CHỦ ĐỀ 12: TÍCH CĨ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG 1) Công thức định thức: a b ad bc c d 2) Định nghĩa tích có hướng vectơ: Cho vectơ: u x1 ; y1 ; z1 ; v x2 ; y2 ; z Khi tích có hướng vectơ u x1 ; y1 ; z1 ; v x2 ; y2 ; z ký hiệu: u, v vectơ tính y1 z1 z1 x1 x1 y1 ; ; sau: u, v y1 z2 y2 z1 ; z1 x2 z2 x1 ; x1 y2 x2 y1 y2 z2 z2 x2 x2 y2 3) Tính chất: u, v u; u, v v; u, v v, u Độ dài vectơ tích có hướng u , v u v sin(u , v ) Hai vectơ u; v phương u , v 0 (0;0;0) Ba vectơ a; b; c đồng phẳng a, b c 0 Từ suy điểm A, B, C, D đỉnh tứ diện vectơ AB; AC ; AD không đồng phẳng hay AB, AC AD 0 điểm A, B, C, D đồng phẳng AB, AC AD 0 4) Ứng dụng: Diện tích hình bình hành ABCD : S ABCD AB, AD Diện tích tam giác ABC : S ABC AB, AC Thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' : VABCD A ' B 'C ' D ' AB, AD AA ' Thể tích tứ diện ABCD: VABCD AB, AC AD Ví dụ 1: Tính tích có hướng cặp vectơ sau: a) a 1;0; ; b 0;1;3 b) c) a 3;1; ; b 1; 1; d) Lời giải: 2 2 1 0 ; ; a) a, b 2; 3;1 1 3 0 1 a 3;1; 1 ; b 2;1; a 1;3;5 ; b 2; 1;3 1 1 1 3 1 ; ; 1; 4;1 1 2 2 2 1 4 3 3 ; ; 6;10; 1 2 1 1 b) a, b c) a, b d) a, b 4;13; Ví dụ 2: a) Cho vectơ u 2; 1;1 ; v m;3; 1 ; w 1; 2;1 Tìm m để vectơ đồng phẳng b) Cho vectơ u 1; 2;3 ; v 2;1; m ; w 2; m;1 Tìm m để vectơ khơng đồng phẳng Lời giải: a) Ta có: u , v 2; m 2; m u , v w 2m m 3m Ba vectơ u; v; w đồng phẳng 3m 0 m 2 b) Ta có: u, v 2m 3;6 m; 3 u , v w 4m 6m m m 10m m 1 Để vectơ u; v; w khơng đồng phẳng u, v w 0 m 10m 0 m 9 Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm: A (1;0;1); B ( 1;1; 2); C ( 1;1;0); D (2; 1; 2) a) Chứng minh A, B, C, D đỉnh tứ diện b) Tính thể tích tứ diện ABCD Suy độ dài đường cao tứ diện qua đỉnh A Lời giải: a) Ta có: AB ( 2;1;1); AC ( 2;1; 1); AD (1; 1; 3) AB , AC ( 2; 4;0) AB , AC AD 2 0 AB; AC; AD không đồng phẳng Suy Do A, B, C, D đỉnh tứ diện b) Thể tích tứ diện ABCD là: VABCD AB, AC AD (đvtt ) Lại có: BC (0;0; 2); BD (3; 2; 4) BC , BD ( 4; 6;0) 3V 13 SBCD BC , BD 13 d ( A, ( BCD )) ABCD S BCD 13 Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm: A ( 3;5;15), B (0;0;7), C (2; 1; 4), D (4; 3;0) Chứng minh AB CD cắt Lời giải: Ta có: AB (3; 5; 8); AC (5; 6; 11); AD (7; 8; 15) CD (2; 2; 4) AB , AC (7; 7;7) AB , AC Do AD 0 AB; AC ; AD đồng phẳng (1) Mặt khác AB k CD AB CD không phương (2) Từ (1) (2) suy AB CD cắt Ví dụ 5: Cho vectơ u (3;7;0); v (2;3;1); w (3; 2; 4) a) Chứng minh vectơ u; v; w không đồng phẳng b) Biểu thị vectơ a ( 4; 12;3) theo vectơ u; v; w Lời giải: a) Ta có: u, v (7; 3; 5) u, v w 7 0 vectơ u; v; w không đồng phẳng b) Giả sử a m.u n.v p.w ( 4; 12;3) (3m;7m;0) (2n;3n; n) (3 p; p; p) 3m 2n p 7m 3n p 7 n p 3 m n 7 Vậy a 5.u 7.v w p Ví dụ 6: Cho điểm A (1;1;0); B (0; 2;1); C (1;0; 2); D (1;1;1) a) Chứng minh điểm cho đồng phẳng, tính thể tích tứ diện ABCD b) Tính diện tích mặt tứ diện ABCD c) Tính độ dài đường cao tứ diện ABCD Lời giải: a) Ta có: AB ( 1;1;0); AC (0; 1; 2); AD (0;0;1) Suy AB, AC AD (3; 2;1).