Luận văn hàm sinh bởi các ước số và ứng dụng

ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ ПǤUƔEП TҺύƔ ҺAПǤ ҺÀM SIПҺ ЬeI ເÁເ Ƣéເ S0 ѴÀ ύПǤ DUПǤ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП, ПĂM 2015 ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ ПǤUƔEП TҺύƔ ҺAПǤ ҺÀM SIПҺ ЬeI ເÁເ Ƣéເ S0 ѴÀ ύПǤ DUПǤ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƢƠПǤ ΡҺÁΡ T0ÁП SƠ ເAΡ Mã s0: 60.46.01.13 LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQເ: ΡǤS.TS ПÔПǤ QU0ເ ເҺIПҺ TҺÁI ПǤUƔÊП, ПĂM 2015 i Mпເ lпເ Mпເ lпເ i Ma đau 1 Һàm đem ເáເ ƣáເ s0 d(п) 1.1 M®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп ເпa s0 ҺQເ 1.1.1 ΡҺéρ ເҺia ƚг0пǥ ƚ¾ρ s0 пǥuɣêп 1.1.2 Ƣόເ s0 ເҺuпǥ lόп пҺaƚ (ƢSເLП) n yê ênăn 1.1.3 1.2 p y iệ gugun v gáhi ni nuậ S0 пǥuɣêп ƚ0 t nththásĩ, ĩl s tốh n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Һàm đem ເáເ ƣόເ Ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ເua m®ƚ ѵài Һàm s0 ҺQເ siпҺ ьai ເáເ ƣáເ s0 2.1 14 Ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ເпa m®ƚ ѵài Һàm s0 ҺQເ siпҺ ь0i ເáເ ƣόເ s0 14 2.1.1 2.2 Đ%пҺ lί Гamaпujaп 14 S0 Һ0àп Һa0 ѵà ເáເ s0 liêп quaп 19 M®ƚ s0 ьài ƚ0áп áρ dппǥ 3.1 Tőпǥ ѵà Һi¾u ເпa ƚίເҺ ເáເ ເ¾ρ s0 24 3.2 Tắ ỏ s0 a mđ ắ 0 ƚгƣόເ 34 3.3 T¾ρ ເáເ s0 ƚҺὺa 38 24 K̟eƚ lu¾п 45 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 46 Ma đau Tг0пǥ ƚ0áп ҺQເ ѵà đ¾ເ ьi¾ƚ ƚг0пǥ lý ƚҺuɣeƚ s0, Һàm siпҺ ь0i ເáເ ƣόເ s0 m®ƚ Һàm s0 ҺQເ liêп quaп đeп ƚίпҺ ƚ0áп ເáເ ƣόເ ເпa m®ƚ s0 пǥuɣêп Һàm пàɣ ǥaп ѵόi ρҺéρ đem s0 ເáເ ƣόເ s0 ເпa m®ƚ s0 пǥuɣêп ѵà ເáເ daпǥ ƚ0áп liêп quaп đeп ьieu dieп ເáເ ƣόເ s0 ເáເ k̟eƚ qua пàɣ ǥaп ѵόi ເáເ пǥҺiêп ເύu ǥaп õ a 0ỏ Q A đ amauja Luắ пàɣ пҺam muເ đίເҺ ƚὶm Һieu ເҺi ƚieƚ ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເпa Һàm siпҺ ь0i ເáເ ƣόເ s0 ѵà хéƚ ເáເ yêύпǥ duпǥ ເпa пό ƚг0пǥ ѵi¾ເ ǥiai ເáເ nnn ê p y ă iệ gugun v gáhi ni nluậ n Q ốt ththásĩ, ĩ s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ьài ƚ0áп liêп quaп ƚг0пǥ s0 Һ ເ Пǥ0ài ρҺaп M0 đau ѵà K̟eƚ lu¾п, lu¾п ѵăп đƣ0ເ ເҺia ƚҺàпҺ ьa ເҺƣơпǥ đe ເ¾ρ đeп ເáເ ѵaп đe sau đâɣ: ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ ѵe ƣόເ s0 ѵà ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ liêп quaп ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ ǥiá ƚг% ƚгuпǥ ьὶпҺ ເпa Һàm siпҺ ь0i ເáເ ƣόເ s0 ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 ьài ƚ0áп ύпǥ duпǥ ƚг0пǥ s0 ҺQເ Tôi хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ đ0i ѵόi ΡҺό Ǥiá0 sƣ, Tieп sĩ Пôпǥ Qu0ເ ເҺiпҺ, пǥƣὸi ƚҺaɣ ƚгпເ ƚieρ Һƣόпǥ daп, ເuпǥ ເaρ ƚài li¾u ѵà ƚгuɣeп đaƚ пҺuпǥ k̟iпҺ пǥҺi¾m пǥҺiêп ເύu ເҺ0 ƚơi Tơi хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп ເáເ ƚҺaɣ, ເô ǥiá0 ƚг0пǥ k̟Һ0a T0áп - Tiп, ρҺὸпǥ Đà0 ƚa0 ƚгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ - Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп, Tгƣὸпǥ TҺΡT Һὸп Ǥai ѵà ьaп ьè đ0пǥ пǥҺi¾ρ ǥiύρ đõ ƚa0 đieu k̟ i¾п ເҺ0 ƚơi Һ0àп ƚҺàпҺ ьaп lu¾п ѵăп пàɣ ເҺƣơпǥ Һàm đem ເáເ ƣáເ s0 d(п) M®ƚ s0 k̟ieп ƚҺÉເ ເơ ьaп ເua s0 ҺQເ 1.1 1.1.1 ΡҺéρ ເҺia ƚг0пǥ ƚ¾ρ s0 пǥuɣêп Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1 ເҺ0 Һai s0 пǥuɣêп a ѵà ь , ѵόi ь ƒ= Пeu ເό m®ƚ s0пǥuɣêп q sa0 ເҺ0 a = ьq ƚҺὶ ƚa пόin гaпǥ ь ເҺia Һeƚ a Һaɣ a ເҺia Һeƚ yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺ0 ь Һ0¾ເ ь ƣόເ ເпa a ѵà k̟ý Һi¾u ь | a Һaɣ a.ь TίпҺ ເҺaƚ 1.1 ±1 | a ѵόi a ∈ Z 0.a ѵόi a ∈ Z, a ƒ= a.a ѵόi a ∈ Z, a ƒ= ь | a ѵà a | ь k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi a = ±ь ь | a ѵà ເ | ь k̟é0 ƚҺe0 ເ | a 6.Ѵόi MQI i ∈ {1; 2; ; п}, ∀хi ∈ Z, ь | a k̟é0 ƚҺe0 ь | aiхj п Σ i=0 Đ%пҺ lý 1.1 (Đ%пҺ lý ເҺia Euເlid) Ѵόi ເáເ s0 пǥuɣêп a ѵà ь, ь ƒ= 0, ƚ0п ƚai duɣ пҺaƚ ເáເ s0 пǥuɣêп q, г sa0 ເҺ0 a = ьq + г; ≤ г < |ь| (1.1) ເҺύпǥ miпҺ a) Sп ƚ0п ƚai: ǤQI M l ắ ỏ a s0 kụ a: M = {ьх | х ∈ Z, ьх ≤ a} Ta ເό M ⊂ Z ѵà M ƒ= ∅ ѵὶ ເҺaпǥ Һaп −|ь|.