Đang tải... (xem toàn văn)
SỞ GD&ĐT NINH BÌNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN TỤY ******** ĐỀ THI ĐỀ XUẤT KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI NĂM 2023 MÔN TOÁN 10 Thời gian làm bài 180 phút ( Đề này gồm 05 câu, 01 trang) C[.]
SỞ GD&ĐT NINH BÌNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN TỤY ******** ĐỀ THI ĐỀ XUẤT KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUN HẢI NĂM 2023 MƠN: TỐN 10 Thời gian làm bài: 180 phút ( Đề gồm 05 câu, 01 trang) Câu (4,0 điểm) Tìm tất hàm số f : thỏa mãn f yf x x f xy yf x f f x , x, y Câu (3,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c 4 abc Chứng minh ab bc ca a , b , c a b c Câu (5,0 điểm) O I Cho tam giác ABC khơng cân, nội tiếp đường trịn Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC , CA AB D, E F Gọi P giao điểm O thứ hai (khác A ) đường trịn với đường trịn đường kính AI a) Chứng minh PD qua điểm cung BC không chứa A b) Gọi X giao điểm AD BE ; Q điểm đối xứng với X qua EF ; H hình chiếu vng góc D lên EF Chứng minh ba điểm A, H , Q thẳng hàng Câu (4,0 điểm) n n n Cho n hợp số cho n chia hết , hàm Euler n tổng ước nguyên dương n Chứng minh n có ước nguyên tố phân biệt Câu (4,0 điểm) Với n số ngun dương, xét bảng vng kích thước n n chia thành ô vuông Một cách tô ô vuông màu đen gọi “đẹp” số lượng ô đen hàng cột ln số chẵn; đồng thời, số ô màu đen đường chéo có độ dài lớn số lẻ (đường chéo dãy ô liên tiếp nằm đường thẳng song song với hai đường chéo bảng ô vuông ban đầu; độ dài đường chéo số lượng nằm đó) a) Chứng minh tồn cách tô “đẹp” n 2023 b) Chứng minh không tồn cách tô “đẹp” với n số chẵn -HẾT SỞ GD&ĐT NINH BÌNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN TỤY ******** HDC ĐỀ THI ĐỀ XUẤT KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUN HẢI NĂM 2023 MƠN: TỐN 10 Thời gian làm bài: 180 phút ( Đề gồm 07 câu, 08 trang) Câu hỏi Hướng dẫn Tìm tất hàm số f : thỏa mãn (4,0 điểm) f yf x x f xy yf x f f x , x, y Điểm 1 P a, b 1 phép x a y b 1 ta f x 0, x Nếu f hàm thay vào P 0,0 f f 0 k : f k 0 Nếu f khác Từ tồn x P k , f 2k f x f , x f x Nếu k 0 , từ k Vơ lí f x 0 x 0 Vậy P x,0 f x f f x x Kí hiệu (3,0 điểm) f a f b Giả sử tồn a, b 0 thỏa mãn 2a 2b P b, ; P a, f b f a Trừ vế theo vế ta 2ab 2ab f f a b f f b f f a 0 f b f a f a f b f x Do nên a b Vậy đơn ánh f x f f x x f x 2 x x Lại có , nên f x c x f x 2 x x Vậy Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c 4 abc Chứng minh ab bc ca a , b , c a b c Giả sử a min a, b, c 1,0 0.5 0.5 1,0 1,0 4a abc bc abc Ta có: a a b c bc a b c ab bc ca 4a a b c 1,0 1,0 Ta có đpcm 1,0 ABC khơng cân, nội tiếp đường trịn O Đường tròn I nội tiếp tam giác (5,0 điểm) Cho tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC , CA AB D, E F Gọi P giao điểm O với đường trịn đường kính AI thứ hai (khác A ) đường tròn a) Chứng minh PD qua điểm cung BC không chứa A b) Gọi X giao điểm AD BE ; Q điểm đối xứng với X qua EF ; H hình chiếu vng góc D lên EF Chứng minh ba