1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

D03 tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất muc do 3

17 1 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 17
Dung lượng 733,01 KB

Nội dung

Câu [DS10.C4.2.E03.c] (HSG Toán 11 – THPT Cẩm Thủy – Thanh Hóa năm 1718) Cho x, y > thỏa x y + xy = x + y + 3xy Tìm mãn giá trị nhỏ biểu thức 2 P=x +y + ( + xy ) - xy Lời giải Û xy ( x + y ) = x + y + 3xy Ta có x y + xy = x + y + xy 2 x+y = Lại có 1 + +3 y x 1 + +3 ³ + Þ ( x + y ) - 3( x + y ) - ³ Û x + y ³ ( *) y x x+y xy ( x + y ) = x + y + 3xy Û = P = ( x + y) + Nên Û x+y = 3 + Û 1= xy x + y x + y xy = ( x + y ) +1 + xy x+y f ( t ) = t + +1; ( t ³ 4) t Đặt P = f ( t) = Vậy Câu Pmin = 125 ỉ 3 3ư 225 27 71 t +ỗ t + + ữ + + + = ữ ỗ ữ ỗ ố128 128 2t 2t ø 8 71 x = y = [DS10.C4.2.E03.c] (HSG Toán 11-NGHỆ AN năm 1516) Cho ba số thực dương thay đổi a , b , c thỏa mãn: a + b + c ³ (a + b + c ) ab + bc + ca Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a(a - 2b + 2) + b(b - 2c + 2) + c(c - 2a + 2) + abc Lời giải Từ giả thiết, ta có: (a + b + c) ³ (a + b + c) ab + bc + ca - 2( ab + bc + ca ) Û (a + b + c + ab + bc + ca )(a + b + c - ab + bc + ca ) ³ Û a +b +c ³ ab + bc + ca Û a + b + c ³ 2(ab + bc + ca ) Û (b + c - a ) ³ 4bc (1) Vì vai trị a, b, c nên giả sử a = min{a, b, c} Từ (1) ta có b + c - a ³ bc Khi P = a + b + c - 2(ab + bc + ca ) + 2(a + b + c ) + abc 1 = 2(b + c - a ) + 4a + abc abc 1 ³ bc + bc + 4a + ³ 4 bc bc 4a = abc abc ³ 2(a + b + c) + Dấu xảy a =b = , c =2 Vậy giá trị nhỏ P [DS10.C4.2.E03.c] (HSG Toán 11 – VĨNH PHÚC năm 1314) Xét phương trình bậc hai Câu ax + bx + c = có hai nghiệm thuộc đoạn [ 0; 2] Tìm giá trị lớn biểu thức 8a - 6ab + b P= 4a - 2ab + ac Lời giải ìï b ïï x1 + x2 =ï a í ïï c x1 x2 = ï ï x ,x a Gọi hai nghiệm phương trình Theo định lí Viet ta cú ùợ b ổ b ữ - +ỗ ữ ỗ ữ + ( x1 + x2 ) +( x1 + x2 ) ỗa ø 8a - 6ab + b a è P= = = b c 4a - 2ab + ac + ( x1 + x2 ) + x1 x2 4- + a a Khi ta có Do £ x1 £ x2 £ Þ x12 £ x1 x2 , x22 £ Þ x12 + x22 £ x1 x2 + Þ ( x1 + x2 ) £ 3x1 x2 + P£ Vậy + ( x1 + x2 ) + x1 x2 + =3 + ( x1 + x2 ) + x1 x2 Đẳng thức xảy x1 = x2 = x1 = 0, x2 = ìï b ïï - = ìï b ï a ïï - = Û í Û c =- b = 4a Û ïï c í a ïï ïï = c =0 ïỵ a ïỵ ìï b = 2a íï ïïỵ c = Câu [DS10.C4.2.E03.c] (HSG Toán 11 Bắc Giang năm 1314) Cho x +4 + y - = x, y Î ¡ thỏa mãn x+y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ S = x + y Lời giải Đặt a = x + 4; b = y - ( a, b ³ 0) Suy S ïìï ï a +b = ị ùù 2 ợù a + b = S - ìï S ïï a + b = ï (*) íï ïï S - 9S+36 ïï ab = 18 ïỵ ìï S ïï ³ ïï ïï ï S - 9S+36 ³ í ïï 18 ïï ö S S - 9S+36 ùù ổ ữ ỗ ữ ùù ỗ ữ ỗ ố3 ứ 18 T (*) v a , b ³ nên ïỵ (**) Giải (**) £ S £ 12 Vậy S = a = b = hay x =- ; y = S max = 12 a = b = hay x = ; y = 12 Câu [DS10.C4.2.E03.c] (HSG Toán Hà Nam) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab = + c ( a + b) a b c2 P= + + + a + b2 + c2 Tìm giá trị lớn biểu thức Lời giải ỉ p÷ ổp ỗ a, b ẻ ỗ 0; ữ , d ẻ - ;0ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ç ç ø a = tan a , b = tan b , c =tan d è ø è Đặt với Từ giả thiết ta có ab = + c(a + b) Û tan a.tan b = 1- tan d(tan a + tan b) Û tan a + tan b = tan d 1- tan a tan b p Û tan( - d) = tan(a + b) Û a + b + d= p + kp Vì - p p < a + b + d< p a + b + d= 2 nên P = tan a.cos 2a + tan b.cos 2b + tan d.cos 2d = (sin 2a + sin 2b + 2sin d) Mà P = [2sin(a + b)cos(a - b) + 2sin d] = - cos 2d+ cosdcos(a - b) +1 2 ỉ cos (a - b) cos(a - b) ữ P =- ỗ c os d + + Ê ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 4 Đẳng thức xảy ìï cos (a - b)=1 ïï Û í ïï cosd- cos(a - b) = ïỵ ìï a = b ï Û íï ïï cosd= ïỵ ìï 5p ïï a = b = ï 12 í ïï p ïï d =3 ïỵ a = b = + 3, c = Vậy GTLN P a = b = + 3, c = Câu [DS10.C4.2.E03.c] (HSG Toán 11 – HÀ NAM năm 0910) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab = + c ( a + b) a b c2 P= + + 2 + a + b 1+ c2 Tìm giá trị lớn biu thc Li gii ổ a, b ẻ ỗ 0; ữ ữ ỗ ữ dẻ ỗ ố b = tan b 2ø Đặt a = tan a , , c =- tan d với , Từ giả thiết ta cú ổ ỗ - ; 0ữ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ab = + c ( a + b) Û tan a.tan b = 1- tan d( tan a + tan b) æπ tan a + tan b = tan ỗ ỗ ç è2 tan d 1- tan a.tan b d÷ ÷ ÷= tan ( a + b) ø π π π Û a + b + d = + kπ - < a + b + d < π a + b +d= 2 mà nên 2 2 P = tan a.cos a + tan b.cos b + tan d.cos d = sin 2a + sin 2b + 2sin d) ( P= é 2sin ( a + b) cos ( a - b) + 2sin dù ê ú=- cos d+ cos d.cos ( a - b) +1 ë û 2 ỉ cos ( a - b) cos ( a - b) ÷ ÷ P =- ç cos d + + £ ç ÷ ç ÷ 4 è ø ìï cos ( a - b) = ïï ïí ïï cos d- cos ( a - b) = Û ï Đẳng thức xảy ïỵ ìï 5π ïï a = b = ïìï a = b ïí ïí ï π ïï cos d = ùù d =ùợ ùùợ ị a =b = 2+ , c = Vậy GTLN P a = b = + , c = Câu [DS10.C4.2.E03.c] Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn biểu thức P= ab bc ca + + a + ab + bc b + bc + ca c + ca + ab Lời giải P= a c +1 + b a P= Ta có + b a +1 + c b + a b c c b x = ; y = ;z = +1 + b c a a c Đặt 1 + + 3 x + z +1 y + x +1 z + y +1 với x, y, z dương xyz = x + y = ( x + y ) ( ( x - y ) + xy ) ³ ( x + y ) xy Þ x3 + y +1 ³ + ( x + y ) xy Þ x3 + y +1 ³ ( x + y ) xy + xyz = xy ( x + y + z ) Þ 1 £ x + y +1 xy ( x + y + z ) 1 1 £ £ 3 Tương tự y + z +1 yz ( x + y + z ) ; z + x +1 xz ( x + y + z ) P£ 1 1 + + = =1 xy ( x + y + z ) yz ( x + y + z ) zx ( x + y + z ) xyz Dấu " = " xảy x = y = z = Û a = b = c Vậy giá trị lớn P Câu [DS10.C4.2.E03.c] [HSG