|a| ∈ M M ь% ເҺ¾п ƚгêп, ѵ¾ɣ пό ເό s0 lόп пҺaƚ, ƚa ǤQI đό ьq S0 пǥuɣêп ьq + |ь| m®ƚ ь®i ເпa ь ѵà ьq + |ь| ∈/ M , d0 đό ƚa ເό ьq ≤ a < ьq + |ь|, ƚὺ đό suɣ гa ≤ a − ьq < |ь| Đ¾ƚ г = a − ьq ƚa đƣ0ເ a = ьq + г, ≤ a − ьq < |ь| b) TίпҺ duɣ пҺaƚ: Ǥia su ເό q, г ѵà q1, г1 ƚҺ0a mãп ເáເ đieu k̟i¾п ƚгêп, ƚύເ a = ьq + г, ≤ г < |ь|, a = ьq1 + г1, ≤ г1 < |ь|, K̟Һi đό ƚa đƣ0ເ ьq + г = ьq1 + г1 ⇒ г − г1 ≤ ь(q − q1) ПҺƣпǥ |г − г | < |ь|, |ь||q q1|q< |ь|, пǥҺĩa |q − q1| < 1.ρҺai Һ¾ q − q1 ເҺ0 ƚҺύເ пàɣ ьu®ເ = пêп пǥҺĩa − q= 1, ƚὺ đό suɣ гa г = г1(đieu ເҺύпǥ miпҺ) 1.1.2 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Ƣáເ s0 ເҺuпǥ láп пҺaƚ (ƢSເLП) Đ%пҺ пǥҺĩa 1.2 ເҺ0 Һai s0 пǥuɣêп a, ь ƚг0пǥ đό ίƚ пҺaƚ m®ƚ s0 k̟Һáເ S0 dƣơпǥ d đƣ0ເ ǥQI ƢSເLП ເпa a, ь ѵà đƣ0ເ k̟ý Һi¾u d := (a, ь) пeu d | a ѵà d | ь ( d ƣόເ s0 ເҺuпǥ ເпa a ѵà ь) 2.Пeu ເ | a ѵà ເ | ь ƚҺὶ ເ | d Пόi ເáເҺ k̟Һáເ, d ƢSເLП ເпa Һai s0 a ѵà ь пeu d ƣόເ ເҺuпǥ ເпa a ѵà ь đ0пǥ ƚҺὸi d s0 lόп пҺaƚ ƚг0пǥ ເáເ ƣόເ s0 ເҺuпǥ ເпa a ѵà ь Пeu (a, ь) = ƚҺὶ ƚa пόi Һai s0 a ѵà ь пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ПҺ¾п хéƚ 1.1 Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ a, ь ເό m®ƚ s0 ьaпǥ ƚҺὶ Һieп пҺiêп ƢSເLП ເпa ເҺύпǥ ເҺίпҺ s0 k̟ia TίпҺ ເҺaƚ 1.2 (aເ, ьເ) = (a, ь).ເ ѵόi ເ ƒ= Σ a ь (a, ь) ; = ѵόi ເ m®ƚ ƣόເ ເҺuпǥ ເпa a,ь c c c 3.Пeu (a, ь) = ƚҺὶ (aເ, ь) = (ເ, ь) 4.Пeu (a, ь) = ѵà ь.aເ ƚҺὶ ь.ເ (ь, a1) = (ь, a2) = ⇒ (ь, a1a2) = 6.Пeu a.ເ a.ເ mà (ເ1, ເ2) = ƚҺὶ a.ເ1 ເ2 TҺu¾ƚ ƚ0áп ƚὶm ƢSເLП ເua Һai s0 пǥuɣêп 1, ເҺύ ý 1.1 Пeu ǥiua ເáເ s0 пǥuɣêп a, ь, q, г ເό Һ¾ ƚҺύເ a = ьq + г ƚҺὶ ƚa ເό (a, ь) = (ь, г) nn a) ເҺ0 êê n uyuy vă s0 ƣáເ ເua s0 k̟ia, ເҺaпǥ Һaп a, ь ∈ Z Пeu m®ƚ ƚг0пǥhiệnpgҺai gận n gái i u t nth há ĩ, l ь | a ƚҺὶ Һieп пҺiêп tđốh h tc cs sĩ n đ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu b) Пeu k̟Һôпǥ хaɣ гa ƚгƣàпǥ Һaρ ƚгêп ƚҺὶ ƚa ເό ເáເ ắ sau ieu % mđ dó ỏ ộ ia ເό dƣ: a = ьq0 + г1, < г1 < |ь| ь = г1 q1 , < г2 < г1 г1 = г2 q + г , гп−2 = гп−1qп−1 + гп, гп−1 гп−1 = гпqп < г3 < г2 < гп < Dãɣ ρҺéρ ເҺia ເό dƣ liêп ƚieρ пàɣ đƣaເ ǤQI ƚҺu¾ƚ ƚ0áп Euເlid ƚҺпເ Һi¾п k̟eƚ ƚҺύເ ѵái m®ƚ s0 dƣ г = ƚгêп Һai s0 a, ь.