D03 tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất muc do 4

Câu [DS10.C4.2.E03.d] Cho số dương P  a  ab  abc a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức a b c Lời giải  a  4b 2 a.4b  a  4b 4 ab  Vì a, b, c số dương Đẳng thức xảy  a 4b ab  a  4b  1 3 Vì a, b, c số dương  a  4b  16c 3 a.4b.16c  a  4b  16c 12 abc  abc  a  4b  16c 12 Từ (1) (2) suy  2 Đẳng thức xảy  a 4b 16c a  4b a  4b  16c ab  abc   12  a  ab  abc a   a  4b a  4b  16c   a  ab  abc   a  b  c  12 3   P   4 a  b  c a  ab  abc  a  b  c  a b c (3) Đặt t  a  b  c (t  0) 6 f  t     t   ; f  t    ; f  t  0  t  3  4t t 2t t Từ xét *) Bảng biến thiên: Nhìn vào bảng biến thiên      P f  a  b  c  f ( )  12, a, b, c     a  21 a 4b 16c    b 84 a b c    c  336  Đẳng thức xảy Vậy giá trị nhỏ P  12 Câu 2 [DS10.C4.2.E03.d] Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b  c  3b 0 Tìm giá P   2  a  1  b    c  3 trị nhỏ biểu thức Lời giải 2 Áp dụng BĐT A-G: a  2a; b  4b; c 1 2c 2a  4b  2c 6  a  b  c  2a  b  2c 6  1 suy Dấu " " xảy  1 2  a c 1  x  y     8     y  x y  x  y , x b 2 Ta lại có với x, y số thực dương: dấu " " xảy x  y Do 1 8 64 256 P       2 2 2  a  1  b  1  c  3  a  b    c  3  a  b  c    2a  b  2c  10        2 2      a  c   P 1    1 suy P 1 Vậy b 2 Kết hợp Cách 2: 2 2 2 Ta có: a  b  c  3b 0  b  3b  a  c 0  b 3 18      2 2 2 2a  4a  c  6c  11 c  3 a  1 c  3  a  1  c  3     a  1   1 Ta có 4a 2  a  1 6c 3  c  1 Lại có 2  2a  4a  c  6c  11 2a   a  1  c   c  1  11  2a  4a  c  6c  11 4a  4c  16     2 2 a  2c    1 2 a  1 c  3     Từ ta có 2 2 2 2 Lại có từ giả thiết a  b  c  3b 0  a  b  c 3b  a  c  b  3b  mà b  4b  a  c  4b 3b   a  c 4  b  2a  2c 8  2b     2  3   ta có  a 1  c  3 16  2b Từ  P     2 2  a  1  b    c  3  b   16  2b f  b    b   16  2b với b 3 Xét hàm số a c 1  P  f  b   f  b  1 P 1   f  b  1 b 0;3 b 2 Ta có b 0;3 b 2 Câu [DS10.C4.2.E03.d][HSG 12 THẠCH THÀNH - THANH HÓA 2019] Cho x, y , z  xyz 1 x2  y  z  y2  z  x z2  x  y  P   y y  2z z z z  2x x x x  y y Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải x  y  z  2 x yz 2 x x yz 2 x x  xyz 1 Theo Cauchy ta có: 2y y 2x x 2z z P   y y  2z z z z  2x x x x  y y Vậy 4b  c  2a  x x   a  y y  z z 4c  a  2b   y y    b  z z  x x 4a  b  2c   z z c  x x  y y   Đặt  Khi P 2 4b  c  2a 4c  a  2b 4a  b  2c    b  c  a    c  a  b    2 2       a b c   a b c   9a 9b 9c 2 b c a c a b  P   4.3  3   2 9 a b c a b c Vậy Pmin 2 x  y  z 1 1 1    y z xyz Câu [DS10.C4.2.E03.d] Cho ba số dương x,y,z thoả mãn x x y z P    x  y z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức Lời giải A B B C C A tan tan  tan tan  tan tan 1 A , B , C  (0;  ), A  B  C   2 2 2 Ta có (1)  x y  y z  z x 1 Theo giả thiết A B C x tan y tan z tan 2, 2, với A, B, C  (0;  ), A  B  C  ta đặt