Câu [DS11.C2.2.E02.c] Cho đa giác lồi có n cạnh (n 4 ) Nối đỉnh đa giác ta có tam giác tạo thành Số tam giác cạnh đường chéo đa giác 1122 Tính số cạnh đa giác Lời giải Đa giác có n cạnh suy đa giác có n đỉnh Cứ đỉnh đa giác lập tam giác Vậy số tam giác tạo từ n đỉnh đa giác Cn Có ba loại tam giác tạo thành: + Loại 1: Có hai cạnh cạnh đa giác: có n tam giác n n 4 + Loại 2: Có cạnh cạnh đa giác: có tam giác + Loại 3: Cả ba cạnh khơng cạnh đa giác: có Cn n n(n 4) 3 Theo u cầu ta có phương trình Cn n n(n 4) 1122 n 9n 20n 6732 0 Giải ta n 22 đa giác cần tìm có 22 cạnh Câu [DS11.C2.2.E02.c] Cho hai đường thẳng song song a, b Trên a lấy 17 điểm phân biệt, b lấy n điểm phân biệt Tìm n để có 5950 tam giác có đỉnh ba điểm cho Lời giải Vì tam giác có đỉnh điểm xảy TH sau +) TH1 Tam giác có đỉnh a đỉnh b có C17 Cn tam giác +) TH2 Tam giác có đỉnh a đỉnh b có C17 Cn tam giác 2 Vậy số tam giác có đỉnh điểm cho C17 Cn + C17 Cn 17 n 17 n Theo ta có : C C + C C 5950 17! n! 17! n! 5950 1!.16! 2!(n 2)! 2!.15! ( n 1)! 17 n( n 1) 136n 5950 17 n 255n 11900 0 n 20(t / m) n 35( L) Câu [DS11.C2.2.E04.d] Chứng minh đẳng thức: 2012 2012 2 2012 2012 C C C C 2 2011 2012 1006 C2012 C2012 C2012 Lời giải 1 x Xét đẳng thức +) Ta có x2 1 x +) Ta có 2012 2012 2012 x 2012 2012 x k C2012 x2 k k 0 x 2012 2012 1006 2012 suy hệ số số hạng chứa x C2012 2012 2012 k k k C2012 x xk C2012 k 0 k 0 2012 suy hệ số số hạng chứa x o 2012 2011 2010 2009 2012 2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 2 2 2 2011 2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 C2012 Câu Từ suy đẳng thức cần chứng minh [DS11.C2.2.E02.c] Có số tự nhiên gồm bảy chữ số biết chữ số có mặt hai lần, chữ số có mặt ba lần, chữ số cịn lại có mặt khơng q lần Lời giải +) Nếu số cần tìm chứa 0, có cách chọn vị trí cho , có C6 cách chọn vị trí cho hai chữ số , có C4 cách chọn vị trí cho ba chữ số , có cách chọn cho vị trí cịn lại Do trường hợp có 6.C6 C4 = 2520 số +) Nếu số cần tìm khơng chứa , có C7 cách chọn vị trí cho hai chữ số , có C5 cách chọn vị trí cho ba chữ số , có A7 cách chọn hai chữ số cho hai vị trí cịn lại Do trường hợp có Câu C72 C53 A72 8820 số Vậy có 2520 8820 11340 số thỏa mãn ycbt [DS11.C2.2.E02.c] Từ chữ số 1, 2,3, 4,5, lập số tự nhiên, số có chữ số thỏa mãn điều kiện: Sáu chữ số số khác số tổng ba chữ số đầu nhỏ tổng ba chữ số cuối đơn vị Lời giải a a a a a a ;(a 1, 2,3, 4,5, 6 ; a j ) Các số tự nhiên có chữ số có dạng: i cho a1 a2 a3 a4 a5 a6 a4 a5 a6 11 a a a 10 1 21 Ta có theo giả thiết suy a , a , a 1, 2,3, 4,5, 6 Vì chữ số khác nên hệ thức (1) thỏa mãn ba khả sau: a1 1, a2 3, a3 6 hoán vị ba số 1,3, a1 1, a2 4, a3 5 hoán vị ba số 1, 4,5 a1 2, a2 3, a3 5 hoán vị ba số 2,3,5 Câu Mỗi số a1 , a2 , a3 tạo 3! hoán vị, hốn vị lại ghép với 3! hoán vị số a4 , a5 , a6 , tổng cộng số số tự nhiên gồm chữ số thỏa mãn điều kiện đề 3.3!.3! 