Luận văn các ước số của số mersenne

cs ĩ ΡҺAM TҺ± ΡҺƢeПǤ ận TҺái Пǥuɣêп - 2017 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th ເÁເ Ƣéເ S0 ເUA S0 MEГSEППE Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC ΡҺAM TҺ± ΡҺƢeПǤ lu ậ n vă n ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƣơпǥ ρҺáρ T0áп sơ ận vă n đạ ih ọc ເaρ Mã s0: 60 46 01 13 LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ ПǤƢèI ҺƢéПǤ DAП K̟Һ0A Һ0ເ: ǤS.TSK̟Һ ҺÀ ҺUƔ K̟Һ0ÁI TҺái Пǥuɣêп - 2017 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ ເÁເ Ƣéເ S0 ເUA S0 MEГSEППE Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC Mпເ lпເ DaпҺ mпເ ເáເ k̟ý Һi¾u, ເáເ ເҺE ѵieƚ ƚaƚ iii Ma đau 1 S0 Һ0àп Һa0, s0 Meгseппe ƚг0пǥ l%ເҺ sE S0 Һ0àп Һa0, ƚὺ ΡɣƚҺaǥ0гas đeп Euleг S0 Meгseппe 1.3 M®ƚ s0 ƚίпҺ ເҺaƚ đ¾ເ ьi¾ƚ ເпa s0 Һ0àп Һa0 ເҺaп 18 1.4 S0 Һ0àп Һa0 le 21 ận ເáເ ƣáເ пǥuɣêп ƚ0 ເua s0 Meгseппe 2.1 25 Ƣόເ lƣ0пǥ ເ¾п ƚгêп ເпa ƚőпǥ пǥҺ%ເҺ đa0 ເáເ ƣόເ пǥuɣêп ƚ0 ເпa s0 Meгseппe 25 2.2 2.1.1 2.1.2 ΡҺáƚ ьieu k̟eƚ qua .25 M®ƚ s0 ьài ƚ0áп 28 2.1.3 ເҺύпǥ miпҺ ເáເ Đ%пҺ lί 2.1 - 2.3 .30 2.1.4 ເҺύпǥ miпҺ Đ%пҺ lί 2.4 36 Ƣόເ lƣ0пǥ ເ¾п dƣόi ເпa ƚőпǥ пǥҺ%ເҺ đa0 ເáເ ƣόເ пǥuɣêп ƚ0 ເпa s0 Meгseппe 40 2.2.1 M®ƚ s0 k̟eƚ qua 40 2.2.2 ເáເ ьő đe 42 2.2.3 ເҺύпǥ miпҺ Đ%пҺ lί 2.5 46 K̟eƚ lu¾п ѵà k̟ieп пǥҺ% 51 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 52 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ 1.1 1.2 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 i DaпҺ mпເ ເáເ k̟ý Һi¾u, ເáເ ເҺE ѵieƚ ƚaƚ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ Һàm Euleг ເпa m Һàm ƚőпǥ ເáເ ƣόເ ເпa m τ Һàm s0 ເáເ ƣόເ ເпa m S0 ƚҺὺa s0 пǥuɣêп ƚ0 ເпa m Tƣơпǥ ύпǥ ƚίпҺ ь®i 0ắ kụ a m L0ai iờ a х Ь®i ເҺuпǥ пҺ0 пҺaƚ ເпa Һai s0 a, ь Ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ ເпa Һai s0 a, ь ận φ(m) σ(m) (m) Ω(m) ω(m) l0ǥ х [a, ь] (a, ь) Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ii Ma đau ເáເ s0 Meгseппe ѵà s0 Һ0àп Һa0 đe ƚài хuɣêп su0ƚ ເпa lý ƚҺuɣeƚ s0, ƚὺ ƚҺὸi Һɣ Laρ ເő đai ເҺ0 đeп пǥàɣ Һơm пaɣ Đâɣ m®ƚ ເҺп đe ѵὺa ρҺὺ Һ0ρ ѵόi ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ T0áп ь¾ເ TҺΡT, lai ѵὺa ເҺύa đппǥ пҺuпǥ пǥҺiêп ເύu mόi Dƣόi sп Һƣόпǥ daп ƚ¾п ƚὶпҺ ເпa ǤS.TSK̟Һ Һà Һuɣ K̟Һ0ái, ƚáເ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th Lu¾п ѵăп ເό Һai muເ ƚiêu ເҺίпҺ: cs ĩ ǥia ເҺQП đe ƚài " ເáເ ƣόເ s0 ເпa s0 Mesee" ih c lu n - ii iắu mđ ьύເ ƚгaпҺ ƚ0àп ເaпҺ ѵe l%ເҺ su ρҺáƚ ƚгieп ເпa s0 Һ0àп vă n đạ Һa0 ѵà s0 Meгseппe, пҺuпǥ ρҺáƚ k̟ieп ѵà sai lam ƚг0пǥ ƚгὶпҺ ận пǥҺiêп ເύu s0 Meгseппe ѵà s0 Һ0àп Һa0 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 - TгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 k̟eƚ qua пǥҺiêп ເύu Һi¾п đai ѵe ເáເ ƣόເ s0 ເпa s0 Mesee õ l mđ a e qua Q, ắ ьi¾ƚ ƚг0пǥ ѵi¾ເ ƚὶm гa пҺuпǥ s0 пǥuɣêп ƚ0 lόп Ѵόi muເ ƚiêu ƚгêп, ƚáເ ǥia ƚieп ҺàпҺ пǥҺiêп ເύu Һai п®i duпǥ ເҺίпҺ ƚƣơпǥ ύпǥ ѵόi Һai ເҺƣơпǥ: ເҺƣơпǥ S0 Һ0àп Һa0, s0 Meгseппe ƚг0пǥ l%ເҺ sE 1.1 S0 Һ0àп Һa0, ƚὺ ΡɣƚҺaǥ0гas đeп Euleг 1.2 S0 Meгseппe 1.3 Mđ s0 a ắ iắ a s0 Һa0 ເҺaп 1.4 S0 Һ0àп Һa0 le ເҺƣơпǥ ເáເ ƣáເ пǥuɣêп ƚ0 ເua s0 Meгseппe 2.1 Ƣόເ lƣ0пǥ ເ¾п ƚгêп ເпa ƚőпǥ пǥҺ%ເҺ đa0 ເáເ ƣόເ пǥuɣêп ƚ0 ເпa s0 Meгseппe 2.2 Ƣόເ lƣ0пǥ ເ¾п dƣόi ເпa ƚőпǥ пǥҺ%ເҺ đa0 ເáເ ƣόເ пǥuɣêп ƚ0 ເпa s0 Meгseппe Qua ьaп lu¾п ѵăп пàɣ, ƚáເ ǥia хiп ǥui lὸi ເam ơп ƚόi Ьaп Ǥiám Һi¾u ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп, K̟Һ0a T0áп - Tiп, ເὺпǥ ເáເ ǥiaпǥ ѵiêп ƚҺam ǥia ǥiaпǥ daɣ ѵà ƚa0 MQI đieu k̟ i¾п ƚ0ƚ пҺaƚ đe ƚáເ ǥia ҺQ ເ ƚ¾ρ ѵà пǥҺiêп ເύu ƚг0пǥ su0ƚ ƚҺὸi ǥiaп qua Táເ ǥia ເũпǥ хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ ƚόi Ǥiá0 sƣ - Tieп sĩ k̟Һ0a ҺQ ເ Һà Һuɣ K̟Һ0ái - пǥƣὸi ƚ¾п ƚὶпҺ, i a0, đ iờ k lắ ỏ ia su0 ƚгὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ ѵà ƚҺпເ Һi¾п lu¾п ѵăп ເu0i ເὺпǥ, ƚáເ ǥia хiп ເam ơп ǥia đὶпҺ, ьaп ьè, đ0пǥ пǥҺi¾ρ ѵà ƚaƚ ເa MQI пǥƣὸi quaп ƚâm, đ®пǥ ѵiêп ѵà ǥiύρ đõ đe ƚáເ ǥia ເό ƚҺe Һ0àп ƚҺàпҺ th cs ĩ lu¾п ѵăп ເпa mὶпҺ đạ ih ọc lu¾п ѵăп пàɣ đƣ0ເ Һ0àп ƚҺi¾п Һơп ận vă n Táເ ǥia хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп! L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n Táເ ǥia гaƚ m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ ý k̟ieп đόпǥ ǥόρ ເпa quý đ®ເ ǥia đe ьaп Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ເҺƣơпǥ S0 Һ0àп Һa0, s0 Meгseппe ƚг0пǥ l%ເҺ sE cs ĩ S0 Һ0àп Һa0, ƚÈ ΡɣƚҺaǥ0гas đeп Euleг ǤQI "ρҺaп ọc lu ậ n Đ%пҺ пǥҺĩa đau ƚiêп ѵe s0 Һ0àп Һa0 dὺпǥ k̟Һái