Tốn THANH HĨA 2018] Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + y2 + z + xy + yz + zx x y + y2z + z2x Lời giải 2 2 2 Ta có 3( x + y + z ) = ( x + y + z )( x + y + z ) = x + y + z + x y + y z + z x + xy + yz + zx ìï x + xy ³ x y ïï ïí y + yz ³ y z Þ 3( x + y + z ) ³ 3( x y + y z + z x ) > ïï ïï z + zx ³ z x Mà ỵ xy + yz + zx - (x2 + y2 + z ) 2 Þ P ³ x + y +z + ³ x + y +z + x + y2 + z2 2( x + y + z ) 2 ( x + y + z)2 t = x + y +z ³ =3 Đặt 2 - t 2t - 9t + (2t - 3)(t - 3) Þ P³ t+ = +4 = +4 ³ "t ³ 2t 2t 2t Dấu “=” xảy t = Vậy P đạt giá trị nhỏ x = y = z = Câu [DS10.C4.2.E03.c] (THPT Nguyễn Du – Đăk Lăk – Olympic 10 – Năm 2018) Với a , b , c ba số dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P= bc ca ab + + a + ab + bc + ca b + ab + bc + ca c + ab + bc + ca Lời giải Ỵ ( 0;1) Vì a , b , c dương a + b + c = suy a , b , c Ta có: Þ a + ab + bc + ca = a ( a + b + c ) + bc = a + bc = - b - c + bc = ( - b) ( 1- c ) 1ỉ b c bc b c ữ ỗ Ê + = ữ ỗ ÷ ( 1) è1- c 1- b ø a + ab + bc + ca 1- c 1- b ỗ õu ng thc xy b ( - b) = c ( - c ) Û ( b - c ) ( - b - c ) = Û b = c Þ Chứng minh tương tự ta được: ac 1ổ c a ữ Ê ỗ + ữ ỗ ÷( 2) è1- a 1- c ø b + ab + bc + ca ỗ ab 1ổa b ữ Ê ỗ + ữ ỗ ố1- b 1- a ÷ ø ( 3) c + ab + bc + ca ỗ T ( 1) , ( 2) , ( 3) ta có: P£ 1ỉ b +c a +c a +b ữ ỗ + + = ữ ỗ ữ ố1- a 1- b 1- c ứ 2ỗ Du ng thc xy Vậy Câu max P = a =b =c = 3 a =b =c = , đạt [DS10.C4.2.E03.c] (HSG 11 trường THPT Thạch Thành III – năm 1718) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = xyz x >1 , y >1 , z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x- y- z- + + y2 z x Lời giải P= Ta có ỉ1 1 1ư 1÷ x - 1+ y - y - 1+ z - z - 1+ x - ỉ ÷ ç ç + + + + + ÷ ÷ + + ỗ ỗ ữ ỗ ỗx y z ÷ ÷ è ÷ èx y z ø ø (1) y2 z2 x2 x - 1+ y - y - 1+ z - z - 1+ x - + + y2 z2 x2 Mà ỉ1 ổ1 ổ1 1ữ 1ữ 1ữ ỗ ỗ = ( x - 1) ỗ + + y + + z + ÷ ÷ ( ) ( ) ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗx y ữ çy z ÷ ÷ ÷ èx z ÷ ø è ø è ø ³ ( x - 1) 2 +( y - 1) +( z - 1) xy yz xz (2) Từ (1) (2) suy P³ æ1 1 1 1 1ö + + + + + - 2ỗ + + ữ ữ ỗ ỗ ữ x y z x y z èxy yz zx ÷ ø (3) Từ giả thiết ta có 1 + + =1 xy yz zx 1 1 1 + 2+ 2³ + + =1 y z xy yz zx Mà x (4) (5) æ ỉ1 1 1÷ 1ư 1 ữ ỗ ỗ + + ữ + + ị + + ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ çxy yz zx ø ÷ x y z èx y z ÷ ø è Từ (3), (4), (5) (6) suy P ³ - Dấu xảy x = y = z = Vậy giá trị nhỏ P - (6) Câu 1.