D05 một số bài toán áp dụng số nguyên tố, số chính phương và hợp số muc do 4

Câu [DS10.C1.1.E05.d] (HSG NINH BÌNH 2018-2019) 1) Với số n nguyên dương, đặt f (n) ước G  n  * : f (m)  f (n), m  ,  m  n nguyên dương n Xét tập hợp gọi pi số nguyên tố * thứ i (i   ) Chứng minh rằng: Nếu n thuộc G pm ước nguyên tố n ( p1 p2 pm ) ước n k 2k 2) Với số nguyên tố pm , gọi k , M số nguyên dương thỏa mãn  pm M ( p1 p2 pm  ) Chứng minh rằng: Nếu n  M n thuộc G n chia hết cho pm Lời giải 1) n  p1k1 p2k2 paka (ki  N , i 1, a )  f (n) (k1  1)(k  1) (k a  1) Giả sử Giả sử n chia hết cho pm , tồn i thỏa mãn i  m a mà n không chia hết cho pi Suy km 1, ki 0 Xét n0  n pi pm ta có: f ( n0 ) f( n) (k i  2) k m 2km  f (n) (k i  1)(k m  1) km  n0  n Do km 1  2km km  nên f (n0 )  f (n) mâu thuẫn Vậy n chia hết cho pi với i 1, 2, , m 2) Xét n  G n  M  p , p , , pm 1 Giả sử khơng chia hết cho pm ước n thuộc tập p  pm p , p , , pm , , p j ( Thật vậy, giả sử n có ước j theo ý (a) n chia hết cho Mâu thuẫn.) km k1 k2 n  p1 p2 pm  (k i  N,i 1, m  1) Suy : Vì n  M nên tồn tại: i m  cho ki  2k n n1  k pi n0 n1 pm Do pik 2 k  pm suy n0  n Đặt f(n) (k1  1)(k  1) (k t  1) f(n ) (k1  1)(k  1) (k i   1)(k i  k  1)(k i 1  1) (k t  1).2 Vì ki   2k  2(k i  k  1)  k i   f (n )  f(n) Mâu thuẫn Câu Vậy có điều cần chứng minh [DS10.C1.1.E05.d] (HSG ĐỒNG THÁP 18-19) Cho bảng ô vuông gồm m hàng n cột Tại góc bên trái bảng người ta đặt quân cờ Hai người chơi luân phiên di chuyển quân cờ, lượt di chuyển di chuyển quân cờ sang phải ô xuống Người chơi đến lượt khơng di chuyển qn cờ thua Xác định điều kiện m, n để người thực lượt chơi người thắng Lời giải Trước hết, ta gọi người thứ người chơi đầu tiên, người lại người thứ hai Ta dùng hai màu trắng, đen tô ô vuông bảng (tô đan xen bàn cờ), với ô bên trái tô màu trắng ( p; q ) Quy ước: ô thuộc hàng p , cột q gọi Khi đó: ( 1;1) màu với ô ( m; n) + Nếu m, n tính chẵn, lẻ ( 1;1) khác màu với ô ( m; n) + Nếu m, n khác tính chẵn, lẻ Từ giả thiết tốn, người chơi di chuyển qn cờ sang phải xuống ô, ta nhận thấy hai người chơi phải di chuyển quân cờ sang ô khác màu với ô đứng Ở lượt di chuyển đầu tiên, thứ di chuyển quân cờ sang ô màu đen, người thứ hai di chuyển quân cờ sang ô màu trắng Cờ đưa ô ( m; n) ( m; n) ( m; n) Để người thứ thắng quân cờ phải di chuyển vào ô ô phải tô màu đen (trùng với màu mà người thứ di chuyển lượt đầu tiên) Điều xảy m, n khác tính chẵn, lẻ Ngược lại, m, n tính chẵn, lẻ lập luận tương tự trên, người thứ hai thắng Vậy m, n khác tính chẵn, lẻ người thứ thắng