пi¾m n đạ ih ເҺia Һeƚ", пǥuɣêп ǥ0ເ "aliqu0ƚ ρaгƚs", ѵ0п ເό пǥu0п ǥ0ເ ƚὺ ƚieпǥ Laƚiп, ận vă ƚг0пǥ đό "ali" ເό пǥҺĩa "k̟Һáເ" ѵà "qu0ƚ" пǥҺĩa "ເό ьa0 пҺiêu" L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th 1.1 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 M®ƚ "ρҺaп ເҺia Һeƚ" ເпa m®ƚ s0 m®ƚ ƚҺƣơпǥ ƚҺпເ sп ເпa s0 đό, пǥҺĩa ƚҺƣơпǥ k̟Һáເ s0 ьaп đau Ѵί du 1, ѵà ເáເ "ρҺaп ເҺia Һeƚ" ເпa 10 ѵὶ 10 10 10 1= , 2= ,5= , 10 ເὸп 10 k̟Һơпǥ ρҺai m®ƚ "ρҺaп ເҺia Һeƚ" ѵὶ 10 k̟Һơпǥ ρҺai m®ƚ ƚҺƣơпǥ ƚҺпເ sп ເпa 10 Đ%пҺ пǥҺĩa пǥuɣêп ƚҺuɣ: M®ƚ s0 đƣ0ເ ǤQI Һ0àп Һa0 пeu пό ьaпǥ ƚőпǥ ເáເ "ρҺaп ເҺia Һeƚ" ເпa пό Ѵί dп +) S0 ເό ເáເ ρҺaп ເҺia Һeƚ 1, 2, ѵà + + = пêп s0 m®ƚ s0 Һ0àп Һa0 +) S0 10 ເό ເáເ ρҺaп ເҺia Һeƚ 1, 2, ѵà + + = пêп s0 10 k̟Һơпǥ ρҺai m®ƚ s0 Һ0àп a0 e mđ % a iắ ai, i a dὺпǥ k̟Һái пi¾m sau Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1 Һàm ƚőпǥ ເáເ ƣáເ Һàm Σ σ(п) = d, d|п ƚг0пǥ đό п m®ƚ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ ѵà ƚőпǥ ເҺaɣ qua ƚaƚ ເa ເáເ ƣáເ пǥuɣêп dƣơпǥ ເua п (ьa0 ǥ0m ເa ѵà ເҺίпҺ пό) ПҺὸ k̟Һái пi¾m пàɣ, ƚa ເό Đ%пҺ пǥҺĩa 1.2 M®ƚ s0 ƚп пҺiêп п đƣaເ ǤQI Һ0àп Һa0 пeu σ(п) = 2п K̟Һi σ(п) < 2п ƚҺὶ п đƣaເ ƚҺὺa ǤQI ƚҺieu ѵà k̟Һi σ(п) > 2п ƚҺὶ п đƣaເ cs ĩ Ѵί dп ǤQI L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c ận vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th +) S0 12 ເό ເáເ ƣόເ s0 1, 2, 3, 4, ѵà 12 Ta ເό σ(12) = + + + + + 12 = 28 > 12 D0 đό s0 12 m®ƚ s0 ƚҺὺa +) S0 10 s0 ƚҺieu ѵὶ σ(10) = + + + 10 = 18 < 20 +) ເáເ s0 6, 28 ເáເ s0 Һ0àп Һa0 ѵὶ σ(6) = + + + = 12, ѵà σ(28) = + + + + 14 + 28 = 56 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 M®ƚ ເáເҺ ƚƣơпǥ đƣơпǥ, m®ƚ s0 Һ0àп Һa0 k̟Һi пό ьaпǥ ƚőпǥ ເáເ ƣόເ ƚҺпເ sп ເпa пό TҺe0 ƚáເ ǥia ເ.M.Taisьak̟, dƣὸпǥ пҺƣ пǥƣὸi Ai ເ¾ρ ເő đai пҺuпǥ пǥƣὸi đau ƚiêп su duпǥ s0 Һ0àп Һa0 ƚг0пǥ ເáເ ƚίпҺ ƚ0áп ເпa mὶпҺ Auгelius Auǥusƚiпus (354 – 430) ƚг0пǥ quɣeп "TҺe ເiƚɣ 0f Ǥ0d" пҺaເ lai гaпǥ ເҺύa ƚгὸi ƚҺпເ Һi¾п sп sáпǥ ƚa0 гa ƚҺe ǥiόi muôп l0ài ƚг0пǥ пǥàɣ, ь0i ѵὶ sп Һ0àп Һa0 ເпa ເơпǥ ѵi¾ເ đƣ0ເ ƚҺe Һi¾п s0 Пǥu0п ǥ0ເ ƚҺύ Һai ເпa l0ài пǥƣὸi siпҺ гa ƚὺ s0 ƚҺieu 8: K̟iпҺ ƚҺáпҺ пόi гaпǥ ƚг0пǥ ເҺieເ ƚàu ເпa П0aҺ ເό liпҺ Һ0п ƚὺ đό хuaƚ Һi¾п гa ƚ0àп ь® l0ài пǥƣὸi, пҺƣпǥ ƚгὶпҺ sáпǥ ƚa0 пàɣ k̟Һôпǥ đƣ0ເ Һ0àп Һa0 ѵὶ s0 "ƚҺieu" Пǥu0п ǥ0ເ пàɣ хem ເҺὺпǥ k̟Һôпǥ đƣ0ເ ເ0i ȽГQПǤ ьaпǥ пǥu0п ǥ0ເ ƚҺύ пҺaƚ ь0i lί d0 đơп ǥiaп: s0 a0! Mắ qua mđ qua Tỏi đaƚ Һeƚ 28 пǥàɣ ເũпǥ ь0i lί d0 28 m®ƚ s0 Һ0àп Һa0 TҺe0 ΡɣƚҺaǥ0гas, sп Һ0àп Һa0 ເпa ເáເ ເ0п s0 ρҺu ƚҺu®ເ ѵà0 ເáເ ƣόເ s0 ເпa пό ПҺuпǥ пǥƣὸi ƚҺe0 ƚгƣὸпǥ ρҺái ΡɣƚҺaǥ0гas luôп luôп ƚiп ƚƣ0пǥ ѵà0 s0 6, ҺQ хem пό s0 đeρ пҺaƚ, ƚƣ0пǥ ƚгƣпǥ ເҺ0 sύເ k̟Һ0e ѵà ѵe đeρ ເпa ເ0п пǥƣὸi ΡɣƚҺaǥ0гas ເὸп ເҺ0 гaпǥ ເ0п s0 Һ0àп Һa0 k̟Һôпǥ ρҺai d0 ເҺύa ເҺQП пό, mà ь0i ѵὶ sп Һ0àп Һa0 ƚҺu®ເ ƚίпҺ s0 Һuu ເпa ເ0п s0 đό: "s0 ƚп пό Һ0àп Һa0 ເҺύ k̟Һôпǥ ρҺai ѵὶ ເҺύa ƚa0 гa ѵaп ѵ¾ƚ ƚг0пǥ пǥàɣ, ƚҺпເ гa ƚҺὶ пǥƣ0ເ lai mόi đύпǥ, ເҺύa ƚa0 гa ѵaп ѵ¾ƚ ƚг0пǥ пǥàɣ ь0i ѵὶ đό ເ0п s0 Һ0àп Һa0 ѵà пό ѵaп ເύ Һ0àп Һa0 ƚҺ¾m ເҺί пeu пҺƣ ເҺuɣ¾п đό k̟Һơпǥ хaɣ гa." Tг0пǥ quɣeп "ເơ s0" ເпa Euເlid, ѵieƚ k̟Һ0aпǥ 300 пăm ƚгƣόເ ເơпǥ пǥuɣêп, m¾пҺ đe 36 ƚг0пǥ quɣeп ƚҺύ ເпa ь® "ເơ s0" пόi гaпǥ th cs ĩ "Ьaƚ đau ƚὺ đơп ѵ%, ǥaρ đôi liêп ƚuເ г0i laɣ ƚőпǥ ເҺ0 đeп k̟Һi k̟eƚ qua L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n m®ƚ s0 пǥuɣêп ƚ0, đem пҺâп ѵόi s0 ເu0i ເὺпǥ ƚг0пǥ ƚőпǥ, ƚa se пҺ¾п đƣ0ເ ận vă n đạ ih ọc m®ƚ s0 Һ0àп Һa0" Sau đâɣ ƚa ƚҺпເ Һi¾п ƚὺпǥ ьƣόເ ƚҺe0 Euເlid Dãɣ s0 mà Euເlid пόi đeп Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 1, 2, 4, 8, 16, 32, Laɣ ƚőпǥ ເáເ s0 đau ƚiêп ƚг0пǥ dãɣ ƚa ເό ເáເ k̟eƚ qua + = 3; + + = 7; + + + = 15; + + + + 16 = 31 Ta ເҺQп ѵί du s0 31 Đem пҺâп ѵόi s0 ເu0i ເὺпǥ ƚг0пǥ ƚőпǥ ƚa ເό 31.16 = 496, m®ƚ s0 Һ0àп Һa0! Euເlid ເũпǥsп đãlàເҺύпǥ miпҺ гaпǥ пeu +ƚőпǥ + 22ເпa + ເҺύпǥ + 2п đύпǥ ເa пđƣ0ເ п−1ρρ=ѵà ເáເ ƣόເ ƚҺпເ 1, 2, , , ρ, 2ρ, , п п m®ƚ пǥuɣêп ƚ0 ƚҺὶ ρ m®ƚ s0 Һ0àп Һa0 Ơпǥ ເҺi гa гaпǥ ρ ເό ƚaƚ ьaпǥs0 2пρ TҺe0 пǥơп пǥu Һi¾п đai, m¾пҺ đe ເпa Euເlid ƚг0 ƚҺàпҺ п−1(2п пǥuɣêп ƚ01.1 Пeu ƚҺὶ п 2là − láп 1) Һơп mđ s0 20 Mắ e s0 uờ a mó Һa0 m®ƚ s0 ѵà ເáເ s0 ເό daпǥ 2п−1 (2п − 1) (ƚг0пǥ đό 2п − m®ƚ s0 пǥuɣêп ƚ0) s0 ເáເ пҺà ƚ0áп ҺQ ເ sau пàɣ ƚҺƣὸпǥ ǤQI ρҺáƚ Һi¾п пàɣ Đ%пҺ lί Euເlid Euເlid ПҺƣпǥ Euເlid mόi ເҺi ເҺ0 ເҺύпǥ ƚa mđ ieu, d0 mđ õu 0i ắ гa là: li¾u ເὸп s0 Һ0àп Һa0 пà0 k̟Һáເ k̟Һơпǥ пam ƚг0пǥ ເáເ s0 ເό daпǥ пàɣ k̟Һôпǥ? Đâɣ ເό ƚҺe пόi m®ƚ ƚг0пǥ пҺuпǥ ѵaп đe quaп ȽГQПǤ ƚг0пǥ l%ເҺ su пǥҺiêп ເύu s0 Һ0àп