Luận Án Sự Hội Tụ Của Dãy Hàm Hữu Tỷ Và Chuỗi Lũy Thừa Hình Thức.pdf

Mục lục Kí hiệu Mở đầu Tổng quan vấn đề nghiên cứu 1.1 10 Định lý hội tụ kiểu Vitali dãy hàm chỉnh hình khơng bị chặn 10 1.2 Hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức Cn 15 1.3 Hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn 17 Định lý hội tụ kiểu Vitali dãy hàm chỉnh hình không bị chặn 20 2.1 Một số kết bổ trợ 20 2.2 Hội tụ nhanh hàm chỉnh hình hàm hữu tỉ 24 2.3 Một ví dụ hội tụ nhanh hàm hữu tỷ 41 Hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức Cn 49 3.1 Một số kiến thức sở 49 3.2 Hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức 52 Hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn 63 4.1 Một số kết bổ trợ 63 4.2 Hội tụ có trọng hàm hữu tỉ 66 Kết luận kiến nghị 78 Tài liệu tham khảo 81 Tài liệu tham khảo 81 KÍ HIỆU • C ∞ (Ω) - Tập hàm trơn vơ hạn Ω • C 0,α (Ω) - Tập cỏc hm liờn tc -Hăolder trờn ã L () - Khơng gian hàm bị chặn Ω • L∞ loc (Ω) - Không gian hàm bị chặn địa phương Ω • P SH(Ω) - Tập hàm đa điều hịa Ω • P SH − (Ω) - Tập hàm đa điều hòa âm Ω • M P SH(Ω) - Tập hàm đa điều hịa cực đại Ω • SH(Ω) - Tập hàm điều hòa Ω • HP SH(Cn ) tập hàm đa điều hịa Cn R • cap(E, D) = sup{ E (ddc u)n : u ∈ P SH(D), −1 < u < 0}.-Dung lượng tương đối tập Borel E D • {hm }m≥1 dãy hàm nhận giá trị thực, C −trơn định nghĩa (0, ∞) • {χm }m≥1 nhận giá trị thực, liên tục xác định [0, ∞) • uj ↑ u - Kí hiệu dãy {uj } hội tụ tăng tới u • uj ↓ u - Kí hiệu dãy {uj } hội tụ giảm tới u • 1A = χA - Kí hiệu hàm đặc trưng tập A Mở đầu Lý chọn đề tài Các dạng hội tụ hàm hữu tỷ Cn phần quan trọng giải tích phức đại, lĩnh vực hay có nhiều ứng dụng thực tế làm tiền đề cho việc nghiên cứu vấn đề khác Một toán cổ điển đồng hành trình phát triển Giải tích tốn học tốn liên quan đến tính hội tụ dãy hàm Các vấn đề liên quan đến tính hội tụ dãy hàm đặt thường để trả lời câu hỏi: Các dãy hàm cho có hội tụ hội tụ hay không? hội tụ hay hội tụ đến hàm nào? hàm biết hay chưa biết? giả thiết dãy hàm hội tụ nhanh, nhanh đều? Hội tụ điểm hội tụ đều? v.v Trong lý thuyết Giải tích phức, tính hội tụ, hội tụ dãy hàm có liên quan chặt chẽ tới cực Những năm gần cách sử dụng số công cụ lý thuyết đa vị nhà toán học Việt Nam giới chứng minh nhiều kết quan trọng có tính ứng dụng cao Gonchar, T Bloom, Z Blocki, Molzon, Alexander Việt Nam có Nguyễn Quang Diệu, Lê Mậu Hải, Nguyễn Xuân Hồng, Phạm Hoàng Hiệp Định lý Montel cổ điển khẳng định hàm chỉnh hình bị chặn tập compact tập mở D Cn compact tương đối tô pô mở compact Một kết mở rộng thú vị định lý định lý hội tụ Vitali (tìm đầu kỷ 20) nói giả thiết thêm dãy hàm cho hội tụ điểm tập S đủ lớn dãy phải hội tụ tập compact miền xác định Một vấn đề tự nhiên đặt liệu ta thay giả thiết bị chặn tốc độ hội tụ dãy hàm xấp xỉ không? Để làm rõ câu hỏi này, cần nhắc lại số kết Gonchar (vào năm 70 kỷ trước) Cho R tập hàm chỉnh hình f lân cận U ∈ Cn mà xấp xỉ nhanh theo độ đo dãy hàm hữu tỷ {rm }m≥1 , degrm ≤ m Bằng cách sử