Lũy thừa hình thức của các idean đơn thức

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC TRƯƠNG THỊ HIỀN LŨY THỪA HÌNH THỨC CỦA CÁC IĐÊAN ĐƠN THỨC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2023 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC TRƯƠNG THỊ HIỀN LŨY THỪA HÌNH THỨC CỦA CÁC IĐÊAN ĐƠN THỨC Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS Trần Nam Trung HÀ NỘI - 2023 Tóm tắt Cho R = k[x1 , , xr ] vành đa thức trường k, r biến x1 , , xr với r > Cho I iđêan đơn thức R I (n) lũy thừa hình thức thứ n I Luận án nghiên cứu hàm số quy Castelnuovo-Mumford (gọi tắt số quy) lũy thừa hình thức iđêan đơn thức I, ký hiệu reg(I (n) ) Dựa việc nghiên cứu đa diện lồi, môđun đối đồng điều địa phương, luận án đạt số kết dáng điệu tiệm cận hàm số quy reg(I (n) ) I iđêan đơn thức Đồng thời, luận án đưa chặn tốt cho reg(I (n) ) I = I∆ iđêan Stanley-Reisner phức đơn hình ∆ áp dụng trường hợp I = I(G) iđêan cạnh đồ thị G Cuối cùng, luận án chặn cho số ổn định số quy, reg-stab(J(G)), trường hợp J(G) iđêan phủ đồ thị hai phần G Luận án chia làm 04 chương Chương 1, giới thiệu số khái niệm kết phức đơn hình, iđêan Stanley-Reisner, đồ thị; trình bày công thức Hochster, công thức Takayama; nghiên cứu số tính chất đa diện lồi Chương 2, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận hàm số quy lũy thừa hình thức iđêan đơn thức Chương 3, nghiên cứu chặn số quy lũy thừa hình thức iđêan đơn thức khơng chứa bình phương ứng dụng vào trường hợp iđêan cạnh đồ thị Chương 4, nghiên cứu chặn cho số ổn định reg-stab(J(G)) với G đồ thị hai phần J(G) iđêan phủ đồ thị ii Abstract Let R = k[x1 , , xr ] be a polynomial ring over a field k with r variables x1 , , xr , r > Let I be a monomial ideal of R and I (n) be the n-th symbolic power of I The thesis aims to focus on studying the CastelnuovoMumford regularity (briefly, regularity) function reg(I (n) ) Based on investigating the theory of convex polyhedra and the local cohomology module, we obtain some main results for the asymptotic behavior of the regularity function reg(I (n) ) when I is a monomial ideal In addition, the thesis also gives a sharp upper bound for reg(I (n) ) when I = I∆ is a Stanley-Reisner ideal of a simplicial complex ∆ and applies to the case the edge ideal of a simple graph Finally, the thesis gives an upper bound for the stability index of the regularity, reg-stab(J(G)), where J(G) is a cover ideal of a bipartite graph G The thesis is divided into four chapters Chapter 1, we introduce some basic notions and results about the simplicial complex, Stanley-Reisner ideals, graphs, Hochster’s and Takayama’s formula We also study some important properties of the convex polyhedra Chapter 2, we investigate the asymptotic behavior of the regularity function reg(I (n) ), when I is a monomial ideal Chapter 3, we study an upper bound for the regularity of symbolic powers of the square-free monomial ideals and apply it to the case edge ideal of a simple graph Chapter 4, we consider a bound for reg-stab(J(G)) in the case G is a bipartite graph and J(G) is its cover ideal iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hồn thành hướng dẫn TS Trần Nam Trung Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả trước đưa vào luận án Các kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Trương Thị Hiền iv Lời cảm ơn Sau thời gian tiến hành triển khai nghiên cứu, hồn thành nội dung luận án "Lũy thừa hình thức iđêan đơn thức" Luận án hoàn thành hướng dẫn Thầy: TS Trần Nam Trung Thầy dành cho nhiều thời gian, tâm sức, cho nhiều ý kiến, nhận xét quý báu, chỉnh sửa chi tiết nhỏ luận án, giúp luận án tơi hồn thiện mặt nội dung hình thức Thầy dạy cho tơi kiến thức, kinh nghiệm nghiên cứu quan tâm, giúp đỡ mặt Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn kính trọng sâu sắc đến Thầy Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đến GS.TSKH Lê Tuấn Hoa Thầy quan tâm tạo điều kiện thuận lợi để tơi có hội tham gia hội thảo quan trọng, buổi học vấn đề Tôi xin chân thành cảm ơn TS Lê Xuân Dũng, TS Đỗ Trọng Hoàng, TS Nguyễn Thu Hằng người ln quan tâm, động viên tơi tồn q trình học tập, nghiên cứu Tơi xin trân trọng cảm ơn Viện toán học, Trung tâm Đào tạo sau đại học, phịng ban Viện Tốn học tạo điều kiện thuận lợi để học tập nghiên cứu Viện Tôi trân trọng cảm ơn GS.TSKH Ngơ Việt Trung, PGS.TS Đồn Trung Cường, TS Trần Giang Nam tạo điều kiện thuận lợi để tham gia buổi sinh hoạt khoa học phòng Đại số-Lý thuyết số, seminar Viện nghiên cứu cao cấp Tốn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Trung tâm Quốc tế Đào tạo Nghiên cứu v vi Tốn học có hỗ trợ tích cực mặt tài mặt tinh thần để tơi có thêm động lực điều kiện tập trung cho việc học tập nghiên cứu Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Ban chủ nhiệm Khoa Khoa học Tự nhiên - trường Đại học Hồng Đức tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành việc học tập Tơi xin cảm ơn anh, chị, em nghiên cứu sinh học tập, nghiên cứu phòng Đại số phịng Lý thuyết số, Viện tốn học giúp đỡ học tập sống Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vô hạn tới Bố, Mẹ, em người đại gia đình, người ln u thương, nguồn động viên truyền nhiệt huyết để tơi hồn thành luận án Tác giả Trương Thị Hiền Bảng ký hiệu N tập số tự nhiên Z tập số nguyên Q tập số hữu tỷ R tập số thực I (n) lũy thừa hình thức thứ n iđêan I reg(I) số quy Castelnuovo-Mumford iđêan I d(I) bậc sinh lớn iđêan I βi (M ) số Betti thứ i môđun M G(I) tập đơn thức sinh tối tiểu iđêan I K α (I) phức đơn hình Koszul liên kết với iđêan I bậc α Hmi (M ) môđun đối đồng điều địa phương thứ i M với giá m e i (∆, k) H đồng điều đơn hình rút gọn thứ i ∆ k N P (I) đa diện Newton I SP(I) đa diện hình thức I ∆ phức đơn hình I∆ iđêan Stanley-Reisner liên kết với phức đơn hình ∆ k[∆] vành Stanley-Reisner phức đơn hình ∆ F(∆) tập mặt cực đại phức đơn hình ∆ ∆(I) phức đơn hình liên kết với iđêan I G = (V (G), E(G)) đồ thị với tập đỉnh V (G) tập cạnh E(G) vii viii NG (S) tập đỉnh kề với tập S G degG (u) bậc đỉnh u G G[S] đồ thị cảm sinh G S J(G) iđêan phủ đồ thị G I(G) iđêan cạnh đồ thị G I bao đóng nguyên iđêan I H = (V, E) siêu đồ thị với tập đỉnh V tập cạnh E J(H) iđêan phủ liên kết với siêu đồ thị H I(H) iđêan cạnh liên kết với siêu đồ thị H pd(M ) chiều xạ ảnh môđun M lk∆ F phức nối F ∆ ∆∗ đối ngẫu Alexander phức đơn hình ∆ I∗ đối ngẫu Alexander I Gα đối giá véctơ α (H) số trội cạnh thành phần siêu đồ thị H ∆(G) phức độc lập G match(G) số ghép