[DS10.C4.2.E03.c] Cho ba số thực dương x, y , z thỏa x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P= ( 2x +3y + z) + 3 z x +1 ( y + 3z + x) ( z + 3x + y ) + 3 x y +1 3 y z +1 Lời giải Ta có x + y + z = x + y + = ( x +1) +( y +1) +( y +1) ³ 3 ( x +1) ( y +1) Khi ( x + y + z ) ³ 27 ( x +1) ( y +1) 2 Tương tự cho hai hạng tử lại 2 Do xz + x + z ³ x z , " x > 0, z > (bất đẳng thức Côsi) nên: ( 2x +3 y + z) 2 27 ( x +1) ( y +1) ( y +1) ³ = 27 ( z +1) ( x +1) ( z +1) 3 z x +1 Tương tự cho hai hạng tử lại Suy 2 ( z +1) ( x +1) P ( y +1) ³ + + 27 ( z +1) ( x +1) ( y +1) ( x + y + z + 3) ³ = x + y + z +3 = ( x + y + z + 3) P = 162 x = y = z = Suy P ³ 27.6 = 162 Vậy Câu [DS10.C4.2.E03.c] (HSG cấp trường Yên Định năm 1718) a, b, c ³ Cho a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= a3 + b2 b3 + + c2 c3 + 1+ a2 Lời giải P +3 = Ta có: a3 1+b a3 + b2 + b3 1+c + c2 + c3 1+ a + a2 + b2 b3 b2 + c2 Û P+ = + + + + + 2 + b2 + b2 4 2 1+ c2 1+ c2 c3 a2 1+ a2 a6 b6 c6 3 + + + ³ +3 +3 16 16 16 2 1+ a2 1+ a2 Þ P+ c2 2 ³ 3 2 (a + b + c ) = Þ P³ 2 - 2 = 2 - 2 = Để Câu Pmin a = b = c = [DS10.C4.2.E03.c] (Olympic 10 – SGD Quảng Nam - Năm 2018) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa P= abc = mãn Tìm giá trị lớn biểu thức 1 + + 3 3 2a + b + c + a + 2b + c + a + b + 2c3 + 3 Lời giải ö 1 ổ1 ữ Ê ỗ + ( u > 0, v > 0) ữ ỗ ữ ỗ ố ứ u + v u v Áp dụng BĐT ta cú: 1ổ 1 ữ ỗ Ê + ữ ỗ ữ ốa + b3 +1 a + c +1ø 2a + b3 + c + ỗ Tng t cho hai biu thức cịn lại P£ Suy 1ỉ 1 ữ ỗ + + ữ ỗ ữ ốa + b3 +1 a + c +1 b3 + c +1ứ 2ỗ Mt khỏc ta cú: a + b3 = ( a + b) ( a - ab + b ) ³ ( a + b ) ab Þ a + b3 +1 ³ ab ( a + b) + abc = ab ( a + b + c ) Þ 1 £ a + b +1 ab ( a + b + c ) 1 1 £ ; £ 3 b + c +1 bc ( a + b + c ) a + c +1 ac ( a + b + c ) Tương tự Do đó: ỉ1 1ỉ 1 1 1 1ữ ữ ỗ ỗ ữ PÊ ỗ + + Ê + + ữ ỗ ữ ữ a +b +c ỗ ốab bc ca ữ ứ ỗ 2ỗ ốab ( a + b + c ) bc ( a + b + c ) ca ( a + b + c ) ø Þ P£ 1 ( c + a + b) = a +b +c Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy Câu max P = [DS10.C4.2.E03.c] (HSG Khối 10 - Hải Dương – năm 1718) Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn biểu thức P= ab bc ca + + a + ab + bc b + bc + ca c + ca + ab Lời giải P= a c +1 + b a P= Ta có + b a +1 + c b + a b c c b x = ; y = ;z = +1 + b c a a c Đặt 1 + + 3 x + z +1 y + x +1 z + y +1 với x, y, z dương xyz = x + y = ( x + y ) ( ( x - y ) + xy ) ³ ( x + y ) xy Þ x + y +1 ³ + ( x + y ) xy Þ x3 + y +1 ³ ( x + y ) xy + xyz = xy ( x + y + z ) 1 £ x + y +1 xy ( x + y + z ) 1 1 £ £ 3 3 Tương tự y + z +1 yz ( x + y + z ) ; z + x +1 xz ( x + y + z ) Þ P£ 1 1 + + = =1 xy ( x + y + z ) yz ( x + y + z ) zx( x + y + z ) xyz Dấu " = " xảy x = y = z = Û a = b = c Vậy giá trị lớn P Câu [DS10.C4.2.E03.c] Cho x, y số thực dương thỏa mãn ( x  y )  xy 2 Tìm giá trị nhỏ 4 2 2 biểu thức P 3( x  y  x y  xy )  2( x  y )  Lời giải 3 Ta có ( x  y ) 4 xy  ( x  y )  xy ( x  y )  ( x  y )  x  y 1 3 P  ( x  y )  ( x  y )  2( x  y )   xy 2 ( x  y) 3 xy   ( x  