Đang tải... (xem toàn văn)
Microsoft Word �À �À XU¤T DHBB 2023 TOÁN 10 CHUYÊN L¯€NG V�N TäY NINH BÌNH 1 Câu 1 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f thỏa mãn 2 , ,f yf x x f xy yf x f f x x y C[.]
SỞ GD&ĐT NINH BÌNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN TỤY ******** ĐỀ THI ĐỀ XUẤT KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUN HẢI NĂM 2023 MƠN: TỐN 10 Thời gian làm bài: 180 phút ( Đề gồm 05 câu, 01 trang) Câu (4,0 điểm) Tìm tất hàm số f : thỏa mãn f yf x x f xy yf x f f x , x, y Câu (3,0 điểm) Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn a b c abc Chứng minh ab bc ca a , b , c a b c Câu (5,0 điểm) Cho tam giác ABC khơng cân, nội tiếp đường trịn O Đường tròn I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC , CA AB D , E F Gọi P giao điểm thứ hai (khác A ) đường tròn O với đường tròn đường kính AI a) Chứng minh PD qua điểm cung BC khơng chứa A b) Gọi X giao điểm AD BE ; Q điểm đối xứng với X qua EF ; H hình chiếu vng góc D lên EF Chứng minh ba điểm A, H , Q thẳng hàng Câu (4,0 điểm) Cho n hợp số cho n chia hết n n 1, n hàm Euler n tổng ước nguyên dương n Chứng minh n có ước nguyên tố phân biệt Câu (4,0 điểm) Với n số nguyên dương, xét bảng ô vuông kích thước n n chia thành vuông Một cách tô ô vuông màu đen gọi “đẹp” số lượng ô đen hàng cột ln số chẵn; đồng thời, số màu đen đường chéo có độ dài lớn số lẻ (đường chéo dãy ô liên tiếp nằm đường thẳng song song với hai đường chéo bảng ô vuông ban đầu; độ dài đường chéo số lượng nằm đó) a) Chứng minh tồn cách tô “đẹp” n 2023 b) Chứng minh không tồn cách tô “đẹp” với n số chẵn -HẾT SỞ GD&ĐT NINH BÌNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN TỤY ******** HDC ĐỀ THI ĐỀ XUẤT KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUN HẢI NĂM 2023 MƠN: TỐN 10 Thời gian làm bài: 180 phút ( Đề gồm 07 câu, 08 trang) Câu hỏi Hướng dẫn Tìm tất hàm số f : thỏa mãn (4,0 điểm) f yf x x f xy yf x f f x , x, y Điểm 1 Kí hiệu P a, b phép x a y b 1 Nếu f hàm thay vào 1 ta f x 0, x Nếu f khác Từ P 0,0 f f tồn k : f k x Nếu k , từ P k , f 2k f x f , x f x k Vơ lí Vậy f x x P x,0 f x f f x x 1,0 0.5 0.5 Giả sử tồn a, b thỏa mãn f a f b 2a 2b Trừ vế theo vế P b, ; P a, ta f b f a 2ab 2ab f f a b f f b f f a f b f a Do f a f b nên a b Vậy f x đơn ánh Lại có f x f f x x , nên f x x x Vậy f x c x f x x x 1,0 1,0 Cho a , b, c số thực dương thỏa mãn a b c abc Chứng minh (3,0 điểm) ab bc ca a , b , c a b c Giả sử a a, b, c 4a abc bc 1,0 abc a a b c bc a b c 1,0 ab bc ca 4a a b2 c Ta có đpcm 1,0 Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn O Đường tròn I nội tiếp tam giác Ta có: (5,0 điểm) ABC tiếp xúc với cạnh BC , CA AB D , E F Gọi P giao điểm thứ hai (khác A ) đường tròn O với đường tròn đường kính AI a) Chứng minh PD qua điểm cung BC khơng chứa A b) Gọi X giao điểm AD BE ; Q điểm đối xứng với X qua EF ; H hình chiếu vng góc D lên EF Chứng minh ba điểm A, H , Q thẳng hàng A Q P