Câu A 0,1, 2,3, 4,5, 6 [DS11.C2.2.E02.d] Cho tập hợp Có thể lập số tự nhiên gồm chữ số khác lấy từ tập A cho phải có mặt chữ số lẻ chúng không đứng liền Lời giải Giả sử a1a2 a3a4 a5 số cần tìm.Ta tính tất số gồm chữ số cho ln có mặt chữ số lẻ,sau trừ trường hợp mà số lẻ đứng liền a) Tất có số lẻ, xếp số lẻ vào vị trí, ta có: A5 60 cách Khi cịn lại vị trí chọn tuỳ ý số chẵn, ta có A4 12 cách Vậy có: 60.12 720 (số) Trong số trừ trường hợp a1 0 : 2, 4, 6 ta có Nếu a1 0 xếp số lẻ vào vị trí, cịn lại vị trí chọn số chẵn A43 A31 72 (số) Suy có: 720 72 648 (số) gồm chữ số cho có mặt chữ số lẻ b) Tính số có chữ số cho có số lẻ đứng liền - Nếu a1a2 a3 số lẻ ta có A3 6 (cách xếp) Khi vị trí cịn lại a4 a5 chọn tuỳ ý số chẵn, ta có: A4 12 Vậy có: 6.12 72 (số) -Nếu a2 a3 a4 số lẻ ta có A3 6 (cách xếp) Khi đó: a1 có cách chọn ( a1 0) ; a5 có cách chon Vậy có: 6.3.3 54 (số) -Tương tự a3a4 a5 số lẻ có 54 (số) Suy có: 72 2.54 180 số có số lẻ đứng liền Vậy có 648 –180 468 số có chữ số khác lấy từ tập A cho số lẻ không đứng liền Câu [DS11.C2.2.E02.d] Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên thỏa: số có chữ số, có chữ số lẻ khác chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt lần Lời giải Bước 1: Xét số có chữ số, có hai chữ số lẻ khác chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt hai lần (kể số có chữ số đứng đầu) C C + Từ 10 chữ số chọn chữ số khác gồm số lẻ số chẵn có 5 cách chọn + Với cách chọn ta có: số số có chữ số có chữ số lẻ khác chữ 8! số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt hai lần 2!2!2! số 8! C52 C53 504000 C C 2!2!2! Vậy với 5 cách chọn ta tạo số (kể số đứng đầu tiên) Bước 2: Xét số thoả mãn điều kiện bước mà có chữ số đứng đầu - Từ số cho (bỏ số 0) chọn số khác gồm số lẻ số chẵn (vì có số đứng đầu) có C52 C42 cách chọn + Với cách chọn ta có: số số có chữ số có số đứng đầu, có mặt chữ số 7! lẻ khác nhau, chữ số chẵn khác chữ số chẵn khác có mặt hai lần 2!2! số 7! 2 C52 C42 75600 C C 2!2! + Vậy với cách chọn ta tạo số ( bước 2) * Từ bước suy số số thoả đề là: 504000 75600 428400 số Câu [DS11.C2.2.E02.d] Cho A tập hợp gồm phần tử, tìm số lớn tập gồm phần tử A cho giao tập tập tập hợp gồm phần tử Lời giải: X Ký hiệu số phần tử tập hữu hạn X B 3, Bi B j 2 i, j 1, 2, , n tập A thỏa mãn: i B , B ,, Bn Giả sử tồn phần tử aA mà a thuộc vào tập số tập (chẳng hạn Gọi B1, B2,, Bn aB1, B2, B3, B4) Bi B j 1 i, j 1, 2,3, , đó: Mà Bi B j B B j 3 i j , tức i Do Bi B j 1 i, j 1,2,3,4 Từ A +4.2 = 9, điều mâu thuẫn Như vậy, phần tử A thuộc nhiều ba số tập 3n 8.3 n 8 Giả sử Câu Khi , xét tập A là: a ,a ,a ;B a ,a ,a ;B a ,a ,a ; a ,a ,a ;B a ,a ,a ;B a ,a ,a A a1,a2,,a8 a ,a ,a ;B B1 a1,a2,a3 ;B2 B5 B1, B2,, Bn 6 5 7 8 4 B B j 2 Tám tập hợp tập gồm ba phần tử A thỏa mãn i Vì số n cần tìm n [DS11.C2.2.E02.d] Một hộp chứa bóng đỏ (có số thứ tự từ đến 6), bóng vàng (có số thứ tự từ đến 5), bóng xanh (có số thứ tự từ đến 4).Lấy ngẫu nhiên bóng.Tính xác suất để bóng lấy có đủ màu mà khơng có bóng có số thứ tự trùng Lời giải Xét phép thử : T : ‘Chọn ngẫu nhiên bóng" Ta có: C154 Gọi A biến cố cần tìm xác suất, ta có: bóng lấy có đủ màu mà khơng có bóng có số thứ tự trùng