y )  ( x  y )  2( x  y )   4 Do nên P 1 t x2  y  t  ( x  y)2  P  t  2t  2 4 Đặt 1  1 f (t )  t  2t  f (t )  f ( )   ;   4 đồng biến 16 Hàm số nên x y   Vậy: P đạt giá trị nhỏ 16 Câu [DS10.C4.2.E03.c] (Đề Ơn thi HSG Tốn 11 – Thanh Hóa năm 1819) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1 Tìm giá trị lớn biểu thức 1 1 1  T  a     b     c    b c  a  Lời giải Cách 1: 1 x a  , y b  , z c  b c a ta T  x  1  y  1  z  1 Đặt 1 1 1 1 1  xyz  a    b    c   abc  a b c    b c  a abc a b c  Có  xyz x  y  z  (do abc 1 ) Do T  x  1  y  1  z  1 xyz   xy  yz  zx   x  y  z  2  x  y  z    xy  yz  zx   Không  x    y   0  xy  2  x  y  nên giảm tổng quát, giả sử  x  y  z   xy   z  x  y  z    xy  yz  zx  xy   z   xy  yz  zx  2  z    z  x  y  Lại có xyz  x  y  z   z  xy   z  xy  1 2   xy   z   xy  2 nên  z  z xy  z  x  y   x  y  z    xy  yz  zx  0 z    z  x  y  0 suy  tức T 2  x  y  z    xy  yz  zx   1 x; y; z   2; 2;  Từ ta Dấu “=” xảy  Khi  x; y; z   2; 2;   a; b; c   1;1;1 T 1 đạt  a; b; c   1;1;1 Vậy max x z  y x  z y x y z T             a  ; b  ; c  ,  x, y , z   y  z z  x x y z x y Cách Đặt T  x  y  z   y  z  x  z  x  y xyz x max  x; y; z   x  y  z  0;  x  z  y  0 Không giảm tổng quát, ta giả sử x  y  z y  z  x z  x  y     0 T xyz Nếu y  z  x  Nếu y  z  x 0 ta có:  x  y  z   x  z  y  x   y  z   x 2  y  z  x  y  x  z  y2   x  z  y 2  z  x  y   z  y  x  z   x  y   z  x  y  z   y  z  x   z  x  y  xyz  T 1 Nhân vế tương ứng kết ta T 1 Dấu “=” xảy x  y  z  a b c 1 Vậy max Câu [DS10.C4.2.E03.c] (HSG cấp trường lớp 11 – THPT Cẩm Thủy – Thanh Hóa – 2017 - 2018) 2 Cho x, y  thỏa mãn x y  xy  x  y  3xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x  y   xy   xy 3 Lời giải 1  x  y   3  xy x  y  x  y  xy   y x Ta có x y  xy x  y  3xy 1 x  y   3     x  y    x  y   0  x  y 4  * y x x y Lại có 2 3   1  xy x  y x  y xy 2 P  x  y     x  y    xy x y Nên f  t  t   1;  t 4  t Đặt xy  x  y  x  y  xy   125  3  225 27 71 P  f t  t  t    1   3 1  128 2t 2t  8  128 71 Pmin  x  y 2 Vậy Câu [DS10.C4.2.E03.c] (HSG11-NGHỆ AN- 2015-2016) Cho ba số thực dương thay đổi a , b , c thỏa mãn: a  b  c (a  b  c) ab  bc  ca Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a (a  2b  2)  b(b  2c  2)  c (c  2a  2)  abc Lời giải Từ giả thiết, ta có: (a  b  c) ( a  b  c) ab  bc  ca  2(ab  bc  ca )  ( a  b  c  ab  bc  ca )(a  b  c  ab  bc  ca ) 0  a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c 2(ab  bc  ca )  (b  c  a ) 4bc (1) Vì vai trị a, b, c nên giả sử a min{a, b, c} Từ (1) ta có b  c  a 2 bc Khi P a  b  c  2(ab  bc  ca )  2(a  b  c )  abc 1 2(a  b  c )  2(b  c  a )  4a  abc abc 1 4 bc bc 4a 8 abc abc a b  , c 2 Dấu xảy Vậy