Câu u1 1 un 1 2unun 1 , n * un [DS11.C3.3.E02.d] Cho dãy số xác định sau Tính số hạng thứ 10 dãy số cho Lời giải * Theo giải thiết cho, dễ dàng thấy un 1, n Ta có un21 1 2unun 1 un21 2unun 1 0 Có thể xem phương trình phương trình bậc theo biến un 1 với nhận xét ta un 1 un un2 Để tính số hạng, ta tìm cách tìm số hạng tổng quát dãy số cho ; để un cot Với nhận xét trên, tồn Khi un 1 cot cot cos 1 cos sin sin sin cos cot un 1 2sin cos 2 Do u1 cot u2 cot un cot n 1 nên , quy nạp ta chứng minh Vì u10 cot 11 cot 2048 Từ số hạng cần tính Câu u1 4 un 1 un 2un u [DS11.C3.3.E02.d] Cho dãy số n xác định Tìm cơng thức số hạng tổng qt un dãy số Lời giải * Đặt xn 2un n xn2 un * Ta có xn 0 xn 1 2un , n hay Thay vào giả thiết, ta được: xn21 1 xn2 xn 9 xn21 xn2 xn 3xn 1 xn * * Suy ra: 3xn 1 xn n ( Do xn 0 , n ) n 1 n n * Hay xn 1 3 xn 4.3 , n n * n * Đặt yn 3 xn , n N Ta có: yn 1 yn 4.3 , n y y1 3n 3n 3 , n * Từ n 1 n 1 * Hay yn 1 y1 2.3 , n n Theo cách đặt ta có: x1 3 y1 9 yn 3 2.3 n * , n * n Suy ra: 1 un n n , n * 2 3 Do xn 2 Câu 1 1 1 [DS11.C3.3.E02.d] Cho dãy phân số , , , ,…, 2012 , 2013 Người ta biến đổi dãy số cách xóa hai số a , b thay số a b ab Sau lần biến đổi vậy, số số hạng dãy số giảm đơn vị so với dãy trước Chứng minh giá trị số hạng cuối lại sau 2012 lần biến đổi không phụ thuộc vào thứ tự thực tìm giá trị Lời giải Trong q trình biến đổi, giả sử bảng có số a1 , a2 ,., an ta tính đặc số P số P a1 1 a2 1 an 1 Ta chứng minh đặc số P không đổi trình thực phép biến đổi a 1 b 1 Nhưng ta Thật vậy, giả sử ta xóa số a , b Khi tích P thừa số a b ab a 1 b 1 thay a , b a b ab nên tích P lại thêm thừa số Vậy P không đổi Như P trạng thái ban đầu với P trạng thái cuối Ở số đầu ta có \ P 1 1 1 2012 2013 2013 2014 2 2014 2012 2013 Giả sử số cuối lại x số ta có: P x Từ suy x 2013 Câu x [DS11.C3.3.E02.d] (HSG Toán 11 - THPT ĐAN PHƯỢNG Hà Nội năm 1415) Xét dãy số n x0 2 xn xn 1 x n 0,1, 2,3, Tìm n thỏa mãn: với phần nguyên 2015 A xi x1 x2 x2015 i 1 Lời giải Ta có: xn 1 an Đặt xn 1 1 xn xn 1 xn 1 xn a0 1 an 1 3an an x2015 3n 1 xn 1 n 1 1 2016 1 1 2016 2016 1 1 2015 A 2015 i 1 1 i 1 2015 A 2015 2015 2016 i 1 3i Vậy phần nguyên A 2015Câu [DS11.C3.3.E02.d] (HSG Toán 11 – Cụm Hà Đông năm u1 1; u2 4 u 5un 1 6un n 1, n u 1819) Cho dãy số n xác định công thức n 2 Xác định công u thức số hạng tổng quát dãy số n Lời giải n n u 3 Thật vậy, ta chứng minh phương pháp quy nạp Cách 1: Dự đoán n - Kiểm tra dễ có mệnh đề với n 1; n 2 Giả sử mệnh đề với n k , nghĩa ta có uk 3k 2k uk 3k 2k (*) Ta chứng minh mệnh đề với n k Theo giả thiết ta có: uk 1 5uk 6uk 5 3k 2k 1 3k k 1 5.3k 5.2k 2.3k 3.2k 3k 2k * Vậy mệnh đề với n u 5un 1 6un n 1, n , ta có Cách 2: Theo ra, n 2 un 2 2un 1 3(un 1 2un ) n 1, n Đặt un 1 2un n 1, n ta có v1 u2 2u1 2 vn 1 3vn 1 3(vn 1) n 1, n w1 1 w vn n 1, n wn 1 3wn n 1, n Đặt n (w ) w 1 Do wn 3n Suy 3n Nhận thấy n cấp số nhân với công bội q 3 un 1 2un 3n n 1, n Từ ta có un 1 2un 3n un 1 3n 2(u n 3n 1) n Đặt tn un t1 1 nên tn 2 n t1 u1 1 tn 1 2tn Nhận thấy (t n ) cấp số nhân với công bội n n n 1, n Vậy un 2 u 5un 1 6un un 2 2un 1 3(un 1 2un ) Cách 3: n 2 v1 u2 2u1 2 v 3vn v u u n n n Đặt n 1 kwn 1 l 3(kwn l ) kwn 1 3kwn 2l v kwn l , k , l số, k 0 wn 1 3wn Đặt n 2l k w1 1 w 3wn v w (w ) k 1, l n n Chọn n 1 Nhận thấy n cấp số nhận công bội q 3 w1 1 Do wn 3n , 3n un 1 2un 3n u t a3n b , a, b số Khi Đặt n n tn 1 a3n b 2(tn a3n b) 3n tn 1 2tn (1 a )3n b Chọn n a 1, b un tn 1, t1 u1 1 tn 1 2tn Nhận thấy (t n ) cấp số nhận với t 1 Do tn 2n Suy un 2n 3n công bội q 2 Câu [DS11.C3.3.E02.d] (HSG Đồng Tháp năm 2011-2012) Cho dãy số u1 3 un2 u n 1 2u n un xác định sau: n 1, n Hãy xác định công thức tổng quát un theo n Lời giải un u2 un 1 un 1 n un 2un Ta có: n 1, n x1 u1 1 Đặt xn un , , x 1 xn 1 n 2 xn xn 1 xn xn Khi đó: y Đặt tiếp 1 y1 1 xn , n 1, n , x1 2 yn 1 yn 1 Khi đó: yn 1 yn yn n 1, n v1 y1 2 Tiếp tục đặt yn , , n n 2 2 Khi 1 vn v1 2 2 Từ ta tìm được: 1 xn 2n u n 2n 2 2n yn 2 1 1 n n 1, n n un un Vậy công thức tổng quát dãy số là: 2.22 n 22 n 1, n