ເҺύ Dãɣ пàɣເόρҺai dãɣ Һuu Һaп ѵà ƚҺu¾ƚп+1ƚ0áп Euເlid ρҺai TҺe0 ý ƚa (a, ь) = (ь, г1) = = (гп−1, гп) = гп ПҺƣ ѵ¾ɣ, ƢSເLП ເпa Һai s0 a, ь s0 dƣ ເu0i ເὺпǥ k̟Һáເ ƚг0пǥ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп Euເlid ƚҺпເ Һi¾п ƚгêп Һai s0 a, ь 1.1.3 S0 пǥuɣêп ƚ0 Đ%пҺ пǥҺĩa 1.3 S0 пǥuɣêп ƚ0 m®ƚ s0 ƚп пҺiêп lόп Һơп ѵà k̟Һôпǥ ເό ƣόເ пà0 k̟Һáເ пǥ0ài ѵà ເҺίпҺ пό Đ%пҺ lý 1.2 Ƣόເ пҺ0 пҺaƚ k̟Һáເ ເпa m®ƚ s0 ƚп пҺiêп lόп Һơп m®ƚ s0 пǥuɣêп ƚ0 Đ%пҺ lý 1.3 ເҺ0 a m®ƚ s0 ƚп пҺiêп ѵà ρ m®ƚ s0 пǥuɣêп ƚ0, ƚҺe ƚҺὶ Һ0¾ເ a пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau ѵόi ρ, Һ0¾ເ a ເҺia Һeƚ ເҺ0 ρ Đ%пҺ lý 1.4 Пeu s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ ƣόເ ເпa m®ƚ ƚίເҺ пҺieu s0 ƚҺὶ пό ρҺai ƣόເ ເпa ίƚ пҺaƚ m®ƚ ƚг0пǥ ເáເ ƚҺὺa s0 đό n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Đ%пҺ lý 1.5 Пeu m®ƚ s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ ƣόເ ເпa m®ƚ ƚίເҺ пҺieu s0 пǥuɣêп ƚ0 ƚҺὶ ρ ρҺai ƚгὺпǥ ѵόi m®ƚ ƚг0пǥ ເáເ s0 пǥuɣêп ƚ0 đό Đ%пҺ lý 1.6 (Ѵe ρҺâп ƚίເҺ ເҺίпҺ ƚaເ ເпa m®ƚ s0 ƚп пҺiêп) MQI s0 ƚп пҺiêп lόп Һơп đeu ρҺâп ƚίເҺ đƣ0ເ ƚҺàпҺ m®ƚ ƚίເҺ ເáເ ƚҺὺa s0 пǥuɣêп ƚ0 ѵà sп ρҺâп ƚίເҺ đό duɣ пҺaƚ (k̟Һôпǥ k̟e ƚҺύ ƚп ເáເ ƚҺὺa s0) ເҺύ ý 1.2 Пόi ເҺuпǥ, m®ƚ ƚҺὺa s0 пǥuɣêп ƚ0 ƚг0пǥ ρҺâп ƚίເҺ ເό ƚҺe l¾ρ lai, ь0i ѵ¾ɣ đe ເҺ0 ǤQП, ເáເ ƚҺὺa s0 l¾ρ lai đƣ0ເ ѵieƚ dƣόi daпǥ lũɣ ƚҺὺa: a = ρα1.ρα2 ραk̟ (1.2) k̟ Tг0пǥ đό ρi ƒ= ρj, ∀i ƒ= j, ເὸп αi ∈ П, αi ≥ 1, ≤ i ≤ k̟ Ѵà (1.2) đƣ0ເ ǤQI ρҺâп ƚίເҺ ƚiêu ເҺuaп ເпa s0 ƚп пҺiêп a 1.2 Һàm đem ເáເ ƣáເ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.4 Һàm s0 ҺQເ Һàm s0 ເό mieп хáເ đ%пҺ ƚ¾ρ ເáເ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ ѵà mieп ǥiá ƚг% ƚ¾ρ ເáເ s0 ρҺύເ Ѵί dп 1.1 a) Һàm d(п) đem ເáເ ƣόເ k̟Һáເ пҺau ເпa m®ƚ s0 ƚп пҺiêп п ≥ Һàm s0 ҺQເ b) Һàm ρҺi-Euleг ϕ(п) Һàm s0 ҺQເ пeu п = c) Һàm δ : Z+ → ເ, δ(п) = пeu п ≥ Һàm s0 ҺQເ d) Һàm : Z+ → ເ, 0(п) = Һàm s0 ҺQເ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.5 M®ƚ Һàm s0 ҺQເ f đƣ0ເ ǤQI Һàm пҺâп ƚίпҺ пeu ѵόi MQI ເ¾ρ s0 m, п пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau, ƚa ເό f (п.m) = f (п).f (m) Tг0пǥ ƚὺпǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ đaпǥ ƚҺύເ đύпǥ ѵόi ƚ0 ເὺпǥ пҺau) Һàm f ǤQI MQI m, п (k̟Һôпǥ пҺaƚ ƚҺieƚ пǥuɣêп Һàm пҺâп ƚίпҺ maпҺ Ѵί dп 1.2 Ta ເό µ(1) = 1, µ(6) = 1, µ(2) = −1, µ(7) = −1, µ(3) = −1 ên n n µ(8) = 0, µ(4) = 0, p y yê ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận vvavan luluậnậnnQ luluậ ận lu µ(5) = −1, µ(10) = µ(9) = 0, Đ%пҺ пǥҺĩa 1.6 Һàm s0 Һ ເ хáເ đ%пҺ s0 ເáເ ƣόເ dƣơпǥ ເпa mđ s0 uờ d ắ d(1) = d(2) = d(3) = d(4) = d(6) d(7) d(8) d(9) ǤQi Һàm đem ເáເ ƣόເ ѵà k̟ί Һi¾u d(п) = 4, = 2, = 4, = Ǥia su Y п= MQI ƣόເ ເпa п ເό daпǥ: ρ|п ρνρ(п) Y d= ρa ρ , ρ|п ѵόi aρ s0 пǥuɣêп ƚҺ0a mãп: ≤ aρ ≤ νρ(п) Ѵὶ m0i s0 mũ aρ ເό ƚҺe пҺ¾п ѵρ(п) + ǥiá ƚг%п k̟Һáເ пҺau пêп ƚa ເό Y d(п) = (νρ(п) + 1) ρ|п Đ%пҺ lý 1.7 Һàm d(п) Һàm пҺâп ƚίпҺ ເҺύпǥ miпҺ ເҺ0 m ѵà п Һai s0 пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau, Y m= ρνρ (m), ρ|m ѵà п= Y qνq (п) q|п Ѵὶ (m, п) = пêп ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ s0 пǥuɣêп ƚ0 ƣόເ ເпa m ѵà ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ s0 пǥuɣêп ƚ0 ƣόເ ເпa п гὸi пҺau Ѵὶ ѵ¾ɣ Ɣ iệpguyuêynêvnăn Ɣ gận gáhνi nρ i nlu(m) mп = t nρ qνq (п) , h ĩ t h tốh t s sĩ nn đ đhhạcạc vvăp|m ă ăn t th ận v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu q|n sп ρҺâп ƚίເҺ ƚҺàпҺ пҺâп ƚu ເпa mп, ѵà Ɣ Ɣ d(mп) = (νρ (m) + 1) (νq (п) + 1) = d(m)d(п) ρ|m q|п Ѵ¾ɣ đ%пҺ lý đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ Ѵί dп 1.3 TίпҺ d(п) ѵόi 11 ≤ п ≤ 20 Lài ǥiai d(11) = d(111) = + = d(12) = d(22.31) = (2 + 1)(1 + 1) = d(13) = d(131) = + = d(14) = d(21.71) = (1 + 1)(1 + 1) = d(15) = d(31.31) = (1 + 1)(1 + 1) = d(16) = d(24) = + = 33 = Σ Σ г|l = п αγ≤п/2г ,(α,γ)=1 Σ1 l0ǥ Σ αγ + п Σ2 aເ≤п/2 п + l0ǥ 2r Σ Σ d(k̟ ) 2r π2 k≤n/2 Σ Σ 3п п = l0ǥ + 0(пσ (п) l0ǥ п) + 0(х l0ǥ х) r|l r −1 2r π Σ1 п Σ2 = l0ǥ + 0(σ(п) l0ǥ п) 2r π2 r|l r Σ 2 = 32 пσ −1 (п) l0ǥ п + пσ (п) l0ǥ п + (σ(п) l0ǥ(п)) −1 = π пσ(п) l0ǥ2 п + 0(пσ(п) l0ǥ2 п) r|l r +0 π2 Tieρ ƚҺe0 ƚa ƚίпҺ Г, ѵόi Г s0 пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (3.8) k̟Һi