D02 dãy số muc do 3

Câu 1  un2  u1 1, un 1  , n 1 u  un [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số n xác định Xét tính đơn điệu bị chặn  un  Lời giải * Chứng minh un  0, n   (1) (1) u1 1  (1) n = uk  0, k 1  uk 1  Giả sử  uk2  uk  0 uk  uk2  * Vậy (1) n = k +  un  0, n    un2  1  un2   un2 un 1  un   un   0, n 1  un 1  un , n  * un un  dãy số  un  giảm * * u  Do dãy số n giảm nên un u1 , n    un 1, n   u    un 1, n  *  dãy số n bị chặn Câu u1 1  u   2unun 1 , n  * un   [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số xác định sau  n 1 Chứng minh u2019 số vô tỷ Lời giải Bằng cách khác, ta có mối liên hệ sau: u2  un21 1  2unun 1  un  n 1 2un 1 Do un 1 số hữu tỷ un số hữu tỷ Ta chứng minh toán phương pháp phản chứng, giả sử u2019 số hữu tỷ Khi u2018 số hữu tỷ, vậy, ta suy u3 số hữu tỷ Từ u3 số hữu tỷ, ta có u2 số hữu tỷ Điều mâu thuẫn u2 1  số vơ tỷ Ta có điều phải chứng minh.Câu [DS11.C3.3.E02.c] Tìm cơng thức tổng qt dãy số thỏa mãn: u1 1  un 1 3un  6n  Lời giải v  n  cho: un vn  3n , thay vào công thức truy hồi dãy  un  ta được: Đặt dãy 1   n  1 3   3n   6n   1 3vn     v1 u1    vn 1 3vn  2, n 1 xác định bởi: y  v  Đặt dãy n cho  yn  1, n 1 , thay vào công thức truy hồi dãy n ta yn 1  3  yn  1   yn 1 3 yn   yn  cấp số nhân với số hạng đầu y1 v1     công bội q 3 yn  3.3n   3n   3n  n Vây: un    3n Câu 3 n4  un 1   un   2 n  3n   , n  * [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 1 , Tìm cơng thức tổng quát un theo n Lời giải * Với n   , ta có:  n 4    2un 1 3  un   2un 1 3  un     (n  1)( n  2)  n  n 1         un 1   3  un   n 2 n 1    3 q v1  ( v ) n  , suy dãy n cấp số nhân có cơng bội Đặt n n 1 3 1 3    , n  *  un     2 2 n    , n  * Do 1 1 1, , , , , , 2012 2013 Người ta biến đổi dãy số [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy phân số cách xóa hai số a, b thay số a  b  ab Sau lần biến đổi vậy, số un  Câu số hạng dãy số giảm đơn vị so với dãy trước Chứng minh giá trị số hạng cuối lại sau 2012 lần biến đổi không phụ thuộc vào thứ tự thực tìm giá trị Lời giải Trong q trình biến đổi, giả sử bảng có số a1 , a2 , a3 , , an ta tính đặc số P số P  a1  1  a2  1  an  1 Ta chứng minh đặc số P khơng đổi q trình thực phép biến đổi  a  1  b  1 Nhưng ta Thật vậy, giả sử ta xóa số a, b Khi tích P thừa số a  b  ab   a  1  b  1 thay a, b a  b  ab nên tích P lại thêm thừa số Vậy P không đổi Như P trạng thái ban đầu với P trạng thái cuối Ở số đầu ta có       P   1   1   1   1   1 2 2013 2014 2014      2012   2013  2012 2013 x Giả sử số cuối lại số ta có: P  x  Từ suy x 2013 Câu [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 2 nguyên dương n 1    2018u2018  u u u 2017 Chứng minh rằng:  n  1 un1un nun2  với Lời giải  n  1 un 1  nun , n  * Từ giả thiết suy un  un (1) 1    (2u2  u1 )   (2018u2018  2017u2017 ) 2018u2018  u u u 2017 Do đó: số Câu  un  xác định bởi: u1 sin1; un un   [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số