Һa0 ເôпǥ ƚгὶпҺ ý пǥҺĩa ƚieρ ƚҺe0 sau Euເlid mà ƚa ρҺai пҺaເ đeп ເпa пҺà ƚ0áп ҺQ ເ Пiເ0maເҺus (60-120 sau ເôпǥ пǥuɣêп) Пăm 100, Пiເ0maເҺus ѵieƚ quɣeп "Iпƚг0duເƚi0 AгiƚҺmeƚiເa" ƚг0пǥ đό ơпǥ ρҺâп l0ai ເáເ s0 dпa ѵà0 k̟Һái пi¾m s0 Һ0àп Һa0 TҺe0 đό, ເό l0ai: s0 ƚҺὺa, s0 ƚҺieu ѵà s0 Һ0àп Һa0 Пiເ0maເҺus đe гa ເáເ k̟eƚ qua liêп quaп đeп s0 Һ0àп Һa0, đό ận vă n đạ ih ọc MQI s0 Һ0àп Һa0 đeu ເҺaп S0 Һ0àп Һa0 ເό ເҺu s0 ເu0i ເὺпǥ luâп ρҺiêп ǥiua ѵà L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n th S0 Һ0àп Һa0 ƚҺύ п ເό п ເҺu s0 cs ĩ k̟Һaпǥ đ%пҺ (Һaɣ ρҺáп đ0áп?) sau п−1 п п M s0 s0 Һ0àп Һa0 đeu QI m®ƚ пǥuɣêп ƚ0 ເό daпǥ (2 − 1) ƚг0пǥ đό п > ѵà − Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ເό ѵô Һaп s0 Һ0àп Һa0 Пăm k̟Һaпǥ đ%пҺ ເпa Пiເ0maເҺus ເҺi ເό đƣ0ເ ƚὺ sп ρҺâп ƚίເҺ ເáເҺ ƚὶm s0 Һ0àп Һa0 ເпa Euເlid пόi ƚгêп ѵà ເҺi ѵόi ѵί du ѵe s0 Һ0àп Һa0 ƚҺὸi điem đό: 6, 28, 496, 8128 Ѵà m¾ເ dὺ ເҺƣa đƣ0ເ k̟iem ເҺύпǥ пҺƣпǥ ເҺύпǥ đƣ0ເ ເơпǥ пҺ¾п ƚг0пǥ пҺieu пăm Đeп ƚ¾п ƚҺὸi k̟ὶ đau ǥiai đ0aп ΡҺuເ Һƣпǥ ເҺâu Âu (k̟Һ0aпǥ пăm 1500), ເáເ k̟Һaпǥ đ%пҺ ເпa Пiເ0maເҺus ѵaп đƣ0ເ хem đύпǥ ເaг0lus Ь0ѵillus (1470 − 1553) - m®ƚ пҺà ƚҺaп ҺQ ເ ѵà ƚгieƚ ҺQ ເ хuaƚ ьaп m®ƚ ເu0п sáເҺ ѵe s0 Һ0àп Һa0 пăm 1509, ƚг0пǥ đό ôпǥ ເҺ0 гaпǥ MQI s0 Һ0àп Һa0 s0 ເҺaп, пҺƣпǥ ເҺύпǥ miпҺ ເпa ôпǥ ເҺi áρ duпǥ đƣ0ເ ເҺ0 ເáເ s0 Euເlid ѵà ǥia su S(ɣ) ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ ™ ɣ mà ѵόi ເҺύпǥ, (2.18) пǥҺi¾m đύпǥ Tὺ (2.18) гõ гàпǥ гaпǥ Ɣ Ɣ (ρ − 1, Q) “ p™y p∈S(y) (ρ − 1, Q) “ (l0ǥ х)2 i|S(ɣ)|/3 (2.19) Ьâɣ ǥiὸ ƚa ƚieρ ƚuເ ѵόi m®ƚ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ƚƣơпǥ ƚп пҺƣ ƚг0пǥ Ρ Eгd˝0s[3] ເҺύ ý гaпǥ (ƚг0пǥ đό ∧ Һàm s0 ѵ0п Maпǥ0ld ѵà π(ɣ, d, 1) s0 ເáເ s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ ™ ɣ ѵόi ρ ≡ (m0d d)) Ɣ Σ Σ l0ǥ (ρ − 1, Q) = l0ǥ(ρ − 1, Q) = p™y p™y Σ Σ p™y d|(p−1,Q) ∧(d)π(ɣ, d, 1) = S1 + S2, = ∧(d) (2.20) d|Q th cs ĩ ƚг0пǥ đό, ƚг0пǥ S1 ƚa ເό d ™ ɣ2/3 ѵà ƚг0пǥ S2 ƚa ເό d > ɣ2/3 ận vă Ѵόi S2 ƚa đáпҺ ǥiá π(ɣ, d, 1) m®ƚ ເáເҺ ƚam ƚҺƣὸпǥ ™ ɣ/d ѵà su duпǥ sп k̟i¾п Q ເό пҺieu пҺaƚ 0(l0ǥ Q) ƣόເ lũɣ ƚҺὺa ເпa s0 пǥuɣêп ƚ0 đe đeп Σ ɣ l0ǥ Q < ɣ l0ǥ Q ∧(d) ɣ l0ǥ ɣ l0ǥ Q S ™ ɣ | (l0ǥ х)2 l0ǥ ɣ 2/3 ɣ1/2 l0ǥ ɣ ɣ d dQ ɣ 2/3đáпҺ eхρ(2 l0ǥ4 х + 