VnTeach Com; BÀI 6 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ DẠNG 1 BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ THÔNG QUA ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN Nghiệm của phương trình 0af x b là số giao điểm của đường thẳng b y a[.]
C H Ư Ơ N I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ BÀI SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ III HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NG HIỆM = = DẠNG =I BÀI TỐN TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ THƠNG QUA ĐỒ THỊ, BẢNG BIẾN THIÊN Nghiệm phương trình hàm số Câu 1: af x b 0 số giao điểm đường thẳng y b a với đồ thị y f x Cho hàm số y f ( x) có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thực phương trình f ( x) 0 A B C Lời giải D 7 y Do đường thẳng cắt đồ thị hàm số y f x Ta có: điểm phân biệt nên suy phương trình cho có nghiệm f ( x) 0 f ( x) Câu 2: Cho hàm số y f x Hỏi phương trình A có bảng biến thiên sau f x 0 B có nghiệm thực? C D Lời giải Phương trình f x 0 f x Số nghiệm phương trình thẳng y số giao điểm đồ thị hàm số y f x đường 5 y y f x Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị có điểm chung Vậy phương trình Câu 3: * * Cho hàm số f x 0 y f x có nghiệm thực có bảng biến thiên hình bên Số nghiệm phương trình A B f x 0 C Lời giải D Chọn A f x 0 f x 3 Ta có: , theo bảng biến thiên ta có phương trình có nghiệm Câu 4: 2; 2 có đồ thị đường cong hình vẽ bên Cho hàm số y f (x) liên tục đoạn Tìm số nghiệm phương trình A B f (x) 1 2; 2 đoạn C D Lời giải Ta có số nghiệm phương trình f (x) 1 số giao điểm đồ thị hàm số y f (x) với đường thẳng y 1 y f (x) Từ hình vẽ ta thấy đường thẳng y 1 cắt đồ thị hàm số điểm Vậy số nghiệm phương trình Câu 5: Cho hàm số f (x) 1 y f x liên tục có đồ thị hình vẽ f x 2 Số nghiệm phương trình A B C D Lời giải *Đồ thị y f x - Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị y f x nằm phía Ox y f x - Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía Ox qua trục hoàn y f x - Bước 3: Xóa phần đồ thị nằm phía trục hồnh Số nghiệm phương trình f x 2 số giao điểm đồ thị hàm số y f x đường thẳng y 2 Dựa vào hình vẽ trên, ta thấy có giao điểm *Cách giải khác: f ( x) 2 f x 2 f ( x) , dựa vào đồ thị suy phương trình cho có nghiệm DẠNG BÀI TỐN TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ THƠNG QUA HÀM SỐ CHO TRƯỚC KHÔNG CHỨA THAM SỐ) Cho hai đồ thị y f ( x) y g ( x) Bước Giải phương trình f ( x) g ( x) Bước Tìm Số giao điểm? Hoành độ giao điểm? Tung độ giao điểm? Câu 6: Gọi P số giao điểm hai đồ thị A P 0 B P 2 y x3 x y x 1 Tìm P C P 1 Lời giải D P 3 2 y x x y x 1 : Xét phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị x 0 x3 x x x3 x 0 x 2 Với x 0 y 1 Với x 2 y 5 Nên hai đồ thị có hai giao điểm 0;1 2;5 Vậy P 2 Câu 7: Cho hàm số A y x 3x có đồ thị C Số giao điểm đồ thị C đường thẳng B C Lời giải D y 2 Số giao điểm đồ thị C đường thẳng y 2 số nghiệm phương trình sau: 17 x 17 4 x 3x 2 x 3x 0 x 17 x Phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm nên số giao điểm đồ thị thẳng Câu 8: Biết đường thẳng y 4 x cắt đồ thị hàm số x0 ; y0 A tọa độ điểm