Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 17 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
17
Dung lượng
0,95 MB
Nội dung
Câu 1 un2 u1 1, un 1 , n 1 u un [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số n xác định Xét tính đơn điệu bị chặn un Lời giải * Chứng minh un 0, n (1) (1) u1 1 (1) n = uk 0, k 1 uk 1 Giả sử uk2 uk 0 uk uk2 * Vậy (1) n = k + un 0, n un2 1 un2 un2 un 1 un un 0, n 1 un 1 un , n * un un dãy số un giảm * * u Do dãy số n giảm nên un u1 , n un 1, n u un 1, n * dãy số n bị chặn Câu u1 1 u 2unun 1 , n * un [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số xác định sau n 1 Chứng minh u2019 số vô tỷ Lời giải Bằng cách khác, ta có mối liên hệ sau: u2 un21 1 2unun 1 un n 1 2un 1 Do un 1 số hữu tỷ un số hữu tỷ Ta chứng minh toán phương pháp phản chứng, giả sử u2019 số hữu tỷ Khi u2018 số hữu tỷ, vậy, ta suy u3 số hữu tỷ Từ u3 số hữu tỷ, ta có u2 số hữu tỷ Điều mâu thuẫn u2 1 số vơ tỷ Ta có điều phải chứng minh.Câu [DS11.C3.3.E02.c] Tìm cơng thức tổng qt dãy số thỏa mãn: u1 1 un 1 3un 6n Lời giải v n cho: un vn 3n , thay vào công thức truy hồi dãy un ta được: Đặt dãy 1 n 1 3 3n 6n 1 3vn v1 u1 vn 1 3vn 2, n 1 xác định bởi: y v Đặt dãy n cho yn 1, n 1 , thay vào công thức truy hồi dãy n ta yn 1 3 yn 1 yn 1 3 yn yn cấp số nhân với số hạng đầu y1 v1 công bội q 3 yn 3.3n 3n 3n n Vây: un 3n Câu 3 n4 un 1 un 2 n 3n , n * [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 1 , Tìm cơng thức tổng quát un theo n Lời giải * Với n , ta có: n 4 2un 1 3 un 2un 1 3 un (n 1)( n 2) n n 1 un 1 3 un n 2 n 1 3 q v1 ( v ) n , suy dãy n cấp số nhân có cơng bội Đặt n n 1 3 1 3 , n * un 2 2 n , n * Do 1 1 1, , , , , , 2012 2013 Người ta biến đổi dãy số [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy phân số cách xóa hai số a, b thay số a b ab Sau lần biến đổi vậy, số un Câu số hạng dãy số giảm đơn vị so với dãy trước Chứng minh giá trị số hạng cuối lại sau 2012 lần biến đổi không phụ thuộc vào thứ tự thực tìm giá trị Lời giải Trong q trình biến đổi, giả sử bảng có số a1 , a2 , a3 , , an ta tính đặc số P số P a1 1 a2 1 an 1 Ta chứng minh đặc số P khơng đổi q trình thực phép biến đổi a 1 b 1 Nhưng ta Thật vậy, giả sử ta xóa số a, b Khi tích P thừa số a b ab a 1 b 1 thay a, b a b ab nên tích P lại thêm thừa số Vậy P không đổi Như P trạng thái ban đầu với P trạng thái cuối Ở số đầu ta có P 1 1 1 1 1 2 2013 2014 2014 2012 2013 2012 2013 x Giả sử số cuối lại số ta có: P x Từ suy x 2013 Câu [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 2 nguyên dương n 1 2018u2018 u u u 2017 Chứng minh rằng: n 1 un1un nun2 với Lời giải n 1 un 1 nun , n * Từ giả thiết suy un un (1) 1 (2u2 u1 ) (2018u2018 2017u2017 ) 2018u2018 u u u 2017 Do đó: số Câu un xác định bởi: u1 sin1; un un [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số n , n 2 Chứng minh dãy số un xác định dãy số bị chặn sin n n , với Lời giải 1 1 2 n Nhận xét: Với số nguyên dương n ta có: Thật vậy, ta có 1 1 1 2 n 1.2 2.3 n n 1 1 1 1 1 2 2 n n n suy nhận xét chứng minh Trở lại toán, từ công thức truy hồi ta được: un sin1 sin sin n 2 n 1 un 2 n Ta có với n (theo nhận xét trên) (1) 1 1 un n 1 Mặt khác với n (theo nhận xét trên) (2) Từ (1) (2) suy dãy số cho bị chặn Câu u1 1; u2 2 un 1 un un un [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số xác định sau , n 2 Xác định số hạng tổng quát un Lời giải 1 1 un un v u u n 1 n 2 , n 2 Biến đổi ta đặt n 1 q Nghĩa dãy v2 , v3 ,…, ,… cấp số cộng có số hạng đầu v2 1 , un un un un un u1 v2 v3 v2 u2 u1 n n 1 1 un 1 3 2 u1 11 u 10un 9n [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số (u n ) xác định n 1 Tìm cơng thức tính u n theo n Lời giải Đặt un n 10vn 10un 9n (n 1) un 1 (n 1) vn 1 un 1 un Câu v1 10 10n v 10vn un 10n n (dpcm) Do ta có n 1 Câu u1 1 u 14un 51 n 5un 18 ( n , n 2) u [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số n xác định sau: u Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số n Lời giải * Lập dãy ( xn ) cho un xn 3; n , ta có x1 u1 4 un 14un 51 14( xn 3) 51 xn 5un 18 5( xn 3) 18 xn 14 xn x n xn xn 1 3 5 xn xn 5 5 3 xn xn 5 11 x cấp số nhân có số hạng đầu , công bội q 3 Dãy số n 11 n 1 11 n 10 xn n xn xn 4 11.3 10 11.3n 34 un 11.3n 10 Câu u [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số n với un 1 a.un b , n 1 , a , b số thực dương cho trước Với n 2, tìm un theo u1 , a, b n Lời giải u au b u u a ( u u n 1, n 1 n n 1 n n n ), n 2 Đặt un 1 un , n 1 avn , n 2 (vn ) cấp số nhân có cơng bội bằng#a n Ta có: n 1, v1.a ; v1 ( a 1)u1 b Vậy ta có: n 2, un (un un ) (un un ) (u2 u1 ) u1 v1 (a n a n 1) u1 u1.a n b(a n a n 1) Câu a [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số n xác định bởi: a1 1 an 1 an 2n với n 1 b Xét dãy số n mà: bn an 1 an với n 1 Cho số nguyên dương N Hãy tính tổng N số b a hạng dãy số n theo N Từ đó, suy số hạng tổng quát dãy số n Lời giải b Tổng N số hạng đầu dãy n S N N Số hạng tổng quát dãy an an n 2n Câu u1 , n 1 un un 1 1 2013u n [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số (un) xác định Tìm số hạng tổng quát un dãy số Lời giải Do u1 , nên suy un n Từ giả thiết suy 1 2013un 1 2013 (1) un 1 un un 1 un un từ (1) suy 1 vn 2013 n Đặt v1 Hay dãy ( ) cấp số cộng với công sai d 2013 Áp dụng tính chất CSC ta có 1 2013 2(n 1) v1 ( n 1)d 2013( n 1) 2 un Câu 1 u1 2 2013 2( n 1) [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số un xác định u1 1 un1 Xác định số hạng tổng quát dãy số 3un , n N * un Lời giải * u 3un2 un21 3un2 Dễ thấy un 0, n N Có n 1 v 3vn 1 3 1 , n N * Đặt un có: n 1 * x Đặt xn vn , ta có: xn 1 3xn , n N Suy n cấp số nhân với x1 2 , ccông bội q= n n n * Suy xn 2.3 2.3 un 2.3 , n N Câu u 3un , n N * u [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số n xác định u1 1 n 1 2 2 Tính tổng S u1 u2 u3 u2015 Lời giải * u 3un2 un21 3un2 Dễ thấy un 0, n N Có n 1 v 3vn 1 3 1 , n N * Đặt un có: n 1 * x Đặt xn vn , ta có: xn 1 3xn , n N Suy n cấp số nhân với x1 2 , ccông bội q 3 n n n * Suy xn 2.3 2.3 un 2.3 , n N 2014 Ta có S 2.3 2.3 2.3 2.3 2015 2 30 31 32 32014 2015 32015 1 2015 3 32015 2016 Câu 2012 [DS11.C3.3.E02.c] Tính tổng: S 1 2.2 3.2 4.2 2013.2 Lời giải S 1 2.2 3.22 4.23 2013.2 2012 S 2 2.2 3.23 4.24 2012.22012 2013.2 2013 Trừ vế đẳng thức ta có S 1 22 23 2012 2013.2 2013 S 2013.2 Câu 2013 2013 2012.22013 1 u [DS11.C3.3.E02.c] Tìm số hạng tổng quát tính tổng 100 số hạng dãy số n xác định u1 2013, un 1 2un 1, n 1 Lời giải u 2 un 1 un 1 2 un 1 Ta có n 1 v Đặt un , n 1 , ta có dãy n cấp số nhân với v1 u1 2014 , cơng bội q 2 Ta có Sn u1 u2 u100 v1 1 v2 1 v100 1 v1 v2 v100 100 v1 Câu q100 100 2014 210 1 100 q an2 a , a a , n N* n 1 n an 2013 [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số thỏa mãn điều kiện a Chứng minh dãy n dãy số tăng không bị chặn Lời giải a an 1 an n 0, n 1 2013 Theo đề ta suy a Vậy n dãy số tăng Giả sử bị chặn phải có giới hạn hữu hạn L Chuyển đẳng thức truy hồi sang giới hạn, L2 L L L 0 2013 ta có an Nhưng dãy số tăng bắt đầu nên điều xảy Vậy điều giả sử sai dãy số Câu an không bị chặn x1 2 x xn n 1 x n * xn n [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số xác định sau: Tìm cơng thức tính xn theo n Lời giải 3x 1 xn 1 n * x x 3 x n n n Với , ta có 1 2 yn 1 yn yn 1 yn 1 ** * x 3 n từ Đặt ta có z zn n ** ta có hay zn cấp số nhân hay Đặt yn zn từ n n n n 1 2 2 2 1 2 3n zn z1 1 yn zn 1 x 2 3 3 x1 hay n 3n n Vậy yn (hoặc dùng phương pháp quy nạp toán học) Câu [DS11.C3.3.E02.c] Cho số thực dương u1 a ; v1 b un * un 1 ; 1 un , n Chứng minh hai dãy a, b a b hai dãy số un ; xác định sau: un ; có giới hạn hữu hạn lim un lim Lời giải u v a b v2 u1v1 ab b v1 , u2 1 a u1 2 Ta có: v v v ; u u u k k Chứng minh quy nạp: uk vk uk vk uk 1.vk vk v u v v ; u uk k k k k k 2 (do uk vk ), v1 v2 vk vk 1 uk 1 uk u1 uk Vậy (un ) giảm bị chặn dưới; ( ) tăng bị chặn nên tồn lim un ;lim , u v un 1 n n 2 Vậy lim un lim Câu u u 1 , [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số n , biết u công thức số hạng tổng quát n theo n un Lời giải * n ta có: 2(n 1)un 1 2 n un n (n n 1) nun 2 n 1 un 1 nun 2 n 1 un 1 2n n n 2 n 1 n 1 n 1 1 n 1 1 1 nun n 1 un1 n 1 1 n 1 1 Đặt nun n 1 v1 n 1 2 1 1 vn n 2 1 1 un n n n 1 Vậy Khi đó: 2(n 1)un 1 2 n , n * n (n n 1) Tìm Câu u [DS11.C3.3.E02.c] (HSG Trường Nguyễn Quán Nho Thanh Hóa năm 19-20) Cho dãy số n u1 , n 2 un un 2n 1 un xác định sau Tính tổng 2019 số hạng dãy u số n Lời giải 2n 1 un 1 4n n n 1 un un un +) Ta có un 1 2 2n n n 1 2n n 1 un un un 1 1 2 n 1 n un u1 +) Tương tự ta có un +) Suy 1 1 1 4n un 2n 2n 1 2n 1 2n 2n un u1 2 un 2019 2019 u i 2i i 1 i 1 2i 1 4038 1 1 1 1 4039 4039 3 5 4037 4039 [DS11.C3.3.E02.c](HSG CỤM TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG LẦN NĂM 2019-2020) Câu u1 2 , n , n 2 u1 u2 un n un ( u ) n Cho dãy số thỏa mãn Tìm cơng thức số hạng tổng qt un tính tổng S u1 u2 u2020 Lời giải n u un 2 2 n ( n 1) un un n un (n 1) un (n 1).un n 1 n n un u1 n 1 n n(n 1) Tổng S u1 u2 u2020 2020 u2020 Câu 4.20202 8080 2020.2021 2021 [DS11.C3.3.E02.c] [HSG11-NGHỆ AN- 2015-2016] Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 1 , 3 n4 un1 un 2 n 3n , n * Tìm cơng thức tổng qt un theo n Lời giải n4 2un1 3 un 2un1 3 un (n 1)(n 2) n n 1 * Với n , ta có: un1 3 un n2 n 1 Đặt un 3 q v1 ( v ) n , suy dãy n cấp số nhân có công bội n Câu n 1 3 1 3 , n * un 2 2 n 1 , n * Do [DS11.C3.3.E02.c] (HSG olympic lớp 11 –Trại hè Hùng Vương lần XIII – Tuyên Quang – 2016 - 2017) Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 2 ( n 1)un 1un nun với số nguyên 1 2018u2018 u u u n 2017 dương Chứng minh rằng: Lời giải (n 1)un 1 nun , n * Từ giả thiết suy un un (1) Câu 1 1 (2u2 u1 ) (2018u2018 2017u2017 ) 2018u2018 u u u 2017 Do đó: [DS11.C3.3.E02.c] (HSG olympic lớp 11 –Trại hè Hùng Vương lần XIII – Tuyên Quang – 2016 - 2017) Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 2 ( n 1)un 1un nun với số nguyên dương n Tìm số thực c lớn cho un c với số nguyên dương n Lời giải Ta chứng minh c 1 * Trước hết ta chứng minh un 1, n (2) quy nạp Với n 1, hiển nhiên (2) Giả sử (2) với n k (k 2) Khi đó: Mặt khác: uk uk 1 1 (uk 1) k k 1 uk (a) k1 k1 k uk 2 , k 2 k kuk k k uk (b) uk 1 1 (uk 1) k uk 1 k 1 uk Vậy (2) Từ (a), (b) giả thiết quy nạp ta với n k Theo ngun lí quy nạp (2) Vậy c 1 uk 1 Từ 1 k 1 (uk 1) k (uk 1) uk 1 | u 1| ( u 1) n k 1 uk k 1 n n nên Suy lim uk 1 Do c 1 Vậy c 1 (đpcm) Câu [DS11.C3.3.E02.c] (HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Cho dãy số un xác định bởi: sin n n , với n , n 2 Chứng minh dãy số un xác định dãy số bị chặn Lời giải 1 1 2 n Nhận xét: Với số