C A B C 2 cos cos  cos  2 Ta có P sin A  sin B  cos C C A B A B  2(cos  cos )   cos  2 2 2 2   C  2    x  y tan   12  3  A B    z 3 Vậy Ma x P = Khi  = 74 Câu [DS10.C4.2.E03.d] Vậy hệ phương trình có nghiệm   109 42  109   ;  6   Cho  x; y   x  y  xy  3  x  y  số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ P biểu thức 3x  y 1 x y 6 Lời giải Ta có x  y  xy  3  x  y   x  y  xy  6  x  y    x  y    x  y   x  y  0   x  y  6 x  y  x  y  2  x  y 2  0   x  y   12  x  y    x  y   0 2   x  y     x  y  4  x  y  a  Đặt  x  y b toán trở thành toán : 2 Cho a, b thỏa mãn 3a  b 4 Tìm GTLN Áp dụng bất đẳng thức B.C.S, ta có: Lại a   nên P P  5a  b  12  a  8 16   1 3a  b   3a  b   b 4  3a 5a  b  12 5a    3a   12 2a  16   1  a  8  a  8  a  8  x; y   2;1 Dấu “=” xảy  a b 1 hay Câu [DS10.C4.2.E03.d] (HSG Toán 10 – Sở GD&ĐT Quảng Nam năm 1617) Cho số thực dương x, y, z thỏa x  y  z 3 Tìm giá trị lớn biểu thức y z x H   x  y  y  2z  z  2x  Lời giải 2 + x  y  ( x  1)  y  2( x  y  1) Tương tự: y  z  2( y  z  1), z  x  2( z  x  1)  1 y z x H      x  y 1 y  z 1 z  x 1  Suy ra: y z x   1 x  y  y  z  z  x  Ta chứng minh: y z x   1 x  y  y  z  z  x  Ta có: y z x  1 1  1  3  x  y 1 y  z 1 z  x 1 x 1 y 1 z 1    2 (*) x  y 1 y  z 1 z  x 1 Trước hết ta chứng minh BĐT sau nhờ Bunhiacosky: a b c (a  b  c)    k mnk Với a, b, c, m, n, k  ta có: m n Thật vậy: b c  a   a b2 c2  (a  b  c)  m n k      (m  n  k ) n k  m  m n k  a b c (a  b  c) a b c       m n k m  n  k (dấu xảy khi: m n k VT (*)  Khi đó: ( x  1) ( y  1) ( z  1)   ( x  1)( x  y  1) ( y  1)( y  z  1) ( z  1)( z  x  1) ( x  y  z  3) ( x  1)( x  y  1)  ( y  1)( y  z  1)  ( z  1)( z  x  1) Lại có: ( x  1)( x  y  1)  ( y  1)( y  z  1)  ( z  1)( z  x  1)   x  y  z  xy  yz  zx  3( x  y  z )    ( x  y  z  xy  yz  zx)  6( x  y  z )  ( x  y  z )     ( x  y  z  xy  yz  zx)  6( x  y  z )    1   ( x  y  z )  2( x  y  z )3    ( x  y  z  3) 2 Suy ( x  y  z  3) ( x  y  z  3)  2 ( x  1)( x  y  1)  ( y  1)( y  z  1)  ( z  1)( z  x  1) ( x  y  z  3) 2 x 1 y 1 z 1   2 Suy x  y  y  z  z  x  1 , dấu xảy x  y z 1 Suy max H  x  y  z 1 Vậy H Câu [DS10.C4.2.E03.d] (HSG Toán 11 – HÀ NAM năm 1617) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z 1 P Tìm giá trị lớn biểu thức: xyz x y   x  yz y  xz z  xy Lời giải xy 1 z P   yz xz xy 1 1 1 x y z Ta có Đặt yz A zx B xy C tan , tan , tan x y z  A, B, C   x  y  z  Khi  tan xy z zx  y yz x xy zx  z y A B B C C A tan  tan tan  tan tan 2 2 2 yz x Suy A, B, C góc tam giác tan C cos A  cos B  sin C  sin  A B P   cos  cos  sin C A B C 2  tan  tan  tan 2 2 1  (cos A  cos B  sin C ) Ta có 2 cos A B A B cos  2sin 2 AB 2cos  cos   C cos 2 C   A B C  4 cos 4 cos  2 C 3  P 1  (2  ) 1  2   A B   A B     x  y 2      3  z 7  C   C  2 MaxP 1    Câu [DS10.C4.2.E03.d] (HSG Toán Nam Định – Dự bị năm 1415) Cho a, b, c  thỏa mãn abc 8 Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P 1   2a  b  2b  c  2c  a  Lời giải    1 1 1 P    P     2a  b  2b  c  2c  a   a  b  b  c 3 c  a 3  2  a b c x  ; y  ; z   x, y , z  & x y.z 1 2 Đặt: Khi đó:  1 1 P     x  y  y  z  z  x   Mà ta có:  x  y 2 xy ; x  2 x  x  y  2( xy  x  1) 1  x  y  2( xy  x  1)  1 1 P      xy  x  yz  y  zx  z   Tương tự ta có: (Nhân tử mẫu phân số thứ hai với x ; phân số thứ ba với xy )  xy 1 x  P      xy  x  x ( yz  y  1) xy ( zx  z  1)   xy 1 x  P      P  xy  x  1  xy  x ) x   xy  Vậy P đạt GTLN xảy x  y  z 1 hay a b c 2 Câu [DS10.C4.2.E03.d] (HSG trường THPT Cẩm Thủy-Thanh Hóa năm 1617) Cho a, b, c số ìï a + 2b > c ïí ï a + b + c - = ab + bc + ca thực dương thỏa mãn ïỵ Tìm giá trị lớn biểu thức P= a +c +2 a + b +1 a (b + c) + a + b +1 (a + c )(a + 2b - c) Lời giải ïìï a + 2b > c í ï a + b + c - = ab + bc + ca a , b , c Cho số thực dương thỏa mãn ïỵ P= Tìm giá trị lớn biểu thức a +c +2 a + b +1 a (b + c) + a + b +1 (a + c)(a + 2b - c) + ab + bc + ca = a + b + c ³ a + 2bc Þ 2(ab + ac +1) ³ a + ab + bc + ca Þ 2(ab + ac +1) ³ (a + b)(a + c ) Þ ab + ac +1 ³ (a + b)(a + c ) 1 (a + b)(a + c) + a + b =³ (a + b)(a + c + 2) 2 a +c +2 Þ £ a (b + c) + a + b +1 a + b (a + c)(a + 2b - c) £ ( a + c + a + 2b - c ) = (a + b) Þ a (b + c) + a + b +1 ³ Þ a + b +1 a + b +1 1 ³ = + (a + c)(a + 2b - c) (a + b) a + b (a + b) 2 1 1 Þ P£ = = 2 a + b a + b (a + b) a + b (a + b) é 1ù ê - ú£ ê ëa + b ú û ìï ïï a = + ï MaxP = ïí ïï 2- ïï b = îï Câu 2 [DS10.C4.2.E03.d] Cho số thực dương x, y , z thỏa x + y + z £ Tìm giá trị lớn biểu thức H= y z x + + x2 + y + y + 2z + z + 2x + Lời giải 2 Ta có x + y + = ( x +1) + y + ³ 2( x + y +1) Tương tự y + z + =³ 2( y + z +1) z + x + =³ 2( z + x +1) 1ổ y z x ữ ỗ + + ữ ỗ ữ 2ỗ ốx + y +1 y + z +1 x + z +1÷ ø H£ Suy y z x + + £1 Ta se chứng minh x + y +1 y + z +1 x + z +1 y z x x +1 y +1 z +1 + + £ 1Û + + ³ (*) x + y + y + z + x + z + x + y + y + z + z + x + Ta có Theo Bunhicopxki với a, b, c, m, n, k > ta có ỉa b c ỉa b c ÷ ç ç ÷ (a + b + c) = ç m+ n+ k÷ £ + + ÷ (m + n + k ) ỗ ữ ữ ỗ ç ÷ è m ø èm n kø n k a b c (a + b + c ) a b c Þ + + ³ = = m n k m + n + k Đẳng thức xảy m n k Áp dụng ta có x +1 y +1 z +1 + + x + y +1 y + z +1 z + x +1 ( x +1) ( y +1) ( z +1) = + + ( x +1)( x + y +1) ( y +1)( y + z +1) ( z +1)( z + x +1) ( x + y + z + 3) ³ ( x +1)( x + y +1) + ( y +1)( y + z +1) + ( z +1)( z + x +1) Lại có ( x +1)( x + y +1) + ( y +1)( y + z +1) + ( z +1)( z + x +1) = x + y + z + xy + yz + zx + 3( x + y + z ) + = é ( x + y + z + xy + yz + zx) + 6( x + y + z ) + ( x + y + z ) + 6ù ê ú ë û 2 £ é ( x + y + z + xy + yz + zx) + 6( x + y + z ) + + 6ù ê ú ë û 1 = é ( x + y + z ) + 6( x + y + z ) + 9ù = ( x + y + z + 3) ê ú ë û 2 ( x + y + z + 3)2 ( x + y + z + 3)2 ³ =2 ( x +1)( x + y +1) + ( y +1)( y + z +1) + ( z +1)( z + x +1) ( x + y + z + 3) 2 Suy x +1 y +1 z +1 + + ³ H£ Suy x + y +1 y + z +1 z + x +1 Vậy Đẳng thức xảy x = y = z = Câu [DS10.C4.2.E03.d] (HSG Lớp 10 – SGD Hải Dương - Năm 2018) Cho a , b , c số thực a +b +c = dương thay đổi thỏa mãn M= 3 Tìm giá trị lớn biểu thức 1 + + 2 a + b +3 b + c + c + a2 + Lời giải - Chứng minh BĐT: a b2 c2 ( a + b + c) + + ³ x y z x + y + z , với x , y , z dương a , b , c a b c = = x y z Dấu “=” xảy - Ta chứng minh: M= 1 1 + + £ 2 a +b +3 b + c +3 c + a +3 2 ỉ ỉ ỉ ö 1 1 1 ÷ ÷ ữ ỗ ỗ ỗ + + ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ 2 2 2 ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố3 a + b + ø è3 b + c + ø è3 c + a + ø Û P= a2 +b2 b2 + c c2 + a + + ³ 2 2 2 a +b +3 b +c +3 c + a + - Không tổng quát giả sử a ³ b ³ c Biến đổi ( a + b) ( a - b) a2 + b2 = + 2 a + b + ( a + b + 3) ( a + b + 3) Tương tự cho hai nhóm cịn lại, áp dụng BĐT ta được: P³ ( a + b + b + c + c + a) + ( a + b + c ) +18 Û P³ ( a - b +b - c + c - a) 4( a + b + c) + ( a - c) 4( a + b + c ) +18 4( a + b + c ) +18 Û P³ 2( a + b + c) + ( a - c) 2( a + b + c ) + - Ta chứng minh: 2 2( a + b + c ) + 2( a - c) ³ 2 2 2 Û ( a + b + c ) + 4( a - c ) ³ ( a + b + c ) + 27 2( a + b + c ) + Û 4( a + b + c) + 4( a - c) ³ ( a + b + c ) + ( a + b + c ) 2 Û ( a + b + c ) + ( a - c) ³ 3( a + b + c ) 2 Û - b + ab + bc - ca ³ Û ( a - b) ( b - c) ³ (luôn đúng) Vậy Câu M max = Û a =b =c = 2 [DS10.C4.2.E03.d] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ac 12 bc 8 Tìm giá trị nhỏ 1   D a  b  c       ab bc ca abc   biểu thức Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM  GM , ta có a b ab a b   3 · · 3,   ab ab dấu " " xảy ab   b c bc b c   3 · · 3,   2 bc bc dấu " " xảy bc   c a 12 c a 12 c a 12   3 · · 3,   ca ca dấu " " xảy ca   a b c 24 a b c 24 a b c 24    4 · · · 4,    4 abc abc dấu " " xảy abc    a  b  c a2 b2 c2 a b c     P   2b  3c 2c  3a 2a  3b 2ab  3ac 2bc  3ac 2ac  3ab  ab  bc  ca  Ta có P a  b  c  3  ab  bc  ca   Mà Từ suy Pmin  Vậy Cách 2: xảy a b c   a  35   x  y  z   x 2b  3c     y 2c  3a  b    y  z  x  35  z 2a  3b    c  35   z  y  x   Đặt   6x  y  4z  y  9z  4x  6z  y  9x  P     35 x y z   Do P  y 4z 9z 4x y 9x    6   6    6 35  x x y y z z  P   4z 4x   4x y   y 4z   y 5z 5x           18           35  z   y x   z y   x y z   x 4x y y 4z 4z 4x 4z 4x  8  8  2 8 y x z y x z x z Áp dụng Cơsi ta có ; ; y 5z 5x y 5z 5x   3 15 x y z x y z P   18     15   P  35 Pmin  xảy a b c Do Câu Vậy [DS10.C4.2.E03.d] (HSG cấp tỉnh Nam Định 2014-2015 – Dự bị) Cho a, b, c  thỏa mãn abc 8 Hãy tìm giá trị lớn 1 P   2a  b  2b  c  2c  a  Lời giải    1 