dụng khai triển Taylor ta chứng minh hàm phân hình Cn chỉnh hình lân cận thuộc lớp R Khái niệm đưa Gonchar vào cuối năm 70 kỷ trước nhằm nghiên cứu cấu trúc miền tồn hàm chỉnh hình f Gonchar chứng minh f xấp xỉ nhanh rm miền tồn f đơn trị tức tập Cn Hơn 20 năm sau, cách sử dụng số công cụ lý thuyết đa vị, Bloom chứng minh định lý Gonchar thay hội tụ nhanh theo độ đo hội tụ nhanh theo dung lượng tương đối Các kết xấp xỉ nhanh hàm chỉnh hình cịn có ứng dụng việc xây dựng bao đa cực tập đa cực Cn tốn thác triển hàm chỉnh hình Có thể thấy vấn đề hội tụ xấp xỉ dãy hàm chỉnh hình đa điều hịa vấn đề truyền thống giải tích có ứng dụng vào nhiều tốn khác giải tích thực phức Tiếp tục hướng nghiên cứu đó, luận án này chúng tơi nghiên cứu Định lý hội tụ kiểu Vitali hàm chỉnh hình, hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn Các kết liên quan đến đề tài tìm thấy cơng trình sử dụng luận án Mục đích nghiên cứu Luận án Từ kết quan trọng có hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn nghiên cứu gần đây, đặt số mục đích nghiên cứu cho Luận án sau: - Định lý hội tụ kiểu Vitali dãy hàm chỉnh hình khơng bị chặn - Đưa dãy hàm hữu tỷ hội tụ nhanh hội tụ cần xét biên - Sự hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức Cn - Sự hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn - Cố gắng mở rộng nêu hướng mở rộng kết nghiên cứu trường hợp thực Đối tượng nghiên cứu - Các tính chất kết hội tụ hàm chỉnh hình, hàm hữu tỷ, hàm đa điều hòa - Các tính chất chuỗi lũy thừa hình thức điều kiện cho hội tụ - Các hàm hữu tỉ điều kiện đủ cho hội tụ Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết nghiên cứu tốn học với cơng cụ kỹ thuật truyền thống lý thuyết chuyên ngành Giải tích hàm Giải tích phức - Tổ chức seminar, trao đổi, thảo luận, công bố kết nghiên cứu theo tiến trình thực đề tài Luận án, nhằm thu nhận xác nhận tính xác khoa học kết nghiên cứu cộng đồng nhà khoa học chuyên ngành ngồi nước Những đóng góp Luận án Luận án đạt mục đích nghiên cứu đề Kết Luận án góp phần nhỏ vào hệ thống kết quả, phương pháp, công cụ kỹ thuật nghiên cứu liên quan đến hội tụ, hội tụ đều, hội tụ nhanh, hội tụ theo dung lượng hàm chỉnh hình, hàm đa điều hịa dưới, hàm hữu tỷ hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức - Đưa số công cụ, kỹ thuật phương pháp nghiên cứu để đạt mục đích nghiên cứu đề - Đưa số hướng nghiên cứu đề tài Luận án Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án Kết khoa học Luận án góp phần nhỏ vào việc hồn thiện lý thuyết liên quan đến hội tụ hàm chỉnh hình, hàm hữu tỷ Giải tích phức Về mặt phương pháp, Luận án góp phần đó, làm đa dạng hóa hệ thống cơng cụ kỹ thuật nghiên cứu chuyên ngành, áp dụng cụ thể đề tài Luận án chủ đề tương tự Cấu trúc luận án Cấu trúc Luận án trình bày theo quy định cụ thể luận án tiến sỹ Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, bao gồm phần: Mở đầu, Tổng quan, chương trình bày kết nghiên cứu, Kết luận, Danh mục cơng trình luận án, Tài liệu tham