I tóm tắt lý thuyết

CHỦ ĐỀ 16: CÁC PHÉP TÍNH TỐN VỚI SỐ PHỨC A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1) Các khái niệm  Định nghĩa: Số phức số có dạng a + bi, a b số thực số i thỏa mãn i  Kí hiệu số phức z viết z a  bi Trong i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực b gọi phần ảo số phức z a  bi Tập hợp số phức kí hiệu  Chú ý: - Số phức z a a  0.i có phần ảo coi số thực viết a  0.i a   - Số phức có phần thực gọi số ảo (còn gọi số ảo): z 0  bi bi  b    Ví dụ z 5i số ảo - Số 0  0.i vừa số thực, vừa số ảo Ví dụ: Số phức z 5  3i có phần thực 5, phần ảo Số phức z  4i có phần thực 0, phần ảo  ; số ảo  a a  Hai số phức z a  bi; z a  bi  a; a; b; b   gọi  b b Khi ta viết z  z  2) Biểu diễn hình học số phức Xét mặt phẳng tọa độ Oxy Mỗi số phức a  bi  a; b    biểu diễn điểm M  a; b  Ngược lại, điểm M  a; b  biểu diễn số phức z a  bi Ta viết M  a  bi  hay đơn giản M  z Mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức gọi mặt phẳng phức Gốc tọa độ O biểu diễn số Các điểm trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục Ox cịn gọi trục thực Các điểm trục tung Oy biểu diễn số ảo, trục Oy cịn gọi trục ảo 3) Phép cộng phép trừ số phức a) Phép cộng hai số phức Tổng hai số phức z a  bi; z a  bi  a; a; b; b   số phức z  z a  a   b  b i Ví dụ:  i   2i      i  2i  9  i  i   4i   3i Một số tính chất phép cộng số phức  Tính chất kết hợp:  z1  z2   z3 z1   z2  z3  , z1 ; z2 ; z3    Tính chất giao hốn: z  z '  z ' z , z ', z    Cộng với 0: z  0  z  z , z    Với số phức z a  bi  a; b    kí hiệu số phức  a  bi  z ta có: z    z    z   z 0 Số  z gọi số đối số phức z b) Phép trừ hai số phức Hiệu hai số phức z z  tổng z  z ' , tức z  z z    z  Nếu z a  bi; z  a  bi z  z  a  a   b  b i Ví dụ:   5i     2i    1     i 3  3i c) Phép nhân hai số phức Tích hai số phức z a  bi z  a  bi  a; a; b; b   số phức: zz  a  bi   a  bi  aa   ab  ba  i  bbi  aa  bb   ab  ab  i Biến đổi tương tự ta có: 2  z  a  bi  a  2abi   bi  a  b  2abi 3 3 2  z  a  bi  a  3a bi  3a  bi    bi  a  3ab   3a b  b  i 2    i  2i;   i   2i Ví dụ:   i    2i  3   i  6i 5  5i Một số tính chất phép nhân hai số phức:  Tính chất giao hốn: zz zz , z; z    Tính chất kết hợp:  z1 z2  z3 z1  z2 z3  , z1 ; z2 ; z    Nhân với 1: 1.z z.1, z    Tính chất phân phối phép nhân phép cộng: z  z1  z2  zz1  zz2 , z; z1 ; z2   4) Số phức liên hợp môđun số phức a) Số phức liên hợp  Số phức liên hợp z a  bi  a; b    a  bi kí hiệu z Như z a  bi a  bi Ví dụ:  5i 2  5i 4 3i 4  3i i  i  2i 2i 5  Chú ý: Vì z z nên z z