D03 bài toán liên quan đến tỷ số đoạn thẳng muc do 3

Câu [HH11.C1.1.E03.c] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tâm O, M trung điểm SC I giao điểm AM SO Từ I kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD EF K , MF cắt CD F Tính tỉ số KJ E F , ME cắt BC Lời giải S M F D J C I E O B A K ( P ) / / BD   BD  ( SBD)   Ix / / BD ( P )  ( SBD) Ix  + Gọi O  AC  BD; I SO  AM Ta có  SBD  dựng Ix / / BD Trong  Ix  SB E ; Ix  SD F  E SB  ( P ); F SD  ( P ) Ta có J , A, K  ( P) J , A, K  ( ABCD)  J , A, K thẳng hàng ( P ) / / BD   BD  ( ABCD )   JA / / BD ( P )  ( ABCD) JA  BD / / KJ Mà EF / / BD  JA / / EF BD EF  ( theo cách dựng I trọng tâm SBD ) EF  BD / / KJ ; OC OA  KJ 2 BD Vậy KJ Câu [HH11.C1.1.E03.c] Cho tứ diện SABC , độ dài cạnh Gọi I , K trung điểm cạnh AC , SB Trên đường thẳng SA, CK lấy điểm P, Q cho PQ / / BI Tính độ dài đoạn PQ ? Lời giải S P E Q A I K C B F Ta có PQ giao tuyến hai mặt phẳng : Mặt phẳng chứa CK song song với BI mặt phẳng chứa SA song song với BI Trong mặt phẳng Kẻ  SBI  kẻ AF / / BI  F  BC  KE / / BI , E  SI CE cắt SA P , CK cắt SF Q  PQ / / BI  Ta có I , E trung điểm AC , SI SP  SA PQ SP 1    PQ  AF Mà AF SA PQ  Câu 3 Ta có AF 2 BI  Vậy [HH11.C1.1.E03.c] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân với AD //BC , AB BC a , AD 2a ; tam giác SAD vuông cân S SB a Gọi G trọng tâm tam HB mp  SCD  giác SCD , H giao điểm BG Tính tỉ số HG Lời giải S M G N A J B H D K P I C HB Gọi G trọng tâm tam giác SCD , H giao điểm BG Tính tỉ số HG Gọi P trung điểm CD , I  AC  BP; H SI  BG  H=BG  (SAC) Gọi J giao điểm BN AC , BCNA hình bình hành nên J trung điểm BN , mà IJ //NP nên I trung điểm BP Trong tam giác SBP vẽ GK //SI , ta có: mp  SAC  Câu HB IB IP SP     HG IK IK SG (do G trọng tâm tam giác SCD ) [HH11.C1.1.E03.c] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC Một mặt phẳng (  ) chứa AM cắt cạnh SB, SD điểm B, D Biết SB SD  Bkhác với S B, D khác với S D Tính SB ' SD ' Lời giải S D' M I D P O A N C B' B Gọi O giao điểm AC BD Gọi I giao điểm AM SO I trọng tâm tam giác SAC Ba điểm B, I , D thẳng hàng SO  Ta có SI Vẽ BP / / BI , DN / / D ' I  P, N  SO   OP ON SB SP SO  OP   SB ' SI SI SD SN SO  ON   SD ' SI SI  SB SD SO  OP  ON   SB ' SD ' SI SB SD SO   2 3 SI Vì OP ON nên SB ' SD ' Câu [HH11.C1.1.E03.c] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , tất cạnh bên a Gọi điểm M thuộc cạnh SD cho SD 3SM Xác định điểm P thuộc MA điểm Q thuộc BD cho PQ song song với SC Tính PQ theo a S M P D C N Q A B Lời giải SC Qua M dựng đường thẳng song song với cắt CD N Nối A với N cắt BD Q Trong mp  MAN  từ Q dựng đường thẳng song song với MN cắt AM P Ta có PQ //MN , MN //SC nên PQ //SC Suy hai điểm P , Q thỏa mãn điều kiện toán MN DM AQ  AB  AQ     DS , QN DN AN Ta có SC PQ AQ PQ PQ MN 2      MN AN , SC MN SC 5 2a PQ  Suy Câu [HH11.C1.1.E03.c] Cho tứ diện SABC M điểm nằm bên tam giác ABC (không nằm cạnh) Qua M kẻ đường thẳng song song với SA , SB , SC cắt mặt phẳng tương ứng  SBC  ,  SAC  ,  SAB  điểm A, B, C  Trình bày cách dựng điểm MA MB MC  A, B, C  Xác định vị trí điểm M để đại lượng SA SB SC đạt giá trị lớn Lời giải S B' C' A A' P C MN Q B Trong tam giác ABC : Gọi N  AM  BC , P BM  AC , Q CM  AB Trong  SAN  , kẻ đường thẳng qua M , song song với SA cắt SN A Trong  SBP  , kẻ đường thẳng qua M , song song với SB cắt SP B Trong  SCQ  , kẻ đường thẳng qua M , song song với SC cắt SQ C  Áp dụng định lý Ta – lét ta có: MA NM MB PM MC   QM   QC SA NA ; SB PB ; SC NM PM QM   1 NA PB QC ABC Áp dụng định lý Ceva tam giác ta có: MA MB MC  NM  PM  QM MA MB MC      1 SB SC = NA PB QC nên SA SB SC Mà SA Áp dụng bất đẳng thức AM  GM ta có: MA MB  MC  MA MB MC  MA MB MC  33     SA SB SC SA SB SC  SA SB SC 27 MA MB MC     SB SC  M G , với G trọng tâm tam giác ABC Dấu xảy SA 1 Câu [HH11.C1.1.E03.c] Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình bình hành Gọi C ' trung điểm  SC , M điểm thuộc cạnh SA Mặt phẳng   chứa C ' M cắt cạnh SB, SD B ', D ' Khi   SB SD  3 thay đổi Xác định vị trí M để SB ' SD ' Lời giải S C' I M E C A O F Xét ta giác SAC : Qua A, C kẻ đường thẳng song song với C ' M , cắt SO E , F Ta có: SA SE SC SF SA SC SO  ;    2 SM SI SC ' SI SM SC ' SI Tương tự, xét ta, giác SBD , ta có: SB SD SO SB SD SA SC SA  2      2 SB ' SD ' SI SB ' SD ' SM SC ' SM SB SD SA  3  1  M  A SM Vậy SB ' SD ' Câu [HH11.C1.1.E03.c] (YÊN LẠC VĨNH PHÚC 2019) Cho tứ diện ABCD , gọi G trọng tâm tam giác BCD , G  trung điểm AG Một mặt phẳng ( ) qua G  cắt cạnh AB, AC , AD B, C , D Tính AB AC AD   AB AC  AD Lời giải 1) Trước hết ta xét toán: “ Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM Một đường thẳng d cắt cạnh AB, AC đoạn thẳng AM điểm B1 , C1 , M khác AB AC AM  2 AM ” A Chứng minh AB1 AC1 Chứng minh:  C B Qua dựng đường thẳng nhận B1C1 làm vectơ phương Mỗi đường thẳng theo thứ tự cắt đường thẳng AM E F (hình vẽ) Khơng tính tổng quát, ta giả sử E thuộc đoạn AM F đối xứng với E qua M Áp dụng định lí Thales, ta có AB AE AM  ME AC AF AM  MF AM  ME      AB1 AM AM , AC1 AM AM AM  AB AC AM  ME AM  ME AM    2 AB1 AC1 AM AM AM (đpcm) 2) Gọi M , N theo thứ tự trung điểm CD BG M , N  theo thứ tự giao điểm mặt phẳng ( ) với AM , AN Áp dụng kết toán vào tam giác ACD, ABG , AMN ta được:  AC AD AM  2  1 AC  AD AM  ,  AB AG AN AB AN AB AN  2   2  2   2 AB AG AN  AB AN  AB AN   AM AN AG + 2 2.2 4   AM  AN  AG  AC AD AB  AM AN    2  +   2.4  6 1 ,   3        AC AD AB AM AN   Từ suy AC AD AB   6    AC AD AB Vậy Câu [HH11.C1.1.E03.c] (HSG TOÁN 11-VĨNH PHÚC-18-19) Cho hình hộp ABCD ABC D Gọi AM  AD M điểm cạnh AD cho , N điểm đường thẳng BD , P MN điểm đường thẳng CC ' cho điểm M , N , P thẳng hàng Tính tỉ số MP Lời giải B M A C E D N C' B' A' D' P I Vì đường thẳng BD ', MP cắt điểm N nên điểm B, M , D ', P đồng phẳng  ABCD  ,  CDD ' C ' ,  BMD ' P  đôi cắt theo giao tuyến Xét mặt phẳng DC , BM , D ' P Mà BM cắt DC Do đường thẳng DC , BM , D ' P đồng quy Trong mặt phẳng  ABCD  : BM  CD I Trong mặt phẳng  CDD ' C ' : ID ' CC ' P Trong