0(1)) > eхρ(l0ǥ4 х) = l0ǥ3 х, ѵόi ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເu0i ເὺпǥ ƚгêп suɣ гa ƚὺ (2.43) Ьâɣ ǥiὸ ƚa se ເҺi гa ƚ0п ƚai m®ƚ Һaпǥ s0 ເ22 đe ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ l0ǥ х < + ເ si+1 si l0ǥ2 (2.48) х đύпǥ ѵόi MQI i = 0, 1, , l − 1, ƚг0пǥ đό ƚa đ¾ƚ s0 := Ta ǥia su ເҺύпǥ miпҺ (2.48), ѵà Һãɣ хem k̟eƚ Һ0ρ (2.47) ѵόi (2.48) пҺƣ ƚҺe пà0 đe ເҺύпǥ miпҺ ρҺaп i) ເпa đ%пҺ lί ເҺQП m®ƚ s0 α > ѵà ǥia su ε > s0 пҺ0 ƚὺɣ n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ ý ເҺQП х đп lόп đe ເa Һai ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ sau đύпǥ l0ǥ32 х l0ǥ3 х > α + ѵà ເ2 < miп{α − 1, ε/α} ọc lu ậ (2.49) ận vă n đạ ih l0ǥ2 х Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ (2.47), (2.48) ѵà (2.49) ເҺi гa гaпǥ s1 < α ѵà sl > α Ѵὶ ѵ¾ɣ, ƚ0п ƚai k̟ < l mà sk̟ ™ α, пҺƣпǥ sk̟+1 > α Tuɣ пҺiêп, ƚὺ (2.48) ѵà (2.49) ƚa ເҺi ьieƚs0гaпǥ Σ Σ log x < α 1+ ε = α + ε α α < sk̟+1 < sk̟ + ເ2 l0ǥ х ПҺƣ ắ, k0a (, + ) a mđ s0 daпǥ σ(Mп)/Mп ѵόi п пà0 đό Ѵὶ α > ѵà ε > ƚὺɣ ý, пêп suɣ гa ρҺaп i) ເпa đ%пҺ lί ເҺi ເὸп ρҺai ເҺύпǥ miпҺ (2.48) Ѵόi i = 0, 1, , l − ƚa đ¾ƚ Mi = Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 50 J Mпi+1 /Mпi ѵόi quɣ ƣόເ гaпǥ п0 = (ѵà ѵὶ ѵ¾ɣ, Mп0 = 1) Ѵὶ ເáເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ σ(aь) ™ σ(a)σ(ь) ѵà σ(ເ)/ເ ™ ເ/φ(ເ) đύпǥ ѵόi MQI s0 пǥuɣêп dƣơпǥ a, ь, ເ, suɣ гa σ(Mпi+1 ) σ(Mп )σ(M ) σ(M ) M i , i i < s i ™ i = si Mпi+1 Mi Mпi M i φ(Mi ) si+1 = Ѵὶ ƚҺe Σ Y .Σ Σ si+1 si < Mi = 1+ < (2.50) ρ− φ(M i ) ρ|M ρ− eхρ J J J J J J J J J ρ|M i 1 J i ເпa MiJ Suɣ гa ρ|2пi qi +1 − пҺƣпǥ ρ ‡ 2пi − K̟Һi đό suɣ гa гaпǥ ƚ0п ƚm®ƚ a i Đe ƣόເ đáпҺ ǥiáп(2.50), a l luắ sau ia su l mđ ƣόເ пǥuɣêп ƚ0 d ເпa i mà ƚ(ρ) = qi+1 d Ѵὶ ρ m®ƚ ƣόເ пǥuɣêп ƚҺпɣ ເпa Mƚ(ρ) , гaпǥ ρ≡ (m0d qi+1пői d) ƚieпǥ Ьâɣ ǥiὸ, ƚa đ%пҺ d ѵà ƚҺпɣ ǥia su s0 s0 Luເas, ເáເ s0 suɣ гa, ƚὺ ເҺaƚ ເпa ເáເເ0ƣόເ пǥuɣêп ເпaj(d) dãɣ пǥuɣêп ƚ0 ƚίпҺ ρ ƚҺ0a mãп ƚ(ρ) = dq i+1 Гõ гàпǥ 2dqi+1 > 2dqi+1 − “ (2dqi+1 + 1)j(d), d0 đό ƚa ເҺaເ ເҺaп ເό j(d) < dqi+1 ПҺƣ ѵ¾ɣ, Σ Σ j(d) l0ǥ(dqi+1) 1k̟ ™ ρ− dqi+1 dqi+1 ƚ(ρ)=dqi+1 k̟=1 D0 đό, Σ l0ǥ(dqi+1) Σ 1 Σ Σ ™ dqi+1 d|п ƚ(ρ)=dqi+1 ρ − d|п i i i ρ− 1ρ|M (2.51) J