cặp G ν(G) số ghép cặp cảm sinh G ord-match(G) số ghép cặp có thứ tự G Mục lục Tóm tắt ii Abstract iii Lời cam đoan iv Lời cảm ơn v Bảng ký hiệu vii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford 1.2 Phức đơn hình iđêan Stanley-Reisner 1.3 Công thức Hochster - Công thức Takayama 12 1.3.1 Công thức Hochster 12 1.3.2 Công thức Takayama 13 1.4 Lý thuyết đồ thị 14 1.4.1 Đồ thị đơn 14 1.4.2 Đồ thị hai phần 17 1.4.3 Ghép cặp đồ thị 19 1.4.4 Siêu đồ thị 20 1.5 Đa diện lồi 21 1.5.1 Tập lồi đa diện 21 ix 76 Chứng minh Đặt J = J(G) d = d(J) Ta chứng minh định lý dạng tương đương sau: tồn số nguyên không âm b với d b e, cho  n reg J(G) = d(n − 1) + b với n > max  l+1 ,e − b + Như biết, tồn số nguyên b > d s0 > cho reg(J s ) = d(s − 1) + b với s > s0 (4.15) Do J iđêan không xoắn nên J s = J (s) Theo Định lý 3.7, suy b e r − Ta chứng minh khẳng định sau: reg(J s ) > d(s − 1) + b với s > (l + 1)/2 (4.16) Thật vậy, xét n > max{s0 , r + 1} Theo Bổ đề 4.5, tồn số nguyên không âm d1 b1 với b1 e cho reg(J n ) = d1 (n − 1) + b1 , reg(J s ) > d1 (s − 1) + b1 với s > (l + 1)/2 Do đó, ta cần d = d1 b = b1 Từ đẳng thức reg(J n ) = d(n − 1) + b = d1 (n − 1) + b1 , ta có (d−d1 )(n−1) = (b1 −b) Do |b1 −b| max{b, b1 } e n−1 > r > e, suy d = d1 b = b1 , ta có khẳng định Với n > max{(l + 1)/2, e − b + 1}, ta chứng minh reg(J n ) = d(n − 1) + b Thật vậy, theo Bổ đề 4.5, tồn số nguyên δ > c e cho reg(J n ) = δ(n − 1) + c (4.17) 77 reg(J s ) > δ(s − 1) + c với s > (l + 1)/2 (4.18) Từ (4.15) (4.18), ta suy δ d Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: δ = d Từ (4.15) (4.18), ta có b > c Mặt khác, từ (4.16) (4.17), ta có b c Do đó, b = c Theo (4.17), ta có reg(J n ) = d(n − 1) + b Trường hợp 2: δ < d Từ (4.16) (4.17), ta có reg(J n ) = δ(n − 1) + c > d(n − 1) + b, (d − δ)(n − 1) c − b Điều suy n − c − b, hay n c − b + Mặt khác, n > e − b + > c − b + Do đó, n = c − b + d − δ = Trong trường hợp này, ta có reg J n = δ(n − 1) + c = d(n − 1) + b Vậy định lý chứng minh Hệ 4.7 Cho G đồ thị hai phần với r đỉnh Khi đó, tồn số nguyên không âm b r − d(J(G)) − cho r reg J(G)n = d(J(G))n + b, với n > Chứng minh Theo Định lý 4.6, tồn số nguyên không âm b với b e − d(J(G)), cho n reg J(G) = d(J(G))n+b với n > max   l+1 , e − b − d(J(G)) + , l độ dài đường đơn lớn G e = max{reg(J(H)) | H đồ thị G} Với đồ thị H có V (H) ⊆ {1, , r} E(H) 6= ∅, ta có reg(J(H)) = reg(R/J(H)) + dim(R/J(H)) + = r − 78 Do đó, e r − b r − − d(J(G)) Tiếp theo ta   l+1 r max , e − b − d(J(G)) + 2 Thật vậy, gọi (X, Y ) hai phần đồ thị G Khi đó, X Y phủ đỉnh tối tiểu G Do d(J(G)) lực lượng lớn phủ đỉnh tối tiểu G, ta có d(J(G)) > max{|X|, |Y |} > r/2 Do đó, e − b − d(J(G)) + r − − d(J(G)) + r − r/2 = r/2 Lại có, l r − 1, nên (l + 1)/2 r/2 Do đó,  max l+1 , e − b − d(J(G)) +  r , hệ chứng minh Nhận xét 4.8 Chặn b Định lý 4.6 chặn tốt lớp đồ thị hai phần đầy đủ Thật vậy, giả sử G đồ thị hai phần đầy đủ với r đỉnh G = A ∪ B |A| = r1 |B| = r2 Khi đó, d(J(G)) = r2 Theo Định lý 4.6, tồn số nguyên không âm b e − d(J(G)) cho   l + reg J(G)n = d(J(G))n+b với n > max , e − b − d(J(G)) + , l độ dài đường đơn lớn G e = max{reg(J(H)) | H đồ thị G} Theo [34, Định lý 4.6], ta có reg(J(G)n ) = n.d(J(G)) + r1 − với n > Điều suy b = r1 − 79 