I tóm tắt lý thuyết

CHỦ ĐỀ 11: TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉC TƠ I Hệ trục tọa độ không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox; Oy; Oz vuông góc với   đơi chung điểm góc O Gọi i; j; k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox; Oy; Oz Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian Điểm O gọi gốc tọa độ Các mặt phẳng  Oxy  ;  Oyz  ;  Oxz  đôi vng góc với gọi mặt phẳng tọa độ       2 2 2 Chú ý: i; j; k vectơ đơn vị đơi vng góc nên i  j k 1 i j  j.k k i 0 II Tọa độ, vectơ      1) Định nghĩa: Nếu u  x; y; z   u  x.i  y j  z.k 2) Các công thức vectơ   Cho vectơ: u  x1 ; y1 ; z1  v  x2 ; y2 ; z2  ta có:    Tổng hiệu hai vectơ: u v  x1 x2 ; y1  y2 ; z1 z2    Tích vectơ với số: ku  k x1 ; ky1; kz1   k     x  x2     Hai vectơ nhau: u v   y1  y2  z z      Chú ý:  0;0;0  ; i  1;0;0  ; j  0;1;0  ; k  0;0;1  x1 k x2     x y z   Hai vectơ u ; v phương với  u kv  k 0    y2 ky2    x2 y2 z2  z kz      (Với k  u ; v hướng; ngược lại k  u ; v ngược hướng)   Tích vơ hướng vectơ kí hiệu: u v  x1 x2  y1 y2  z1 z2  số      Hai vectơ u ; v vng góc với  u ; v 0  x1 x2  y1 y2  z1 z2 0   2 2 2  Độ dài vectơ: u  x1  y1  z1 , v  x2  y2  z2  x B  x A k  xC  xB     Điều kiện để điểm A, B, C thẳng hàng AB k AC   yB  y A k  yC  y A    zB  z A k  yB  y A      u.v x1 x2  y1 y2  z1 z2     Góc vectơ: cos u ; v     2 2 2 (với u ; v 0 ) u.v x1  y1  z1 x2  y2  z2   Chú ý: Khi u v       cos u ; v   u ; v     góc nhọn, ngược lại  u v      cos u ; v   u ; v góc tù     III Tọa độ điểm 1) Định nghĩa:     Điểm M  x ; y ; z   OM x.i  y j  z.k (trong x hồnh độ, y tung độ z cao độ) 2) Tính chất: Cho điểm A  x1 ; y1 ; z1  ; B  x2 ; y2 ; z2  ta có:    Vectơ AB có tọa độ là: AB  x2  x1 ; y2  y1 ; z2  z1  ; vectơ BA  x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2   2 Độ dài đoạn thẳng AB độ dài vectơ AB và: AB  AB   x1  x2    y1  y2    z1  z2  x1  x2   xM   y y  Trung điểm đoạn AB M có tọa độ là:  yM   z1  z2   zM    x x y y z z  Khi đó: M  ; ;  2   Nếu C  x3 ; y3 ; z3  x1  x2  x3   xG   y  y  y3  ABC tạo thành tam giác có trọng tâm G thì:  yG   z1  z2  z3   zG      Ví dụ 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho vectơ a  1; 2;3 ; b  0;  1;1 ; c  1;5;          a) Tìm tọa độ vectơ u a  b  c v 2a  3b  c     b) Tính a.b ; b.c a.c     c) Tính cos a ; b cos b ; c     Lời giải:  a) Ta có: u  1; 2;3   0;  1;1   1;5;   0;  4;   v 2  1; 2;3   0;  1;1   1;5;   2; 4;6    0;  3;3    1;5;   3;6;11    b) Ta có: a b 0   1; b c  3; a c 17      a b 1 b.c 3 3  ; cos b; c      c) cos a ; b         30 15 a.b b.c     Ví dụ 2: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm A  0;1;   ; B  2;1;0  ; C  1; 4;5  a) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC b) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành c) Tính cosin góc ABC d) Tìm điểm M thuộc trục hồnh cho MB MC Lời giải: x A  xB  xC  x  1 G   y  yB  yC  2  G  1; 