1 1 P    P     2a  b  2b  c  2c  a   a  b  b  c  c  a  3  2  a b c x  ; y  ; z   x, y, z  & x y.z 1 2 Đặt: Khi đó:  1 1 P     x  y  y  z  z  x   x  y 2 xy ; x  2 x  x  y  2( xy  x  1) Mà ta có: biểu thức:  1  x  y  2( xy  x  1) 1 P    xy  x  Tương tự ta có:  1   yz  y  zx  z   (Nhân tử mẫu phân số thứ hai với x ; phân số thứ ba với xy )  xy 1 x  P      xy  x  x ( yz  y  1) xy ( zx  z  1)  Câu  xy 1 x  P      P  xy  x  1  xy  x ) x   xy  Vậy P đạt GTLN xảy x  y z 1 hay a b c 2 [DS10.C4.2.E03.d] (HSG 11 trường THPT Thạch Thành III – 2017-2018) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x  y  z xyz x  , y  , z  Tìm giá trị nhỏ x y z P   y z x biểu thức Lời giải x  1 y  y  1 z  z  1 x            P       y z  (1) y2 z2 x2  x y z  x Ta có x  1 y  y  1 z  z  1 x    2 y z x2 Mà  1   1  1   x  1      y  1      z  1    y  z  z  x x y 2  x  1   y  1   z  1 xy yz xz (2) Từ (1) (2) suy  1  1 1 1 P        2    x y z x y z  xy yz zx  (3) 1   1 Từ giả thiết ta có xy yz zx (4) 1 1 1      1 y z xy yz zx Mà x (5)  1 1  1 1 1     3         x y z  x y z  xy yz zx  (6) Từ (3), (4), (5) (6) suy P   Câu Dấu xảy x  y z  Vậy giá trị nhỏ P  2 x, y, z [DS10.C4.2.E03.d] Cho số thực dương thỏa x  y  z  Tìm giá trị lớn y z x H    x  2y  y  2z  z  2x  biểu thức Lời giải 2 Ta có x  2y  (x  1)  2y   2(x  y  1) Tương tự y  2z   2(y  z  1) z2  2x   2(z  x  1)  1 y z x H       x  y  y  z  x  z  1 Suy y z x   1 x  y  y  z  x  z  Ta se chứng minh y z x x 1 y 1 z 1   1     (*) x y 1 y z 1 z x 1 Ta có x  y  y  z  x  z  Theo Bunhicopxki với a,b,c, m, n, k  0ta có  a2 b2 c2   a  b c (a  b  c)   m n k       (m  n  k) n k  m  m n k  a2 b2 c2 (a  b  c)2 a b c       m n k m  n  k Đẳng thức xảy m n k Áp dụng cho ta có x 1 y 1 z 1 (x  1)2 (y  1)2 (z  1)2      x  y  y  z  z  x  (x  1)(x  y  1) (y  1)(y  z  1) (z  1)(z  x  1) (x  y  z  3)2  (x  1)(x  y  1)  (y  1)(y  z  1)  (z  1)(z  x  1) Lại có (x  1)(x  y  1)  (y  1)(y  z  1)  (z  1)(z  x  1)  x2  y2  z2  xy  yz  zx  3(x  y  z)    (x2  y2  z2  2xy  2yz  2zx)  6(x  y  z)  (x2  y2  z2)  6 1   (x  y2  z2  2xy  2yz  2zx)  6(x  y  z)   6 1   (x  y  z)2  6(x  y  z)  9  (x  y  z  3)2 2 (x  y  z  3)2 (x  y  z  3)2  2 (x  1)(x  y  1)  (y  1)(y  z  1)  (z  1)(z  x  1) (x  y  z  3) Suy x 1 y 1 z 1   2 H  x  y  y  z  z  x  Suy Vậy Đẳng thức xảy x y  z 1 Câu 2 [DS10.C4.2.E03.d] (HSG cấp trường Yên Định 2017-2018) Cho a, b, c 0 a  b  c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 b3 c3 P    b2  c2  a2 Lời giải 3 a b c3 P 3   b2   c2   a2 2 1 b 1 c 1 a Ta có: 2 a a 1 b b3 b2  c2  P       2  b2  b2 2  c2  c2  c3  a2  c2  a2   a2 a6 b6 c6 3  33  33 16 16 16  P 2  23 2 (a  b  c )   P 23  2  2  2  Để Pmin a b c 1 Câu [DS10.C4.2.E03.d] (Olympic 10 – SGD Quảng Nam - Năm 2018) Cho a, b, c ba