(0;0;1) 1 AB; AC ; AD không đồng phẳng Do điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng Thể tích tứ diện ABCD là: VABCD AB, AC AD 6 1 14 AC , AD b) Ta có: S ABC AB, AC ; S ACD 2 2 1 S ADB AD, AB ; S BCD BC , BD 2 2 3V c) Ta có V Sh h Gọi hA ; hB ; hC ; hD độ dài đường cao hạ từ A, B, C, D tứ diện S ta có: hA 3V 3V 3V 3V ; hB 1; hC ; hD S BCD S ACD S ABD S ABC 14 Ví dụ 7: Cho điểm A (1;0;0); B (0;0;1) C (2;1;1) a) Chứng minh điểm A, B, C đỉnh tam giác, tính diện tích tam giác b) Tính độ dài đường cao hA kẻ từ đỉnh A tam giác ABC Lời giải: a) AB ( 1;0;1); AC (1;1;1) AB, AC ( 1; 2; 1) 0 AB; AC không phương hay điểm A, B, C đỉnh tam giác Diện tích tam giác ABC S ABC AB, AC 2 b) Ta có: hA S ABC 30 BC 5 Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD có A (2;1; 1), B (3;0;1), C (2; 1;3) điểm D thuộc trục Oy Biết VABCD 5 Tìm tọa độ điểm D Lời giải: Gọi D(0; y;0) Oy ta có: AB (1; 1; 2); AD ( 2; y 1;1); AC (0; 2; 4) AB , AC (0; 4; 2) AB, AC AD 4( y 1) y Suy Do VABCD 5 y 5 y y 8 Vậy D (0; 7;0) D (0;8;0) 2 2 Ví dụ 9: Chứng minh đẳng thức: a b a.b a, b Lời giải: 2 2 2 2 2 2 2 2 Ta có: VT a b a b cos ( a, b) a b cos a, b a b sin a, b Lại có: a, b a b sin a, b 2 Do a b a.b a, b (đpcm) Ví dụ 10: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho vectơ a (m 2;3; 2m); b (2; 1; m); c (1; 2;1) Gọi S tập hợp giá trị tham số m để vectơ đồng phẳng Số phần tử tập hợp S là: a) b) c) Lời giải: d) Ta có: a, b 5m; 2m m ; m Ba vectơ cho đồng phẳng a, b c 0 5m 4m 2m m 0 2m 8m 0 m 2 Do tập hợp S có phần tử Chọn B Ví dụ 11: Cho vectơ u (1; 2; 1); v (1; 3; x) Tìm x biết u , v 30 A x B x 1 C x Lời giải: D x 2 Ta có: u, v (2 x 3; x 1; 5) 2 Do u, v (2 x 3) ( x 1) 25 30 x 10 x 0 x 1 Chọn B Ví dụ 12: Cho vectơ u (1; x; 1); v (0; 2;1); w ( x;7; 2) Tìm x biết u, v w 0 A x 1 x 1 C x Lời giải: B x 3 u, v ( x 2; 1; 2) x 3 D x 1 x 1 u, v w x x 0 x x 0 Chọn C x Ví dụ 13: Cho vectơ u v biết u 2; v 3 Góc vectơ u v 45o , độ dài vectơ 5u , 3v là: A B 15 C 15 Lời giải: D 45 o o Do u , v 45 5u, 3v 135 Ta có: 5u , 3v 5u 3v sin 5u, 3v 5 2.9.sin135 45 Chọn D Ví dụ 14: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A (3;1; 1); B (1;0; 2); C (5;0;0) Tính diện tích tam giác ABC A 21 B 21 C D 21 42 Lời giải: Ta có: AB ( 2; 1;3); AC (2; 1;1) AB, AC (2;8; 4) Vậy