Lũy thừa hình thức của các idean đơn thức tt

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC TRƯƠNG THỊ HIỀN LŨY THỪA HÌNH THỨC CỦA CÁC IĐÊAN ĐƠN THỨC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 46 01 04 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2023 Mở đầu Cho R = k[x1 , , xr ] vành đa thức r biến x1 , , xr trường k I iđêan R Đối tượng nghiên cứu luận án số quy Castelnouvo-Mumford (gọi tắt số quy) iđêan, ký hiệu reg(I) Đối với lũy thừa thường iđêan I, hàm reg(I n ) không tuân theo quy luật n nhỏ Tuy nhiên, dựa tính chất phân bậc chuẩn đại số Rees I Cutkosky, Herzog, N V Trung [9] độc lập với Kodiyalam [33] chứng minh reg(I n ) hàm tuyến tính n đủ lớn Điều có nghĩa là, tồn số nguyên không âm d, b n0 cho reg(I n ) = dn + b với n > n0 Trong hệ số d mơ tả cách rõ ràng (xem [33], [46]), thơng tin b n0 cịn Hơn nữa, hai câu hỏi tự nhiên đặt (xem [9], [33], [14]): Đặc trưng số b? Tìm chặn tốt cho n0 ? Khi chuyển sang lũy thừa hình thức iđêan dáng điệu hàm số quy trở nên phức tạp Nhắc lại rằng, lũy thừa hình thức thứ n I định nghĩa I (n) = \ I n Rp ∩ R p∈Min(R/I) Nói cách khác, lũy thừa hình thức thứ n I giao thành phần nguyên sơ I n liên kết với iđêan nguyên tố tối tiểu I Lý cho phức tạp đại số Rees hình thức, định nghĩa Rs (I) = R ⊕ I (1) ⊕ I (2) ⊕ · · · , không đại số hữu hạn sinh trường k trường hợp tổng quát Cho đến thời điểm tại, chưa có ví dụ iđêan I vành đa thức mà limn→∞ reg I (n) /n không tồn Từ câu hỏi tự nhiên đặt liệu giới hạn limn→∞ reg I (n) /n có tồn với iđêan I vành đa thức (Herzog, L T Hoa, N V Trung [25, Câu hỏi 2])? Đối với trường hợp I iđêan đơn thức, theo kết Herzog, Hibi N V Trung [23] đại số Rees hình thức hữu hạn sinh khơng thiết phân bậc chuẩn, hàm số quy lũy thừa hình thức iđêan đơn thức I hàm tựa tuyến tính n đủ lớn Nhắc lại, hàm f : N → Q ∪{−∞} gọi tựa tuyến tính tồn số nguyên dương N số ∈ Q ∪{−∞}, bi ∈ Q, với i = 0, , N − 1, cho f (n) = n + bi , với n ∈ N, n ≡ i (mod N ) Số N nhỏ thỏa mãn điều kiện gọi chu kì hàm f Ta thấy rằng, hàm số quy reg I (n) iđêan đơn thức I hàm tựa tuyến tính n đủ lớn, hệ số đầu khơng thiết Hay nói cách khác, giới hạn limn→∞ reg I (n) /n chưa hẳn tồn Do đó, chúng tơi nghiên cứu tốn thứ luận án sau Bài toán Cho I iđêan đơn thức R Tồn hay không reg(I (n) ) ? giới hạn lim n→∞ n Trong trường hợp I iđêan đơn thức không chứa bình phương, tác giả L T Hoa, T N Trung [30, Định lý 4.9], chứng minh tồn giới hạn limn→∞ reg(I (n) )/n Kết luận án mở rộng điều trường hợp I iđêan đơn thức Cơng cụ để chúng tơi giải tốn thứ xuất phát từ lý thuyết đa diện lồi Giả sử I có phân tích ngun sơ thu gọn I = Q1 ∩ · · · ∩ Qs ∩ Qs+1 ∩ · · · ∩ Qt , Q1 , , Qs iđêan nguyên sơ liên kết với iđêan nguyên tố tối tiểu I (tức là, Qs+1 , , Qt thành phần nguyên sơ nhúng) Ta định nghĩa đa diện lồi liên kết với I sau: SP(I) = N P (Q1 ) ∩ · · · ∩ N P (Qs ) ⊂ Rr , N P (Qi ) đa diện Newton Qi Khi đó, SP(I) đa diện lồi Rr Với vectơ v = (v1 , , vr ) ∈ Rr , ký hiệu |v| = v1 +· · ·+vr Đặt δ(I) = max{|v| | v