khảo Nội dung Luận án gồm bốn chương có tên nội dung tóm tắt sau: Chương Tổng quan Luận án Phần đầu Chương dành cho việc trình bày tổng quan luận án phần sau khái niệm tính chất tính hội tụ, hội tụ đều, hội tụ theo dung lượng hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa hàm hữu tỷ Chương Định lý hội tụ kiểu Vitali dãy hàm chỉnh hình khơng bị chặn Chương Hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức Cn Chương Hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn Cuối cùng, phần Kết luận, điểm lại kết nghiên cứu trình bày Luận án Đồng thời, Phần Kiến nghị mạnh dạn nêu vài ý tưởng nghiên cứu phát triển đề tài Luận án Chúng hy vọng nhận nhiều quan tâm chia sẻ đồng nghiệp giúp hoàn thiện kết nghiên cứu Chương Tổng quan vấn đề nghiên cứu Luận án nghiên cứu ba vấn đề xoay quanh hội tụ dãy hàm hữu tỷ chuỗi lũy thừa hình thức, ta trình bày tóm tắt vấn đề cho bạn đọc dễ theo dõi 1.1 Định lý hội tụ kiểu Vitali dãy hàm chỉnh hình không bị chặn Cho D miền Cn {fm }m≥1 dãy hàm chỉnh hình xác định D Một định lý cổ điển Vitali khẳng định {fm }m≥1 bị chặn địa phương hội tụ điểm tập X D không chứa siêu phẳng phức D {fm }m≥1 hội tụ tập compact D Ta ý giả thiết tính bị chặn {fm }m≥1 cần thiết Thật vậy, sử dụng định lý xấp xỉ Runge, ta xây dựng dãy đa thức C hội tụ điểm tới toàn miền C, ngoại trừ điểm gốc có giới hạn 10 11 Vấn đề chúng tơi quan tâm việc tìm kết tương tự định lý Vitali nhắc đến cho trường hợp khơng cần đến tính bị chặn địa phương {fm }m≥1 Gonchar chứng minh Định lý [9] kết đáng ý sau Định lý 1.1.1 Cho {rm }m≥1 dãy hàm hữu tỷ Cn (degrm ≤ m) hội tụ nhanh theo độ đo tập mở X tới hàm chỉnh hình f xác định miền bị chặn D (X ⊂ D), nghĩa với ε > 0, lim λ2n (z ∈ X : |rm (z) − f (z)|1/m > ε) = 0, m→∞ λ2n độ đo Lebesgue Cn ∼ = R2n Khi {rm }m≥1 hội tụ nhanh theo độ đo tới f tồn miền D Sau đó, cách sử dụng kỹ thuật lý thuyết đa vị, Bloom chứng minh kết tương tự hội tụ nhanh theo dung lượng mà tập X địi hỏi compact khơng-đa cực (xem Định lý 2.1 [5]) Chính xác hơn, ta có định lý sau Bloom Định lý 1.1.2 Cho f hàm chỉnh hình xác định miền bị chặn D ⊂ Cn Cho {rm }m≥1 dãy hàm hữu tỷ (degrm ≤ m) hội tụ nhanh theo dung lượng tới f tập Borel không đa cực X D, theo nghĩa: với ε > ta có lim cap ({z ∈ X : |rm (z) − f (z)|1/m > ε}, D) = m→∞ Khi {rm }m≥1 hội tụ tới hàm f nhanh theo dung lượng D nghĩa là, ... có hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn nghiên cứu gần đây, đặt số mục đích nghiên cứu cho Luận án sau: - Định lý hội tụ kiểu Vitali dãy hàm chỉnh hình khơng bị chặn - Đưa dãy hàm hữu tỷ hội tụ nhanh hội tụ. .. Định lý hội tụ kiểu Vitali hàm chỉnh hình, hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn Các kết liên quan đến đề tài tìm thấy cơng trình sử dụng luận án Mục đích nghiên cứu Luận án Từ... hội tụ hội tụ hay không? hội tụ hay hội tụ đến hàm nào? hàm biết hay chưa biết? giả thiết dãy hàm hội tụ nhanh, nhanh đều? Hội tụ điểm hội tụ đều? v.v Trong lý thuyết Giải tích phức, tính hội tụ,