n  , n 2 Chứng minh dãy số  un  xác định dãy số bị chặn sin n n , với Lời giải 1 1      2 n Nhận xét: Với số nguyên dương n ta có: Thật vậy, ta có 1 1 1           2 n 1.2 2.3 n  n  1 1   1 1 1      2   2 n n n suy nhận xét chứng minh Trở lại toán, từ công thức truy hồi ta được: un  sin1 sin sin n    2 n 1 un      2 n Ta có với n (theo nhận xét trên) (1) 1 1 un         n  1 Mặt khác với n (theo nhận xét trên) (2) Từ (1) (2) suy dãy số cho bị chặn Câu u1 1; u2 2   un 1  un  un  un   [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số xác định sau , n 2 Xác định số hạng tổng quát un Lời giải 1 1   un  un   v u  u n 1 n 2 , n 2 Biến đổi ta đặt n 1 q  Nghĩa dãy v2 , v3 ,…, ,… cấp số cộng có số hạng đầu v2 1 , un  un    un   un     un  u1 v2  v3    v2 u2  u1 n n  1  1  un 1        3        2  u1 11   u 10un   9n [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số (u n ) xác định  n 1 Tìm cơng thức tính u n theo n Lời giải Đặt un  n  10vn 10un  9n   (n  1) un 1  (n  1) vn 1 un 1  un  Câu  v1 10  10n  v 10vn  un 10n  n (dpcm) Do ta có  n 1 Câu u1 1  u   14un   51  n 5un   18 ( n  , n 2) u  [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số n xác định sau:  u  Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số n Lời giải * Lập dãy ( xn ) cho un  xn  3; n   , ta có x1 u1  4 un   14un   51  14( xn   3)  51  xn   5un   18 5( xn   3)  18  xn    14 xn   x   n xn   xn   1 3 5  xn xn   5  5      3   xn   xn    5 11    x  cấp số nhân có số hạng đầu , công bội q 3 Dãy số  n  11 n  1 11 n  10       xn  n xn xn 4 11.3  10  11.3n  34  un  11.3n   10 Câu u  [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số n với un 1 a.un  b , n 1 , a , b số thực dương cho trước Với n 2, tìm un theo u1 , a, b n Lời giải u  au  b  u  u  a ( u  u n 1, n 1 n n 1 n n n  ), n 2 Đặt un 1  un , n 1  avn  , n 2  (vn ) cấp số nhân có cơng bội bằng#a n Ta có: n 1, v1.a ; v1 ( a  1)u1  b Vậy ta có: n 2, un (un  un  )  (un   un  )   (u2  u1 )  u1 v1 (a n   a n    1)  u1 u1.a n   b(a n   a n    1) Câu a  [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số n xác định bởi: a1 1 an 1 an  2n  với n 1 b  Xét dãy số n mà: bn an 1  an với n 1 Cho số nguyên dương N Hãy tính tổng N số b  a  hạng dãy số n theo N Từ đó, suy số hạng tổng quát dãy số n Lời giải b  Tổng N số hạng đầu dãy n S N  N Số hạng tổng quát dãy  an  an n  2n  Câu u1   , n 1 un  un 1 1  2013u n [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số (un) xác định  Tìm số hạng tổng quát un dãy số Lời giải Do u1  , nên suy un  n Từ giả thiết suy 1  2013un 1     2013 (1) un 1 un un 1 un  un từ (1) suy 1 vn  2013 n Đặt v1  Hay dãy ( ) cấp số cộng với công sai d 2013 Áp dụng tính chất CSC ta có 1  2013 2(n  1) v1  ( n  1)d   2013( n  1)  2  un  Câu 1  u1 2   2013 2( n  1) [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số  un  xác định u1 1 un1  Xác định số hạng tổng quát dãy số 3un  , n  N *  un  Lời giải * u  3un2   un21 3un2  Dễ thấy un  0, n  N Có n 1 v 3vn   1  3   1 , n  N * Đặt un có: n 1 * x  Đặt xn vn  , ta có: xn 1 3xn , n  N Suy n cấp số nhân với x1 2 , ccông bội q= n n n * Suy xn 2.3  2.3   un  2.3  , n  N Câu u  3un  , n  N * u  [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số n xác định u1 1 n 1 2 2 Tính tổng S u1  u2  u3   u2015 Lời giải * u  3un2   un21 3un2  Dễ thấy un  0, n  N Có n 1 v 3vn   1  3   1 , n  N * Đặt un có: n 1 * x  Đặt xn vn  , ta có: xn 1 3xn , n  N Suy n cấp số nhân với x1 2 , ccông bội q 3 n n n * Suy xn 2.3  2.3   un  2.3  , n  N 2014 Ta có S 2.3  2.3  2.3   2.3  2015 2  30  31  32   32014   2015  32015  1  2015 3 32015  2016  Câu 2012 [DS11.C3.3.E02.c] Tính tổng: S 1  2.2  3.2  4.2   2013.2 Lời giải S 1  2.2  3.22  4.23   2013.2 2012 S 2  2.2  3.23  4.24   2012.22012  2013.2 2013 Trừ vế đẳng thức ta có  S 1   22  23   2012  2013.2 2013  S 2013.2 Câu 2013  2013  2012.22013  1 u  [DS11.C3.3.E02.c] Tìm số hạng tổng quát tính tổng 100 số hạng dãy số n xác định u1 2013, un 1 2un  1, n 1 Lời giải u 2  un  1   un 1  2  un  1 Ta có n 1 v  Đặt un  , n 1 , ta có dãy n cấp số nhân với v1 u1  2014 , cơng bội q 2 Ta có Sn u1  u2   u100  v1  1   v2  1    v100  1  v1  v2   v100   100 v1 Câu q100   100 2014  210  1  100 q an2 a  , a  a  ,  n  N*  n 1 n an   2013 [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số thỏa mãn điều kiện a  Chứng minh dãy n dãy số tăng không bị chặn Lời giải a an 1  an  n  0, n 1 2013 Theo đề ta suy a  Vậy n dãy số tăng Giả sử bị chặn phải có giới hạn hữu hạn L Chuyển đẳng thức truy hồi sang giới hạn, L2 L L   L 0 2013 ta có an   Nhưng dãy số tăng bắt đầu nên điều xảy Vậy điều giả sử sai dãy số Câu  an  không bị chặn  x1 2   x  xn  n 1 x   n  *  xn   n [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số xác định sau:  Tìm cơng thức tính xn theo n Lời giải 3x 1 xn 1  n    * x  x 3 x n n  n Với , ta có 1 2 yn 1   yn  yn 1    yn  1  ** *   x 3 n từ Đặt ta có z  zn n   ** ta có hay  zn  cấp số nhân hay Đặt yn   zn từ n n n n  1 2  2  2  1 2 3n  zn   z1     1    yn  zn  1    x  2 3  3    x1    hay n 3n   n  Vậy yn  (hoặc dùng phương pháp quy nạp toán học) Câu [DS11.C3.3.E02.c] Cho số thực dương u1 a ; v1 b   un  * un 1  ; 1  un ,  n   Chứng minh hai dãy a, b  a  b  hai dãy số  un  ;   xác định sau:  un  ;   có giới hạn hữu hạn lim un lim Lời giải u v a b v2  u1v1  ab  b v1 , u2  1   a u1 2 Ta có: v  v   v ; u  u   u k k Chứng minh quy nạp: uk   vk  uk  vk  uk  1.vk  vk v  u v  v ; u   uk k  k k k k  2 (do uk  vk  ), v1  v2   vk  vk 1  uk 1  uk  u1 uk  Vậy (un ) giảm bị chặn dưới; ( ) tăng bị chặn nên tồn lim un  ;lim  , u v   un 1  n n       2 Vậy lim un lim Câu u  u 1 , [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số n , biết u công thức số hạng tổng quát n theo n un  Lời giải * n   ta có: 2(n  1)un 1 2 n un   n (n  n  1)  nun 2  n  1 un 1   nun 2  n  1 un 