đỉnh SP(I)} Từ đó, thu kết sau (xem Định lý 2.5, Định lý 2.7): Với iđêan đơn thức I, reg(I (n) ) d(I (n) ) = lim = δ(I) lim n→∞ n→∞ n n Với kết thu được, câu hỏi đặt liệu reg I (n) có phải hàm tuyến tính hay khơng? Tuy nhiên điều không trường hợp I iđêan đơn thức khơng chứa bình phương (Ví dụ 2.16) Như thấy rằng, nhìn chung reg I (n) khơng hàm tuyến tính iđêan đơn thức I Do đó, tốn chúng tơi nghiên cứu sau Bài tốn Cho I iđêan đơn thức Tìm chặn tốt cho reg(I (n) ) theo n Trong trường hợp I iđêan đơn thức khơng chứa bình phương, theo tác giả L T Hoa T N Trung (xem [30, Định lý 4.9]), ta có reg(I (n) ) < δ(I)n + dim(R/I) + với n > Gần đây, tốn có nhiều kết nghiên cứu loại iđêan đặc biệt hơn, iđêan cạnh đồ thị G, ký hiệu I(G) Một số kết kể đến như: Gu, Hà, O’Rourke Skelton [19] xét trường hợp iđêan cạnh chu trình lẻ I = I(C2s+1 ) reg(I (n) ) = reg(I n ) với n > 1, reg(I (n) ) = (n+1) ) max{reg(I(G)) + 2n + b 2s+1 c − 1; theo Fakhari [17], ta có reg(I(G) 2n, reg(I(G)(n+1) + I(G)n )} trường hợp G đồ thị khơng có chu trình lẻ có độ dài bé 2k − reg(I(G)(n) ) 2n + reg(I(G)) − với n k + Nghiên cứu toán trên, chúng tơi sử dụng cơng thức Takayama để tính môđun đối đồng điều địa phương lũy thừa hình thức iđêan đơn thức Từ chuyển việc nghiên cứu điểm nguyên đa diện lồi Rr theo lý thuyết đa diện lồi Kết thu chặn tốt cho hàm reg(I (n) ) theo n trường hợp iđêan đơn thức khơng chứa bình phương theo liệu tổ hợp từ phức đơn hình siêu đồ thị liên kết với iđêan (Định lý 3.7 Định lý 3.12) Hơn nữa, chặn đạt dấu nhiều lớp iđêan (Ví dụ 3.13) Cuối cùng, chúng tơi nghiên cứu toán sau Bài toán Cho I iđêan đơn thức Tìm chặn cho b reg-stab(I) Chú ý rằng, reg-stab(I) số ổn định hàm số quy iđêan I định nghĩa sau: reg-stab(I) = min{n0 | reg I n = dn + b, với n > n0 } Khi I iđêan đơn thức bất kỳ, theo L T Hoa [29, Định lý 2.8], trường hợp xấu hệ số b reg-stab(I) bị chặn hàm mũ bậc sinh iđêan với số mũ khoảng số biến Đây lý việc nghiên cứu hệ số b reg-stab(I) trường hợp tổng quát khó khăn Gần đây, tốn nghiên cứu nhiều khó để có thơng tin cho lớp iđêan tổng quát việc nghiên cứu chủ yếu thực cho iđêan cạnh đồ thị Một số kết kể đến như: Beyarslan, H`a T N Trung [5] chứng minh G rừng reg(I n ) = 2n + ν(G) − với n > 1, ν(G) số ghép cặp cảm sinh đồ thị G; Công thức trường hợp G đồ thị Cameron-Walker (xem [3]); Alilooee, Beyarslan Selvaraja [1] chứng minh với đồ thị unicyclic (mà khơng phải chu trình) ta ln có reg(I n ) = 2n + reg(I) − với n > Trong trường hợp I = J(G) iđêan phủ đồ thị, theo kết N T Hang T N Trung [22] nghiên cứu lớp đồ thị hai phần G, tồn số nguyên không âm b |V (G)| − d(J(G)) − cho reg(J(G)n ) = d(J(G))n+b với n > |V (G)|+2, tức reg-stab(J(G)) |V (G)| + Tuy nhiên, tiến hành tìm trường hợp xảy dấu nhận thấy tất reg-stab(J(G)) nhận giá trị nhỏ |V (G)| + Do đó, mục tiêu làm giảm chặn reg-stab(I) trường hợp Chú ý rằng, trường hợp đồ thị hai phần lũy thừa thường lũy thừa hình thức trùng Do đó, chúng tơi sử dụng kĩ thuật dùng hai toán nêu để giải toán lớp