2;1 a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC ta có:  yG  A  z A  zB  zC  1  zG     b) Để ABCD hình bình hành AB DC   2;0;    xD ;  yD ;5  z D   D   1; 4;3    c) Ta có: BA   2;0;   ; BC   1;3;5     BA.BC  10 4    Suy cos ABC cos BA; BC  BA.BC    25 70   d) Do điểm M  Ox nên ta gọi M  x;0;0  ta có MB MC  MB MC 2   x    12  02  x  1  42  52  x  x   x  x  42  x   37  37  ;0;0  Vậy M         Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz cho a  2;  5;3 ; b  0; 2;  1 ; c  1;7;  ; d  0;  17;       a) Tìm u a  4b  2c     b) Tìm m; n; p biết d m.a  n.b  p.c Lời giải:  a) Ta có: u  2;  5;3   0; 2;  1   1;7;   2;  5;3    0;8;     2;14;   0;  27;3     b) Ta có: d m.a  n.b  p.c   0;  17;   m  2;  5;3   n  0; 2;  1  p  1;7;  2m  p 0    5m  2n  p  17  3m  n  p    m 1  n 1  p      Ví dụ 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho vectơ u  x ; x  3;  v  y ;  4;  Tìm x y để u  v phương Lời giải:     Để u v phương u k v   x ; x  3;  k  y ;  4;   x y   x ky    2 x   4k  2 x    2 8k   k    k    x 1  y 4   Vậy x 1; y 4 Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A  2;5;3 ; B  3;7;  ; C  x ; y ;6  , tìm x, y để A, B, C thẳng hàng  Lời giải:  Ta có: AB  1; 2;1 ; AC  x  2; y  5;3  x  k k 3    Để A, B, C thẳng hàng AC k AB   y  2k   x 5 3 k  y 11    Vậy x 5; y 11     Ví dụ 6: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho vectơ a  1;log 5; m  b  3;log 3;  Tìm m để a  b Lời giải:    Để a  b  a.b 0   log 5.log  4m 0    4m 0  m   Ví dụ 7: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho vectơ a  2;  1;   a) Tìm vectơ b phương với  b) Tìm vectơ c phương với  a , biết  a , biết  b 10  a c 100 Lời giải:     a) Vì b phương với a nên b k a  2.k ;  k ; 4k     Lại có: b 10  2  2k     k   16k  25k 10  k 4  k 2     Do b 2a  ;  2;8  b  a   ; 2;       b) Vì c phương với a nên c k a  2 k ;  k ; 4k    Khi a c 8k  k  16k 25k 100  k 4  c  ;  4;16  2     Ví dụ 8: Trong khơng gian tọa độ với hệ trục Oxyz, cho hai vectơ a b cho a ; b 120 , biết         a 2; b 3 Tính a  b a  2b Lời giải:  2   2   2   Ta có: a  b  a  b  a  2a.b  b 4  a b cos120  13  12 cos120 7     Do a  b   2   2  2   Lại có: a  b  a  2b  a  4a b  b 4  a b cos120  4.9 40  24 cos120 52     Do đó: a  2b  52      Ví dụ 9: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ u i   m  1 j  2k Tìm giá trị m để u  Khi giá trị m bằng:  m 0 A   m  B m 0 C m 1 D m  Lời giải:    m 0 2 2 Chọn A Ta có: u  1; m  1;  suy u    m  1     m  1 1    m  Ví dụ 10: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với trọng tâm G Biết A  1;  1;   , B  2;1;  3 , G  1;  2;   Khi tọa độ điểm C :  8 A  ;  ;    3 3 B  0;  6;   C  4;  2;   Lời giải:  xC 3.1   0  Giả sử C  xC ; yC ; zC  Khi đó:  yC 3        C  0;  6;   Chọn B   zC 3   3    D   1;  4;  1    Ví dụ 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a  2;  1;10  , biết b chiều với a có  a b 10 Chọn phương án  A b   6;3;0   B b   4; 2;0   C