giá trị nhỏ P 2 bc  bc  4a  [DS10.C4.2.E03.c] (HSG 11 – VĨNH PHÚC 2013-2014) Xét phương trình bậc hai Câu ax  bx  c 0 có hai nghiệm thuộc đoạn  0; 2 Tìm giá trị lớn biểu thức 8a  6ab  b P 4a  2ab  ac Lời giải b  x  x   a  x x c x , x a Gọi hai nghiệm phương trình Theo định lí Viet ta có  b b 8   2   x1  x2    x1  x2  8a  6ab  b a a P   b c 4a  2ab  ac   x1  x2   x1 x2 4  a a Khi ta có  x1  x2 2  x12  x1 x2 , x22 4  x12  x22  x1 x2    x1  x2  3x1 x2  Do   x1  x2   x1 x2  P 3   x1  x2   x1 x2 Vậy Đẳng thức xảy x1  x2 2 x1 0, x2 2  b  a 4   c  b 4a  c 4  a Câu  b   2   a c 0 b 2a  c 0 [DS10.C4.2.E03.c] (HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Cho x, y   thỏa x y x4  y   Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ S x  y Lời giải Đặt a  x  4; b  y  (a, b 0) Suy S  a  b     a  b S   mãn S  a  b  (*)  ab  S  9S+36  18 S  0 3  S  9S+36 0  18   S  S  9S+36   4 18 Từ (*) a , b 0 nên   (**) Giải (**) S 12 Vậy S 6 a b 1 hay x  ; y 9 Smax 12 a b 2 hay x 0 ; y 12 Câu [DS10.C4.2.E03.c] (HSG trường THPT Cẩm Thủy-Thanh Hóa 2016-2017) Cho a, b, c số  a  2b  c  2 a  b  c  ab  bc  ca thực dương thỏa mãn  Tìm giá trị lớn biểu thức a c 2 a  b 1 P  a (b  c )  a  b  (a  c )(a  2b  c ) Lời giải 2 a  b  c  ab  bc  ca   ab  bc  ca a  b  c a  2bc  2(ab  ac  1) a  ab  bc  ca  2(ab  ac  1) (a  b)(a  c)  ab  ac   (a  b)(a  c) 1  a (b  c )  a  b   (a  b)(a  c )  a  b  (a  b)(a  c  2) 2 a c 2   a (b  c )  a  b  a  b (a  c)(a  2b  c )   a  c  a  2b  c  (a  b) a  b 1 a  b 1 1     (a  c)( a  2b  c) ( a  b) a  b ( a  b) 2 1 1  1  P           2 a  b a  b ( a  b) a  b (a  b )  a b 2  2 a   MaxP   b    Câu [DS10.C4.2.E03.c] Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn biểu thức P ab bc ca   a  ab  bc b  bc  ca c  ca  ab Lời giải P 1   a b c a c b a c b x 3 ; y 3 ; z 3 1  1  1  b c a b a c b a c Đặt P Ta có 1   3 x  z  y  x  z  y  với x, y, z dương xyz 1 x3  y ( x  y )  ( x  y )  xy  ( x  y ) xy  x3  y  1  ( x  y ) xy  x  y  ( x  y ) xy  xyz  xy ( x  y  z )  1  x  y  xy ( x  y  z ) 1 1   3 Tương tự y  z  yz ( x  y  z ) ; z  x  xz ( x  y  z ) P 1 1    1 xy ( x  y  z ) yz ( x  y  z ) zx ( x  y  z ) xyz Dấu " " xảy x  y  z 1  a b c Vậy giá trị lớn P Câu [DS10.C4.2.E03.c] [ HSG THANH HÓA 2018]Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xy  yz  zx P x2  y  z  x  y  z 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y  y2z  z2x Lời giải Ta có 3( x  y  z ) ( x  y  z )( x  y  z )  x  y  z  x y  y z  z x  xy  yz  zx 2 Mà 2 2  x  xy 2 x y  2 2 2 2  y  yz 2 y z  3( x  y  z ) 3( x y  y z  z x )   z  zx 2 z x  xy  yz  zx  ( x2  y  z ) 2  x  y  z  x2  y2  z2 2( x  y  z ) ( x  y  z )2 t x  y  z  3 Đặt  