Tìm y0 10 y0 y0 13 B C đường y x3 x điểm nhất; kí hiệu C Lời giải y0 11 D y0 12 3 Phương trình hồnh độ giao điểm x x 1 4 x x x 0 x 2 Với x 2 y 13 Vậy Câu 9: y0 13 Đồ thị hàm số y = - x - 3x + cắt trục tung điểm có tung độ A -3 B C D -1 Lời giải Trục tung có phương trình: x = Thay x = 0vào y = - x - 3x + được: y = Câu 10: Số giao điểm đường cong A y x3 x x đường thẳng C Lời giải B y 1 x D Chọn A Xét phương trình hồnh độ giao điểm x3 x x 1 x x3 x 3x 0 x x x 3 0 x 0 Câu 11: đồ thị hàm số A y x 3x đồ thị hàm số y x có điểm chung? B C Lời giải D Chọn C Pthdgd: x 3 x 3x x x x 0 x x Do pt có nghiệm nên đồ thị hai hàm số có điểm chung Câu 12: Cho hàm số y x3 x có đồ thị C Tìm số giao điểm C trục hoành A C Lời giải B D Chọn B Pthd C trục hoành là: x 0 x x 0 x có giao điểm 3 Chú ý: Ở toán hồn tồn giải trực tiếp Casio với phương trình x x 0 , chắn thao tác bấm máy chậm việc tính tay( chí khơng cần nháp mà kết ta đọc đề xong) Vì vậy, Casio điều khơng cần thiết với câu hỏi y x 3 x Câu 13: Cho hàm số có đồ thị A C cắt trục hồnh hai điểm C C khơng cắt trục hoành C Mệnh đề đúng? B C cắt trục hoành điểm C cắt trục hoành ba điểm D Lời giải Chọn B Pthd C trục hoành là: x 3 x 3 x 3 x 0 C cắt trục hoành điểm x nghĩa Câu 14: Biết đường thẳng y x cắt đồ thị hàm số x0 ; y0 A tọa độ điểm Tìm y0 1 B y x3 x x điểm nhất, kí hiệu y0 y0 3 C Lời giải y0 D y0 4 Chọn A Pthdgd: x x x x x x 0 x y0 1 Câu 15: đồ thị hàm số sau cắt trục tung điểm có tung độ âm? A y x x B y x 1 x4 C Lời giải y x x2 D y 2x x 5 Chọn C Trục tung có phương trình x 0 , ta thay x 0 vào phương án có phương án C cho ta y 0 Câu 16: Gọi M , N giao điểm đường thẳng y x đường cong độ y 2x x Khi hồnh xI trung điểm I đoạn MN bao nhiêu? x 2 A I x 1 B I x C I D xI Lời giải Chọn B 2x x 1 x 1 x x 0 (*) Pthdgd x x xN xI M 1 Khi Chú ý: giải (*), tìm Câu 17: Cho hàm số y xM 1 6, xN 1 xI 1 x 1 x có đồ thị C đường thẳng d1 : y 2 x , d : y 2 x , d3 : y 3 x , d : y x Hỏi có đường thẳng bốn đường thẳng d1 , d , d3 , d qua giao điểm C trục hoành A B C Lời giải D Chọn A Ta có C cắt trục hoành Trong đường thẳng M 1;0 y 0 điểm M 1;0 d1 , d , d3 , d có M d3 , có nghĩa có đường thẳng qua Câu 18: Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y x đường thẳng y x A B C D Lời giải Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm x 5 x ( x 5) x 5 x x 10 x 29 0 (*) Do x 5 nên x4 x x x x ( x 1) 10 x 29 Vì (*) vơ nghiệm Như phương trình x x vô nghiệm hay đồ thị hàm số y x đường thẳng y x khơng có giao điểm Cách 2: x x x x Ta có điều kiện xác định Phương trình hồnh độ giao điểm x x Với điều kiện ta có Xét hàm x x x x 0 h( x ) x x số h '( x ) Ta có x3 x4 1 ; h '( x) 0 x x Với x ta có x x Với x ta có x3 x Ta có Bảng biến thiên: Số nghiệm phương trình x x số giao điểm đồ thị y h( x) x x trục hoành y 0 Dựa vào BBT ta thấy phương trình x x vô nghiệm hay đồ thị hàm số y x đường thẳng y x khơng có giao điểm DẠNG BÀI TỐN TƯƠNG GIAO ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC (CHỨA THAM SỐ) Bài tốn tổng qt: Tìm giá trị tham số hàm số m để để đường thẳng d : y px q cắt đồ thị (C ) : y ax3 bx cx d điểm phân biệt thỏa điều kiện