hai số phức liên hợp với  Tính chất: Với số phức z; z ta có: z  z  z  z  zz z.z  b) Mô-đun số phức Mô-đun số phức z a  bi  a; b    số thực không âm a  b kí hiệu z Trong mặt phẳng tọa độ Oxy điểm M  a; b  biểu diễn số phức z Khi OM  a  b  z Như vậy, z a  bi  a; b    z  z.z  a  b Ví dụ:  5i 5;  3i  42  32 5 5) Phép chia cho số phức khác z z 1  Định nghĩa: Số nghịch đảo số phức z khác số z   z z z z Thương tức Ví dụ: z phép chia số phức z  cho số phức z khác tích z  với số nghịch đảo số phức z, z z  z.z z  z.z  Như vậy, z 0  z z z   i    3i  5 14i i   3i   3i    3i  13 6) Một số kết quan trọng Cho z1 a1  b1i; z2 a2  b2i ta có: a) z1 z2  z1 z2 b) z1 z1  z2 z2 z 0  Chứng minh: Ta có: z1 z2  a1a2  b1b2    a1b2  a2b1  i Khi z1 z2   a1a2  b1b2  2   a1b2  a2b1    a1a2  2   b1b2    a1b2    a2b1   a  b12   a22  b22   z1 z2 (đpcm) Tổng quát: z1 z2 zn  z1 z2 zn Hoàn toàn tương tự ta chứng minh z z1   z2 0  z2 z2 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN  Dạng 1: Tính tốn với số phức Phương pháp CASIO: Ngoài cách thực tính tốn thơng thường, ta cịn sử dụng máy tính CASIO để hỗ trợ việc tính tốn phép tính số phức Bước 1: Nhấn Mode để chuyển sang hình tính tốn số phức (màn hình CMPLX) Bước 2: Nhập biểu thức cần tính tốn với số i ta bấm: Chú ý: (Tổ hợp phím SHIFT – – – Anpha X): Conjg số phức liên hợp X (Tổ hợp phím SHIFT – Abs – Anpha – X): X modun số phức X Ví dụ 1: Tìm phần thực phần ảo số phức z   i     i  A Phần thực phần ảo i C Phần thực 3 phần ảo i B Phần thực -3 phần ảo D Phần thực 3 phần ảo 1 Lời giải 2 Ta có: z   i     i    2i  i    i 2i   i   i Phần thực -3 phần ảo Chọn B Ví dụ 2: Cho hai số phức z1 2  3i z2 3  i Tính mơđun số phức z z1  z2 A z 3 B z  30 C z  29 D z 5 Lời giải Ta có: z z1  z2 5  2i  z  29 Chọn C Ví dụ 3: Tìm số thực x; y biết x   y  1 i 2  3i A x 2; y 2 B x 2; y  C x 2; y  Lời giải D x 3; y   x 2  Do x   y  1 i 2  3i     y  1 3  x 2 Chọn C   y  Ví dụ 4: Cho số phức z 2m   3mi  m    Tìm m biết z  10  9 A m 1;   13  9  B m   1;   13  Ta có: z  10   2m  1   3m  9  C m   1;   13   Lời giải 9  D m 1;    13   m 1 10  13m  4m  0   Chọn D  m  13      Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn: z   3i   3i Tính mơđun số phức w iz  A w 5 C w 9 B w 7 D w 1 Lời giải    Ta có: z   3i   3i  1  2i    2i    z  Do w  4i   w 5 Chọn A Ví dụ 6: Điểm M hình vẽ biểu diễn số phức z Số phức liên hợp số phức z là: A w   2i B w   2i C w 2  3i D w 2  3i Lời giải Điểm M   3;   z   2i  w  z   2i Chọn B Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn z  