108 số A 0;1; 2;3; 4;5 [DS11.C2.2.E02.c] Cho tập , từ A lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, thiết phải có chữ số Lời giải abcde a 0 Gọi số cần tìm - Tìm số số có chữ số khác mà có mặt khơng xét đến vị trí a Xếp vào vị trí có: A5 cách 3 vị trí cịn lại có A4 cách Suy có A5 A4 số - Tìm số số có chữ số khác mà có mặt với a 0 Xếp có cách 3 vị trí cịn lại có A4 cách Suy có 4.A4 số Câu 3 Vậy số số cần tìm là: A5 A4 A4 384 [DS11.C2.2.E02.c] Ông bà An có đứa lên máy bay theo hàng dọc Có cách xếp hàng khác ông An hay bà An đứng đầu cuối hàng Lời giải Ta dùng phần bù Sắp người vào vị trí theo hàng dọc có 8! cách xếp Sắp ơng bà An vào vị trí (trừ vị trí đầu cuối hàng) có A6 cách Sắp người vào vị trí cịn lại có 6! cách Vậy có 8! A6 6! 18720 cách xếp Câu [DS11.C2.2.E02.c] (HSG11 Bắc Giang 2012 - 2013)Từ chữ số 1; 2;3; lập số có chữ số có chữ số chữ số lại khác khác Tính tổng số lập được? Lời giải +) Số có chữ số có dạng abcde Chọn vị trí vị trí để xếp số có C5 cách chọn Xếp số 2;3; vào vị trí cịn lại có 3! Cách chọn Vậy có C5 3! 60 số cần lập S abcde 104. a 103. b 102. c 10. d e +) -Ta có số số tạo thành dạng 1bcde 4!=24 -Ta có số số tạo thành dạng 2bcde , 3bcde , 4bcde C4 2! 12 a 24 (2 4).12 132 b c d e 132 Tương tự Vậy S 132.11111 1466652 Câu [DS11.C2.2.E02.c] (HSG11 Bắc Giang 2012 - 2013) Có số tự nhiên có chữ số cho số có chữ số xuất hai lần, chữ số cịn lại xuất khơng q lần Lời giải TH1: Chữ số xuất lần C2 Có cách chọn vị trí cho chữ số A2 Có cách xếp chữ số chữ số vào vị trí cịn lại C A2 Vậy có số có chữ số thoả mãn trường hợp TH2: Chữ số a (khác 0) xuất lần a vị trí (vị trí hàng nghìn) Có cách chọn a Có cách chọn thêm vị trí cho a A2 Có cách xếp chữ số chữ số vào vị trí cịn lại A2 Vậy có 9.3 số có chữ số thoả mãn trường hợp TH3: Chữ số a (khác 0) xuất lần a không xuất vị trí hàng nghìn Có cách chọn a C2 Có cách chọn vị trí cho chữ số a Có cách chọn chữ số (khác khác a) vào vị trí hàng nghìn Có cách chọn chữ số vào vị trí cịn lại C2 Vậy có 9.8.8 số có chữ số thoả mãn trường hợp C A2 A2 C2 Theo quy tắc cộng, có + 9.3 + 9.8.8 = 3888 số thoả mãn đầu Câu [DS11.C2.2.E02.c] (HSG11_BẮC GIANG_2012-2013) Có số tự nhiên có chữ số cho chữ số có chữ số xuất hai lần, chữ số cịn lại xuất khơng lần Lời giải TH1: Cho chữ số xuất hia lần Có C3 cách chọn vị trí cho chữ số Có A9 cách xếp chữ số chữ số vào hai vị trí cịn lại 2 Vậy có C3 A9 số có chữ số thỏa mãn trường hợp TH2: Chữ số a 0 xuất hai lần với a vị trí ( vị trí hàng nghìn) a Có cách chọn Có cách chọn thêm vị trí a Có A9 cách xếp hai chữ số chữ số vào hai trị trì cịn lại Vậy có 9.3.A9 số có bốn chữ số thỏa mãn trường hợp TH3: Chữ số a 0 xuất hai lần a không xuất vị trí hàng nghìn Có cách chọn a Có C3 ca1ch chọn hai vị trí cho chữ số a Có cách chọn chữ số( khác khác a ) vào vị trí hàng nghìn Có cách chọn chữ số vào vị trí cịn lại Vậy có 9.8.8.C3 số có bốn