iđêan I = J(G) iđêan phủ đồ thị hai phần G, kết thu cải tiến chặn reg-stab(I) [22] (Định lý 4.6) Tiếp theo, chúng tơi giới thiệu cấu trúc luận án Ngồi bảng ký hiệu, mục lục, phần mở đầu, phần kết luận, bảng thuật ngữ, luận án chia thành bốn chương Chương 1, chúng tơi giới thiệu số kiến thức sở cần thiết cho toàn luận án Chương gồm mục Mục 1.1, chúng tơi trình bày hai cách định nghĩa số quy Castelnuovo-Mumford Mục 1.2, nêu sơ lược phức đơn hình, iđêan Stanley-Reisner đối ngẫu Alexander Mục 1.3, giới thiệu công thức Hochster công thức Takayama Mục 1.4, chúng tơi trình bày sơ lược số kiến thức lý thuyết đồ thị đồ thị đơn, ghép cặp đồ thị, siêu đồ thị Mục 1.5, chúng tơi nói tập lồi đa diện số đa diện lồi Chương 2, chúng tơi trình bày dáng điệu tiệm cận hàm số quy lũy thừa hình thức iđêan đơn thức Mục 2.1, nghiên cứu hàm bậc sinh (hàm bậc lớn phần tử hệ sinh tối tiểu nhất) Mục 2.2, nghiên cứu hàm số quy Chúng tơi với iđêan đơn thức I d(I (n) ) reg(I (n) ) lim hai giới hạn tồn giới hạn lim n→∞ n→∞ n n Đồng thời, mô tả giới hạn chung theo đa diện liên kết với iđêan I (Định lý 2.5 Định lý 2.7) Mục 2.3, chúng tơi nghiên cứu lũy thừa hình thức iđêan phủ đồ thị đưa ví dụ đồ thị mà reg(J(G)(n) ) không hàm tuyến tính n đủ lớn (Ví dụ 2.16) Chương 3, xây dựng chặn cho số quy lũy thừa hình thức iđêan đơn thức khơng chứa bình phương Cụ thể mục 3.1, chúng tơi thu chặn cho số quy lũy thừa hình thức iđêan Stanley-Reisner (Định lý 3.7) Đây chặn xảy dấu nhiều lớp iđêan (Ví dụ 3.13) Đồng thời, chúng tơi mở rộng kết trường hợp siêu đồ thị (Định lý 3.12) Cuối cùng, mục 3.2 áp dụng chặn xây dựng mục 3.1 cho trường hợp iđêan cạnh đồ thị G (Định lý 3.18) Chương 4, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định số quy iđêan phủ lớp đồ thị hai phần Với G đồ thị hai phần J(G) iđêan phủ đồ thị, đưa chặn cho số ổn định reg-stab(J(G)) (Định lý 4.6) Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương nhắc lại số kiến thức sở số quy, phức đơn hình, iđêan Stanley-Reisner lý thuyết đồ thị nhằm giúp cho việc trình bày chương sau rõ ràng có hệ thống Đồng thời nhắc lại số kiến thức đa diện lồi, công thức Hochster công thức Takayama Đây công cụ chủ yếu mà chúng tơi dùng để chứng minh kết luận án Trong luận án khơng nói khác R = k[x1 , , xr ] vành đa thức phân bậc chuẩn r biến trường k 1.1 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford Chúng tơi trình bày lại hai cách định nghĩa số quy thơng qua giải tự tối tiểu môđun đối đồng điều địa phương Cho M R-môđun phân bậc hữu hạn sinh khác không F : · · · −→ Fp −→ Fp−1 −→ · · · −→ F1 −→ F0 −→ giải tự tối tiểu M R Đặt bi (M ) = max{j | βi,j (M ) 6= 0} (quy ước bi (M ) = −∞ Fi = 0) Khi đó, regR (M ) = max{bi (M ) − i | i > 0} Ngồi ra, số quy M cịn định nghĩa theo môđun đối đồng điều địa phương M Với i = 0, , dim(M ), đặt (M ) = max{t | Hmi (M )t 6= 0} Khi đó, regR (M ) = max{ai (M ) + i | i = 0, , dim(M )} 1.2 Phức đơn hình iđêan Stanley-Reisner Mục mô tả phức đơn hình, iđêan Stanley-Reisner liên kết với