Lại có, b e − d(J(G)) nên r1 − e − r2 Điều tương đương với e > r1 + r2 − = r − (Vì r = r1 + r2 ) Mặt khác, ta ln có e r − (như chứng minh Hệ 4.7) Vậy e = r − Do đó, b = r1 − = e − d(J(G)) Kết luận Trong luận án này, công cụ đại số tổ hợp, đạt số kết sau: d(I (n) ) reg(I (n) ) , limn→∞ n n (hai giới hạn nhau) trường hợp I iđêan đơn • Chỉ tồn giới hạn limn→∞ thức bất kì, đồng thời mơ tả cách cụ thể giới hạn (Định lý 2.5 Định lý 2.7) • Đưa ví dụ hàm số quy reg(I (n) ) khơng hàm tuyến tính n đủ lớn trường hợp I iđêan đơn thức khơng chứa bình phương (Ví dụ 2.16) • Xây dựng chặn tốt cho reg(I (n) ) trường hợp I iđêan đơn thức không chứa bình phương theo liệu tổ hợp từ phức đơn hình (Định lý 3.7) siêu đồ thị liên kết (Định lý 3.12), theo số ghép cặp có thứ tự G trường hợp iđêan cạnh đồ thị G (Định lý 3.18) • Chỉ chặn cho số ổn định số quy lũy thừa iđêan phủ đồ thị hai phần (Định lý 4.6) 80 Các cơng trình liên quan đến luận án L X Dung, T T Hien, N D Hop and T N Trung (2021), Regularity and Koszul property of symbolic powers of monomial ideals,Mathematische Zeitschrift, 298 , no 3-4, 1487-1522 T T Hien and T N Trung (2023), Regularity of symbolic powers of square-free monomial ideals, Arkiv fă or Matematik, 61, pp 99–121 N T Hang and T T Hien (2023), Regularity of powers of cover ideals of bipartite graphs, International Journal of Algebra and Computation, 33(2), pp 317–335 81 Các kết luận án báo cáo thảo luận tại: - Xêmina Đại số Lý thuyết số - Viện Toán học - Hội nghị nghiên cứu sinh Viện Toán học: 11/2019; 11/2020; 11/2021 - Hội nghị Vấn đề Tính tốn Đại số giao hoán (Hà Nội): 10/2020 - Hội nghị Đại số - Hình học - Tơpơ (Thái Ngun): 10/2021 - Hội thảo Lý thuyết vành Tổ hợp (Thanh Hóa): 7/2022 82 Tài liệu tham khảo [1] Alilooee A., Beyarslan S., Selvaraja S (2019), “Regularity of Powers of Unicyclic Graphs”, Rocky Mountain J Math., 49(3), pp 699–728 [2] Bahiano, C E (2004), “Symbolic powers of edge ideals”, Journal of Algebra 273(2), pp 517–537 [3] Banerjee, A., Beyarslan, S K., Hà, H T (2020), “Regularity of powers of edge ideals: from local properties to global bounds”, Algebraic Combinatorics, 3(4), pp 839–854 [4] Berge, C (1989), Hypergraphs: combinatorics of finite sets, NorthHolland, New York [5] Beyarslan, S., Hà, H T., T N Trung (2015), “Regularity of powers of forests and cycles”, Journal of Algebraic Combinatorics, 42(4), pp 1077–1095 [6] Bondy, J A., Murty, U S R (2008), Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, 244, Springer, New York [7] Constantinescu, A., Varbaro, M (2011), “Koszulness, Krull dimension, and other properties of graph-related algebras”, Journal of Algebraic Combinatorics, 34, pp 375–400 [8] Cooper, S M., Embree, R J., Hà, H T., Hoefel, A H (2017), “Symbolic powers of monomial ideals”, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 60(1), pp 39–55 83 84 [9] Cutkosky, S D., Herzog, J., N V Trung (1999), “Asymptotic behaviour of the Castelnuovo-Mumford regularity”, Compositio Mathematica, 118(3), pp 243–261 [10] Dao, H., Huneke, C., Schweig, J (2013), “Bounds on the regularity and projective dimension of ideals associated to graphs”, Journal of Algebraic Combinatorics, 38, pp 37–55 [11] Dao, H., Schweig, J (2015), “Bounding the