chữ số thỏa mãn trường hợp Vậy có 3888 số thỏa mãn đầu Câu [DS11.C2.2.E02.c] (HSG OLIMPIC 11– Quảng Nam – 2018) Trên hai đường thẳng song song m n 17 m, n N * d ta gắn vào m điểm n điểm cho Tìm m, n để số tam giác có đỉnh điểm 17 điểm phân biệt lớn Lời giải TH1: Một hai số , chẳng hạn m 1 n 16 số tam giác có từ 17 điểm là: 1.C16 120 TH2: m , n lớn Số tam giác tạo thành từ 17 điểm là: n 1 n n m 1 m mn m n 15 mn m.Cn2 nCm2 m 2 2 15 15 15 2 4mn m n m n 288 540 8 Câu m n 1 m 9, n 8 Dấu xảy ngược lại m n ngược lại Kết luận: Số tam giác lớn , [DS11.C2.2.E02.c] (HSG cấp tỉnh lớp 11 –THPT Quỳnh Lưu – Nghệ An – 2017 - 2018) Từ 2012 số nguyên dương lấy số xếp thành dãy số có dạng u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 Hỏi có dãy số có dạng biết u1 , u2 , u3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng Lời giải u1 , u2 , u3 lập thành csc u1 u3 2u2 u1 , u3 tính chẵn lẻ Số csc u1 , u2 , u3 số cặp u1 , u3 tính chẵn lẻ Khi số hạng u4 , u5 , u6 chọn 2009 số nguyên dương lại 2 Số cách chọn csc u1 , u2 , u3 2.A1006 Số cách chọn số hạng u4 , u5 , u6 A2009 Vậy số dãy số thỏa mãn yêu cầu là: A1006 A2009 Câu [DS11.C2.2.E02.c] Cho tập hợp A 0,1, 2,3, 4,5 Hỏi có số tự nhiên chia hết cho gồm chữ số lập từ tập A Lời giải Đặt N1 0,3 , N 1, 4 , N 2,5 Gọi số cần lập n abcde * Trường hợp 1: Cả chữ số thuộc N1 đó: - Có cách chọn a , vị trí cịn lại có cách chọn - Do có 16 số * Trường hợp 2: Cả chữ số thuộc N1 , chữ số thuộc N , chữ số thuộc N đó: 1 - Nếu a N1 ta có cách chọn a ; có C4 cách chọn hai vị trí thuộc N1 ; có C2 C1 cách chọn vị trí thuộc N N ; vị trí (trừ a ) có cách chọn số Do có C42 C21 C11.24 192 số 1 - Nếu a N1 ta có C4 cách chọn ba vị trí thuộc N1 ; có C2 C1 cách chọn vị trí thuộc N N ; vị trí có cách chọn số Do có C43 C21 C11.25 256 số * Trường hợp 3: Một chữ số thuộc N1 , hai chữ số thuộc N , ba chữ số thuộc N - Tương tự trường hợp có: 1.C4 C4 C4 864 số * Trường hợp 4: Hai chữ số thuộc N1 , ba chữ số thuộc N có: 1.C41 24 C42 25 256 số * Trường hợp 5: Hai chữ số thuộc N1 , ba chữ số thuộc N - Tương tự trường hợp có 256 số * Trường hợp 6: Bốn chữ số thuộc N , chữ số thuộc N có: C5 160 số * Trường hợp 7: Bốn chữ số thuộc N , chữ số thuộc N có: 160 số * Vậy có thảy: 16 192 256 864 3.256 2.160 2160 số Câu [DS11.C2.2.E02.c] (HSG Tốn 12 – Sóc Trăng năm 2017) Có số tự nhiên có chữ số a1 a2 a3 a4 a a5 a6 a7 khác dạng a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 cho: Lời giải TH1: Số tạo thành có mặt chữ số Suy a7 0 Chọn chữ số từ chữ số cịn lại, có C9 cách chọn Chọn số lớn xếp vào vị trí a4 có cách chọn Chọn chữ số xếp vào vị trí a1 ; a2 ; a3 có C5 cách 2 Chọn chữ số xếp vào vị trí a5 ; a6 có C2 cách Suy trường hợp có C9 C5 số TH2: Số tạo thành khơng có mặt chữ số Chọn chữ số từ chữ số cịn lại, có C9 cách chọn Chọn số lớn xếp vào vị trí a4 có cách chọn Chọn chữ số xếp vào vị trí a1 ; a2 ; a3 có C6 cách Chọn chữ số xếp vào vị trí a5 ; a6 ; a7 có C3 cách Suy trường hợp có C9 C6 số Vậy có tất C9 C5 C9 C6 1560 số Câu [DS11.C2.2.E02.c] Một cửa hàng có loại kem: Kem sữa, kem xồi, kem dứa, kem sơ la Một nhóm có người vào ăn kem gọi cốc kem Hỏi có tất lựa chọn? Lời giải Gọi số cốc kem Kem sữa, kem xoài, kem dứa, kem sô cola a, b, c, d ( a, b, c, d ), theo đầu ta có a + b + c + d = Như lựa chọn (a;b;c;d) số nguyên không âm cho a + b + c + d = 9; với số ta đặt tương ứng với dãy nhị phân theo quy tắc sau: Viết từ trái sang phải a chữ số liên tiếp, chữ số 0, b chữ số liên tiếp, chữ số 0, c chữ số liên tiếp, chữ số 0, d chữ số liên tiếp: 11 1011 1011 1011 a chu so b chu so c chu so d chu so Như (a;b;c;d) tương ứng với dãy nhị phân có dộ dài 12 ký tự có ký tự ký tự hiển nhiên tương ứng song ánh số cách chọn số cách chọn vị trí 12 vị trí cho chữ số Thành thử có tất C12 lựa chọn Câu [DS11.C2.2.E02.c] Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên thỏa: số có chữ số, có chữ số lẻ khác chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt lần Lời giải * Bước 1: Xét số có chữ số, có hai chữ số lẻ khác chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt hai lần (kể số có chữ số đứng đầu) - Từ 10 chữ số chọn chữ số khác gồm số lẻ số chẵn có C5 C5 cách chọn + Với cách chọn ta có: số số có chữ số có chữ số lẻ khác chữ số 8! chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt hai lần 2!2!2! số 5 + Vậy với C C cách chọn ta tạo C52 C53 8! 504000 2!2!2! số (kể số đứng đầu tiên) * Bước 2: Xét số thoả mãn điều kiện bước mà có chữ số đứng đầu - Từ số cho (bỏ số 0) chọn số khác gồm số lẻ số chẵn (vì có số đứng 2 đầu) có C5 C4 cách chọn + Với cách chọn ta có: số số có chữ số có số đứng đầu, có mặt chữ số lẻ 7! khác nhau, chữ số chẵn khác chữ số chẵn khác có mặt hai lần 2!2! số C52 C42 + Vậy với C C cách chọn ta tạo 7! 75600 2!2! số ( bước 2) * Từ bước suy số số thoả đề là: 504000 75600 428400 số Câu [DS11.C2.2.E02.c] Từ sáu chữ số 1; 2; 3; 4; 5; người ta lập số tự nhiên số gồm chữ số khác Hỏi có số thế? Tính tổng số tự nhiên tìm Lời giải Có A6 120 số tự nhiên thoả mãn toán / / / / / Chia 120 số tự nhiên thành 60 cặp, cặp gồm số tự nhiên x; x có dạng x abc ; x a b c / / / / cho a a b b c c 7 (ví dụ x 123 x 654 ) / / Vì có 60 cặp x; x mà x x 777 nên tổng số tự nhiên tìm 60x777=46620 Câu [DS11.C2.2.E02.c] (HSG - KonTum - 1819) Có 20 giống có xồi, mít, ổi, bơ, bưởi 10 loại khác loại đồng thời đơi khác loại Hỏi có cách chọn để trồng khu vườn cho khơng có hai thuộc loại Lời giải Trường hợp : Chọn nhóm II Số cách chọn C10 252 (cách chọn) Trường hợp : Chọn nhóm II, chọn nhóm I 1 Số cách chọn C10 C5 C2 2100 (cách chọn) Trường hợp : Chọn nhóm II, chọn nhóm I Số cách chọn C103 C52 C21 4800 (cách chọn) Trường hợp : Chọn nhóm II, chọn nhóm I 3 Số cách chọn C102 C53 C21 3600 (cách chọn) Trường hợp : Chọn