phức đơn hình số khái niệm liên quan 1.3 Cơng thức Hochster - Công thức Takayama Trong phần này, mô tả hai công thức xem cơng cụ hữu ích dùng để tính số quy iđêan đơn thức theo giải tự tối tiểu môđun đối đồng điều địa phương 1.3.1 Công thức Hochster Cho I iđêan đơn thức khác không tùy ý R Công thức Hochster cho phép ta xác định số Betti đa phân bậc iđêan I theo bổ đề sau Bổ đề 1.3 ([35], Định lý 1.34) Với i > α ∈ Nr , e i−1 (K α (I); k) βi,α (I) = dimk H Trong trường hợp I iđêan đơn thức khơng chứa bình phương (iđêan Stanley-Reiser), cơng thức Hochster chuỗi Hilbert môđun đối đồng điều địa phương Hmi (R/I∆ ) phát biểu sau Bổ đề 1.4 ([35], Định lý 13.13) Cho ∆ phức đơn hình Khi đó, Hilb(Hmi (R/I∆ ); x) = X F ∈∆ e i−|F |−1 (lk∆ (F ); k) dimk H Y x−1 j j∈F − x−1 j 1.3.2 Công thức Takayama Công thức Takayama mở rộng công thức Hochster trường hợp iđêan đơn thức khơng chứa bình phương Với α = (α1 , , αr ) ∈ Zr , đặt Gα := {i | αi < 0} RF = R[x−1 i | i ∈ F ] Phức đơn hình ∆α (I) xác định: ∆α (I) := {F \ Gα | Gα ⊆ F ⊆ V xα ∈ / IRF } Công thức Takayama phát biểu sau e i−|G |−1 (∆α (I); k) Bổ đề 1.7 dimk Hmi (R/I)α = dimk H α Trong trường hợp lũy thừa hình thức, nhờ kết sau N C Minh N V Trung (2009) có cơng cụ hữu hiệu để tính (n) phức ∆α (I∆ ) Bổ đề 1.8 ([36], Bổ đề 1.3) Cho ∆ phức đơn hình α ∈ Nr Khi đó, ( (n) F(∆α (I∆ )) = F ∈ F(∆) | ) X αi n − i∈F / (n) Trong trường hợp α ∈ Zr , ta xác định ∆α (I∆ ) theo bổ đề Bổ đề 1.10 ([31], Bổ đề 1.3) Cho ∆ phức đơn hình α ∈ Zr Khi đó,     X (n) F(∆α (I∆ )) = F ∈ F(lk∆ (Gα )) | αi n −   i∈F / ∪Gα 1.4 Lý thuyết đồ thị Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm số tính chất đồ thị đơn, đồ thị hai phần siêu đồ thị Đồng thời, 15 Xét Km đồ thị đầy đủ m đỉnh G = cor(Km , s) (m > 3, s > 2) đồ thị thu từ Km cách thêm s cạnh treo vào đỉnh đồ thị Km Bổ đề 2.15 Với m > s > 2, δ(J(cor(Km , s))) = m(s + 1) Từ kết Bổ đề 2.15, chúng tơi xây dựng ví dụ hàm số quy reg(I (n) ) khơng hàm tuyến tính trường hợp iđêan đơn thức khơng chứa bình phương Ví dụ 2.16 Xét đồ thị G = cor(K3 , 2) Đặt J = J(G) iđêan phủ đồ thị G Theo Bổ đề 2.15, ta có δ(J) = 9/2 Điều rằng, reg(J(G)(n) ) không hàm tuyến tính theo n Chương Chặn hàm số quy Chương chúng tơi đưa chặn tốt hàm số quy reg(I (n) ), với I iđêan đơn thức không chứa bình phương Chặn mơ tả theo liệu tổ hợp từ phức đơn hình siêu đồ thị liên kết với iđêan Trong trường hợp I iđêan cạnh đồ thị G, đưa chặn reg(I (n) ) theo số ghép cặp có thứ tự G Kết chương dựa báo [28] 3.1 Iđêan đơn thức khơng chứa bình phương Cho ∆ phức đơn hình [r] I∆ iđêan Stanley-Reisner Sử dụng Cơng thức Takayama số tính chất thu từ đa diện lồi Pm , Cm (xem mục 1.5.2.), ta thu chặn cho bất biến Định lý 3.5 Cho I iđêan đơn thức khơng chứa bình phương Khi với i > 0, (R/I (n) ) δ(I)(n − 1) Chỉ số quy iđêan đơn thức khơng chứa bình phương cịn xác định theo triệt tiêu đồng điều rút gọn phức đơn hình Kết hợp với Định lý 3.5 chúng tơi thu kết sau 16 17 Định lý 3.7 Cho ∆ phức đơn hình Khi đó, (n) reg(I∆ ) δ(I∆ )(n − 1) + b, với n > 1, b = max{reg(IΓ ) | Γ phức ∆ với F(Γ) ⊆ F(∆)} Hệ 3.8 Cho I iđêan đơn thức khơng chứa bình phương Khi đó, reg(I (n) ) δ(I)(n − 1) + dim(R/I) + 1, với n > Như biết có tương ứng iđêan đơn thức khơng chứa bình phương vành R = k[x1 , , xr ] siêu đồ thị đơn tập đỉnh V = {x1 , , xr } Do đó, từ Định lý 3.7, chúng tơi xây dựng chặn cho hàm số quy lũy thừa hình thức iđêan đơn thức khơng chứa bình phương theo tính chất tổ hợp siêu đồ thị liên kết với iđêan Định lý 3.12 Cho H siêu đồ thị Khi đó, reg(I(H)(n) ) δ(I(H))(n − 1) + |V (H)| − (H∗ ), với n > Chú ý siêu đồ thị H∗ Định lý 3.12 đối ngẫu Alexander siêu đồ thị H Ví dụ sau rằng, chặn số quy Định lý 3.7 chặn tốt với n, tức chặn có dấu xảy Ví dụ 3.13 Cho ∆ phức matroid khơng nón Khi đó, (n) reg(I∆ ) = δ(I∆ )(n − 1) + b, với n > 1, b = max{reg(IΓ ) | Γ phức ∆ với F(Γ) ⊆ F(∆)} Trong trường hợp ta xác định được: δ(I) = d(I) b = dim(R/I∆ ) + 3.2 Iđêan cạnh đồ thị G Trong phần này, áp dụng Định lý 3.7 để nghiên cứu hàm số quy lũy thừa hình thức iđêan cạnh đồ thị Để 18 xây dựng chặn cho hệ số b Định lý 3.7 xét hàm số số học sau Định lý 3.14 Cho ∆ phức đơn hình [r] đặt Simp(∆) = {lk∆ (σ) | σ ∈ ∆} Giả sử f : Simp(∆) → N hàm số thỏa mãn tính chất sau: (i) Nếu Λ ∈ Simp(∆) đơn hình f (Λ) = 0; (ii) Với Λ ∈ Simp(∆) v ∈ V (Λ) cho Λ khơng nón v f (lkΛ (v)) + f (Λ) Khi đó, với phức Γ ∆ mà F(Γ) ⊆ F(∆) reg(IΓ ) f (∆)+1 Áp dụng hàm số số học cho trường hợp đồ thị xét trường hợp I iđêan cạnh đồ thị, xây dựng chặn cho reg(I (n) ) theo số ghép cặp có thứ tự đồ thị Định lý 3.18 Cho đồ thị G Khi đó, reg(I(G)(n) ) 2n + ord-match(G) − 1, với n > Hệ 3.20 Cho G đồ thị có tính chất ord-match(G) = ν(G) Khi đó, reg(I(G)(n) ) = 2n + ν(G) − 1, với n > Một ví dụ cho lớp đồ thị có tính chất Hệ đồ thị Cameron-Walker (Đồ thị G gọi Cameron-Walker đồ thị có số ghép cặp cảm sinh số ghép cặp đồ thị) Chương Tính ổn định hàm số quy Trong chương hai thấy hàm số quy lũy thừa hình thức iđêan phủ đồ thị trường hợp tổng quát hàm tuyến tính n đủ lớn Đối với lớp đồ thị hai phần, lũy thừa hình thức lũy thừa thường, hàm số quy lũy thừa iđêan phủ đồ thị hàm tuyến tính n đủ lớn Theo N T Hang T N Trung [22], tồn số nguyên không âm b cho reg(J(G)n ) = d(J(G))n + b với n > |V (G)| + Mục tiêu chương này, chặn tốt cho số ổn định reg-stab J(G) đồ thị hai phần Kết trình bày chương dựa báo [20] 4.1 Đa diện nguyên ứng với đồ thị hai phần Trước hết định nghĩa đa diện lồi Pn , Cn theo mục 1.5.2 trường hợp đồ thị Trong trường hợp này, đa diện lồi đa diện nguyên Hơn nữa, Bổ đề 4.3 Nếu Pn 6= ∅, Pn+1 6= ∅ bn > bn+1 Gọi l độ dài đường đơn dài G Trong bổ đề sau, 19 20 δ(Pn ) hàm tuyến tính theo n với n > l+1 Bổ đề 4.4 Tồn số nguyên không âm b cho δ(Pn ) = δ(C1 )n − b với n > 4.2 l+1 Chỉ số quy lũy thừa iđêan phủ Cho G đồ thị hai phần Trong phần này, chặn cho n0 cho reg J(G)n hàm tuyến tính theo n với n > n0 Trước hết ta xét bổ đề sau Bổ đề 4.5 Cho G đồ thị hai phần với J := J(G) iđêan phủ đồ thị Gọi l độ dài đường đơn dài G Khi đó, với