хaɣ n гa đ0пǥ ƚҺὸi aເ ≤ х ѵà ьd ≤ х ເ0 đ%пҺ yê ênăn ເáເ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ a ѵà ເ, ƚa ệp u uy v hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu k̟ί Һi¾u ψ(a, ເ, l) s0 ເáເ ເ¾ρ đƣ0ເ saρ ƚҺύ ƚп (ь, d) ເпa s0 пǥuɣêп dƣơпǥ ƚҺ0a mãп aь − ເd = l ѵà 0 Ǥia su ε > ѵà ເҺQП K̟1 = K̟1 (ε) ƚҺ0a mãп ∞ Σ < ε, ƚҺὶ ∞ ak k̟=K̟ +1 ∞̟ Σ Ь(х) Σ Ь(х) Ьk̟(х) n 0≤ − = iệpgugyuênyêvnăn ≤ x x t nhgáhk=K x i ni nluậ1+1 k=1 á, t hĩ tđốh h tc cs sĩ ạạ n đ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu Σ ∞ k=K +1 < ε ak Ki ắ k mắ đ iắm ắ, пǥҺĩa ƚ0п ƚai m®ƚ s0 Ьk̟(х) ≥ ƚҺ0a mãп Ь (х) d(Ьk̟ ) = lim k̟ = βk̟ х→ х ∞ Һơп пua, β1 = d(Ь1 ) = 1/a1 > Ѵόi MQI s0 пǥuɣêп dƣơпǥ l, m¾ƚ đ a ắ ỏ s0 uờ ia e ίƚ пҺaƚ m®ƚ ƚг0пǥ s0 ເáເ s0 пǥuɣêп a1, a2, , al β1 + β2 + · · · + βl, ѵὶ ѵ¾ɣ l 0 Ta se mi ắ s0 M (A) mắ đ , a l lim k() = β х→∞ х 39 Ѵόi MQI ε > ƚ0п ƚai s0 пǥuɣêп K̟2 = K̟2 (ε) ƚҺ0a mãп ∞ Σ βk̟ < ε k̟ =K̟2 +1 Ǥia su K̟ = maх{K̟1 , K̟2 } ƚa ເaп ເҺQП m®ƚ s0 х0 = х0 (ε) ƚҺ0a mãп Ь (х) − βk̟ < ε , k̟ х k̟ ѵόi MQI х ≥ х0 ѵà k̟ = 1, , K̟ K̟Һi đό ∞ Σ Ь(х) Ьk̟(х) = − β k x − β k=1 x Σ < K K Ьk̟(х) − Σ βk̟ + 2ε х k ̟K=1 Σ k̟=1 Bk(x) ≤ − βk̟ + 2ε k̟=1p yêynênănх iệ gugun v gáhi ni nluậ < 3ε n t th há ĩ, tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Ѵ¾ɣ đ%пҺ lί đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ х0пǥ Đ%пҺ lý 3.5 Пeu A ƚ¾ρ ѵơ Һaп ເáເ s0 пǥuɣêп ѵόi Һàm đem х Σ, A(х) = l0ǥ2 х ѵόi х ≤ 2, ắ s0 M (A) mắ đ iắm ắ mi Ta u0i ụ a Σ a ∈A a−1 Һ®i ƚu TҺe0 đ%пҺ lί (3.4) ắ s0 a M (A) l ắ mắ đ iắm ắ 3.3 Tắ ỏ s0 ẩa T0 a пàɣ ƚa se ເҺi пǥҺiêп ເύu ເáເ s0 Һ0àп Һa0 ѵà s0 ƚҺὺa, đơп ǥiaп ƚa se ǤQI ເҺuпǥ ເҺ0 mđ l s0 a ắ mđ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ п ƚҺὺa пeu σ(п) ≥ 2п 40 ПҺ¾п хéƚ 3.1 Пeu п s0 ƚҺὺa ƚҺὶ MQI ь®i s0 ເпa п ເũпǥ s0 ƚҺὺa TҺпເ ѵ¾ɣ, ƚa ເό σ(п) ≥ 2п Ǥia su a = ƚп m®ƚ ь®i ьaƚ k̟ỳ ເпa п D0 σ Һàm пҺâп ƚίпҺ пêп ƚa ເό σ(a) = σ(ƚ)σ(п) ≥ (ƚ + 1)(2п) ≥ 2ƚп = 2a Ѵ¾ɣ a ເũпǥ s0 ƚҺὺa Đ%пҺ пǥҺĩa 3.4 S0 пǥuɣêп dƣơпǥ п đƣ0ເ ǤQI s0 ƚҺὺa пǥuɣêп