mặt phẳng  IBP  : BD ' MP N  IBP  : ME // IP  E  BD ' Trong mặt phẳng BM D ' I NP ME D ' I D ' P  1  1 Ta có BI D ' P NM ID ' D ' P ME IM MD BM     BI Mặt khác IB BC ID ' ID MD D 'I     3  3 IP IC BC D'P (2) NP MN    MP Từ (1), (2), (3) ta có NM Cách 2: B A C D M N I B' C' K P A' D'  MBD ' cắt B ' C ' I Khi MBID ' hình bình hành nên C ' I  C ' B ' Mặt phẳng PK PI C ' I    Ta có BI  CC ' P , MP  BD ' N , MP  ID ' K Khi PM PB CB IK IK PK NK KD '      Do ID ' BM PM Suy NM BM Ta thu Câu NK 3 x , NM 4 x , KP  7x  x  0  MN  MP [HH11.C1.1.E03.c] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Điểm M di động ( a ) mặt phẳng qua AM song song với BD Tìm giao điểm H , K mặt phẳng SC , ( a) SB SD SC + với SB, SD Chứng minh rằng: SH SK SM có giá trị khơng đổi Lời giải ( ABCD ) gọi O giao điểm AC ; BD Trong mặt phẳng ( SAC ) , gọi Trong mặt phẳng I = SO Ç AM ( a ) qua A, song song với BD nên ( a ) cắt mặt phẳng ( SBD ) theo giao tuyến qua I Vì song song với BD cắt SB; SD H ; K SB SD SO SB SD SO = = Þ + =2 SK SI SH SK SI Ta có SH ( SAC ) kẻ OJ / / AM với J Ỵ AM Trong mặt phẳng SO SJ = SM Ta có SI ( SM + MJ ) + ( SC - CJ ) - SC SB SD SC 2SJ SC + = = SH SK SM SM SM SM OJ / / AM AC Ta có mà O trung điểm nên J trung điểm MC Suy MJ = JC ( SM + MJ ) + ( SC - CJ ) - SC SB SD SC + = =1 SM Do đó: SH SK SM (ĐPCM) Câu [HH11.C1.1.E03.c] (Trường THPT Nguyên Hãn- Hải Phòng) Một điểm S nằm  ABC  cho tứ diện SABC , gọi I , K trung điểm cạnh AC SB Trên đường thẳng AS CK ta chọn điểm P, Q cho PQ // BI Tính độ dài PQ biết cạnh tứ diện có độ dài Lời giải S P E Q A I K C B F Ta có PQ giao tuyến hai mặt phẳng: Mặt phẳng chứa CK song song với BI mặt phẳng chứa SA song song với BI Trong mặt phẳng cắt SF Q  SBI  kẻ KE // BI , CE cắt SA P Qua A kẻ AF // BI ( F thuộc BC ), CK Vậy PQ // BI Ta có I , E trung điểm AC SI  SP  SA PQ SP 1    PQ  AF PQ  3 Câu [HH11.C1.1.E03.c] (Đề Mà AF SA Ta có AF 2 BI  Vậy HSG K11 Đặng Thúc Hứa 2015-2016) Cho hình chóp S ABC , gọi M điểm bên tam giác ABC Qua M kẻ đường thẳng song song với cạnh SA, SB, SC cắt mặt MA1 MB1 MC1   1 A , B , C SB SC phẳng ( SBC ), ( SCA), ( SAB ) theo thứ tự 1 Biết SA điểm M di động tam giác ABC Xác định M để tích MA1.MB1.MC1 có giá trị lớn Lời giải Áp dụng BĐT AM-GM ta có: MA1 MB1 MC1 MA1 MB1 MC1 SA.SB.SC   3  MA1.MB1.MC1  SA SB SC SA SB SC 27 MA1 MB1 MC1   SB SC Dấu “=” xảy SA 1 MA ' MB ' MC '     M trọng tâm tam giác ABC hay AA ' BB ' CC ' Câu [HH11.C1.1.E03.c] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SA , N trung điểm SD G trọng tâm tam giác SBC Tìm giao điểm  MNG  Gọi O tâm hình bình hành ABCD , E giao đường thẳng AC mặt phẳng điểm SO mặt phẳng  MNG  Tính tỉ số Lời giải SE SO S M P E C' C A O A' Trong (SAC) có SO  MP E , E giao điểm SO (MNG) Dựng đường thẳng qua A song song với MP cắt đt SO A’ Dựng đường thẳng qua C song song với MP cắt đt SO C’ SA SA ' SC SC ' SA SC SA ' SC ' 2SO  ,       SM SP SE SE SE Ta có: AA’CC’ hình bình hành, SM SE SP SE  SO  SA SC   3 SE       2    SE  SM SP   2 SO