điểm A, H , Q thẳng hàng A Q P H F B L E K T X I O C D J a) Xét hai tam giác PBF PCE có PBF PCE (*) Vì IE AC , IF AB nên E , F thuộc đường trịn đường kính AI Do PFA PEA suy PFB PEC (**) Từ (*) (**) suy hai tam giác PBF PCE đồng dạng PB BF DB Suy PC CE DC 1,0 (do BD BF ; CE CD ) Suy PD phân giác góc BPC hay PD qua điểm cung BC khơng chứa A 1,0 DB EC FA b) Ta có DC EA FB ( AE AF , BF BD, CE CD ) Theo định lí Xeva ta có AD, BE , CF đồng qui X Do tam giác ABC không cân nên EF cắt BC L Gọi T giao điểm LX với AC K giao điểm AD với EF 1,0 Xét tam giác LEC có LT , CF , EB đồng quy X Suy ATEC AKXD H AKXD (1) Mà HK HD , kết hợp (1) suy HK phân giác góc AHX (2) Do Q đối xứng X qua HK nên HK phân giác góc QHX (3) Từ (2) (3) suy A, H , Q thẳng hàng 1,0 1,0 n hợp số cho n chia hết n n , n hàm Euler (4,0 điểm) Cho n tổng ước nguyên dương n Chứng minh n có ước ngun tố phân biệt k Giả sử n lũy thừa với số mũ nguyên dương số nguyên tố n p , k 1 0.5 p | n pŒ n n n | n n Khi nên , mâu thuẫn n Do có hai ước ngun tố phân biệt k Giả sử n p q , với p, q hai số nguyên tố phân biệt, k , số nguyên dương Nếu k , tương tự chứng minh ta gặp mâu thuẫn Do n pq Suy n n p 1 q 1 p 1 q 1 p q p q 2 2 0.5 Do pq | p q Giả sử p q mpq hay p mpq q 0 Cố định m , giả sử a, b 1,0 nghiệm nguyên dương phương trình x mxy y 0 1 với a b nhỏ a b Xét phương trình t mbt b 0 x a Khi phương trình có nghiệm , phương trình có nghiệm b2 mb a a Dễ thấy t0 nguyên Nếu b 1 a 1 , suy m 0 , vơ lí 1,0 t0 t , b nghiệm Do b , suy t0 số nguyên dương Suy nguyên dương phương trình (1) 1,0 2 Kéo theo a b t0 b , suy a b , a b Ta gặp mâu thuẫn Như n khơng thể có hai ước ngun tố phân biệt Từ đó, ta có điều phải chứng minh Với n số nguyên dương, xét bảng ô vuông kích thước n n chia thành ô (4,0 điểm) vuông Một cách tô ô vuông màu đen gọi “đẹp” số lượng ô đen hàng cột ln số chẵn; đồng thời, số ô màu đen đường chéo có độ dài lớn số lẻ (đường chéo dãy ô liên tiếp nằm đường thẳng song song với hai đường chéo bảng ô vuông ban đầu; độ dài đường chéo số lượng ô nằm đó) a) Chứng minh tồn cách tô “đẹp” n 2023 b) Chứng minh không tồn cách tô “đẹp” với n số chẵn a) 1,5 điểm Ta xét cách tô màu cho bảng vng kích thước lẻ tùy ý Tơ màu đen tất 0.5 ô hàng tất ô dàng trừ cột ngồi bên trái sau Khi đó, Ở hàng hàng n số ô tô n chẵn; hàng cịn lại có số tơ 0.5 Ở cột số tơ 0; cột cịn lại có số tơ Trên đường chéo có độ dài lớn số tơ 0.5 Như vậy, cách tơ đẹp với n 2023 thỏa mãn b) 2,5 điểm Giả sử phản chứng tồn cách tô màu đẹp cho bảng n n n chẵn Ta đánh dấu ô theo thứ tự số 1, 2,3, hình minh họa bên với n 8 0.5 Kí hiệu A, B, C , D số ô đánh dấu nằm ô đánh số 1, 2, 3, Ta có nhận xét sau: A C phải số lẻ đánh dấu đường chéo số lẻ ô đánh dấu số phủ lên lẻ đường chéo A B số chẵn số ô đánh cột số chẵn Tương tự, B C phải chẵn Từ suy A C ( A B) ( B C ) B số chẵn, mâu thuẫn Vậy nên điều giả sử sai không tồn cách đánh số đẹp trường hợp n chẵn -HẾT -Người đề: Nguyễn Thị Bích Ngọc - Số điện thoại: 0904014676 0.5 0.5 0.5 0.5