projective dimension of a squarefree monomial ideal via domination in clutters”, Proceedings of the American Mathematical Society, 143(2), pp 555–565 [12] L X Dung, T T Hien, Nguyen, H D., T N Trung (2021), “Regularity and Koszul property of symbolic powers of monomial ideals”, Mathematische Zeitschrift, 298, pp 1487–1522 [13] Eisenbud, D., Goto, S (1984), “Linear free resolutions and minimal multiplicity”, Journal of Algebra, 88(1), pp 89–133 [14] Eisenbud, D., Ulrich, B (2012), “Notes on regularity stabilization”, Proceedings of the American Mathematical Society, 140(4), pp 1221– 1232 [15] Fakhari, S A S (2016), “Depth, Stanley depth and regularity of ideals associated to graphs”, Archiv der Mathematik, 107, pp 461–471 [16] Fakhari, S A S (2020), “Regularity of symbolic powers of edge ideals of Cameron-Walker graphs”, Communications in Algebra, 48(12), pp 5215–5223 [17] Fakhari, S A S (2019), “On the regularity of small symbolic powers of edge ideals of graphs”, arXiv:1908.10845 [18] D H Giang, L T Hoa (2010), “On local cohomology of a tetrahedral curve”, Acta Math Vietnam, 35, pp 229–241 85 [19] Gu, Y., Hà, H T., O’Rourke, J L., Skelton, J W (2020), “Symbolic powers of edge ideals of graphs”, Communications in Algebra 48(9), pp 3743–3760 [20] N T Hang, T T Hien (2023), “Regularity of powers of cover ideals of bipartite graphs”, International Journal of Algebra and Computation, 33(2), pp 317–335 [21] N T Hang, T N Trung (2017), “The behavior of depth functions of powers of cover ideals of unimodular hypergraphs, Arkiv fă or Matematik, 55(1), pp 89–104 [22] N T Hang, T N Trung (2018), “Regularity of powers of cover ideals of unimodular hypergraphs”, Journal of Algebra 513(1), pp 159–176 [23] Herzog, J., Hibi, T., N V Trung (2007), “Symbolic powers of monomial ideals and vertex cover algebras”, Advances in Mathematics, 210(1), pp 304–322 [24] Herzog, J., Hibi, T., N V Trung (2009), “Vertex cover algebras of unimodular hypergraphs”, Proceedings of the American Mathematical Society, 137(2), pp 409–414 [25] Herzog, J., L T Hoa, N V Trung (2002), “Asymptotic linear bounds for the Castelnuovo-Mumford regularity”, Transactions of the American Mathematical Society 354(5), pp 1793–1809 [26] Herzog, J., Iyengar, S (2005), “Koszul modules”, Journal of Pure and Applied Algebra 201(1-3), pp 154–188 [27] Hibi, T., Higashitani, A., Kimura, K., O’Keefe, A B (2015), “Algebraic study on Cameron - Walker graphs”, Journal of Algebra, 422, pp 257–269 86 [28] T T Hien, T N Trung (2023), “Regularity of symbolic powers of square-free monomial ideals, Arkiv fă or Matematik, 61, pp 99121 [29] L T Hoa (2021), “Maximal Generating Degrees of Powers of Homogeneous Ideals”, Acta Mathematica Vietnamica , 47, pp 19–37 [30] L T Hoa, T N Trung (2010), “Partial Castelnuovo-Mumford regularities of sums and intersections of powers of monomial ideals”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 149(2), pp 229–246 [31] L T Hoa, T N Trung (2016), “Castelnuovo - Mumford regularity of symbolic powers of two-dimensional square-free monomial ideals”, Journal of Commutative Algebra, 8(1), pp 77–88 [32] Hoang Tuy (2016), Convex Analysis and Global Optimization, Springer International Publishing [33] Kodiyalam, V (2000), “Asymptotic behaviour of CastelnuovoMumford regularity”, Proceedings of the American Mathematical Society, 128(2), pp 407–411 [34] Kumar, A., Kumar, R., Sarkar, R., Selvaraja, S (2021), “Symbolic powers of certain cover ideals of graphs”, Acta Mathematica Vietnamica, pp 1–13 [35] Miller, E., Sturmfels, B (2005), Combinatorial commutative algebra, Springer [36] N C Minh, N V Trung (2009), “Cohen - Macaulayness of powers of two-dimensional squarefree monomial ideals”, Journal of Algebra, 322(12), pp 4219–4227 [37] N C Minh, T N Trung (2019), “Regularity of symbolic powers and arboricity of matroids”, Forum Mathematicum, 31(2), pp 465–477 87 [38] Mumford, D (1966), Lectures on curves on an algebraic surface Princeton University Press, New Jersey [39] Nguyen, H D., N V Trung (2019), “Depth functions of symbolic powers of homogeneous ideals”, Inventiones mathematicae, 218(3), pp 779–827 [40] Reid, L., Roberts, L G., Vitulli, M A (2003), “Some results on normal homogeneous ideals”, Communications in Algebra, 31(9), pp 4485– 4506 [41] Schrijver, A (1998), Theory of linear and integer programming, John Wiley & Sons [42] Stanley, R P (1996), Combinatorics and Commutative Algebra, second edition, Birkhauser, Boston, MA [43] Takayama, Y (2005), “Combinatorial characterizations of generalized Cohen-Macaulay monomial ideals”, Bulletin mathématique de la Société des Sciences Mathématiques de Roumanie, 48, pp 327–344 [44] Terai, N (1999), “Alexander duality theorem and Stanley-Reisner rings Free resolutions of coordinate rings of projective varieties and related topics” (Japanese) (Kyoto, 1998), S¯ urikaisekikenky¯ usho K¯oky¯ uroku no 1078, pp 174–184 [45] T N Trung (2009), “Stability of associated primes of integral closures of monomial ideals”, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 116(1), pp 44–54 [46] N V Trung, Wang, H J (2005), “On the asymptotic behavior of Castelnuovo-Mumford regularity”, Journal of Pure and Applied Algebra, 201(1-3), pp 42–48 88 [47] Vasconcelos, W (2005), Integral Closure: Rees Algebras, Multiplicities, Algorithms, Springer Monographs in Mathematics, Springer Bảng thuật ngữ Tiếng Việt Tiếng Anh bậc degree cạnh treo pendant số quy (Castelnuovo-Mumford) (Castelnuovo-Mumford) regularity chiều xạ ảnh projective dimension đa diện hình thức symbolic polyhedron đa diện Newton Newton polyhedron đỉnh lập isolated vertex đơn hình simplex đồ thị hai phần bipartite graph đối ngẫu Alexander Alexander dual ghép cặp matching ghép cặp cảm sinh induced matching ghép cặp thứ tự ordered matching giải tự phân bậc tối tiểu minimal graded free resolution giải tự tuyến tính linearity resolution hệ sinh tối tiểu minimal generator iđêan cạnh edge ideal iđêan phủ cover ideal 89 90 kề/ lân cận adjacent khơng chứa bình phương square-free leaf lân cận đóng closed neighborhood lũy thừa hình thức symbolic power nón cone phủ đỉnh cover vertex phức đơn hình Koszul upper Koszul simplicial complex phức độc lập independence complex phức matroid matroid complex phức pure complex siêu đồ thị hypergraph tầm thường trivial tập độc lập independence set tập trội cạnh thành phần edgewise dominant set tuyến tính phần componentwise linear tựa tuyến tính quasi-linear