nguyên dương n ta có: u1 sin1; un un 1 1 1 2 n 1.2 2.3 n n 1 Thật vậy, ta có 1 1 1 1 2 2 n n n suy nhận xét chứng minh sin1 sin sin n un 2 n Trở lại toán, từ công thức truy hồi ta được: 1 un 2 n Ta có với n (theo nhận xét trên) (1) 1 un n 1 Mặt khác với n (theo nhận xét trên) (2) Từ (1) (2) suy dãy số cho bị chặn Câu [DS11.C3.3.E02.c] (HSG 11 – HÀ NAM 2016-2017) Cho dãy số un xác u1 1 14un 51 u n 5un 18 (n , n 2) Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số Lời giải * Lập dãy ( xn ) cho un xn 3; n , ta có x1 u1 4 14un 51 14( xn 3) 51 un xn 5un 18 5( xn 3) 18 xn định sau: un 14 xn x n xn xn 1 3 5 xn xn 5 5 3 xn xn 5 11 x cấp số nhân có số hạng đầu , cơng bội q 3 Dãy số n 11 n 1 11 n 10 xn n xn xn 4 11.3 10 11.3n 34 11.3n 10 [DS11.C3.3.E02.c] (HSG cấp tỉnh lớp 11 –THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An – 2017 - 2018) Cho un Câu u1 3 5u un 1 n , n* un 3un dãy số xác định Xét dãy số Chứng minh dãy số Ta có un un , n * cấp số cộng Tìm số hạng tổng quát dãy số un Lời giải với un v 1 un n un thay vào hệ thức truy hồi ta có 3 1 v 2vn v 1 v 2vn n 1 n n 1 1 2vn 4 v hay 1 vn , v1 2 Suy dãy số n cấp số cộng có v1 1 cơng sai d 3 v v n 1 d 2 n 1 3n Ta có n 3n 3n un 3n 3n Thử lại thấy dãy số thỏa mãn Do 3n un u 3n , Vậy số hạng tổng quát dãy số n Câu n * [DS11.C3.3.E02.c] (HSG11 Bắc Giang 2012 - 2013) Cho dãy số u1 , n 1 un un 1 1 2013u n un xác định Tìm số hạng tổng quát un dãy số Lời giải Do u1 , nên suy un n Từ giả thiết suy 2013un 1 2013 (1) un 1 un un1 un Đặt un từ (1) suy 1 vn 2013 n Hay dãy (vn ) cấp số cộng với công sai d 2013 Áp dụng tính chất CSC ta có v1 (n 1)d un Câu v1 1 u1 1 2013 2(n 1) 2013(n 1) 2 2013 2(n 1) [DS11.C3.3.E02.c] (HSG11 - THPT Lê Quý Đôn – 2013 – 2014) Cho dãy số un xác định u1 1 un 1 3un , n N * a) Xác định số hạng tổng quát dãy số 2 2 b) Tính tổng S u1 u2 u3 u2015 un Lời giải * u 3un2 un21 3un2 a)Dễ thấy un 0, n N Có n 1 * v 3vn 1 3 1 , n N Đặt un có: n 1 * x Đặt xn vn , ta có: xn 1 3 xn , n N Suy n cấp số nhân với x1 2 , ccông bội q= Suy xn 2.3n 2.3n un 2.3n , n N * 2014 b)Ta có S 2.3 2.3 2.3 2.3 2015 2 30 31 32 32014 2015 32015 1 2015 3 32015 2016 Câu u1 4 un 1 un 2un u [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số n xác định công thức số hạng tổng quát un dãy số n * Tìm Lời giải Đặt * xn 2un n n * Ta có xn 0 x 1 2un , n hay n 1 x 1 un xn2 xn2 xn 9 xn21 xn2 xn xn 1 xn Thay vào giả thiết, ta được: * * Suy ra: 3xn 1 xn n ( Do xn 0 , n ) n 1 n n * Hay xn 1 3 xn 4.3 , n n * n * Đặt yn 3 xn , n N Ta có: yn 1 yn 4.3 , n y y1 3n 3n 3 , n * Từ n 1 n 1 * Hay yn 1 y1 2.3 , n n Theo cách đặt ta có: x1 3 y1 9 yn 3 2.3 xn 2 