b  6;  3;0  Lời giải:  D b  4;  2;0       k 2  b  4;  2;0  Chọn D Ta có: b k a  2k ;  k ;0   k    a b  4k  k 10    k   L  Ví dụ 12: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A  1; 2;  1 ; B  2;  1;3  ; C   3;5;1 Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành A D   4;8;  3 B D   2; 2;5  C D   2;8;  3 Lời giải: D D   4;8;     Vì ABCD hình bình hành nên AB DC   1;  3;     xD ;5  yD ;1  z D   D   4;8;  3 Chọn A    Ví dụ 13: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ a  2;  1;0  ; b  1; 2;3 ; c  4; 2;  1 mệnh đề sau:   (1) a  b   (3) a phương với c  (2) b c 5  (4) b  14 Trong bốn mệnh đề có mệnh đề đúng? A B C Lời giải: D    Ta có a b 2   0  a  b  1  +) b c 4   5        a không phương với c  3 sai  2 +) b     14    Chọn C +) Ví dụ 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  2;1;1 , B   1; 2;3  Tìm tọa độ điểm M   cho AM 2 BM 1  A M  ; ;  2  B M  1;3;  C M   4;3;5  Lời giải: D M  5;0;  1   Giả sử M  a; b; c  Ta có: AM 2 BM   a  2; b  1; c  1 2  a  1; b  2; c   a  2  a  1 a     b  2  b    b 3  M   4;3;5  Chọn C  c 5  c  2  c  3 Ví dụ 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M   1;1;  ; N  1; 4;3 ; P  5;10;5  Khẳng định sau sai? A MN  14 B Các điểm O, M, N, P thuộc mặt phẳng C Trung điểm NP I  3;7;  D M, N, P ba đỉnh tam giác Lời giải:     Ta có: MN  2;3;1 ; MP  6;9;3 suy MP 3MN nên M, N, P thẳng hàng suy khẳng định D sai Các khẳng định lại Chọn D Ví dụ 16: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, tam giác ABC có A  1; 2;  1 , B  3;0;3 Tìm tọa độ điểm C cho G  2; 2;  trọng tâm tam giác ABC A C  2; 4;  B C  0; 2;  C C  8;10;10  Lời giải: D C   2;  4;    a 3.2   2  Giả sử C  a; b; c  Vì G trọng tâm ABC nên b 3.2   4  G  2; 4;  Chọn A c 3.2    4    Ví dụ 17: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A  0;0;0  , B  3;0;0  , D  0;3;0  D 0;3;  3 Tọa độ trọng tâm tam giác A’B’C’ là: A  1;1;   B  2;1;  1 C  1; 2;  1 Lời giải: D  2;1;      AA DD 0;0;  3  A 0;0;  3    AB 3;0;0   AB  B 3;0;  3   G  2;1;   Chọn D Từ giả thiết ta có:      AB 3;0;0 DC  C  3;3;0       Ví dụ 18: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, tính góc hai vectơ a  1; 2;   b   1;  1;0   A a, b 120  B a, b 45    C a, b 60      D a, b 135   Lời giải: Gọi  góc hai vectơ Ta có: cos     1    1     12  22       1 2    1  02  1    135 Chọn D Ví dụ 19: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A  1;  1;3 , B  2;  3;5  , C   1;  2;6  Biết     điểm M  a; b; c  thỏa mãn MA  2MB  MC 0 , tính T a  b  c A T 3 B T 5 C T 11 Lời giải: D T 10          Ta có: MA  2MB  2MC 0  MA  2CB 0  MA 2 BC 2   3;1;1  M  7;  3;1 Suy T a  b  c 11 Chọn C Ví dụ 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M  2;3;  1 , N   1;1;1 P  1; m  1;  Tìm m để tam giác MNP vng N A m  B m 0 C m  Lời giải: D m 2   Ta có: NM  3; 2;   , NP  2; m  2;1 Để tam giác MNP vuông N  NM NP 0  3.2   m       0  m 0 Chọn B        Ví dụ 