s > (l + 1)/2, tồn số nguyên không âm a b cho (i) reg J s = a(s − 1) + b; (ii) b max{reg J(H) | H đồ thị G}; (iii) reg J n > a(n − 1) + b với n > (l + 1)/2 Từ kết trên, chúng tơi thu định lý phần Định lý 4.6 Cho G đồ thị hai phần Tồn số nguyên không âm b với b e − d(J(G)), cho n  reg J(G) = d(J(G))n+b với n > max  l+1 , e − b − d(J(G)) + , l độ dài đường đơn lớn G e = max{reg(J(H)) | H đồ thị G} Hệ 4.7 Cho G đồ thị hai phần với r đỉnh Khi đó, tồn số ngun khơng âm b r − d(J(G)) − cho r reg J(G)n = d(J(G))n + b, với n > 21 KẾT LUẬN Trong luận án này, công cụ đại số tổ hợp, đạt số kết sau: d(I (n) ) reg(I (n) ) • Chỉ tồn giới hạn limn→∞ , limn→∞ n n (hai giới hạn nhau) trường hợp I iđêan đơn thức bất kì, đồng thời mơ tả cách cụ thể giới hạn (Định lý 2.5 Định lý 2.7) • Đưa ví dụ hàm số quy reg(I (n) ) khơng hàm tuyến tính n đủ lớn trường hợp I iđêan đơn thức khơng chứa bình phương (Ví dụ 2.16) • Xây dựng chặn tốt cho reg(I (n) ) trường hợp I iđêan đơn thức khơng chứa bình phương theo liệu tổ hợp từ phức đơn hình (Định lý 3.7) siêu đồ thị liên kết (Định lý 3.12); theo số ghép cặp có thứ tự G trường hợp iđêan cạnh đồ thị G (Định lý 3.18) • Chỉ chặn cho số ổn định số quy lũy thừa iđêan phủ đồ thị hai phần (Định lý 4.6) 22 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN L X Dung, T T Hien, N D Hop and T N Trung (2021), Regularity and Koszul property of symbolic powers of monomial ideals,Mathematische Zeitschrift, 298 , no 3-4, 1487-1522 T T Hien and T N Trung (2023), Regularity of symbolic powers of square-free monomial ideals, Arkiv fă or Matematik, 61, pp 99–121 N T Hang and T T Hien (2023), Regularity of powers of cover ideals of bipartite graphs, International Journal of Algebra and Computation, 33(2), pp 317–335 Tài liệu tham khảo [1] Alilooee A., Beyarslan S., Selvaraja S (2019), “Regularity of Powers of Unicyclic Graphs”, Rocky Mountain J Math., 49(3), pp 699–728 [2] Bahiano, C E (2004), “Symbolic powers of edge ideals”, Journal of Algebra 273(2), pp 517–537 [3] Banerjee, A., Beyarslan, S K., Hà, H T (2020), “Regularity of powers of edge ideals: from local properties to global bounds”, Algebraic Combinatorics, 3(4), pp 839–854 [4] Berge, C (1989), Hypergraphs: combinatorics of finite sets, NorthHolland, New York [5] Beyarslan, S., Hà, H T., T N Trung (2015), “Regularity of powers of forests and cycles”, Journal of Algebraic Combinatorics, 42(4), pp 1077–1095 [6] Bondy, J A., Murty, U S R (2008), Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, 244, Springer, New York [7] Constantinescu, A., Varbaro, M (2011), “Koszulness, Krull dimension, and other properties of graph-related algebras”, Journal of Algebraic Combinatorics, 34, pp 375–400 [8] Cooper, S M., Embree, R J., Hà, H T., Hoefel, A H (2017), “Symbolic powers of monomial ideals”, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 60(1), pp 39–55 23 24 [9] Cutkosky, S D., Herzog, J., N V Trung (1999), “Asymptotic behaviour of the Castelnuovo-Mumford