n , n * Suy ra: 1 un n n , n * 2 3 Do Câu x1 2 3x xn 1 n * x xn n [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số n xác định sau: Tìm cơng thức tính xn theo n Lời giải 3xn 1 * x x 3 x n n Với , ta có n 1 1 2 yn yn 1 yn yn 1 yn 1 ** * x 3 n từ Đặt ta có zn 1 zn ** y z n từ hay zn cấp số nhân hay Đặt n ta có xn 1 2 zn 3 Câu n 2 z1 3 n 1 1 2 1 2 3 x1 n Vậy yn zn 1 1 2 2 3 n hay xn 3n 3n 2n (hoặc dùng phương pháp quy nạp toán học) u1 16 15 n.un 1 un 1 14 , n 1 u n 1 [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số n có Tìm số hạng tổng quát un Lời giải 15 n.un 1 un 1 14 un 1 14 n 1 15 n.un 1 n 1 Ta có: n 1 un 1 15nun 14n Đặt nun v1 16 (1) trở thành: Đặt (1) 1 15vn 14n 1 n 1 15 n (2) wn vn n w1 15 (2) trở thành: wn 1 15wn w n n csn có w1 15, q 15 wn 15 15n n un n Từ ta có: Câu [DS11.C3.3.E02.c] (HSG Tốn 11 - THPT ĐAN PHƯỢNG Hà Nội năm 1415) Xét dãy số x0 2 xn xn 1 x n thỏa mãn: với n 0,1, 2,3, Tìm x2015 Lời giải xn Ta có: xn 1 an Đặt an x2015 Câu xn 1 1 xn xn 1 xn 1 xn a0 1 an 1 3an 3n 1 xn 1 n 1 1 2016 1 1 2016 2016 1 1 [DS11.C3.3.E02.c] (HSG TP HỒ CHÍ MINH ĐỀ 2-2019) Xét dãy số a2 7 an 2 an xác định a1 3 , an2 142 a12 a22 3an1 an với n 1, 2,3, Chứng minh n , n 1, 2,3, Lời giải Tác giả: Hà Lê , Phạm Thị Phương Thúy; Fb: Ha Le , thuypham Kiến thức sử dụng: Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai phương trình sai phân dạng: u1 , u2 , aun 1 bun cun f n với n * Nếu 1 , 2 hai nghiệm thực khác un A1n B2n , A, B xác định biết u1 , u2 Ta có: an 2 3an 1 an an2 3an 1 an 0 a Xét phương trình đặc trưng dãy n x 2 x 3x 0 với hai nghiệm x 1 3 , 3 thỏa mãn 1 2 3 , 12 1 n n Khi ta có an A1 B2 a A1 B2 A1 B2 3 Với n 1 ta có 1 a A12 B22 A12 B22 7 Với n 2 ta có 2 n n Từ (1) (2) suy A 1, B 1 an 1 2 n 1 n n n n 12 22 an2 1 2 n , n 1 n n 7 Ta có Đặt 1 12 2 an2 ,2 1n 2n n , n 1 1, 2 n , 0;1 7 Có 49 , 7 a12 a22 a2 2 2 nn 1 12 1n 2 22 2n n 7 7 Ta có 7 142 1 1 1 1 n 1 (đpcm) Câu [DS11.C3.3.E02.c] (HSG 12 Bình Thuận 18-19) Cho dãy số 2vn , * 2018vn2 n * Chứng minh vn1 vn , n vn1 Lời giải * Chứng minh 0, n 2vn 2vn 1 , n * 2108vn 2018.vn 2018 Khi * Mặt khác, n , ta có 2vn 2018vn3 2018vn 1 0 2018vn2 2018vn2 2018vn2 v vn , n * Vậy n1 thỏa mãn v1 , 2018 Câu [DS11.C3.3.E02.c] (HSG Toán 11 - TX Quảng Trị năm 2019) Cho dãy số un xác định sin n n , với n , n 2 Chứng minh dãy số un xác định bởi: dãy số bị chặn u1 sin1; un un Lời giải 1 2, n N * n Ta có: , 1 1 1 1 1 1 1 2 2 n 1.2 2.3 n.