Chuyên đề bồi dưỡng hsg toán 10, 11

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN KHỐI 10 VÀ 11 CHỦ ĐỀ 01 BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1 Cho x,y số thực dương cho 2x + y 2y + x khác Tìm giá trị nhỏ biểu P thức ( x  y )(4 x  y ) (2 y  x )(4 y  x )   3( x  y ) (2 x  y  2) ( x  y  2) 2 Cho a , b, c, > cho a + b + c = Chứng minh a b c    b (ca  1) c ( ab  1) a (bc 1) (1  abc)( ab  bc  ca ) (THPT chuyên KHTN - ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội) Lời giải Ta chứng minh : (2 x  y )(4 x  y ) 2 x  y  (2 x  y  2)  (2 xy  x  y  2) 0 (đúng) Chứng minh tương tự ta được: P  Vậy GTNN P -1 x y  9 65 x y   65 Theo BĐT Cauchy-Schwartz 2  1 1  1 1         c a b c a b c  a     1 1 1 cyc a (bc  1) cyc b   a b c   3 c a b c a b c (ab  bc  ca )  abc (ab  bc  ca )  3a 2b 2c 2 Một điều ln x  y 0 x  27 y 0 Vậy BĐT chứng minh, Dấu xảy a = b = c = Đặt ab + bc + ca = x , abc = y BĐT ban đầu ta chứng minh x2   x  x y 9 xy  27 y 2 xy  y x(1  y )  x( x  y)  y ( x  27 y) 0 Bài k k k 3 Tìm số nguyên dương k nhỏ cho bất đẳng thức x y z ( x  y  z ) 3 với số thực dương x , y , z thỏa mãn điều kiện x + y + x = (Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp.HCM) Lời giải Dễ dàng tìm số để BĐT khơng với k = k =2 Nhận xét BĐT với k = BĐT với k > x k y k z k ( x3  y  z ) x y z ( x  y  z ).x k  y k  z k  3 Điều gợi ý cho ta chứng minh k = số nhỏ cần tìm, cách chứng minh x y z ( x3  y  z ) 3 (1.1) Thật vậy, giả sử z số nhỏ ba số x , y , z suy z 1 Ta có x  y ( x  y)3  xy ( x  y ) (3  z )  xy (3  z ) (1.1)  (3  z )3  z  Khi đó:  x y  xy 3 x y z 3z  z    x y  xy 3 x y z (1.2) x3 y 2  x y  xy  3 3 x3 y z3 Để ý rằng: x y z Đồng thời: 3z  z   3( z  1)3  0 z z Nên (1.2) đúng, BĐT ban đầu chứng minh Vậy k =3 số nguyên dương nhỏ để BĐT ban đầu Dấu xảy x = y = z = Bài Tìm tất số thực k cho bất đẳng thức sau với số thực không âm a, b, c (a  b  c) ab  bc  ca   k max  (a  b) , (b  c ) , (c  a )2  a  b  c (THPT chuyên Đại học Vinh) Lời giải max  ( a  b) , (b  c ) , (c  a)  ( a  c) Khơng tính tổng qt giả sử a b c Khi Như vậy, ta tìm k cho : ab  bc  ca  (a  b  c)2  k (a  c ) a  b  c 1 k  Ta chứng minh Cho c = 0, a = 2b ta ab  bc  ca  (a  b  c)2 1  k (a  c ) a  b  c k  với (a  b  c) 1  k (a  c)  (k  )(a  c )  (a  c  2b) 0 12 Ta có nên BĐT Đồng thời ab  bc  ca  (a  b  c) 1  k (a  c) a  b  c  (  k )(a  c)  (a  c  2b) 0 nên BĐT thứ hai Bài Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh bất đẳng thức 1    2 (2 x  y  z ) (2 x  y  z ) (2 x  y  z ) 16 2 2 Cho x , y, z không âm thỏa x  y  z 1 Chứng minh bất đẳng thức  1   ( x y  y z  z x)    2  x2 1  y  z    (Bà Rịa – Vũng Tàu) Lời giải Trước hết xin phát biểu không chứng minh bổ bề quen thuộc Bổ đề Co x, y, z > Khi 9( x  y )( y  z )( z  x) 8( x  y  z )( xy  yz  zx) Trở lại toán Theo bất đẳng thức AM-GM , ta có 1  (2 x  y  z )  (( x  y)  ( x  z ))  4( x  y)( x  z) 2 Do BĐT ban đầu ta chứng minh   ( x  y  z ) ( x  y )( y  z )( z  x ) 4( x  y )( x  z ) 16   ( x  y  z )( xy  yz  zx ) ( x  y )( y  z )( z  x )( xy  yz  zx ), 3 2 Nhưng điều xy  yz  zx  x y z 3 theo bổ đề bên Từ ta có điều phải chứng minh Dấu xảy a = b = c = Chúng xin nêu hai cách chứng minh cho câu  Cách 1: Ta có ( x  y  z )( x  y  z )  x  y  z  x ( y  z )  y ( z  x)  z ( x  y ) 2 Áp dụng bất đẳng thức AM- GM x  y  z 1 ta có x2 y  y2 x  z x  ( x  y  z) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:   1  1    3        x2 1 y 1 z    x 1 y 1 z 1   Do ta chứng minh   1   3       x  y  z    2( x  y  z  27 1     2 4( x  y  z ) x 1 y 1 z 1  27 x2 y2 z2    3 4( x  y  z ) x  y  z 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có VT  ( x  y  z )2 27  2 3 x  y  z 