Tính mơ-đun số phức w   4i  z A w 5 C w 5 B w 5 D w 10 Lời giải Ta có: w   4i  z   4i z 5 z 5 Chọn C Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn   i  z 3  i Hỏi điểm biểu diễn z điểm điểm M, N, P Q hình bên A Điểm P Ta có: z  B Điểm Q C Điểm M Lời giải D Điểm N 3 i 1  2i  Điểm biểu diễn số phức z điểm Q  1;   Chọn B 1 i 1 i 3 Ví dụ 9: Cho số phức z   1 i A w 0 Tìm mơ-đun số phức w  z  iz C w 8 B w 8 D w 4 Lời giải 1 i 3 Ta có: z  1 i    3i  i  3i 3      4i  z   4i 1 i 1 i Do w  z  iz   4i  i    4i    8i  w 8 Chọn B Ví dụ 10: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện   i   z  i   z 2i Mô-đun số phức w  z  A 2 B C D Lời giải PT    i  z    i  i  z 2i  z   i  3i   z  Ví dụ 11: Tìm phần ảo số phức z thỏa mãn   i  A B 2i Sử dụng CASIO ta có:   i  2 3i  i  z   Chọn C 3i   i  z 8  i    2i  z C 3 Lời giải   i  2  4i    4i  z    2i  z 8  i 8i    2i  z 8  i  z  2  3i  2i Do phần ảo số phức z 3 Chọn C  Dạng 2: Bài toán quy giải hệ phương trình nghiệm thực Phương pháp: Đặt z a  bi  a; b    từ suy z a bi; z  a  b D 3i a1 a2 Sử dụng tính chất số phức nhau: z1 a1  b1i; z2 a2  b2i ta có: z1  z2   b1 b2 Ví dụ 1: Tìm số thực x y thỏa mãn  x  yi     3i   x  6i với i đơn vị ảo A x  1; y  B x  1; y  C x 1; y  Lời giải D x 1; y  2 x 1 x  Ta có:  x  yi     3i  x  6i   x  1    y   i  x  6i    y  6  x  Chọn A   y  Ví dụ 2: Tìm mơ-đun số phức z biết   2i  z    i  z 21  3i A z  34 B z 5 C z 3 D z  29 Lời giải Đặt z a  bi; a, b   Ta có:   2i   a  bi     i   a  bi  21  3i  a  2b   2a  b  i  a  b   bi 21  3i  2a  3b 21   2a  3b   21  3i     a 3 a 3  z  34 Chọn A  b  Ví dụ 3: Tìm tổng phần thực phần ảo số phức z biết   2i  z    2i  z i A T  B T  C T  7 D T  1 Lời giải Đặt z a  bi; a, b   Ta có:   2i   a  bi     2i   a  bi  i  a  2b   2a  b  i  2a  2b  2ai  2bi i 4  3a  4b 0 7 a   3a  4b  bi i     S  Chọn C   b 1 b  Ví dụ 4: Cho số phức z a  bi  a, b    thỏa mãn:   3i  z    i  z    3i  Tính T 2a  b A T  B T 8 C T  Lời giải D T 1 Ta có:   3i   a  bi     i   a  bi  8  6i 6a  4b 8  6a  4b   2a  2b  i 8  6i    2a  2b 6 a   T 2a  b 1 Chọn D  b 5   Ví dụ 5: Cho số phức z a  bi  a, b    thỏa mãn   i   z  1  z    i  2  2i Tính P a  b A P 0 B P 1 C P  D P  Lời giải   Đặt z a  bi  a, b     z a  bi Ta có   i   z  1  z    i  2   i  z    i  z  2i Suy   i  z    i  z 2    i   a  bi     i   a  bi  2 3a  3b  0  2a  2b  a  b   a  b  i 2  3a  3b    a  b  i 0    P 0 Chọn A a  b 0 Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức  i  3 z  A 26 25 B i   i  z Mô đun số phức w  z  i i C D 26 