t 2t  9t  (2t  3)(t  3)  P t   4   4 t 3 2t 2t 2t Dấu “=” xảy t 3 Vậy P đạt giá trị nhỏ x  y z 1  P x  y  z  Câu [DS10.C4.2.E03.c] (THPT Nguyễn Du – Đăk Lăk – Olympic 10 – Năm 2018) Với a , b , c ba số dương thỏa mãn a  b  c 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: bc ca ab P   a  ab  bc  ca b  ab  bc  ca c  ab  bc  ca Lời giải  0;1 Vì a , b , c dương a  b  c 1 suy a , b , c   a  ab  bc  ca a  a  b  c   bc a  bc 1  b  c  bc   b    c  Ta có:  1 b c  bc b c      a  ab  bc  ca  c  b   c  b   1 Đâu đẳng thức xảy b   b  c   c    b  c    b  c  0  b c  Chứng minh tương tự ta được: ac 1 c a      b  ab  bc  ca   a  c    ab 1 a b      c  ab  bc  ca   b  a   3  b c a c a b  P     1    3   a  b  c   Từ , , ta có: Dầu đẳng thức xảy Vậy Câu max P  a b c  3 a b c  , đạt [DS10.C4.2.E03.c] Cho ba số thực dương x, y, z thỏa x  y  z 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:  2x  y  z  P 3 z x2 1 Ta có  y  3z  x   3 x y 1  z  3x  y   3 y z 1 Lời giải x  y  z  x  y   x  1   y  1   y  1 3  x  1  y  1  2x  3y  z  Khi 27  x  1  y  1 2 Tương tự cho hai hạng tử lại 2 Do xz  x  z 3 x z , x  0, z  (bất đẳng thức Côsi) nên: 2  x  y  z   27  x  1  y 1 27  y 1  z  1  x  1  z 1 3 z x 1 Tương tự cho hai hạng tử lại 2 2 z  1 x  1 x  y  z  3    P  y  1      x  y  z  6 27  z  1 x  1  y  1 x  y  z  3   Suy P  162 Suy P 27.6 162 Vậy x  y z 1 Câu [DS10.C4.2.E03.c] (HSG trường Thạch Thành-Thanh Hóa-18-19) Cho x, y, z  xyz 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức x2  y  z  y2  z  x z2  x  y  P   y y  2z z z z  2x x x x  y y Lời giải x  y  z  2 x yz 2 x x yz 2 x x  xyz 1 +) Theo Cauchy ta có: 2y y 2x x 2z z P   y y  2z z z z  2x x x x  y y Vậy 4b  c  2a  x x   a  y y  z z 4c  a  2b   y y    b  z z  x x a  b  2c   z z c  x x  y y   +) Đặt  Khi P 2 4b  c  2a 4c  a  2b 4a  b  2c    b  c  a    c  a  b    2 2       a b c   a b c   9a 9b 9c 2 b c a c a b  P   4.3  3   2 9 a b c a b c P  x  y  z  Vậy Câu [DS10.C4.2.E03.c] (HSG Hà Nội-Cấp Thành Phố 13-14) Cho a , b , c  thỏa mãn abc 8 Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P 1   2a  b  2b  c  2c  a  Lời giải     1 1  P     1  a  b  b  c  c  a  3 P   2   2a  b  2b  c  2c  a  a b c x z y 2, 2,  x, y, z  xyz 1 Đặt:  1 1 P     x  y  y  z  z  x   Khi đó:  x  y  2 xy  x  Mà ta có: x  y 2 xy ; x  2 x 1   x  y  xy  x   1 1 P      xy  x  yz  y  zx  z   Tương tự ta có:     ( Nhân tử mẫu phân số thứ hai với x ; phân số thứ ba với xy )   xy 1 x   P    xy  x  x yz  y  xy zx  z      xy 1 x  P      P 1  xy  x  1  xy  x x   xy  Vậy P đạt GTLN xảy x  y  z 1 hay a b c 2    

Ngày đăng: 18/10/2023, 20:27

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w