4( x  y  z )2  VT  ( x  y  z)2 27  4( x  y  z ) 2 2 Áp dụng BĐT AM- GM x  y  z  3( x  y  z )  ta có  27 ( x  y  z )2 ( x  y  z) 18 18       3 2 4( x  y  z ) 4( x  y  z ) 4( x  y  z ) 4.3 Từ ta thấy đpcm Cách 2: Ta có ( x  y  z )( x  y  z ) x  y  z  3 Do cần chứng minh x yz x yz x yz     x2 1 y2 1 z2 x2 y  y z  z x  Ta có : xy  zx  zx x  y  z 1 Do x 1 x Do x 1 x   x 1 x x      ( x  y )( x  z )  x  y x  z  y 1 y  z 1 z  Hay chứng minh yz zx xy   3 x2  y  z 2 y  z  x2 z  x2  y Ta có :  x y   2x  y2  z  Suy :  y2 z2     x  y x2  z   yz   2x  y2  z2  Mặt khác:   zx     2z  x2  y2   2   x y     2z  x2  y    yz zx x y     2x2  y  z 2 y  z  x2 2z  x2  y        3    yz zx x y 3       2x2  y  z 2 y  z  x2 2z  x2  y  Suy yz zx xy   3 2 2 2 2x  y  z 2y  z  x z  x2  y       9   Do ta có đpcm Bài Cho a, b, c > thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức T ab bc ca    3a  4b  5c 3b  4c  5a 3c  4a  5b ab(a  2c)(b  2c) (Bắc Ninh) Lời giải Ta có ab 2ab  5ab ab   3z  4b  5c  5(a  b  2c)  (a  3b) 36   a  b  2c   a  3b  Bây ta chứng minh ab  a  b  2c  Ta có : ab 1 ab ab   a  b  2c    c  a   b  c   (a  b  c)  Nên điều ta chứng minh: ab  a  3b  Để ý ab 1  a  3b 16    ab ab 3ab  1      a   3a   (a  b  c)  a b  16 4 9  3a  4b  5c 18 (5  )  (1.3) Mặt khác 2   ab(a  2c)(b  2c ) (ab  2bc)(ab  2ca ) 2(ab  bc  ca )  3   2 3(ab  bc  ca ) (a  b  c) 27 (1.4) 77 77 T   27 108 Vậy GTLN T 108 a = b = c = Từ (1.3) (1.4) ta : Bài Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1344  a  ab  abc 2016 a b c (Bến Tre) Lời giải Ta có : a  ab  abc a  a a a a b  b.4c a   b  (  b  4c )  (a  b  c)  4 4 1008 P  a b c 2016   1008   1  1008  1008 a b c  a b c  Vậy GTNN P -1008 16 a  ,b  ,c  21 21 21 Bài Cho số thực dương x, y, z Chứng minh   ( x) x2 xyz   y  z  ( y  z) x yz yz xy zx     yz xy zx  ( x  y )2  xy 0 (đúng) Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh : a b c 3    b c a c a b a  b3  c  (Đồng Nai) Lời giải Ta có :  a 9 3 3      bc bc(b  c)  bc(b  c) 3( bc(b  c)) a  b3  c3  3abc a  b3  c  Bài Cho a, b, c 0 Tìm giá trị nhỏ P a b c   b c a c a b (Hà Nam) Lời giải a a   a  a Điều tương đương Chuẩn hóa a + b + c = Ta chứng minh b  c P  2 với a (2a  3) 0 , hiển nhiên Cộng lại ta Vậy GTNN P kho có số hai số Nhận xét Một số bạn giải sau: Ta có a 2a 2a   2 b c a b c a (b  c ) phải xét trường hợp có số 0., để ý nhân tử mẫu phân thức cho số, số phải khác P  Bài 10 Cho a, b , c > thỏa mãn ab + bc + ca + 2abc = Tìm giá trị nhỏ 1 P     2(a  b  c) a b c (Hà Nội) Lời giải a b c  , ta cố gắng chứng minh BĐT Dự đoán GTNN P đạt 1 P     2(a  b  c ) 3 a b c Từ giả thiết suy tồn số x, y, z > cho a x y z ,b  ,c  yz zx x y BĐT cần chứng minh trở thành  x yz zx xy y z    2     3 x y z  yz zx x y  Để ý  x yz zx x y y z    4     x y z  yz zx xy Nên BĐT ta chứng minh x y z    yz zx x y Nhưng dây BĐT Nesbitt quen thuộc, BĐT ban đầu x y z ,b  ,c  yz zx x  y kinh điển việc đổi biến Nhận xét Cách đặt hóa để chứng minh BĐT, giúp đưa dạng toán quen thuộc Ngồi cịn cách khác cho loại giả thiết tương tự Cụ thể sau, x , y, z số dương : a   x  y  z  xyz 4  2cosA, y 2cosB, z 2cosC với A, B, C ba góc tam giác bc ca a b xyz x  y  z   x  ,y ,z  a b c với a, b, c > Bạn đọc dễ dàng kiểm tra cách đặt Ngồi cịn số tốn khác liên quan đến cách đổi biến lượng giác : 2 (USA 2001) Cho a, b, c không âm thỏa mãn a  b  c  abc 4 Chứng minh rằng: ab  bc  ca  abc 2 2 2 (Iran 2002) Cho a, b, c > thỏa mãn a  b  c  abc 4 Chứng minh : a  b  c 3 Bài 11 5 Cho số thực dương a, b, c dương thỏa mãn a  b  c 3 Chứng minh a 6b  b 6c  c a 3 (Hà Tĩnh) Lời giải 5 Đặt x a , y b , z c x + y + z = BĐT cần chứng minh tương đương với xy xy  xy yz  zx zx 3 Thep BĐT AM – GM