nhóm II, chọn nhóm I Số cách chọn C101 C54 C21 800 (cách chọn) Trường hợp : Chọn nhóm I Số cách chọn C55 C21 32 (cách chọn) Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là: 252 2100 4800 3600 800 32 11584 (cách chọn) Câu [DS11.C2.2.E02.c] (HSG12-Vĩnh Phúc năm học 17-18) Trong không gian cho 2n điểm phân biệt n 4, n , khơng có ba điểm thẳng hàng 2n điểm có n điểm nằm mặt phẳng Tìm tất giá trị n cho từ 2n cho tạo 505 mặt phẳng phân biệt Lời giải 3 Số cách chọn điểm từ 2n cho C2n Suy số mặt phẳng tạo C2n Do 2n điểm cho có n đểm đồng phẳng nên có Cn mặt phẳng trùng 3 Suy số mặt phẳng tạo thành từ 2n điểm cho C2 n Cn 3 Theo ra: C2 n Cn 505 2n 2n 1 2n n n 1 n 504 6 n n 1 8n n 3024 n n 1 7n 3024 7n3 9n 2n 3024 0 n 7n 47n 378 0 n 8 Vậy n 8 Câu [DS11.C2.2.E02.c] (HSG Đồng Tháp năm 2011-2012) Với n nguyên n 3 , tính tổng sau 1 1 P C3 C4 C5 Cn Lời giải 3! 1 3! 3! k ! k k 1 k k 1 k k k 1 C k ! k Ta có: Thay k , , ,…, n , ta được: 3! 1 C3 1.2 2.3 3! 1 C4 2.3 3.4 3! 1 C5 3.4 4.5 …………………… 3! 1 Cn3 n 1 n n n 1 Cộng đẳng thức trên, ta có: 3! 1 n 1 n 1 1 2n n 1 C33 C43 C53 Cn3 1.2 n n 1 n 1 n P 2n n 1 Vậy Câu [DS11.C2.2.E02.c] (Đề HSG K12 Đồng Nai 2018-2019) Chứng minh n C3n chia hết cho với n nguyên dương Lời giải 3n ! 1.2.3 3n 1 3n 3 1.2.3 3n 1 3 3n 1 ! 3C n C3nn n n ! 2n ! 1.2.3 n 2n ! 1.2.3 n 1 2n ! n 1 !. 2n ! Ta có n Nên C3n chia hết cho với n nguyên dương Câu [DS11.C2.2.E02.c] Trên mặt phẳng cho đa giác lồi 10 cạnh T A1 A2 An Xét tam giác có đỉnh đỉnh đa giác T Hỏi số tam giác có tam giác mà cạnh khơng phải ba cạnh đa giác T ? Lời giải + Số tam giác phân biệt có đỉnh đỉnh đa giác T C10 120 + Ứng với cạnh đa giác T có cách chọn đỉnh lại để tạo thành tam giác chứa cạnh Suy số tam giác có cạnh cạnh đa giác T 80 (tam giác) +) Trong 80 tam giác có 10 tam giác có cạnh cạnh đa giác T lặp lại hai lần Kết luận: Số tam giác cần tìm (120 – 80) + 10 = 50 (tam giác) Câu [DS11.C2.2.E02.c] (HSG BÀ RỊA VŨ TÀU 17-18) Từ chữ số 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 , lập số tự nhiên có chữ số đơi khác cho tổng ba chữ số hàng chục nghìn, hàng nghìn hàng trăm 9? Lời giải 1; 2; 6 , 1; 3; 5 , 2; 3; 4 Các gồm chữ số khác có tổng là: Từ trên, tạo 3!6 5 4 số thỏa mãn đề Vậy, lập 3!6 5 4 2160 số thỏa mãn yêu cầu toán Câu [DS11.C2.2.E02.c] Một hộp đựng 20 viên bi khác đánh số từ đến 20 Lấy ba viên bi từ hộp cộng số ghi lại Hỏi có cách lấy để kết thu số chia hết cho 3? Lời giải Ta chia 20 số từ đến 20 thành nhóm sau: A 3, 6,9,12,15,18 : Chia hết cho 3, B 1, 4, 7,10,13,16,19 C 2,5,8,11,14,17, 20 n A 6 : Chia cho dư 1, : Chia cho dư 2, n B 7 n C 7 Tổng số cho chia hết cho có trường hợp sau: TH1: số thuộc A Có C6 20 cách chọn TH2: số thuộc B Có C7 35 cách chọn TH3: số thuộc C Có C7 35 cách chọn 1 TH4: số thuộc A, số thuộc B, số thuộc C Có C6C7C7 294 cách chọn Vậy tất có 20 + 35 + 35 + 294 = 384 cách chọn thỏa mãn ycbt