regularity”, Compositio Mathematica, 118(3), pp 243–261 [10] Dao, H., Huneke, C., Schweig, J (2013), “Bounds on the regularity and projective dimension of ideals associated to graphs”, Journal of Algebraic Combinatorics, 38, pp 37–55 [11] Dao, H., Schweig, J (2015), “Bounding the projective dimension of a squarefree monomial ideal via domination in clutters”, Proceedings of the American Mathematical Society, 143(2), pp 555–565 [12] L X Dung, T T Hien, Nguyen, H D., T N Trung (2021), “Regularity and Koszul property of symbolic powers of monomial ideals”, Mathematische Zeitschrift, 298, pp 1487–1522 [13] Eisenbud, D., Goto, S (1984), “Linear free resolutions and minimal multiplicity”, Journal of Algebra, 88(1), pp 89–133 [14] Eisenbud, D., Ulrich, B (2012), “Notes on regularity stabilization”, Proceedings of the American Mathematical Society, 140(4), pp 1221– 1232 [15] Fakhari, S A S (2016), “Depth, Stanley depth and regularity of ideals associated to graphs”, Archiv der Mathematik, 107, pp 461–471 [16] Fakhari, S A S (2020), “Regularity of symbolic powers of edge ideals of Cameron-Walker graphs”, Communications in Algebra, 48(12), pp 5215–5223 [17] Fakhari, S A S (2019), “On the regularity of small symbolic powers of edge ideals of graphs”, arXiv:1908.10845 [18] D H Giang, L T Hoa (2010), “On local cohomology of a tetrahedral curve”, Acta Math Vietnam, 35, pp 229–241 25 [19] Gu, Y., Hà, H T., O’Rourke, J L., Skelton, J W (2020), “Symbolic powers of edge ideals of graphs”, Communications in Algebra 48(9), pp 3743–3760 [20] N T Hang, T T Hien, “Regularity of powers of cover ideals of bipartite graphs”, to appear in International Journal of Algebra and Computation [21] N T Hang, T N Trung (2017), “The behavior of depth functions of powers of cover ideals of unimodular hypergraphs, Arkiv fă or Matematik, 55(1), pp 89–104 [22] N T Hang, T N Trung (2018), “Regularity of powers of cover ideals of unimodular hypergraphs”, Journal of Algebra 513(1), pp 159–176 [23] Herzog, J., Hibi, T., N V Trung (2007), “Symbolic powers of monomial ideals and vertex cover algebras”, Advances in Mathematics, 210(1), pp 304–322 [24] Herzog, J., Hibi, T., N V Trung (2009), “Vertex cover algebras of unimodular hypergraphs”, Proceedings of the American Mathematical Society, 137(2), pp 409–414 [25] Herzog, J., L T Hoa, N V Trung (2002), “Asymptotic linear bounds for the Castelnuovo-Mumford regularity”, Transactions of the American Mathematical Society 354(5), pp 1793–1809 [26] Herzog, J., Iyengar, S (2005), “Koszul modules”, Journal of Pure and Applied Algebra 201(1-3), pp 154–188 [27] Hibi, T., Higashitani, A., Kimura, K., O’Keefe, A B (2015), “Algebraic study on Cameron - Walker graphs”, Journal of Algebra, 422, pp 257–269 26 [28] T T Hien, T N Trung, “Regularity of symbolic powers of square-free monomial ideals”, to appear in Arkiv fă or Matematik [29] L T Hoa (2021), “Maximal Generating Degrees of Powers of Homogeneous Ideals”, Acta Mathematica Vietnamica , 47, pp 19–37 [30] L T Hoa, T N Trung (2010), “Partial Castelnuovo-Mumford regularities of sums and intersections of powers of monomial ideals”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 149(2), pp 229–246 [31] L T Hoa, T N Trung (2016), “Castelnuovo - Mumford regularity of symbolic powers of two-dimensional square-free monomial ideals”, Journal of Commutative Algebra, 8(1), pp 77–88 [32] Hoang Tuy (2016), Convex Analysis and Global Optimization, Springer International Publishing [33] Kodiyalam, V (2000), “Asymptotic behaviour of CastelnuovoMumford regularity”, Proceedings of the American Mathematical Society, 128(2), pp 407–411 [34] Kumar, A., Kumar, R., Sarkar, R., Selvaraja, S (2021), “Symbolic powers of certain cover ideals of graphs”, Acta Mathematica Vietnamica, pp 1–13 [35] Miller, E., Sturmfels, B (2005), Combinatorial commutative algebra, Springer [36] N C Minh, N V Trung (2009), “Cohen - Macaulayness of powers of two-dimensional squarefree monomial ideals”, Journal of Algebra, 322(12), pp 4219–4227 [37] N C Minh, T N Trung (2019), “Regularity of symbolic powers and arboricity of matroids”, Forum Mathematicum, 31(2), pp 465–477 27 [38] Mumford, D (1966), Lectures on curves on an algebraic surface Princeton University Press, New Jersey [39] Nguyen, H D., N V Trung (2019), “Depth functions of symbolic powers of homogeneous ideals”, Inventiones mathematicae, 218(3), pp 779–827 [40] Reid, L., Roberts, L G., Vitulli, M A (2003), “Some results on normal homogeneous ideals”, Communications in Algebra, 31(9), pp 4485– 4506 [41] Schrijver, A (1998), Theory of linear and integer programming, John Wiley & Sons [42] Stanley, R P (1996), Combinatorics and Commutative Algebra, second edition, Birkhauser, Boston, MA [43] Takayama, Y (2005), “Combinatorial characterizations of generalized Cohen-Macaulay monomial ideals”, Bulletin mathématique de la Société des Sciences Mathématiques de Roumanie, 48, pp 327–344 [44] Terai, N (1999), “Alexander duality theorem and Stanley-Reisner rings Free resolutions of coordinate rings of projective varieties and related topics” (Japanese) (Kyoto, 1998), S¯ urikaisekikenky¯ usho K¯oky¯ uroku no 1078, pp 174–184 [45] T N Trung (2009), “Stability of associated primes of integral closures of monomial ideals”, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 116(1), pp 44–54 [46] N V Trung, Wang, H J (2005), “On the asymptotic behavior of Castelnuovo-Mumford regularity”, Journal of Pure and Applied Algebra, 201(1-3), pp 42–48 28 [47] Vasconcelos, W (2005), Integral Closure: Rees Algebras, Multiplicities, Algorithms, Springer Monographs in Mathematics, Springer 29 CÁC KẾT QUẢ TRONG LUẬN ÁN ĐÃ ĐƯỢC BÁO CÁO VÀ THẢO LUẬN TẠI: - Xêmina Đại số Lý thuyết số - Viện Toán học - Hội nghị nghiên cứu sinh Viện Toán học: 11/2019; 11/2020; 11/2021 - Hội nghị Vấn đề Tính toán Đại số giao hoán (Hà Nội): 10/2020 - Hội nghị Đại số - Hình học - Tơpơ (Thái Nguyên): 10/2021 - Hội thảo Lý thuyết vành Tổ hợp (Thanh Hóa): 7/2022