Lời giải Đặt z a  bi  a, b      i  3  a  bi    2a  5b  0   a  0 i   i   a  bi     2a  5b     a  1 i 0 i a  26  Chọn D   z   i  w   i  w  5 b  Ví dụ 7: Có số phức z thỏa mãn đồng thời z    i   10 z.z 25 A B C Lời giải D 2 Đặt z a  bi  a, b     z a  bi  z.z a  b 25 2 Ta có: a  bi   i  10   a     b  1 10  a  b  4a  2b 5 2  a  b 25  Giải hệ  2  a  b  4a  2b 5  a 5; b 0  a 3; b 4  có số phức thỏa mãn Chọn A  Ví dụ 8: [Đề THPT Quốc gia 2017] Cho số phức z thỏa mãn z 5 z   z   10i Tìm số phức w  z   3i A w   8i B w 1  3i C w   7i Lời giải Đặt z a  bi; a, b   2  a  bi 5 a  b 25    2 2  a  3  b  a  3   b  10   a  bi   a    b  10  i a  b 25   b 5 a 0  z 5i  w 5i   3i   8i Chọn D  b 5 D w   8i Ví dụ 9: [Đề THPT Quốc gia 2017] Cho số phức z a  bi  a, b    thỏa mãn z   3i  z i 0 Tính S a  3b A S  C S  Lời giải B S  Đặt z a  bi  a, b    ta có: a   bi  3i  a    b   b  D S 5  a  a  b i 0   2 b   a  b  a     S  Chọn B b  Ví dụ 10: [Đề THPT Quốc gia 2017] Có số phức z thỏa mãn z   i 2  z  1 số ảo? A B C Lời giải D 2 Đặt z a  bi  a, b    ta có: a  bi   i 2   a     b  1 8 2 2 Mặt khác  z  1  a  bi  1  a  1  b   a  1 bi số ảo suy  a  1  b 0  a     b  1 8  Do   a  b  2  a  1 b    a   b   a 0; b    a   3; b 2   a   3; b 2   Suy có số phức thỏa mãn Chọn D Ví dụ 11: [Đề THPT Quốc gia 2017] Có số phức z thỏa mãn z  3i 5 A Vô số Đặt z a  bi  z 4  B ta C Lời giải có:  a  bi   a   bi  z a  bi   z  a  bi   a  4  b2 z số ảo? z D số a  a    b 0  1 Mặt khác z  3i 5  a   b  3 25    a  b  4a 0  Từ (1) (2) suy  2  a  b  6b 16  2a  3b 8   2  a  b 4a  a 4; b 0  loai   Chọn C  16  24  t / m a  ; b  13  Ví dụ 12: Có số phức z thỏa mãn z  5 số phức w  z số ảo? A Vô số B C Lời giải D ảo Đặt z a  bi ta có: w  a  bi  a  b  2abi số ảo nên a b  a 4  b 4 2 Mặt khác a   bi 5  a  2a  b 24  2a  2a  24 0    a   b 3 Vậy z 4 4i; z  3i số phức cần tìm Chọn B Ví dụ 13: Hỏi có số phức z thỏa mãn z 2 z số ảo? A B C Lời giải D 2 Đặt z a  bi; a, b    a  bi 2  a  b 8  1 2 Mặt khác z  a  bi  a  b  2ab.i số ảo, suy a  b 0    a  b 8  a  b 2  Có số phức z thỏa mãn đề Chọn A Từ (1) (2), suy  2  a  b 0 Ví dụ 14: Có số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện z.z  z 2, z 2 A B C Lời giải D 2   a  bi   a  bi   a  bi 2  a  b  a  bi 2  Đặt z a  bi; a, b      a  bi 2  a  bi 2 2  a  b  a   b 4  a    b 4 a   a   a      2 2 b 0 a  b 4 a  b 4 a  b2 4 a   z   b 0 Chọn C z 2 z i Ví dụ 15: Cho số phức z a  bi  a, b    thỏa mãn   2iz Tính S ab z i 1 A S  B S  27 C S  Lời giải D S  27 2 z   i , giả thiết trở thành Đặt z a  bi  