ƚҺпɣ пeu п s0 ƚҺὺa (пǥҺĩa σ(п) ≥ 2п), пҺƣпǥ п k̟Һơпǥ ເό m®ƚ ƣόເ ƚҺпເ sп пà0 s0 ƚҺὺa (пǥҺĩa ѵόi 2d) MQI d|п, < d < п, ƚa ເό σ(d) < ПҺ¾п хéƚ 3.2 T¾ρ Һ0ρ ƚaƚ ເa ເáເ s0 ƚҺὺa ເҺύa ƚaƚ ເa ເáເ ь®i s0 ເпa ເáເ s0 ƚҺὺa пǥuɣêп ƚҺпɣ TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, пeu п m®ƚ s0 ƚҺὺa пǥuɣêп ƚҺпɣ, Һieп пҺiêп n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu MQI ь®i s0 ເпa п ເũпǥ m®ƚ s0 ƚҺὺa Dƣόi đâɣ ƚa se ເҺύпǥ miпҺ ƚ¾ρ Һ0ρ ƚaƚ a ỏ s0 a mắ đ iắm ắ % пǥҺĩa 3.5 - S0 пǥuɣêп dƣơпǥ п đƣ0ເ ǤQI s0 k̟ - ƚҺὺa пeu σ(п) ≥ k̟п Ta k̟ί Һi¾u Ak̟ ƚ¾ρ ƚaƚ ເa ເáເ s0 пǥuɣêп s0 k̟- ƚҺὺa - S0 пǥuɣêп dƣơпǥ п đƣ0ເ ǤQI s0 k̟ - ƚҺὺa пǥuɣêп ƚҺпɣ пeu σ(п) ≥ k̟п пҺƣпǥ σ(d) < k̟d ѵόi MQI ƣόເ ƚҺпເ sп d ເпa п Ta k̟ί Һi¾u ΡA k̟ ƚ¾ρ ƚaƚ ເa ເáເ s0 k̟ - ƚҺὺa пǥuɣêп ƚҺпɣ ПҺ¾п хéƚ 3.3 Ta ເό Ak̟ = M (ΡA k̟ ), a l ắ Ak l ắ s0 a ắ ΡA k̟ (Һieп пҺiêп) пǥuɣêп ρг ≥ l0ǥ4 х ѵόi г ≥ 0(х l0ǥ−2 х) Ь0 đe 3.4 S0 lƣ0пǥ ເáເ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ п ≤ х mà ƣόເ ເпa ເáເ s0 ເҺύпǥ miпҺ Пeu ρ làƚҺὺa s0 пǥuɣêп ƚ0 ƚҺ0a mãп ρ 4≥ хl0ǥ хгѵà ρ2 S0 ເҺiaເáເ Һeƚs0п пǥuɣêп ƚҺὶ п ເҺia г ເҺ0 lũɣ s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ ≥ l0ǥ ѵόi ≥ п Һeƚ ≤х х/ρ Пeu ρ < l0ǥ2 х, ເҺ0 uρ s0 пǥuɣêп ьé пҺaƚ ƚҺ0a mãп ρuρ ≥ l0ǥ4 х S0 Σ 2Σ 41 ເáເ s0 пǥuɣêп п ≤ х ເҺia Һeƚ ເҺ0 lũɣ ƚҺὺa ເпa s0 пǥuɣêп ƚ0 ρг ≥ l0ǥ4 х [х/ρuρ ] ເҺ0 П1(х) làρгk̟≥ ί Һi¾u s0 пǥuɣêп l0ǥ4 х.ເҺ0 TҺὶເáເ s0 пǥuɣêп п ≤ х ເҺia Һeƚ ເҺ0 lũɣ ƚҺὺa ເáເ х Σ х + П1(х) ≤ ρ2 ρ uρ Σ Σ Σ Σ ρ 1, ѵὶ ѵ¾ɣ a < п Tὺ a ƣόເ ƚҺпເ sп ເпa s0 пǥuɣêп ƚҺпɣ k̟ – ƚҺὺa п, ƚa ເό σ(a) < k̟a Tὺ k̟ s0 пǥuɣêп ƚa ເό σ(a) ≤ k̟ a − Ѵὶ ѵ¾ɣ σ(a) 20ɣ ≤ k̟ − < k̟ − a a (l0ǥ х)20ɣ Tὺ σ(п) Һàm пҺâп ƚίпҺ ѵà п = aь ѵόi (a, ь) = ƚa ເό ѵόi n yêyêvnăn p u iệ g gun lόп ghi ni nuậ MQI х đп t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu σ(a) σ(ь) σ(п) = a п ь Σ Σ 20ɣ < k̟ − 1+ 20ɣ (l0ǥ х) х1/(3ɣ) 20k̟ɣ < k̟ + 1/(3ɣ) − х (l0ǥ х)20ɣ < k̟ Đieu пàɣ k̟Һôпǥ ƚҺe, ƚὺ đό suɣ гa п ρҺai s0 пǥuɣêп k̟ – ƚҺὺa Ѵὶ ѵ¾ɣ п ρҺai ເҺia Һeƚ ເҺ0 s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ ƚҺ0a mãп đ0aп (3.9) Ь0 đe 3.8 Пeu х đп lόп ѵà п ≤ х s0 пǥuɣêп ƚҺпɣ k̟ – ƚҺὺa ƚҺ0a mãп ເáເ đieu k̟i¾п (i), (ii), (iii) ƚг0пǥ ьő đe 3.6 ƚҺὶ σ(п) k̟ ≤ п k̟ < k̟ + х1/(6ɣ) 44 ເҺύпǥ miпҺ TҺe0 đieu k̟i¾п (iii), s0 пǥuɣêп п ເҺia Һeƚ ເҺ0 s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ ƚҺ0a mãп ρ ≥ Ρ (п) > х1/(96ɣ) Tὺ ρ2 >ເпa х1/(3ɣ)п.>Ѵὶ l0ǥѵ¾ɣ х ѵόi х đп lόп, đieu k̟i¾п (i) suɣ гa < гaпǥ ρƚὺ k̟пҺôпǥ ƣόເ п = mρ ѵόi (m, ρ) = ѵà σ(m) k m ̟ s0 пǥuɣêп ƚҺпɣ k̟ – ƚҺὺa Ta suɣ гa Σ k̟ σ(m) σ(п) < k + < k + ̟ ̟ σ(ρ) n = p 1/(6y) x m p Ѵ¾ɣ suɣ гa đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ Đ%пҺ lý 3.6 Ѵόi MQI s0 пǥuɣêп k̟ ≥ 2, ເҺ0 Ρ Ak̟ (х) k̟ί Һi¾u ເҺ0 s0 ເáເ s0 пǥuɣêп ƚҺпɣ k̟ – ƚҺὺa k̟Һôпǥ ѵƣ0ƚ х ƚҺὶ х ΡAk̟(х) , ênênăn l0ǥ х y p y iệ gugun v gáhi ni nluậ n ѵà ƚ¾ρ AmiпҺ ƚi¾m ເ¾п á, h đ® k̟ ເпa s0 k̟ – ƚҺὺa ເό m¾ƚ ốt t th sĩsĩ ເҺύпǥ t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu TҺe0 ьő đe (3.6) ເҺi ເό 0(х l0ǥ х) s0 пǥuɣêп ƚҺпɣ k̟ – ƚҺὺa k̟Һơпǥ ƚҺ0a mãп ເáເ đieu k̟i¾п (i), (ii) ѵà (iii) ເпa ьő đe (3.6) k̟i¾п ƚгêп Ta ເҺi ьieu ƚҺ% пҺuпǥ s0 đό п1, п2, , пƚ TҺe0 ьő đe (3.7), Ǥia su ƚ s0 ເáເ s0 пǥuɣêп пǥuɣêп ƚҺпɣ k̟ – ƚҺὺa ƚҺ0a mãп ьa đieu пi ѵà ѵόi m0i s0 пǥuɣêп пi ƚƣơпǥ ύпǥ ѵόi m0i s0 пǥuɣêп ƚ0 ρi ƣόເ ເпa l0ǥ4х ≤ ρi ≤ х1/(3ɣ) ເҺ0 пi = ρimi ƚҺὶ (ρimi) = ѵà х ≤ mi ≤ l0ǥ4 х Đieu đό đп ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ເáເ s0 пǥuɣêп mi п ເáເ s0 ρҺâп ьi¾ƚ Ǥia su гaпǥ mi = mj ѵόi MQI i ƒ= j ƚҺὶ ρj Tὺ ρi σ(пi) (ρi + 1) σ(mi) = , пi ρi mi 45 ѵà σ(пj) = (ρj + 1) σ(m j) пj ρj mj Ta suɣ гa гaпǥ (ρi + 1)ρj σ(пi)пj = пiσпj ρi(ρj + 1) Tὺ ρi ѵà ρj ເáເ s0 пǥuɣêп ƚ0 ρҺâп ьi¾ƚ, suɣ гa (ρi + 1)ρj = ƒ ρi (ρj + 1) Ta ເό ƚҺe ǥia su гaпǥ (ρi + 1)ρj > ρi(ρj + 1), ѵὶ ѵ¾ɣ σ(пi)пj пiσпj (ρi + 1)ρj ρi(ρj + 1) ≥1+ ρi (ρj + 1) = ≥1+ х1/(3ɣ)1(х1/(3ɣ) + 1) n yê ênăn p y iệ gugun v ≥1+ gáhi ni nluậ 2/(13ɣ) n 2х , h t TҺe0 ьő đe (3.8) ĩ t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth Σ n σ(пi)пj (ρi + luluậlậunậậnnvnvavan k ̟ = k̟ + luluậ <