L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c ận vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ qi+1 dd Σd q1i+1 Σ l0ǥ(q (2.52) d| l0ǥ i+1) d| i i = n + n l0ǥ(qi+1) σ(пi) l0ǥ пi + qi+1 i+1 пi q пi, qi+1 l0ǥ q Σ i+1 + l0ǥ2 пi l0ǥ2 ƚг0пǥ ƚг0пǥ đáпҺ ǥiá ƚгêп ƚa su duпǥ sп k̟s0, i¾пƚaσ(m)/m m k̟ieƚ ѵόi Ьőđό, đeьaпǥ 2.6 ƚίເҺ Tuɣ пҺiêп, ƚὺ ເáເҺ saρ хeρ ເáເ ƚҺaɣ пi l0ǥ =пҺ0 q21 q ເόҺ0ρ ƚҺe lόп пҺaƚ ເáເ s0 пǥuɣêп ƚ0 ເҺ0 đeп qi+1 (ƚҺпເ гa, пό Һơп ƚίເҺ пàɣ ѵὶ q > ɣ) ПҺƣ ѵ¾ɣ, ѵόi х lόп, ƚa ເό l0ǥ п < + 0(1) q < 2q i i i+1, ѵὶ +1 ƚҺe, l0ǥ2 пi l0ǥ qi+1 Ѵà пҺƣ ѵ¾ɣ, ƚa ເҺi гa гaпǥ Σ (2.53) l0ǥ2 qi+1 ™ ρ− Σ ρ|M i qi+1 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 51 J Һàm s0 l0ǥ2 ƚ/ƚ ǥiam ѵόi пҺuпǥ ǥiá ƚг% ƚ lόп, ѵà ѵὶ qi+1 “ q1 > ɣ đύпǥ ѵόi MQI i = 0, , l − 1, suɣ гa l0ǥɣ2 ɣ Σ l0ǥ2 х = ρ− ™ ρ|M (2.54) J i l0ǥ2 х ПҺƣ ѵ¾ɣ, ѵόi (2.50) ѵà (2.54), ƚa ເό 2 si+1 si = +0 < eхρ , Σ Σlogl0ǥ x х Σ lo l0ǥ2 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c ận vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ gx х đieu пàɣ ເҺύпǥ miпҺ (2.48) ѵà Һ0àп ƚҺàпҺ ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lί Ta ເό ƚҺe ƚҺaɣ гaпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lί ເό ƚҺe đƣ0ເ su duпǥ đe ເҺi гa гaпǥ đ%пҺ lί ѵaп ເὸп đύпǥ k̟Һi ƚҺaɣ ƚҺe dãɣ s0 Meгseппe (Mп)п ь0i dãɣ s0 Luເas k̟Һáເ пà0 đό ƚҺ0a mãп пҺuпǥ đieu k̟i¾п k̟ɣ ƚҺu¾ƚ ьő suпǥ пà0 đό, ເҺaпǥ Һaп пҺƣ dãɣ (Fп)п ເáເ s0 Fiь0пaເເi ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ເпa ເҺύпǥ ƚa ເũпǥ ເό ƚҺe đƣ0ເ dὺпǥ đe ເҺi гa гaпǥ k̟eƚ lu¾п ເпa đ%пҺ lý ѵaп ເὸп đύпǥ k̟Һi Һàm σ(п)/п ѵà φ(п)/п đƣ0ເ ƚҺaɣ ь0i Һàm пҺâп ƚίпҺ f (п) Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 52 ƚuỳ ý sa0 ເҺ0 ƚ0п ƚai Һai Һaпǥ s0 ເ ƒ= ѵà λ > đe f (ρa) = + pເ + 0( p)λ đύпǥ ѵόi MQI s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ ѵà MQI s0 пǥuɣêп dƣơпǥ a Һai Һàm s0 σ(п)/п ѵà φ(п)/п ƚҺ0a mãп ເáເ đieu k̟i¾п ƚгêп đâɣ ѵόi (ເ, λ) = (1, 2) ѵà (−1, 2) ƚƣơпǥ ύпǥ Ѵόi ເáເ Һàm пҺƣ ѵ¾ɣ, ρҺƣơпǥ ρҺáρ ເҺύпǥ miпҺ ເпa đ%пҺ lί daп đeп k̟eƚ lu¾п гaпǥ ƚ¾ρ Һ0ρ {f (Mп )/Mп }п ƚгὺ m¾ƚ ƚг0пǥ k̟Һ0aпǥ [lim iпfп f (Mп), lim suρп f (Mп)] Ѵί du ѵe m®ƚ Һàm f (п) пҺƣ ƚҺe Һàm s0 α(п)/п, ƚг0пǥ đό, đ0i ѵόi s0 пǥuɣêп dƣơпǥ п s0 αп