a, b    , ta có  z a  bi i z z    i   z  i   2iz 0  z   3i  1 z 1  i  a  bi   3i  1  a  bi  1  i 2a  3b 1 5  2a  3b  3ai 1  i    a   b   S  Chọn D 27 3a  Ví dụ 16: [Đề Chuyên Đại học Vinh 2017]: Cho số phức z; w khác cho z  w 2 z  w Phần thực z số phức u  w A a  B a  D a  C a 1 Lời giải  z z u    w w  Giả sử u a  bi  a; b    Theo giả thiết suy   z  w  z  w  z  u   w w w   2 3 a  b     a  1  a    2a    a  Chọn D 4  a  1  b 1   Dạng 3: Lấy mơđun vế tìm số phức Ta có: z1  z2  z1  z2 z z1   z2 0  z2 z2 Lưu ý sử dụng tính chất: z  z , z.z  z ; z1 z2  z1 z2 Ví dụ 1: Cho số phức z a  bi  a; b    thỏa mãn z    i  z    3z  i Tìm tổng S 2a  b B S  A S 2 C S 4 D S 0 Lời giải Ta có: PT  z   z  i z  4i  3iz    3i  z  z     z   i  * Lấy môđun vế ta được:   3i  z   10 z   z  4   z  4 2  z  4   z  4 2  10 z 2 z  32  z 2 Thế vào (*) ta có:   3i  z 6  2i  z   2i  8i 8   a  ; b   S  Chọn B  3i 5 5 Ví dụ 2: Cho số phức z 0 thỏa mãn   3i  z  A  z  26   2i Khi z B  z  C  z  D z 3 Lời giải Ta có:   3i  z  26 26   2i  z   3i z  2i  z z   z  3   z   i  26 z  * Lấy môđun vế biểu thức (*) ta được:  z  3   z    26 26  z z  *  z 1  13 z  13   z  z  0    z 1 Chọn B  z  z  26 Ví dụ 3: Cho số phức z a  bi  a; b    thỏa mãn phương trình A  2 B  2  z  1   iz  i z z C  2 Lời giải Tính a  b D ĐK: z 1; z 0 Ta có:  z  1   iz  i  z z  z   z  1  z  1 z z  z  1   iz  i i i z z z   Lấy môđun vế ta được: z  i z   z  z   iz  i  z  1  z i z   z  z  z 1  z  t   t t t  t   t   t  2t  0  Khi   t   t  t Đặt z t 0  t 1    t 1   loai  Suy z 1   a  b  z 3  2 Chọn A Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn   2i  z  10 bao   i Hỏi phần thực số phức w  1 z z nhiêu? A B  C D Lời giải Giả thiết   2i  z  10 10 10   i  z  2i z   i   z    z  1 i  z z z Lấy môđun hai vế (*) ta Do  2i   z     z  1  10  z 1 z 10 10 1   10  i  z   w   i Chọn C z 3i 1 z 2 Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn   4i  z  8 Trên mặt phẳng tọa độ, khoảng cách từ gốc tọa độ đến z điểm biểu diễn số phức z thuộc tập nào? 9  A  ;   4  1 5 B  ;   4  1 C  0;   4 1 9 D  ;   4 Lời giải Ta có   4i  z  4 8    4i  z 8  z z  * Lấy môđun hai vế (*) sử dụng công thức z1.z2  z1 z2 , ta  *    4i  z  z 8  8  4 8  z z  z  z  0  z 2 Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z Khi z 1 9 OM  x  y  z 2   ;  Chọn D  4 Ví dụ 6: Xét số phức z thỏa mãn 2iz  i  1 z    i  Mệnh đề đúng? A z 2 C z 1 B z  D z 2 Lời giải Ta có: 2iz  i  1 z    i   2iz  z i  z   i  2iz  z    z  1 i Lấy môđun hai vế (*), ta 2iz  2 2  z 1   z  1 2 2z   *  z  1   z  