1  2n  n n 2  n  1   n  1    n  1  1   n  1  1    1    nun    n 1 un1  n  1  1  n 1 1   Đặt nun  n 1 v1  n 1  2 1 1  vn  n   2 1 1  un    n n  n 1  Vậy Khi đó:   2(n  1)un 1 2 n  , n  * n (n  n  1)  Tìm Câu u  [DS11.C3.3.E02.c] (HSG Trường Nguyễn Quán Nho Thanh Hóa năm 19-20) Cho dãy số n  u1   , n 2  un  un   2n  1 un    xác định sau  Tính tổng 2019 số hạng dãy u  số n Lời giải  2n  1 un   1    4n     n   n  1    un  un  un  +) Ta có un 1 2   2n    n   n  1   2n    n  1   un un  un  1 1 2   n  1    n      un  u1 +) Tương tự ta có un  +) Suy 1 1 1 4n   un     2n         2n  1  2n 1 2n  2n  un u1 2 un 2019 2019   u     i   2i   i 1 i 1  2i  1  4038  1  1  1                   1  4039 4039  3  5    4037 4039  [DS11.C3.3.E02.c](HSG CỤM TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG LẦN NĂM 2019-2020)  Câu u1 2 , n  , n 2  u1  u2   un n un ( u ) n  Cho dãy số thỏa mãn Tìm cơng thức số hạng tổng qt un tính tổng S u1  u2   u2020 Lời giải n  u  un  2 2 n ( n  1) un   un n un  (n  1) un  (n  1).un n 1 n n un  u1  n 1 n n(n  1) Tổng S u1  u2   u2020 2020 u2020 Câu 4.20202 8080   2020.2021 2021 [DS11.C3.3.E02.c] [HSG11-NGHỆ AN- 2015-2016] Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 1 , 3 n4  un1   un   2 n  3n   , n  * Tìm cơng thức tổng qt un theo n Lời giải   n4   2un1 3  un     2un1 3  un   (n  1)(n  2)  n  n 1    * Với n   , ta có:      un1   3  un   n2 n 1    Đặt un  3 q v1  ( v ) n  , suy dãy n cấp số nhân có công bội n Câu n 1 3 1 3    , n  *  un     2 2 n 1   , n  * Do [DS11.C3.3.E02.c] (HSG olympic lớp 11 –Trại hè Hùng Vương lần XIII – Tuyên Quang – 2016 - 2017) Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 2 ( n  1)un 1un nun  với số nguyên 1    2018u2018  u u u n 2017 dương Chứng minh rằng: Lời giải (n  1)un 1  nun , n  * Từ giả thiết suy un  un (1) Câu 1 1    (2u2  u1 )   (2018u2018  2017u2017 ) 2018u2018  u u u 2017 Do đó: [DS11.C3.3.E02.c] (HSG olympic lớp 11 –Trại hè Hùng Vương lần XIII – Tuyên Quang – 2016 - 2017) Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 2 ( n  1)un 1un nun  với số nguyên dương n Tìm số thực c lớn cho un c với số nguyên dương n Lời giải Ta chứng minh c 1 * Trước hết ta chứng minh un  1, n   (2) quy nạp Với n 1, hiển nhiên (2) Giả sử (2) với n k (k 2) Khi đó: Mặt khác: uk  uk 1    1 (uk  1)  k   k 1 uk   (a) k1 k1 k uk   2    , k 2 k kuk  k k uk (b) uk 1    1 (uk  1)  k     uk 1  k 1 uk   Vậy (2) Từ (a), (b) giả thiết quy nạp ta với n k  Theo ngun lí quy nạp (2) Vậy c 1 uk 1   Từ  1  k 1 (uk  1)  k  (uk  1)    uk 1   | u  1|  ( u  1)  n k 1 uk  k 1  n n nên Suy lim uk 1 Do c 1 Vậy c 1 (đpcm) Câu [DS11.C3.3.E02.c] (HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Cho dãy số  un  xác định bởi: sin n n , với n  , n 2 Chứng minh dãy số  un  xác định dãy số bị chặn Lời giải 1 1      2 n Nhận xét: Với số nguyên dương n ta có: u1 sin1; un un   1 1 1           2 n 1.2 2.3 n  n  1 Thật vậy, ta có 