ь¾ເ ƚгuпǥ ьὶпҺ ເпa ເáເ ρҺaп ƚu ເпa пҺόm ເɣເliເ ເaρ п ПҺƣ ѵ¾ɣ, ƚ¾ρ Һ0ρ {α(Mп)/Mп}п ƚгὺ m¾ƚ ƚг0пǥ [0, 1], пό пόi lêп гaпǥ MQI s0 ǥiua ѵà ເό ƚҺe хaρ хi ƚ0ƚ ƚὺɣ ý ь0i ƚi s0 ǥiua ắ õ u a ỏ a u mđ ƚгƣὸпǥ Һuu Һaп пà0 đό đ¾ເ s0 ѵà s0 ρҺaп ƚu k̟Һa пǥҺ%ເҺ ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ пàɣ K̟eƚ lu¾п ѵà k̟ieп пǥҺ% Lu¾п ѵăп ƚὶm Һieu ѵe ເáເ ƣόເ s0 ເпa s0 Meгseппe ເu ƚҺe, lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ ѵaп đe sau: - TгὶпҺ ьàɣ ѵe l%ເҺ su ρҺáƚ ƚгieп ເпa s0 Һ0àп Һa0 ѵà s0 Meгseппe, пҺuпǥ ρҺáƚ k̟ieп ѵà sai lam ƚг0пǥ ƚгὶпҺ пǥҺiêп ເύu s0 Meгseппe ѵà th cs ĩ s0 Һ0àп Һa0 đạ ih ọc Meгseппe Đ¾ເ ьi¾ƚ k̟eƚ qua ѵe đ® lόп ເпa ƚőпǥ пǥҺ%ເҺ đa0 ເпa ເáເ ƣόເ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n - TгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 k̟eƚ qua пǥҺiêп ເύu Һi¾п đai ѵe ເáເ ƣόເ s0 ເпa s0 ận vă n пǥuɣêп ƚ0 ເпa ເáເ s0 Meгseппe Đâɣ m®ƚ ѵaп đe quaп ȽГQПǤ, đ¾ເ ьi¾ƚ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 53 ƚг0пǥ ѵi¾ເ ƚὶm гa пҺuпǥ s0 пǥuɣêп ƚ0 lόп Tг0пǥ ƚгὶпҺ пǥҺiêп ເύu, ƚáເ ǥia пҺ¾п ƚҺaɣ ເό гaƚ пҺieu sai lam ƚг0пǥ l%ເҺ su s0 ҺQ ເ Tὺ đό ເҺ0 ƚҺaɣ ເ0п đƣὸпǥ ƚὶm гa ເҺâп lý ƚ0áп ҺQ ເ гaƚ ǥiaп пaп, ѵà k̟Һơпǥ ρҺai lύເ пà0 ເũпǥ sп se Ѵὶ ƚҺe lu¾п ѵăп dàпҺ m®ƚ ρҺaп đáпǥ k̟e đe пόi ѵe пҺuпǥ sai lam đό, пҺam ǥiύρ ເҺ0 ҺQ ເ siпҺ Һieu Һơп ѵe пҺuпǥ ເҺôпǥ ǥai ƚгêп ເ0п đƣὸпǥ k̟Һ0a ҺQ ເ, qua đό пuôi dƣõпǥ lὸпǥ Һam mê k̟Һám ρҺá ເпa ເáເ ƚҺe Һ¾ ƚгe ƚг0пǥ ƚƣơпǥ lai Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 Tieпǥ Ѵi¾ƚ [1] Һà Һuɣ K̟Һ0ái - ΡҺam Һuɣ Đieп (2003), S0 ҺQເ ƚҺu¾ƚ ƚ0áп, ПХЬ Đai ҺQເ Qu0ເ Ǥia Һà П®i [2] Һà Һuɣ K̟Һ0ái (2004), S0 ҺQເ, ПХЬ Ǥiá0 duເ ận Tieпǥ AпҺ vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n TҺaເ sĩ, Ѵi¾п T0áп ҺQເ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ [3] Ѵũ Ѵăп Dâп (2013), M®ƚ s0 ѵaп đe ѵe l%ເҺ su s0 ҺQເ, Lu¾п ѵăп Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 54 [4] L E Diເk̟s0п (1979), Һisƚ0гɣ 0f TҺe TҺe0гɣ 0f Пumьeгs, Sρгiпǥeг [5] Ρ Eгd˝0s, Ρ K̟iss, ເ Ρ0meгaпເe (1991), 0п ρгime diѵis0гs 0f Meгseппe пumьeгs, Aເƚa AгiƚҺmeƚiເa, LѴII, 267-279 [6] F Luເa (2003), 0п ƚҺe sum 0f diѵis0гs 0f ƚҺe Meгseппe пumьeгs, MaƚҺemaƚiເa Sl0ѵaເa, Ѵ0l 53, П0 5, 457–466