(n 1) 2 n n n Vì un sin1 sin sin n 2 n Bằng qui nạp ta chứng minh được: 1 1 un 2, n N * n n 1 Suy : Vậy dãy số un xác định dãy số bị chặn Câu [DS11.C3.3.E02.c] (HSG Toán 11 - Sở Quảng Ngãi - 2018 – 2019) Cho dãy số un thỏa mãn u1 1 2un un 1 u , n 1 n Tìm cơng thức số hạng tổng quát un dãy số cho Lời giải Nhận xét: un 0 với n * u 4 n u u un n n Ta có: 1 1 vn1 1 2vn v 1 1 1 2vn 2 un 1 ta : 2 2 Đặt , Do 1 1 1 1 2 22 2n v1 2 2 2 3 1 2n 2n 2 hay 2 Suy un n 3.2 Vậy Câu [DS11.C3.3.E02.c] (HSG Hà Nội-Cấp Thành Phố 13-14) Cho dãy số u1 2 un2 2013 u un , n 1, 2, n 1 u 2014 2014 Chứng minh n dãy số tăng Lời giải Trước hết chứng minh un 2 , n 1 quy nạp un thỏa mãn điều kiện: - Với n 1 , ta có u1 2 Mệnh đề n 1 - Giả sử mệnh đề với n k , tức uk 2 Ta phải chứng minh mệnh đề với n k , tức phải chứng minh un 1 2 Thật vậy: un 1 un Câu un un 1 2014 0 , n 1 un 2 , n 1 [DS11.C3.3.E02.c] (HSG 12 Bình Thuận 18-19) Cho dãy số thỏa mãn v1 , 2018 2vn , * 2018vn2 n * Chứng minh vn1 vn , n vn1 Lời giải * Chứng minh 0, n 2vn 2vn 1 , n * 2108vn 2018.vn 2018 Khi * Mặt khác, n , ta có 2vn 2018vn3 2018vn 1 0 2018vn2 2018vn2 2018vn2 * v vn , n Vậy n1 Câu [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy u , n 0,1, 2, xác định bởi: u n 2 ; un1 4un 15un 60 Hãy xác định số hạng tổng quát un n 1 Lời giải (1) n Theo ta có: u 8unun1 u 60 0 Thay n n-1 ta được: un2 8un 1un un2 60 0 (2) Trừ theo vế (1) cho (2) được: un1 un un1 8un un 0 un1 8un un 0 (3) (do un1 4un 16un un1 un Phương trình đặc trưng (3) t 4 15 tt2 0 t 4 15 Số hạng tổng quát: un n 15 15 Câu [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy n u , n 0,1, 2, xác định bởi: u n 2 ; un1 4un 15un 60 (u2 n 8) Chứng minh số biểu diễn thành tổng bình phương ba số nguyên liên tiếp Lời giải Với số n 1 , tồn số k để: n 15 4 15 n k 15 n n 2n 15 15 15 k 15 4 Suy 2n 2n 1 u2 n 15 15 5 Do vậy, 3.k k 1 k k 1 Câu 15 2n 15.k ìï u1 = ïï ïí ïï un+1 = un2 + n - ; " n Ỵ N * ï (u ) n2 + n [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số n thỏa mãn: ïỵ (u ) Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số n Lời giải u1 = 1; u2 = Ta có: Với n ³ Þ un > 2 n- 2 n- ỉ2 un + Û un2+1 = un2 + un2+1 = ỗ u - ữ ữ ỗ ữ 3 n ( n +1) n +n ố n nứ n +1 ỗ un+1 = Ta có Đặt 6 2 vn+1 = v1 = - 2; q = v ( ) n Ta có nên n cấp số nhân với số hạng đầu = un2 - n- n- Câu n- ỉư ỉư 2ữ 2ữ u - = - 2ỗ un = - 2ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ3 ứ ỗ3 ứ ố ố n n Ta cú Do [DS11.C3.3.E02.c] Dãy số u1 , u2 , u3 , , un xác định sau: ỉư 2÷ = - 2.ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố3 ứ n u1 0, u2 u1 , u3 u2 ,, un un 1 u1 u2 un Chứng minh rằng: n Lời giải u un Ta chọn số un 1 cho n 1 Khi ta có: u12 0 u22 u1 1 u12 2u1 u32 u2 1 u22 2u2 ………………………… un21 un 1 un2 2un Suy ra: u12 u22 u32 un21 u12 u22 u32 un2 u1 u2 u3 un n u1 u2 u3 un un21 n n 1 u1 u2 u3 un n