nhau., có trường hợp rời sau đây: TH1 xanh,1 vàng,2 đỏ Số cách lấy xanh : C4 (cách) Do khơng có bóng có số thứ tự trùng nên sau lấy xanh phải bỏ vàng có số thứ tự trùng với số thứ tự mà xanh lấy Số cách lấy vàng : C4 (cách) Do khơng có bóng có số thứ tự trùng nên sau lấy xanh,1 vàng phải bỏ đỏ có số thứ tự trùng với số thứ tự mà xanh vàng lấy 2 Số cách lấy đỏ : C4 (cách) 1 Số cách lấy thỏa mãn TH1 : C4 C4 C4 (cách) TH2 xanh,2 vàng,1 đỏ TH3 xanh,1 vàng,1 đỏ Tương tự : Số cách lấy thỏa mãn TH2 : C4 C4 C3 (cách) 1 Số cách lấy thỏa mãn TH3 : C4 C3 C3 (cách) 1 2 1 Số cách lấy thỏa mãn toán : C4 C4 C4 + C4 C4 C3 + C4 C3 C3 (cách) P( A) Xác suất cần tìm : Câu A C41 C41 C42 C41 C42 C31 C42 C31.C31 74 C154 455 [DS11.C2.2.E02.d] (HSG Dak-Lak 2011-2012) (3,0 điểm) Cho m số nguyên thỏa mãn : m 2010 ! m 2011 Chứng minh Ta có Suy Cm2010 2010 m 2010 ! m !2010! m !2011! số nguyên Lời giải 2011 m 2011 ! 2011 Cm2011 2011 m 2011 m !2011! m 2011 2011 2010 m 2011 Cm2010 m 2011 Cm2010 2010 2011.Cm 2011 2010 , tức chia hết cho 2011 ( Cm 2010 ; Cm2011 2011 số tự nhiên) m, 2011 1 , từ ƯCLN m 2011, 2011 1 Vì 2011 số nguyên tố m 2011 nên ƯCLN m 2010 ! 2010 C 2011 Vậy m 2010 hay m !2010! số nguyên.Câu [DS11.C2.2.E02.d] (HSG lớp 11 SGD Thanh Hố 18-19) Có số tự nhiên có chữ số khác mà có mặt hai chữ số lẻ ba chữ số chẵn, chữ số chẵn có mặt hai lần? Lời giải x , y A Gọi chữ số lẻ khác thuộc {1;3;5;7;9} ba chữ số chẵn khác a, b, c thuộc B {0;2;4;6;8} + TH1: Nếu chọn chữ số x lẻ đứng đầu có cách chọn, chữ số y lẻ lại ba chữ số chẵn số cách chọn 4.C5 chọn lại (a;b;c) có cách Bây ta xếp vị trí cho chữ số 7! 2!.2!.2! ( Ta nói x có cách chọn (khơng kể số lẻ x đứng đầu) có cách khác là: nghĩa xếp vị trí cho x, việc cịn lại xếp vị trí cho chữ số lại) 7! 5.4.C53 126000 2!.2!.2! Vậy trường hợp có số thỏa mãn tốn : (số) + TH2: Nếu chọn chữ số chẵn a đứng đầu có cách, hai chữ số b, c có C4 cách, chọn lại chữ số 4.C53 a có cách, chọn lại cặp (b;c) có cách Chọn hai chữ số lẻ có C5 cách Bây ta xếp vị trí 7! C42 1.1.C52 75600 1!.2!.2! cho chữ số (khơng tính a) có cách khác là: Vậy trường hợp có số thỏa mãn toán : 4.75600 302400 (số) Vậy số số thỏa mãn toán : 126000 302400 428400 số Cách Gọi chữ số lẻ khác x, y thuộc A {1;3;5;7;9} ba chữ số chẵn khác a, b, c thuộc B {0;2;4;6;8} + TH1: Bộ chữ số chẵn (a;b;c) chữ số Số cách chọn số chẵn C4 cách Số cách chọn số lẻ x, y C5 Bây ta chữ số vào vị trí: Chọn vị trí vị trí để xếp chữ số chẵn thứ có C8 cách, chọn vị trí số vị trí cịn lại để xếp chữ số chẵn thứ có C6 , chọn vị trí vị trí cịn lại để xếp chữ số chẵn thứ có C4 cách, hai vị trí cịn lại chữ số lẻ có 2! cách 2 2 Vậy số số thõa mãn trường hợp 1: C4 C5 C8 C6 C4 2! 201600 (số) + TH2: Bộ chữ số chẵn (a;b;c) có chữ số 2 Số cách chọn số chẵn lại C4 Số cách chọn số lẻ x, y C5 Bây ta chữ số vào vị trí: Chọn vị trí vị trí để xếp chữ số (trừ vị trí đầu tiên) có C7 cách, chọn vị trí số vị trí cịn lại để xếp chữ số chẵn thứ có C6 , chọn vị trí vị trí cịn lại để xếp chữ số chẵn thứ có C4 cách, hai vị trí cịn lại chữ số lẻ có 2! cách 2 2 Vậy số số thõa mãn trường hợp 2: C4 C5 C7 C6 C4 2! 226800 (số) Vậy số số thỏa mãn toán : 201600 226800 428400 số