1 1 1 1        2   2 n n n suy nhận xét chứng minh sin1 sin sin n un     2 n Trở lại toán, từ công thức truy hồi ta được: 1 un      2 n Ta có với n (theo nhận xét trên) (1)  1 un         n  1 Mặt khác với n (theo nhận xét trên) (2) Từ (1) (2) suy dãy số cho bị chặn Câu [DS11.C3.3.E02.c] (HSG 11 – HÀ NAM 2016-2017) Cho dãy số  un  xác u1 1   14un   51  u  n  5un   18 (n  , n 2)  Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số Lời giải * Lập dãy ( xn ) cho un xn  3; n   , ta có x1 u1  4  14un   51  14( xn  3)  51 un   xn   5un   18 5( xn   3)  18  xn   định sau:  un   14 xn   x   n xn   xn   1 3 5  xn xn   5  5      3   xn   xn    5 11    x  cấp số nhân có số hạng đầu , cơng bội q 3 Dãy số  n 11 n  1 11 n 10        xn  n xn xn 4 11.3  10  11.3n  34 11.3n   10 [DS11.C3.3.E02.c] (HSG cấp tỉnh lớp 11 –THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An – 2017 - 2018) Cho  un  Câu u1 3  5u   un 1  n , n*  un  3un    dãy số xác định Xét dãy số Chứng minh dãy số Ta có un  un  , n  *   cấp số cộng Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  Lời giải    với  un  v 1  un  n un   thay vào hệ thức truy hồi ta có  3   1  v  2vn  v 1 v  2vn   n 1  n  n 1   1   2vn  4 v hay 1 vn  , v1 2 Suy dãy số  n  cấp số cộng có v1 1 cơng sai d 3 v v  n  1 d 2   n  1 3n  Ta có n  3n   3n un   3n   3n  Thử lại thấy dãy số thỏa mãn Do 3n un  u 3n  , Vậy số hạng tổng quát dãy số  n  Câu n  * [DS11.C3.3.E02.c] (HSG11 Bắc Giang 2012 - 2013) Cho dãy số u1   , n 1 un  un 1 1  2013u n   un  xác định Tìm số hạng tổng quát un dãy số Lời giải Do u1  , nên suy un  n Từ giả thiết suy  2013un 1     2013 (1) un 1 un un1 un Đặt  un từ (1) suy 1 vn  2013 n Hay dãy (vn ) cấp số cộng với công sai d 2013 Áp dụng tính chất CSC ta có v1  (n  1)d   un  Câu v1  1  u1 1  2013 2(n  1)  2013(n  1)  2   2013 2(n  1) [DS11.C3.3.E02.c] (HSG11 - THPT Lê Quý Đôn – 2013 – 2014) Cho dãy số  un  xác định u1 1 un 1  3un  , n  N * a) Xác định số hạng tổng quát dãy số 2 2 b) Tính tổng S u1  u2  u3   u2015  un  Lời giải * u  3un2   un21 3un2  a)Dễ thấy un  0, n  N Có n 1 * v 3vn   1  3   1 , n  N Đặt un có: n 1 * x Đặt xn vn  , ta có: xn 1 3 xn , n  N Suy  n  cấp số nhân với x1 2 , ccông bội q= Suy xn 2.3n   2.3n    un  2.3n   , n  N * 2014 b)Ta có S 2.3  2.3  2.3   2.3  2015 2  30  31  32   32014   2015  32015  1  2015 3 32015  2016  Câu u1 4   un 1  un    2un  u   [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số n xác định  công thức số hạng tổng quát un dãy số   n  * Tìm Lời giải Đặt * xn   2un n   n * Ta có xn 0 x 1  2un , n   hay n 1 x 1 un  xn2    xn2      xn  9   xn21   xn2    xn   xn 1   xn   Thay vào giả thiết, ta được: * * Suy ra: 3xn 1  xn  n   ( Do xn 0 , n   ) n 1 n n * Hay xn 1 3 xn  4.3 , n   n * n * Đặt yn 3 xn , n  N Ta có: yn 1  yn  4.3 , n   y  y1   3n  3n    3 , n  * Từ n 1 n 1 * Hay yn 1  y1   2.3 , n   n Theo cách đặt ta có: x1 3  y1 9  yn 3  2.3 xn 2  n  , n  * Suy ra: 1  un    n   n   , n  * 2 3  Do Câu  x1 2  3x  xn 1  n *  x  xn   n    [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số n xác định sau:  Tìm cơng thức tính xn theo n Lời giải 3xn 1    * x  x 3 x n n Với , ta có n 1 1 2 yn  yn 1   yn  yn 1    yn  1  ** *   x 3 n từ Đặt ta có zn 1  zn ** y   z   n từ hay  zn  cấp số nhân hay Đặt n ta có xn 1   2 zn    3 Câu n  2 z1    3 n 1  1 2   1    2 3  x1  n Vậy yn  zn  1  1 2   2 3 n hay xn  3n  3n   2n  (hoặc dùng phương pháp quy nạp toán học) u1 16   15  n.un  1 un 1  14  , n 1  u n 1 [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số  n  có  Tìm số hạng tổng quát un Lời giải 15  n.un  1 un 1  14    un 1  14   n  1 15  n.un  1 n 1 Ta có:   n  1 un 1 15nun  14n  Đặt nun   v1 16  (1) trở thành: Đặt (1) 1 15vn  14n   1   n  1 15   n  (2) wn vn  n   w1 15 (2) trở thành: wn 1 15wn   w n  n csn có w1 15, q 15  wn 15 15n  n un  n Từ ta có: Câu [DS11.C3.3.E02.c] (HSG Tốn 11 - THPT ĐAN PHƯỢNG Hà Nội năm 1415) Xét dãy số  x0 2  xn    xn 1  x  n thỏa mãn:  với n 0,1, 2,3,  Tìm x2015 Lời giải  xn  Ta có: xn 1   an  Đặt  an   x2015 Câu xn  1  1  xn  xn 1  xn  1  xn  a0 1  an 1 3an  3n 1   xn 1  n 1 1 2016 1 1  2016  2016 1 1 [DS11.C3.3.E02.c] (HSG TP HỒ CHÍ MINH ĐỀ 2-2019) Xét dãy số a2 7 an 2  an  xác định a1 3 , an2 142 a12 a22 3an1  an với n 1, 2,3, Chứng minh    n  , n 1, 2,3, Lời giải Tác giả: Hà Lê , Phạm Thị Phương Thúy; Fb: Ha Le , thuypham Kiến thức sử dụng: Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai phương trình sai phân dạng: u1  , u2  , aun 1  bun  cun   f  n  với n  * Nếu 1 , 2 hai nghiệm thực khác un  A1n  B2n , A, B xác định biết u1 , u2 Ta có: an 2 3an 1  an  an2  3an 1  an 0 a  Xét phương trình đặc trưng dãy n x 2  x  3x  0 với hai nghiệm x 1  3 , 3 thỏa mãn 1  2 3 , 12 1 n n Khi ta có an  A1  B2 a  A1  B2  A1  B2 3 Với n 1 ta có  1 a  A12  B22  A12  B22 7 Với n 2 ta có  2 n n Từ (1) (2) suy A 1, B 1 an 1  2 n 1 n n n n  12   22  an2  1  2          n , n 1 n n 7     Ta có Đặt 1  12 2 an2 ,2  1n   2n  n , n 1     1,    2 n  ,   0;1   7 Có 49 , 7 a12 a22 a2 2 2    nn  1  12   1n    2  22    2n       n  7  7 Ta có 7     142        1  1    1   1 n 1 (đpcm) Câu [DS11.C3.3.E02.c] (HSG 12 Bình Thuận 18-19) Cho dãy số 2vn , *  2018vn2 n  * Chứng minh vn1 vn , n   vn1  Lời giải * Chứng minh  0, n   2vn 2vn 1    , n  *  2108vn 2018.vn 2018 Khi * Mặt khác, n   , ta có 2vn  2018vn3   2018vn  1      0  2018vn2  2018vn2  2018vn2 v vn , n  * Vậy n1   thỏa mãn v1  , 2018 Câu [DS11.C3.3.E02.c] (HSG Toán 11 - TX Quảng Trị năm 2019) Cho dãy số  un  xác định sin n n , với n  , n 2 Chứng minh dãy số  un  xác định bởi: dãy số bị chặn u1 sin1; un un   Lời giải 1     2, n  N * n Ta có: , 1 1 1 1 1 1         1        2   2 n 1.2 2.3 n.