K ? (dạng có điều kiện) Phương pháp giải: Bước Lập phương trình hoành độ giao điểm d (C ) là: ax bx cx d px q Đưa phương trình bậc ba nhẩm nghiệm đặc biệt x xo để chia Hoocner được: x xo ( x xo ) (ax bx c) 0 g ( x) ax bx c 0 Bước Để d cắt (C ) ba điểm phân biệt phương trình g ( x ) xo g ( xo ) 0 Giải hệ này, tìm giá trị m D1 g ( x ) 0 có nghiệm phân biệt khác Bước Gọi A( xo ; pxo q), B ( x1; px1 q), C ( x2 ; px2 q) với x1 , x2 hai nghiệm Theo Viét, ta có: x1 x2 b c x1 x2 a a (1) Bước Biến đổi điều kiện K dạng tổng tích x1 , x2 (2) Thế (1) vào (2) thu phương trình bất phương trình với biến giá trị Kết luận: g ( x) 0 m Giải chúng tìm m D2 m D1 D2 Một số cơng thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến cấp số y ax bx cx d cắt trục hồnh điểm phân biệt có Tìm điều kiện để đồ thị hàm số hồnh độ lập thành cấp số cộng Điều kiện cần: Giả sử x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình ax bx cx d 0 b ax bx cx d a ( x x1 )( x x2 )( x x3 ) , đồng hệ số ta x2 3a Khi đó: Thế x2 b 3a vào phương trình ax bx cx d 0 ta điều kiện ràng buộc tham số giá trị tham số Điều kiện đủ: Thử điều kiện ràng buộc tham số giá trị tham số để phương trình ax bx cx d 0 có nghiệm phân biệt y ax bx cx d cắt trục hoành điểm phân biệt có Tìm điều kiện để đồ thị hàm số hoành độ lập thành cấp số nhân Điều kiện cần: Giả sử x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình Khi đó: ax bx cx d 0 ax bx cx d a ( x x1 )( x x2 )( x x3 ) , đồng hệ số ta x2 d a d a vào phương trình ax bx cx d 0 ta điều kiện ràng buộc tham số Thế giá trị tham số Điều kiện đủ: Thử điều kiện ràng buộc tham số giá trị tham số để phương trình ax bx cx d 0 có nghiệm phân biệt x2 Câu 19: Cho hàm số y x 3mx 2m Có giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng? A B C D Lời giải Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm: x - 3mx + 2m= ( *) ® phương trình có Phương trình ax + bx + cx + d = có ba nghiệm lập thành cấp số cộng ¾¾ nghiệm x0 =- b 3a Suy phương trình ( *) có nghiệm x = m Thay x = m vào phương trình ( *) , ta Thử lại: éx = 1- ê x - 3x + = « ê êx = ê êx = 1+ ë Với m=1, ta ém= ±1 m3 - 3m m2 + 2m = Û - 2m3 + 2m= « ê êm= ë Do m=1 thỏa mãn Với m= - 1, ta éx =- 1+ ê x3 + 3x2 - = « ê êx =- ê ê ëx =- 1- Do m= - thỏa mãn Với m= , ta x = Û x = Do m= khơng thỏa mãn Vậy m= ±1 hai giá trị cần tìm m Câu 20: Tìm tất giá trị thực tham số để đồ thị hàm số thẳng d : y = m( x - 1) ba điểm phân biệt A m >- B m =- Phương trình hồnh độ giao điểm x3 - 3x + = m( x - 1) y = x3 - 3x + ( C ) cắt đường x1 , x2 , x3 C m >- Lời giải ( C ) D m =- d (1) 2 Phương trình (1) Û x - 3x - mx + + m = Û ( x - 1)( x - x - m - 2) = éx - = éx = Û ê Û ê êf ( x) = x - x - m - = êf ( x ) = x - x - m - = (2) ë ë (1) x Phương trình ln có nghiệm = , để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt phương trình (2) phải có hai nghiệm phân biệt khác ïì D ' = + m + > ïìï m >- Û ïí Û í Û m >- ùợù f (1) ùợù m - Vậy m >- thỏa mãn yêu cầu toán y = x3 - x + hai điểm A B với tọa độ kí hiệu A( x A ; y A ) B ( xB ; yB ) xB < xA Tìm xB + yB ? Câu 21: Đường thẳng D có phương trình y = x +1 cắt đồ thị hàm số