H F L E K T X I B O C D J PCE (*) a) Xét hai tam giác PBF PCE có PBF Vì IE AC , IF AB nên E , F thuộc đường tròn đường kính AI PEC (**) PEA suy PFB Do PFA Từ (*) (**) suy hai tam giác PBF PCE đồng dạng PB BF DB (do BD BF ; CE CD) PC CE DC hay PD qua điểm Suy PD phân giác góc BPC cung BC khơng chứa A DB EC FA b) Ta có 1 ( AE AF , BF BD , CE CD ) DC EA FB 1,0 Suy 1,0 Theo định lí Xeva ta có AD , BE , CF đồng qui X Do tam giác ABC không cân nên EF cắt BC L Gọi T giao điểm LX với AC K giao điểm AD với EF 1,0 Xét tam giác LEC có LT , CF , EB đồng quy X Suy ATEC 1 AKXD 1 H AKXD 1 (1) Mà HK HD , kết hợp (1) suy HK phân giác góc AHX (2) (3) Do Q đối xứng X qua HK nên HK phân giác góc QHX 1,0 Từ (2) (3) suy A, H , Q thẳng hàng (4,0 điểm) 1,0 Cho n hợp số cho n chia hết n n 1, n hàm Euler n tổng ước nguyên dương n Chứng minh n có ước ngun tố phân biệt Giả sử n lũy thừa với số mũ nguyên dương số nguyên tố n p k , k 1 Khi p | n nên p n n , mâu thuẫn n | n n Do n có hai ước nguyên tố phân biệt Giả sử n p k q , với p, q hai số nguyên tố phân biệt, k , số nguyên dương Nếu k , tương tự chứng minh ta gặp mâu thuẫn Do n pq Suy 0.5 0.5 n n p 1 q 1 p 1 q 1 p q p q Do pq | p q Giả sử p q mpq hay p mpq q Cố định m , giả sử a, b nghiệm nguyên dương phương trình x mxy y 1 với a b nhỏ a b Xét phương trình t mbt b Khi phương trình có nghiệm x a , phương trình có nghiệm b2 t0 mb a a Dễ thấy t0 nguyên Nếu b a , suy m , vơ lí 1,0 1,0 Do b 1, suy t0 số nguyên dương Suy t0 , b nghiệm nguyên dương phương trình (1) Kéo theo a b t0 b , suy a b , a b Ta gặp mâu thuẫn Như n khơng thể có hai ước ngun tố phân biệt Từ đó, ta có điều phải 1,0 chứng minh Với n số nguyên dương, xét bảng ô vuông kích thước n n chia thành ô vuông (4,0 điểm) Một cách tô ô vuông màu đen gọi “đẹp” số lượng ô đen hàng cột số chẵn; đồng thời, số ô màu đen đường chéo có độ dài lớn số lẻ (đường chéo dãy ô liên tiếp nằm đường thẳng song song với hai đường chéo bảng ô vuông ban đầu; độ dài đường chéo số lượng ô nằm đó) a) Chứng minh tồn cách tô “đẹp” n 2023 b) Chứng minh không tồn cách tô “đẹp” với n số chẵn a) 1,5 điểm Ta xét cách tơ màu cho bảng vng kích thước lẻ tùy ý Tô màu đen tất ô hàng tất ô dàng trừ cột bên trái 0.5 sau Khi đó, Ở hàng hàng n số ô tô n chẵn; hàng cịn lại có số tơ Ở cột số tơ 0; cột cịn lại có số tơ 0.5 Trên đường chéo có độ dài lớn số tơ Như vậy, cách tô đẹp với n 2023 thỏa mãn b) 2,5 điểm Giả sử phản chứng tồn cách tô màu đẹp cho bảng n n n chẵn Ta đánh dấu ô theo thứ tự số 1, 2,3, hình minh họa bên với n 0.5 0.5 Kí hiệu A, B , C , D số ô đánh dấu nằm ô đánh số 1, 2, 3, Ta có nhận xét sau: A C phải số lẻ đánh dấu đường chéo số lẻ ô đánh dấu số phủ lên lẻ đường chéo A B số chẵn số đánh cột số chẵn Tương tự, B C phải chẵn Từ suy A C ( A B ) ( B C ) B số chẵn, mâu thuẫn Vậy nên điều giả sử sai không tồn cách đánh số đẹp trường hợp n chẵn -HẾT -Người đề: Nguyễn Thị Bích Ngọc - Số điện thoại: 0904014676 0.5 0.5 0.5 0.5