1 2  z  z  1   z  1  z 2 z   z 1  z 1 Chọn C Ví dụ 7: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Có số phức z thỏa mãn z  z   i   2i   i  z : A B C Lời giải D PT  z   i  z   z    z  i Lấy môđun vế ta được: z  i  z  16 z    z  2 Đặt t  z  t 0  ta có: t  i  t  16t    t   t   t   12  17t  4t   t 1  t 8,95 3  t  10t  9t  4t  0   t  1  t  9t   0    t 0,69   t  0, 64  loai  Ứng với giá trị t 0  z   4t    t  i  có số phức z 5 i  t Do có số phức z thỏa mãn yêu cầu toán Chọn B Ví dụ 8: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 2, z2  Gọi M, N điểm biểu diễn số phức 2  z1 iz2 Biết MON 45 với O gốc tọa độ Tính z1  z2 A B C D Lời giải  z1 2  z1 2   Ta có  z  iz     z1 2   iz    z1 2   z2  i Do đó, điểm N biểu diễn số phức iz2 có tọa độ N  Vì MON 45 OM 2  OM ON  M   2;0   2;  z12  z22 4 Chọn D Suy z1   i z2  i   Ví dụ 9: Cho hai số phức z1 z2 thỏa mãn z1 3, z2 4, z1  z2  37 Xét số phức z  z1 a  bi z2 Tìm b A b  B b  C b  D b  3 Lời giải  z1 3 z     Chọn Gọi z1 a  bi   z   37  a  b 9   2 a   b  37     a    b   3 3  i 3 Chọn C Vậy z  z1  2   3 i    b z2 8  Ví dụ 10: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  3, z1  z2 1 Tính z1 z2  z1 z2 A z1 z2  z1 z2 0 B z1 z2  z1 z2 1 C z1 z2  z1 z2 2 D z1 z2  z1 z2  Lời giải  a    z1 1 a  b 1    Chọn z2 1   Gọi z1 a  bi   2  z1    a  1  b 3 b   2 3 Vậy z1   i  z1 z  z1 z2   i  i 1 Chọn B 2 2 2 Ví dụ 11: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3 1 z1  z2  z3 0 Tính giá trị biểu 2 thức P z1  z2  z3 A P  B P 0 C P 1 D P 2 Lời giải Ta có A  z12  z22  z32  z1  z2  z3    z1 z2  z z3  z3 z1    z1 z2  z2 z3  z3 z1   z z z  1 1  z1 z2 z3      z1 z2 z3      z1 z2 z3 z1  z2  z3 z3   z1 z2 z3   z1 z2   Mặt khác z1  z2  z3 0  z1  z2  z3 0 suy P 0 Chọn B Ví dụ 12: Cho số phức z a  bi 0  a, b    cho z số thực z số thực Tính 1 z2 z giá trị biểu thức P  1 z A P  B P  Cách Tư nhanh, w số thực  C P  Lời giải D P 1 1 số thực  z  số thực w z Mà dễ thấy z  z số thực nên z   z.z 1  z 1  z 1  z Cách Ta có biến đổi z  1 z 2 z z   z  z z  z  z z  z  z  z  z z z 2 1 z 1 z    z  z 0 z   z.z 1  z 1   2 1 z  z.z 1 z z 1    z  1 0  z 1  z 1   Chọn B Cách Chọn w  2 1 z 2 1 z Ví dụ 13: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa z1 , z2 0, z1  z2 0 A z1  z2 B z1  z2 C 1 z   Tính z1  z2 z1 z2 z2 z1 2 z2 Lời giải Cách Ta có 2z  z       z1  z2   z1  z2   z1 z2 z1 z2 z1  z2 z1 z2 z1  z2 2   z2   2.z1.z2   z1  Khi P  z  z  z 1 i 0        0   z2  z2   z2  z1 1 i   z2 2 D z1  z2 Cách Chọn z1 i  z    z2 1  i   Chọn A i z i  z2 z2