D03 bài toán liên quan đến tỷ số đoạn thẳng muc do 4

Câu [HH11.C1.1.E03.d] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC Một mặt phẳng  P  chứa AM cắt cạnh SB , SD điểm B, D khác S SB SD    Chứng minh SB SD Lời giải S D' M I D P O A C B' N B Lấy I  AM  BD O  AC  BD  SAC   SBD  Ta có S , O , I điểm chung hai mặt phẳng Suy S , O , I thẳng hàng  SAC  Và I trọng tâm mặt chéo  SI  SO  P, N  SO   OP ON Vẽ BP  BI DN  DI Đặt x SD SB ; y SD SB  xy  SB SD SP SN 2SO     2  3  x, y   1;2 SB SD SI SI SI  * 1     3     xy Suy ra: x y xy  * :1  x 2  Từ  xy 2  x  3x  0  x(3  x ) 2 3 x y 1       xy xy x y Câu 1.[HH11.C1.1.E03.d] (HSG lớp 11 SGD Thanh Hoá 18-19) Cho lăng trụ ABCD A1B1C1 D1 Một mặt phẳng    thay đổi song song với mặt    cho đáy cắt đoạn AB1 , BC1 , CD1 , DA1 M , N , P, Q Hãy xác định vị trí MNPQ nhỏ Lời giải    với lăng trụ ABCD A1B1C1D1 Do    thay đổi song song Gọi ABC D thiết diện S S ABCD S A1B1C1D1 S với mặt đáy nên ABC D AA  AA x,  x  Đặt AB a; BC b; CD c; DA d cạnh bên , AA1 AM AA   AM ax M / / A1B1  AA B A A B AA 1 Xét có Theo định lí talet: 1 A1 A AQ   AQ   x  d  AA D  A A AD A Q / / AD Xét có Theo định lí talet: ta có  'Q S AMQ AM AQ.sin MA  x   x   AB AD.sin BAD Nên tỉ số diện tích: S ABD SBMN Tương tự ta có kết qủa sau: SABC x(1  x), SCNP SBCD S  S  SBMN S  x (1  x ), CNP  x (1  x ), D PQ  x(1  x ), A MQ SABC SBCD SACD S ABD x(1  x), SDPQ SACD x(1  x) SBMN  SABC  x (1  x)  SCNP  SBCD  x (1  x )  x (1  x )   SDPQ S ACD   x.(1  x)  S  S  A MQ  ABD  x.(1  x) Xét Cộng đẳng thức lại với ta có : 1 2S  SAMQ  SBMN  SC NP  SDPQ     S  SMNPQ  x(1  x) x(1  x) S S  S  S  x(1  x ) S Đặt MNPQ Vâỵ để S  nhỏ x(1  x ) lớn ( x   x) 2 x(1  x) 2   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: Dấu xẩy khi:   x 1  x  x  Vậy qua trung điểm cạnh bên ln song song với mặt đáy nửa diện tích đáy SMNPQ S nhỏ