số thực dương abc 1 thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức 1 P 3   2a  b  c  a3  2b3  c3  a3  b3  2c  Lời giải 1 1      u  0, v   Áp dụng BĐT u  v  u v  ta có: 1 1      3 3 3 2a  b  c   a  b  a  c   Tương tự cho hai biểu thức lại 1 1  P  3  3  3   a  b 1 a  c 1 b  c 1  Suy a  b3  a  b  a  ab  b  a  b  ab   Mặt khác ta có:  a3  b3  ab  a  b   abc ab  a  b  c  a  b  ab  a  b  c  1 1  ;  3 bc  a  b  c  a  c3  ac  a  b  c  Tương tự b  c  Do đó:  1 1 1 1   P            ab  a  b  c  bc  a  b  c  ca  a  b  c   a  b  c  ab bc ca  1  P  c  a  b  a bc Đẳng thức xảy a b c 1 max P  Vậy  Câu 1 3  [DS10.C4.2.E03.d] (HSG cấp tỉnh lớp 11 – Quảng Bình – 2012 - 2013) Cho phương trình: x  ax3  bx  cx  d 0 Với d 1 , giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh a  b2  c  Lời giải x x d 1 : Gọi nghiệm phương trình ( 0 ) x04  ax03  bx02  cx0  0  b  x02  1  ax0  c x0 x0   1 1  2  a  b  c  ( x  x 1)  a  c    x0  x  ax0  c x   ( x0  x  1)  0    Ta có: 2  1 1  1  ax0  c  x0   ax0  c   x0   x0 x0 x0   x0   2 2 a  b2  c  Suy ra:    x0   x0  t2    1 x02   t  t  x02  2 x0 x0 với t2   3t  4t  0  (t  2)(3t  2) 0 Mặt khác: t  (đúng t 2 ) a  b2  c  Vậy a b c  (ứng với x0 1 ) Dấu xảy 2 a c  , b  3 (ứng với x0  ) Câu [DS10.C4.2.E03.d] (HSG Lớp 10 – SGD Hải Dương - Năm 2018) Cho a , b , c số thực 3 a b c  Tìm giá trị lớn biểu thức dương thay đổi thỏa mãn 1 M  2  2 a  b  b  c  c  a2  Lời giải - Chứng minh BĐT: a b2 c  a  b  c     x y z x  y  z , với x , y , z dương a , b , c a b c   Dấu “=” xảy x y z - Ta chứng minh: 1 1 M  2   2 a b 3 b c 3 c a 3 1 1  1  1       2     2  a b 3  b c 3  c a 3 a2  b2 b2  c c2  a2  P    2 2 a b 3 b c 3 c a 3 - Không tổng quát giả sử a b c 2  a  b   a  b a  b2  2 a  b   a  b    a  b  3 Biến đổi Tương tự cho hai nhóm cịn lại, áp dụng BĐT ta được: 2 a b b  c  c  a a  b  b  c  c  a   P   a  b  c   18  a  b  c   18  P 4 a  b  c   a  c  a  b  c   18 - Ta chứng minh: 2 2 a  b  c  2 a  c 2 a b  c  9 2 2  2  P  a  b  c   a  c  a2  b2  c2   2   a  b  c    a  c  6 a  b  c  27   a  b  c    a  c  6  a  b  c    a  b  c    2   a  b  c    a  c  3  a  b  c    b  ab  bc  ca 0   a  b   b  c  0 (luôn đúng) M max   a b c  2 Câu [DS10.C4.2.E03.d] (HSG cấp trường Toán 10 – THPT Đan Vậy 2018 2019  1 x ; y  x y Phượng năm 2018- 2019)Cho số thay đổi thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y Lời giải Cách  2018 2019  2018 y 2019 x P  x  y      2019  2018  x y x y   +Ta có = 2018 y 2019 x ; x y ta +Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho số dương 2018 y 2019 x  2 2018.2019 x y Do  P   x  0; y    2018 2019  1  y  x  2018 y 2019 x   2018  2019 y , dấu xảy  x  x  2018    y  2019 ⇔      2018  2018  2019 2019   x  2018    y  2019 2018  2019    Vậy GTNN Pbằng Cách Từ giả thiết áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có  2018 2019   2018 2019  P  x  y     y    x y   x y   x   P    2018  2019   2018  2019 2019   2018  2 2018  2019 Dấu xảy    x  0; y   2018 2019  1  y  x  2018 2019   y  x  x  2018    y  2019 ⇔  2019   2018  Vậy giá trị nhỏ Pbằng Bài toán tổng quát   x  2018    y  2019 2018  2019      2018  2018  2019 2019  a , a , , an ; b1 , b2 , , bn ; k  n  , n 2  n số thực dương thay Cho 2n  số thực dương cố định x , x , , xn thỏa mãn a1 x1  a2 x2   an xn k Tìm giá trị nhỏ biểu thức đổi b b b P     n x1 x2 xn Câu [DS10.C4.2.E03.d] Cho x, y , z   2018;2019  Tìm giá trị lớn biểu thức: 2018.2019  xy 2018.2019  yz 2018.2019  zx f( x, y , z )    (x  y) z (y  z ) x (z  x ) y Lời giải Cách 1: Ta chứng minh với: x, y , z   a; b ,(a  0) ta ln có ab  xy b  a  x y  4(ab xy) (x  y) (b a)   2ab  xy  (x  y)(b a)   2ab  xy  (x  y)(b  a)  0   b(2 a  x  y)  x(a  y)  y(a  x)   a(2b  x  y)  x(b  y)  y(b  x)  0 (đúng) ab  xy b a b a   ( x  y ) z z 2a Vậy ta có Dấu xảy x  y a , z a hay x  y  z a b  a b  a b  a 3(b  a )    2a 2a 2a 2a Áp dụng ta có: x  y  z  a Dấu xảy max f (x, y,z)  x  y  z 2018 4036 Thay a 2018, b 2019 , ta f( x, y, z )  Cách 2: 2018.2019  xy 2018.2019  xy  (x  y) xy Ta có (Theo BDT AM-GM) Đặt t  xy ,(2018 t 2019), gt x , y   2018; 2019  2018.2019  t 2018.2019 g (t)   t t t Xét hàm , liên tục  2018;2019 nghịch biến  max g (t )  g (2018) 1   2018;2019  max g (t )  g (2019)  g (2018) 1  g (t )  g (2019)   2018;2019   2018;2019    2018;2019 2018.2019  xy 2018.2019  xy 1    (x  y) z z 4036 xy z nên , dấu xảy x  y  z 2018 Đánh giá tương tư cho biểu thức lại x  y  z 2018 4036 Tóm lại Câu 1.[DS10.C4.2.E03.d] (HSG Tốn 12 - Hịa Binh năm 1718) Cho x, y,z số thực thỏa mãn x  y  z  x  y  z 1 max f (x, y,z)  P Tìm giá trị nhỏ biểu thức  x  y   y  z   xz y Lời giải Ta có a  a  b 4ab  0;   b 2ab   a  b Nhân vế tương ứng BĐT ta Suy 1   2 a b  a  b nên  x  y P Suy   y  z  x  y   a   b 8a 2b với a,b   x  z  y  z 2 8   3   xz y  x  z  xz y m2 n2  m  n    b a  b với a,b,m,n  Ta chứng BĐT: a 1 2 a b    2  xz  x  z   xz  x  z  x  z Đẳng thức xảy m n Ta có    72 72   P 8    3  2   x  z xz  y  x  z  y 1 y y   Vì 36  1 f  t   f t  f     216 t 1 t   ;1   3  t  Xét hàm số với Ta y x  z   x  z  2 xz , 3, Vậy P nhỏ 216 đạt 1 1 2 x  ; y  ;z   x  z  ,xz  3 3 3 Câu 27 Tức Hay 2 [DS10.C4.2.E03.d] Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  y 14 x  y  Tìm giá trị lớn biểu thức P 3x  y Lời giải  x  y 14 x  y   C   1  x  y P d x, y      Bộ hai số nghiệm hệ phương trình:  C  : x  y  14 x  y  0 đường trịn tâm I  7;3 bán kính R 8 Trong  d  : 3x  y  P 0 Hệ  1 có nghiệm đường thẳng  d  đường Đường thẳng  C  có điểm chung trịn 3.7  4.3  P  d  I ,  d   R  8  33  P 40   P 73