Câu [DS11.C2.2.E02.b] (HSG cấp trường lớp 11 – THPT Thọ Xuân – Thanh Hóa – 2011 - 2012) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm chữ số khác thiết phải có mặt chữ số Lời giải Xét trường hợp TH1: Chữ số đầu số Khi chữ số đằng sau có A7 cách chọn TH2: Chữ số khơng đứng vị trí đầu Khi có vị trí cho số Chữ số đầu có cách chọn 4 chữ số cịn lại có A6 cách chọn Vậy TH2 có 5.6.A6 cách chọn Vật số số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đầu là: A7 5.6 A6 13320 Câu [DS11.C2.2.E02.b] (HSG cấp trường Diễn Châu 2012-2013) Với chữ số 0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 lập số tự nhiên có sáu chữ số đơi khác cho chữ số 1, 2,3 đứng kề Lời giải Từ 10 chữ số cho ta lập C7 gốm chữ số khác nhau, ln có mặt chữ số 1, 2,3 Từ lập 4!3! số có chữ số khác chữ số 1, 2,3 ln đứng kề (với quy ước tính số mà có chữ số đứng đầu) Vậy có 4!3!C7 5040 (số) Trong 5040 số tạo thành có 3!3!C6 540 (số) gồm chữ số khác mà chữ số đứng đầu chữ sơ 1, 2,3 ln đứng kề Vậy có 5040 – 540 4500 (số cần tìm) Câu [DS11.C2.2.E02.b] Có cách xếp ngẫu nhiên chữ cụm từ “THANH HOA” thành hàng ngang để có hai chữ H đứng cạnh Lời giải 8! Sắp sếp chữ cụm từ THANHHOA có 2!3! cách xếp (vì có chữ H giống chữ A giống nhau) 5! Ta xếp chữ T, A, N, O, A vào vị trí khác có 2! cách xếp Có C6 cách chèn thêm chữ H để dãy có chữ 5!.C63 Suy có 2! cách 8! 5!.C63 2! 2160 cách Vậy có 2!3! Câu n [DS11.C2.2.E02.b] (HSG 12 ĐỒNG NAI 2018-2019) Chứng minh C3n chia hết cho với n nguyên dương Lời giải C3nn 3n ! 3n 1 ! 3n 3 3n 1 ! 3.C n 3 3n n ! 2n ! n 1 !.n 2n ! n 1 ! 2n ! (đpcm).Câu [DS11.C2.2.E02.b] (HSG Tốn 11 – Cụm Hồn Kiếm Hai Bà Trưng năm 1617) Có số tự nhiên có chữ số, 1, 2,3, 4 , chữ số có mặt bốn lần, chữ số có mặt ba lần, chữ chữ số thuộc tập hợp số khác có mặt lần Lời giải 3 Số cần lập có chữ số, số có mặt lần, số có mặt lần nên số xuất lần Tạm coi số khác nhau, coi số khác Như ta coi số khác Số số tự nhiên lập từ số khác 9! Nhưng thực tế số giống hệt nhau, số giống hệt nên hoán vị số trùng nhau, tương tự hoán vị số trùng nhau, suy số trùng 3!.4! 9! Vậy số số lập 3!.4! 2520 (số) Câu [DS11.C2.2.E02.b] Từ số ; ; ; ; ; ; ; ; lập số tự nhiên có chữ số khác số chia hết cho Lời giải X 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 A 3;6;9 Gọi A tập số từ X chia hết cho B tập số từ X chia cho dư B 1; 4;7 C tập số từ X chia cho dư C 2;5;8 abc số chia hết cho lập từ X a b c a b c 3 TH1: a , b , c thuộc tập hợp A , B C : có cách chọn a , b , c 1 TH2: a , b , c thuộc tập hợp khác nhau: có C3 C3 C3 27 cách chọn số a , b , c Ứng với cách chọn số khác a , b , c tương ứng có 3! số lập Vậy số số lập là: Câu 27 3! 180 [DS11.C2.2.E02.b] Từ chữ số , , , , , lập số tự nhiên có chữ số đôi khác cho số chia hết cho Lời giải Đặt A 1, 2,3, 4,5, 6 Các tập hợp A gồm có phần tử tổng phần tử chia hết cho là: 1; 2;3 , 1; 2;6 , 2;3; 4 , 1;3;5 , 1;5;6 , 2; 4;6 , 3; 4;5 , 4;5;6 Có tập Ứng với tập hợp ta lập 3.2.1 6 (số) thỏa mãn yêu cầu tốn Vậy có 8.6 48 số cần tìm Câu x 1 [DS11.C2.2.E02.b] 4C x 1 Ax 72 Lời giải 4C xx11 Ax1 72 , ĐK: x , x 2 PT x 1 ! x 1 ! 72 x 1 x x 1 72 x 1 !2! x ! x 5 tm x x 75 0 x 15 l