De 9 đề thi hsg môn toán lớp 11 thpt tam dương vĩnh phúc 2012 2013 file word có lời giải chi tiết

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI HSG CẤP TRƯỜNG LỚP 11 NĂM HỌC 2012-2013 ————————— ĐỀ THI MƠN: TỐN TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu I: (2,0 điểm) 1.Giải phương trình: (1  t anx)cos x  (1  cot x)sin x  2sin 2x Tìm nghiệm khoảng   ;   phương trình:   2sin  3x     8sin 2x cos 2x 4  Câu II: (2,0 điểm) Có số tự nhiên gồm chữ số khác có số chẵn số lẻ ? Cho k số tự nhiên thỏa mãn k 2011 Chứng minh rằng: k k  k  k C50 C2011  C15 C2011   C55 C2011 C2016 Câu III: (2,0 điểm)       Cho Pn=         2.3   3.4   (n  1)(n  2)   lim Un Gọi Un số hạng tổng quát Pn Tìm n  (x  2012)  2x  2012 4x  x x Tìm giới hạn: lim Câu IV: (1,0 điểm) u1 11 u n 1 10u n   9n, n  N Cho dãy số (un) xác định :  Tìm cơng thức tính un theo n Câu V: ( 3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c M điểm tùy ý cạnh AB, (P) mặt phẳng qua M song song với AC BD cắt BC, CD, DA N, P, Q Tìm vị trí M điều kiện a, b, c để thiết diện MNPQ hình vng, tính diện tích thiết diện trường hợp t Cho tam giác ABC có góc nhọn Xác định điểm M bên tam giác cho MA + MB + MC nhỏ -Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: t HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN : TỐN 11 THPT -Câu I Nội dung Điểm 2.0 (1.0 đ) ĐK: sin x cos x  Khi pt trở thành: sinx  cos x 2 sin x cos x (1) 0.25 ĐK: sinx  cos x  dẫn tới sinx  0;cos x  0.25 Khi đó: (1)  sin 2x 1  x    k 0.25  KL nghiệm : x   2m 0.25   (1.0 đ).ĐK: sin  3x    0 4 (1) 0,25 Khi phương trình cho tương đương với pt:  5  x   k; x   k 12 12 Trong khoảng   ;   ta nhận giá trị : sin 2x  0.25  11 5 7 x  ; x  ; x  ; x  12 12 12 12 0.25 Kết hợp với đk (1) ta nhận hai giá trị thỏa mãn là:  x ; 12 x  7 12 0,25 3.0 II (1.0 đ) TH1: Trong số chẵn có mặt số Số số tìm 5.C 24 C35 5! 36000 (số) t 0.5 TH2: Trong số chẵn khơng có mặt số Số số tìm C34 C35 6! 28800 (số) Đ/ số 0.25 36000  28800 64800 số 0.25 (1.0 đ) Dễ thấy   x    x  2011   x  2016 ; M   x  C50  C15 x1  C52 x  C53 x  C54 x  C55x N   x  2011 k 2011 2011 C02011  C12011x1   C2011 x k   C 2011 x P   x  2016 k 2016 2016 C02016  C12016 x   C 2016 x k   C2016 x Ta có hệ số x P C k k 2016 0.25 0.25 Vì P M.N , mà số hạng chứa x k M.N : k  k  k  k   k   k  k  k  C50 C2011 x k  C15 xCk2011 x  C52 x 2C2011 x  C53 x 3Ck2011 x  C54 x 4Ck2011 x  C55x 5C2011 x 0.25 nên k k  k  k C50 C2011  C15 C2011   C55 C2011 C2016 0.25 (1 điểm) u1 11 10  Ta có: u 10.11   102 100  u 10.102   9.2 1003 1000  Dự đoán: Chứng minh: 0.25 0.25 n un = 10 + n (1) Ta có: u1 = 11 = 101 + , công thức (1) với n=1 Giả sử công thức (1) với n=k ta có : uk = 10k + k Ta có: uk + = 10(10k + k) + - 9k = 10k+1 + (k + 1) Công thức(1) với n=k+1 0.25 Vậy un = 10n + n, n  N 0.25 2.0 III (1 đ) Ta có:  k(k  3)  (k  1)(k  2) (k  1)(k  2) 0.25 0.25 Cho k=1,2,3,…,n ta t 1.4.2.5.3.6 n(n  3) Sn  2.3.3.4.4.5 (n+2)(n  1) (n  3)  Un= 3(n  1) 0.25 lim Un = lim (n  3) 1  n  n  3(n 1) 0.25 2.(1 điểm)   2x  4x    L  Lim x  2x  2012  2012 Ta có   x x x   0.25 Lim x  2x 0 x Lim x Lim x  2x   2x  2` Lim Lim  x x x( (1  2x)   2x  1) x  ( (1  2x)   2x  1) 4x   4x Lim Lim 2 x  x( 4x   1) x x 4x     16096  2012.2  Vậy L 0  2012 3 0.5 0.25 IV 3.0 1.(2 đ) +) Chứng minh MNPQ hình bình hành 0.5  MN NP  MP NQ +) MNPQ hình vng    M trung điểm AB a = c 1.0 +) Lúc SMNPQ = b 0.5 2.(1 đ) Dùng phép quay quanh A với góc quay 600 biến M thành M’; C thành C’ Ta có MA+MB+MC = BM+MM’+M’C’ 0.25 MA+MB+MC bé bốn điểm B,M,M’,C’ thẳng hàng Khi góc BMA=1200, góc AMC=1200 0.5 Ta vị trí M tam giác ABC Chú ý: Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa t 0.25 t