21: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm A B thỏa mãn OA 3i  j  4k AB i  j Trung điểm I AB có tọa độ A I  2;  2;   B I   2; 2;  7  C I  ;  3;   2  Lời giải: D I  7;  3;   Ta có: A  3;  2;   , OB OA  AB 4i  j  4k suy B  4;  4;   7  Do trung điểm AB là: I  ;  3;   Chọn C 2     Ví dụ 22: Vectơ u  a; b; c  có độ dài 2, tạo với vectơ a  1;1;1 góc 30 , tạo với vectơ b  1;1;0  góc 45 Tìm tất giá trị a A a 1 B a 2  C a  Lời giải: 2 D a 2    a bc cos 30  a  b  c 3 Ta có: cos u; a      a b c 1 cos 45  a  b 2   Lại có: cos u; b  2 a  b 2    2 Mặt khác u  a  b  c 2  a    a   4  2a2  4a  0  a  Chọn C     Ví dụ 23: Trong không gian tọa độ Oxyz cho a b tạo với góc 120 Biết a 4; b 3 ,     giá trị biểu thức A  a  b  a  b B A 50 A A  50 C A 2 Lời giải:  2   2  2   Ta có: a  b  a  b  a  2a.b  b 16  a b cos120  37  D A  37  13   2   2  2   Tương tự a  b  a  b  a  2a.b  b 16  a b cos120  13       Do A  a  b  a  b  37  13 Chọn D Ví dụ 24: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Biết tọa độ đỉnh A   3; 2;1 , C  4; 2;0  , B  2;1;1 , D 3;5;  Tọa độ điểm A là: A A  3;3;1 B A  3;  3;3 C A  3;  3;  3 Lời giải: D A  3;3;3 1 1 Trung điểm AC O  ; 2;   2  5 Trung điểm B’D’ O ;3;   2   Do ABCD.A’B’C’D’ hình hộp nên AA OO   x A  3; y A  2; z A  1  0;1;   A  3;3;3 Chọn D     Ví dụ 25: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho vectơ u vng góc với vectơ a  1;1;1 b  1;  1;3 , u   tạo với tia Oz góc tù u 2 Tọa độ vectơ u là: A  2;  1;  1 B   4; 2;  C  4;  2;   Lời giải: D  2; 2;     x  y  z 0  1   Gọi u  x; y; z  ta có  x  y  3z 0     x  y  z  24  3    Do u tạo với tia Oz góc tù nên u.k   z     x  y  z  x  z   Từ (1) (2) ta có:  vào (3) ta được: z  z  z 24 x  y  z y  z    Với điều kiện z   z   u  4;  2;   Chọn C Ví dụ 26: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A  1; 2;  1 ; B  2;  1;3 ; C   4;7;5  Gọi điểm D  a; b; c  chân đường phân giác hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC Tính a  b  c A B 22 C D Lời giải: Ta có: AB  26; BC 2 26 Theo tính chất đường phân giác ta có:  BA DA DA    BC DC DC 1  Do D nằm điểm A C nên DA  DC  C D  2    a  a      b  b       c  c   a    11  b   a  b  c 4 Chọn A  c 1   Ví dụ 27: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A  1; 2;3 ; B  5;  2;  1 Tìm tọa độ điểm M  a; b; c    thỏa mãn MA.MA 4MB.MB Giá trị biểu thức a  b  c A B  C  D Lời giải:     2 Ta có: MA.MA 4 MB.MB  MA2 MA 16.MB MB  MA4 16MB  MA 2MB   Theo đề ta dễ thấy hai vectơ MA; MB chiều 1  xM 2   xM     Do MA 2 MB    yM 2    yM   M  9;  6;    a  b  c  Chọn B  3  zM 2    zM  Ví dụ 28: Trong không gian Oxyz, cho điểm A  1; 2;  1 , B  2;3;  C  3;5;   Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 5  A I  ; 4;1 2   37  B I  ;  7;0     27  ;15;  C I     Lời giải:  3 D I  2; ;    2     Nhận thấy AB  1;1;5  ; AC  2;3;  1  AB AC 0 nên tam giác ABC vuông A trung điểm 5  I  ; 4;1 tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng ABC Chọn A 2 