diện tích tam giác ABC S ABC AB, AC 21 Chọn A Ví dụ 15: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm A (0;1;1); B ( 1;0; 2); C ( 1;1;1); D (1; 4;7) Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC) là: A hD B hD 9 C hD D hD 9 Lời giải: Ta có: AB ( 1; 1;1); AC ( 1;0;0); AD (1;3;6) 1 Lại có: AB, AC 0; 1; 1 VABCD AB, AC AD 3V 9 d ( D ;( ABC )) hD Chọn A Mặt khác: S ABC AB, AC 2 S ABC 2 Ví dụ 16: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm A (1;1;1), B ( 1;7; 3), C (m 1; m;0) Biết diện tích tam giác ABC 3 Tổng tất giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán là: A B C Lời giải: D Ta có: AB ( 2;6; 4); AC (m; m 1; 1) Khi AB, AC (4m 10; 4m; 8m 2) S ABC AB, AC (4m 10) (2 4m) ( 8m 2) 3 2 m 1 (2m 5) (1 2m) ( 4m 1) 3 24m 24m 27 27 T 1 Chọn A m 0 Ví dụ 17: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm A (m 1; m; 2m 1); B ( 1;0; 2); C ( 1;1;0); D (2;1; 2) Biết thể tích tứ diện ABCD A B Tổng tất giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán là: C D Lời giải: Ta có: BC (0;1; 2); BD (3;1; 4) BC , BD ( 2; 6; 3) 1 Lại có: BA (m; m; 2m 3) VABCD BC , BD BA 2m 6m 6m 6 m 1 14m 14m 5 Chọn B m 2 6 Ví dụ 18: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm A (1;1;1); B ( 1;7; 3); C (2;1;0) Tìm điểm D thuộc Oz cho bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng A D (1; 2;0) B D (0;0;3) C D (0;0; 3) Lời giải: D D (0;0; 2) Do điểm D Oz D (0;0; d ) Ta có: AB ( 2;6; 4); AC (1;0; 1); AD ( 1; 1; d 1) Để bốn điểm A, B, C, D phẳng AB, AC AD 0 ( 6; 6; 6).( 1; 1; d 1) 0 d 0 d 3 D (0;0;3) Chọn B Ví dụ 19: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A (1;0;3); B ( 1; 2;1); C (0;1; 4) Biết H ( xo ; yo ; zo ) trực tâm tam giác ABC Tính P xo yo C P Lời giải: Gọi H (a; b; c) trực tâm tam giác ABC AB; AC ; AH đồng phẳng Ta có: AB ( 2; 2; 2) 2(1; 1;1); AC ( 1;1;1); CH ( a; b 1; c 4); BH (a 1; b 2; c 1); AH (a 1; b; c 3) Suy AB, AC (4; 4;0) 4(1;1;0) A P 1 B P 1 AB, AC AH 0 a b 0 a b c 0 Mặt khác CH AB 0 a b c 0 BH AC 0 D P 2 a b P Chọn B c Ví dụ 20: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A (2;0; 2); B (3; 1; 4); C ( 2; 2;0) Điểm D nằm mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm cho thể tích khối tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) Khi có tọa độ điểm D thỏa mãn toán A D (0;3; 1) B D (0; 3; 1) C D (0;1; 1) Lời giải: D D (0; 2; 1) Vì D (Oyz ) D (0; b; c), cao độ âm nên c < Khoảng cách từ D đến mặt phẳng c c 1 c (do c < 0) D (0; b; 1) AB (1; 1; 2) Ta có AC ( 4; 2; 2) AB, AC (2;6; 2) AB, AC AD 6b 6b 6(b 1) AD ( 2; b;1) VABCD AB, AC AD b b 3 D (0;3; 1) Chọn A Mặt khác VABCD 2 b 2 b D (0; 1; 1)