(n  1) 2 n n n Vì un  sin1 sin sin n    2 n Bằng qui nạp ta chứng minh được:  1 1         un      2, n  N * n  n 1 Suy : Vậy dãy số  un  xác định dãy số bị chặn Câu [DS11.C3.3.E02.c] (HSG Toán 11 - Sở Quảng Ngãi - 2018 – 2019) Cho dãy số  un  thỏa mãn u1 1  2un  un 1  u  , n 1 n  Tìm cơng thức số hạng tổng quát un dãy số cho Lời giải Nhận xét: un 0 với n   * u 4  n   u u un n  n Ta có: 1  1 vn1  1   2vn v 1  1  1  2vn 2    un 1 ta : 2  2 Đặt , Do 1  1 1 1    2    22      2n  v1   2 2 2    3 1  2n   2n   2 hay 2 Suy un  n  3.2  Vậy Câu [DS11.C3.3.E02.c] (HSG Hà Nội-Cấp Thành Phố 13-14) Cho dãy số u1 2   un2 2013 u   un , n 1, 2,  n 1 u  2014 2014  Chứng minh n dãy số tăng Lời giải Trước hết chứng minh un 2 , n 1 quy nạp  un  thỏa mãn điều kiện: - Với n 1 , ta có u1 2  Mệnh đề n 1 - Giả sử mệnh đề với n k , tức uk 2 Ta phải chứng minh mệnh đề với n k  , tức phải chứng minh un 1 2 Thật vậy: un 1  un  Câu un  un  1 2014 0 , n 1 un 2 , n 1 [DS11.C3.3.E02.c] (HSG 12 Bình Thuận 18-19) Cho dãy số   thỏa mãn v1  , 2018 2vn , *  2018vn2 n  * Chứng minh vn1 vn , n   vn1  Lời giải * Chứng minh  0, n   2vn 2vn 1    , n  *  2108vn 2018.vn 2018 Khi * Mặt khác, n   , ta có 2vn  2018vn3   2018vn  1      0  2018vn2  2018vn2  2018vn2 * v vn , n   Vậy n1 Câu [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy  u  ,  n 0,1, 2,  xác định bởi: u n 2 ; un1 4un  15un  60 Hãy xác định số hạng tổng quát un n 1 Lời giải (1) n Theo ta có: u  8unun1  u  60 0 Thay n n-1 ta được: un2  8un 1un  un2  60 0 (2) Trừ theo vế (1) cho (2) được:  un1  un   un1  8un  un  0  un1  8un  un 0 (3) (do un1  4un  16un  un1  un  Phương trình đặc trưng (3)  t 4  15 tt2   0    t 4  15 Số hạng tổng quát:  un   n 15     15  Câu [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy n  u  ,  n 0,1, 2,  xác định bởi: u n 2 ; un1 4un  15un  60 (u2 n  8) Chứng minh số biểu diễn thành tổng bình phương ba số nguyên liên tiếp Lời giải Với số n 1 , tồn số k để:  n  15    4 15  n k 15 n n 2n    15   15  15 k   15  4    Suy  2n 2n 1  u2 n      15   15    5  Do vậy,        3.k   k  1  k   k  1 Câu    15  2n 15.k   ìï u1 = ïï ïí ïï un+1 = un2 + n - ; " n Ỵ N * ï (u ) n2 + n [DS11.C3.3.E02.c] Cho dãy số n thỏa mãn: ïỵ (u ) Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số n Lời giải u1 = 1; u2 = Ta có: Với n ³ Þ un > 2 n- 2 n- ỉ2 un + Û un2+1 = un2 + un2+1 = ỗ u - ữ ữ ỗ ữ 3 n ( n +1) n +n ố n nứ n +1 ỗ un+1 = Ta có Đặt 6 2 vn+1 = v1 = - 2; q = v ( ) n Ta có nên n cấp số nhân với số hạng đầu = un2 - n- n- Câu n- ỉư ỉư 2ữ 2ữ u - = - 2ỗ un = - 2ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ3 ứ ỗ3 ứ ố ố n n Ta cú Do [DS11.C3.3.E02.c] Dãy số u1 , u2 , u3 , , un xác định sau: ỉư 2÷ = - 2.ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố3 ứ n u1 0, u2  u1  , u3  u2  ,, un  un   1 u1  u2  un    Chứng minh rằng: n Lời giải u  un  Ta chọn số un 1 cho n 1 Khi ta có: u12 0 u22  u1  1 u12  2u1  u32  u2  1 u22  2u2  ………………………… un21  un  1 un2  2un  Suy ra: u12  u22  u32  un21 u12  u22  u32  un2   u1  u2  u3  un   n   u1  u2  u3  un  un21  n  n  1  u1  u2  u3  un   n