DUYÊN HẢI BẮC BỘ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DUN HẢI BẮC BỘ ĐỀ ĐỀ XUẤT Mơn: TỐN 11 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có: 01 trang Bài (4,0 điểm) Cho dãy số thực xn n 1,2, xác định sau x n 1 x1 0; x 3 x n 2 5 , n 1,2, 3 Tìm giới hạn lim x n Bài (4,0 điểm) Tìm tất đa thức P x x thỏa mãn P x 6 P x x 1 , x Bài (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn O , đường kính AD Trên tia đối tia DA lấy điểm E qua E vẽ đường thẳng vng góc với AD cắt đường thẳng BC P Từ P vẽ hai tiếp tuyến PM , PN đến O ( M , N tiếp điểm A, N nằm phía so với đường thẳng BC ) Đường thẳng AM cắt PE F Gọi G trung điểm AF , đường thẳng GP cắt đường thẳng AC H Gọi Q điểm đối xứng với N qua O , từ Q vẽ đường thẳng vng góc với ON cắt đường thẳng MN S Chứng minh rằng: a) PS PM SM SN b) Đường thẳng HF song song với đường thẳng AB Bài (4,0 điểm) Cho p số nguyên tố Chứng minh p 1 mod p tử số tổng p 1 /2 k 2 p 1 1 bội k k 1 Bài (4,0 điểm) Cho S A1 , A2 , , A11 họ tập hợp thoả mãn đồng thời hai điều kiện: (i) Ai A j 1 i j 11 ; (ii) Aj 5 1 i 11 Đặt A A1 A2 A11 , với x A ký hiệu d ( x ) số tập hợp thuộc S chứa x d max d ( x) : x A Tìm giá trị nhỏ d - Hết -Họ tên thí sinh:…………………… …… Số báo danh:……………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm