Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 17 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Câu [DS10.C4.2.E03.c] (HSG Toán 11 – THPT Cẩm Thủy – Thanh Hóa năm 1718) Cho x, y > thỏa x y + xy = x + y + 3xy Tìm mãn giá trị nhỏ biểu thức 2 P=x +y + ( + xy ) - xy Lời giải Û xy ( x + y ) = x + y + 3xy Ta có x y + xy = x + y + xy 2 x+y = Lại có 1 + +3 y x 1 + +3 ³ + Þ ( x + y ) - 3( x + y ) - ³ Û x + y ³ ( *) y x x+y xy ( x + y ) = x + y + 3xy Û = P = ( x + y) + Nên Û x+y = 3 + Û 1= xy x + y x + y xy = ( x + y ) +1 + xy x+y f ( t ) = t + +1; ( t ³ 4) t Đặt P = f ( t) = Vậy Câu Pmin = 125 ỉ 3 3ư 225 27 71 t +ỗ t + + ữ + + + = ữ ỗ ữ ỗ ố128 128 2t 2t ø 8 71 x = y = [DS10.C4.2.E03.c] (HSG Toán 11-NGHỆ AN năm 1516) Cho ba số thực dương thay đổi a , b , c thỏa mãn: a + b + c ³ (a + b + c ) ab + bc + ca Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a(a - 2b + 2) + b(b - 2c + 2) + c(c - 2a + 2) + abc Lời giải Từ giả thiết, ta có: (a + b + c) ³ (a + b + c) ab + bc + ca - 2( ab + bc + ca ) Û (a + b + c + ab + bc + ca )(a + b + c - ab + bc + ca ) ³ Û a +b +c ³ ab + bc + ca Û a + b + c ³ 2(ab + bc + ca ) Û (b + c - a ) ³ 4bc (1) Vì vai trị a, b, c nên giả sử a = min{a, b, c} Từ (1) ta có b + c - a ³ bc Khi P = a + b + c - 2(ab + bc + ca ) + 2(a + b + c ) + abc 1 = 2(b + c - a ) + 4a + abc abc 1 ³ bc + bc + 4a + ³ 4 bc bc 4a = abc abc ³ 2(a + b + c) + Dấu xảy a =b = , c =2 Vậy giá trị nhỏ P [DS10.C4.2.E03.c] (HSG Toán 11 – VĨNH PHÚC năm 1314) Xét phương trình bậc hai Câu ax + bx + c = có hai nghiệm thuộc đoạn [ 0; 2] Tìm giá trị lớn biểu thức 8a - 6ab + b P= 4a - 2ab + ac Lời giải ìï b ïï x1 + x2 =ï a í ïï c x1 x2 = ï ï x ,x a Gọi hai nghiệm phương trình Theo định lí Viet ta cú ùợ b ổ b ữ - +ỗ ữ ỗ ữ + ( x1 + x2 ) +( x1 + x2 ) ỗa ø 8a - 6ab + b a è P= = = b c 4a - 2ab + ac + ( x1 + x2 ) + x1 x2 4- + a a Khi ta có Do £ x1 £ x2 £ Þ x12 £ x1 x2 , x22 £ Þ x12 + x22 £ x1 x2 + Þ ( x1 + x2 ) £ 3x1 x2 + P£ Vậy + ( x1 + x2 ) + x1 x2 + =3 + ( x1 + x2 ) + x1 x2 Đẳng thức xảy x1 = x2 = x1 = 0, x2 = ìï b ïï - = ìï b ï a ïï - = Û í Û c =- b = 4a Û ïï c í a ïï ïï = c =0 ïỵ a ïỵ ìï b = 2a íï ïïỵ c = Câu [DS10.C4.2.E03.c] (HSG Toán 11 Bắc Giang năm 1314) Cho x +4 + y - = x, y Î ¡ thỏa mãn x+y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ S = x + y Lời giải Đặt a = x + 4; b = y - ( a, b ³ 0) Suy S ïìï ï a +b = ị ùù 2 ợù a + b = S - ìï S ïï a + b = ï (*) íï ïï S - 9S+36 ïï ab = 18 ïỵ ìï S ïï ³ ïï ïï ï S - 9S+36 ³ í ïï 18 ïï ö S S - 9S+36 ùù ổ ữ ỗ ữ ùù ỗ ữ ỗ ố3 ứ 18 T (*) v a , b ³ nên ïỵ (**) Giải (**) £ S £ 12 Vậy S = a = b = hay x =- ; y = S max = 12 a = b = hay x = ; y = 12 Câu [DS10.C4.2.E03.c] (HSG Toán Hà Nam) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab = + c ( a + b) a b c2 P= + + + a + b2 + c2 Tìm giá trị lớn biểu thức Lời giải ỉ p÷ ổp ỗ a, b ẻ ỗ 0; ữ , d ẻ - ;0ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ç ç ø a = tan a , b = tan b , c =tan d è ø è Đặt với Từ giả thiết ta có ab = + c(a + b) Û tan a.tan b = 1- tan d(tan a + tan b) Û tan a + tan b = tan d 1- tan a tan b p Û tan( - d) = tan(a + b) Û a + b + d= p + kp Vì - p p < a + b + d< p a + b + d= 2 nên P = tan a.cos 2a + tan b.cos 2b + tan d.cos 2d = (sin 2a + sin 2b + 2sin d) Mà P = [2sin(a + b)cos(a - b) + 2sin d] = - cos 2d+ cosdcos(a - b) +1 2 ỉ cos (a - b) cos(a - b) ữ P =- ỗ c os d + + Ê ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 4 Đẳng thức xảy ìï cos (a - b)=1 ïï Û í ïï cosd- cos(a - b) = ïỵ ìï a = b ï Û íï ïï cosd= ïỵ ìï 5p ïï a = b = ï 12 í ïï p ïï d =3 ïỵ a = b = + 3, c = Vậy GTLN P a = b = + 3, c = Câu [DS10.C4.2.E03.c] (HSG Toán 11 – HÀ NAM năm 0910) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab = + c ( a + b) a b c2 P= + + 2 + a + b 1+ c2 Tìm giá trị lớn biu thc Li gii ổ a, b ẻ ỗ 0; ữ ữ ỗ ữ dẻ ỗ ố b = tan b 2ø Đặt a = tan a , , c =- tan d với , Từ giả thiết ta cú ổ ỗ - ; 0ữ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ab = + c ( a + b) Û tan a.tan b = 1- tan d( tan a + tan b) æπ tan a + tan b = tan ỗ ỗ ç è2 tan d 1- tan a.tan b d÷ ÷ ÷= tan ( a + b) ø π π π Û a + b + d = + kπ - < a + b + d < π a + b +d= 2 mà nên 2 2 P = tan a.cos a + tan b.cos b + tan d.cos d = sin 2a + sin 2b + 2sin d) ( P= é 2sin ( a + b) cos ( a - b) + 2sin dù ê ú=- cos d+ cos d.cos ( a - b) +1 ë û 2 ỉ cos ( a - b) cos ( a - b) ÷ ÷ P =- ç cos d + + £ ç ÷ ç ÷ 4 è ø ìï cos ( a - b) = ïï ïí ïï cos d- cos ( a - b) = Û ï Đẳng thức xảy ïỵ ìï 5π ïï a = b = ïìï a = b ïí ïí ï π ïï cos d = ùù d =ùợ ùùợ ị a =b = 2+ , c = Vậy GTLN P a = b = + , c = Câu [DS10.C4.2.E03.c] Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn biểu thức P= ab bc ca + + a + ab + bc b + bc + ca c + ca + ab Lời giải P= a c +1 + b a P= Ta có + b a +1 + c b + a b c c b x = ; y = ;z = +1 + b c a a c Đặt 1 + + 3 x + z +1 y + x +1 z + y +1 với x, y, z dương xyz = x + y = ( x + y ) ( ( x - y ) + xy ) ³ ( x + y ) xy Þ x3 + y +1 ³ + ( x + y ) xy Þ x3 + y +1 ³ ( x + y ) xy + xyz = xy ( x + y + z ) Þ 1 £ x + y +1 xy ( x + y + z ) 1 1 £ £ 3 Tương tự y + z +1 yz ( x + y + z ) ; z + x +1 xz ( x + y + z ) P£ 1 1 + + = =1 xy ( x + y + z ) yz ( x + y + z ) zx ( x + y + z ) xyz Dấu " = " xảy x = y = z = Û a = b = c Vậy giá trị lớn P Câu [DS10.C4.2.E03.c] [HSG Tốn THANH HĨA 2018] Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + y2 + z + xy + yz + zx x y + y2z + z2x Lời giải 2 2 2 Ta có 3( x + y + z ) = ( x + y + z )( x + y + z ) = x + y + z + x y + y z + z x + xy + yz + zx ìï x + xy ³ x y ïï ïí y + yz ³ y z Þ 3( x + y + z ) ³ 3( x y + y z + z x ) > ïï ïï z + zx ³ z x Mà ỵ xy + yz + zx - (x2 + y2 + z ) 2 Þ P ³ x + y +z + ³ x + y +z + x + y2 + z2 2( x + y + z ) 2 ( x + y + z)2 t = x + y +z ³ =3 Đặt 2 - t 2t - 9t + (2t - 3)(t - 3) Þ P³ t+ = +4 = +4 ³ "t ³ 2t 2t 2t Dấu “=” xảy t = Vậy P đạt giá trị nhỏ x = y = z = Câu [DS10.C4.2.E03.c] (THPT Nguyễn Du – Đăk Lăk – Olympic 10 – Năm 2018) Với a , b , c ba số dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P= bc ca ab + + a + ab + bc + ca b + ab + bc + ca c + ab + bc + ca Lời giải Ỵ ( 0;1) Vì a , b , c dương a + b + c = suy a , b , c Ta có: Þ a + ab + bc + ca = a ( a + b + c ) + bc = a + bc = - b - c + bc = ( - b) ( 1- c ) 1ỉ b c bc b c ữ ỗ Ê + = ữ ỗ ÷ ( 1) è1- c 1- b ø a + ab + bc + ca 1- c 1- b ỗ õu ng thc xy b ( - b) = c ( - c ) Û ( b - c ) ( - b - c ) = Û b = c Þ Chứng minh tương tự ta được: ac 1ổ c a ữ Ê ỗ + ữ ỗ ÷( 2) è1- a 1- c ø b + ab + bc + ca ỗ ab 1ổa b ữ Ê ỗ + ữ ỗ ố1- b 1- a ÷ ø ( 3) c + ab + bc + ca ỗ T ( 1) , ( 2) , ( 3) ta có: P£ 1ỉ b +c a +c a +b ữ ỗ + + = ữ ỗ ữ ố1- a 1- b 1- c ứ 2ỗ Du ng thc xy Vậy Câu max P = a =b =c = 3 a =b =c = , đạt [DS10.C4.2.E03.c] (HSG 11 trường THPT Thạch Thành III – năm 1718) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = xyz x >1 , y >1 , z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x- y- z- + + y2 z x Lời giải P= Ta có ỉ1 1 1ư 1÷ x - 1+ y - y - 1+ z - z - 1+ x - ỉ ÷ ç ç + + + + + ÷ ÷ + + ỗ ỗ ữ ỗ ỗx y z ÷ ÷ è ÷ èx y z ø ø (1) y2 z2 x2 x - 1+ y - y - 1+ z - z - 1+ x - + + y2 z2 x2 Mà ỉ1 ổ1 ổ1 1ữ 1ữ 1ữ ỗ ỗ = ( x - 1) ỗ + + y + + z + ÷ ÷ ( ) ( ) ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗx y ữ çy z ÷ ÷ ÷ èx z ÷ ø è ø è ø ³ ( x - 1) 2 +( y - 1) +( z - 1) xy yz xz (2) Từ (1) (2) suy P³ æ1 1 1 1 1ö + + + + + - 2ỗ + + ữ ữ ỗ ỗ ữ x y z x y z èxy yz zx ÷ ø (3) Từ giả thiết ta có 1 + + =1 xy yz zx 1 1 1 + 2+ 2³ + + =1 y z xy yz zx Mà x (4) (5) æ ỉ1 1 1÷ 1ư 1 ữ ỗ ỗ + + ữ + + ị + + ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ çxy yz zx ø ÷ x y z èx y z ÷ ø è Từ (3), (4), (5) (6) suy P ³ - Dấu xảy x = y = z = Vậy giá trị nhỏ P - (6) Câu 1.[DS10.C4.2.E03.c] Cho ba số thực dương x, y , z thỏa x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P= ( 2x +3y + z) + 3 z x +1 ( y + 3z + x) ( z + 3x + y ) + 3 x y +1 3 y z +1 Lời giải Ta có x + y + z = x + y + = ( x +1) +( y +1) +( y +1) ³ 3 ( x +1) ( y +1) Khi ( x + y + z ) ³ 27 ( x +1) ( y +1) 2 Tương tự cho hai hạng tử lại 2 Do xz + x + z ³ x z , " x > 0, z > (bất đẳng thức Côsi) nên: ( 2x +3 y + z) 2 27 ( x +1) ( y +1) ( y +1) ³ = 27 ( z +1) ( x +1) ( z +1) 3 z x +1 Tương tự cho hai hạng tử lại Suy 2 ( z +1) ( x +1) P ( y +1) ³ + + 27 ( z +1) ( x +1) ( y +1) ( x + y + z + 3) ³ = x + y + z +3 = ( x + y + z + 3) P = 162 x = y = z = Suy P ³ 27.6 = 162 Vậy Câu [DS10.C4.2.E03.c] (HSG cấp trường Yên Định năm 1718) a, b, c ³ Cho a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= a3 + b2 b3 + + c2 c3 + 1+ a2 Lời giải P +3 = Ta có: a3 1+b a3 + b2 + b3 1+c + c2 + c3 1+ a + a2 + b2 b3 b2 + c2 Û P+ = + + + + + 2 + b2 + b2 4 2 1+ c2 1+ c2 c3 a2 1+ a2 a6 b6 c6 3 + + + ³ +3 +3 16 16 16 2 1+ a2 1+ a2 Þ P+ c2 2 ³ 3 2 (a + b + c ) = Þ P³ 2 - 2 = 2 - 2 = Để Câu Pmin a = b = c = [DS10.C4.2.E03.c] (Olympic 10 – SGD Quảng Nam - Năm 2018) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa P= abc = mãn Tìm giá trị lớn biểu thức 1 + + 3 3 2a + b + c + a + 2b + c + a + b + 2c3 + 3 Lời giải ö 1 ổ1 ữ Ê ỗ + ( u > 0, v > 0) ữ ỗ ữ ỗ ố ứ u + v u v Áp dụng BĐT ta cú: 1ổ 1 ữ ỗ Ê + ữ ỗ ữ ốa + b3 +1 a + c +1ø 2a + b3 + c + ỗ Tng t cho hai biu thức cịn lại P£ Suy 1ỉ 1 ữ ỗ + + ữ ỗ ữ ốa + b3 +1 a + c +1 b3 + c +1ứ 2ỗ Mt khỏc ta cú: a + b3 = ( a + b) ( a - ab + b ) ³ ( a + b ) ab Þ a + b3 +1 ³ ab ( a + b) + abc = ab ( a + b + c ) Þ 1 £ a + b +1 ab ( a + b + c ) 1 1 £ ; £ 3 b + c +1 bc ( a + b + c ) a + c +1 ac ( a + b + c ) Tương tự Do đó: ỉ1 1ỉ 1 1 1 1ữ ữ ỗ ỗ ữ PÊ ỗ + + Ê + + ữ ỗ ữ ữ a +b +c ỗ ốab bc ca ữ ứ ỗ 2ỗ ốab ( a + b + c ) bc ( a + b + c ) ca ( a + b + c ) ø Þ P£ 1 ( c + a + b) = a +b +c Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy Câu max P = [DS10.C4.2.E03.c] (HSG Khối 10 - Hải Dương – năm 1718) Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn biểu thức P= ab bc ca + + a + ab + bc b + bc + ca c + ca + ab Lời giải P= a c +1 + b a P= Ta có + b a +1 + c b + a b c c b x = ; y = ;z = +1 + b c a a c Đặt 1 + + 3 x + z +1 y + x +1 z + y +1 với x, y, z dương xyz = x + y = ( x + y ) ( ( x - y ) + xy ) ³ ( x + y ) xy Þ x + y +1 ³ + ( x + y ) xy Þ x3 + y +1 ³ ( x + y ) xy + xyz = xy ( x + y + z ) 1 £ x + y +1 xy ( x + y + z ) 1 1 £ £ 3 3 Tương tự y + z +1 yz ( x + y + z ) ; z + x +1 xz ( x + y + z ) Þ P£ 1 1 + + = =1 xy ( x + y + z ) yz ( x + y + z ) zx( x + y + z ) xyz Dấu " = " xảy x = y = z = Û a = b = c Vậy giá trị lớn P Câu [DS10.C4.2.E03.c] Cho x, y số thực dương thỏa mãn ( x y ) xy 2 Tìm giá trị nhỏ 4 2 2 biểu thức P 3( x y x y xy ) 2( x y ) Lời giải 3 Ta có ( x y ) 4 xy ( x y ) xy ( x y ) ( x y ) x y 1 3 P ( x y ) ( x y ) 2( x y ) xy 2 ( x y) 3 xy ( x y ) ( x y ) 2( x y ) 4 Do nên P 1 t x2 y t ( x y)2 P t 2t 2 4 Đặt 1 1 f (t ) t 2t f (t ) f ( ) ; 4 đồng biến 16 Hàm số nên x y Vậy: P đạt giá trị nhỏ 16 Câu [DS10.C4.2.E03.c] (Đề Ơn thi HSG Tốn 11 – Thanh Hóa năm 1819) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc 1 Tìm giá trị lớn biểu thức 1 1 1 T a b c b c a Lời giải Cách 1: 1 x a , y b , z c b c a ta T x 1 y 1 z 1 Đặt 1 1 1 1 1 xyz a b c abc a b c b c a abc a b c Có xyz x y z (do abc 1 ) Do T x 1 y 1 z 1 xyz xy yz zx x y z 2 x y z xy yz zx Không x y 0 xy 2 x y nên giảm tổng quát, giả sử x y z xy z x y z xy yz zx xy z xy yz zx 2 z z x y Lại có xyz x y z z xy z xy 1 2 xy z xy 2 nên z z xy z x y x y z xy yz zx 0 z z x y 0 suy tức T 2 x y z xy yz zx 1 x; y; z 2; 2; Từ ta Dấu “=” xảy Khi x; y; z 2; 2; a; b; c 1;1;1 T 1 đạt a; b; c 1;1;1 Vậy max x z y x z y x y z T a ; b ; c , x, y , z y z z x x y z x y Cách Đặt T x y z y z x z x y xyz x max x; y; z x y z 0; x z y 0 Không giảm tổng quát, ta giả sử x y z y z x z x y 0 T xyz Nếu y z x Nếu y z x 0 ta có: x y z x z y x y z x 2 y z x y x z y2 x z y 2 z x y z y x z x y z x y z y z x z x y xyz T 1 Nhân vế tương ứng kết ta T 1 Dấu “=” xảy x y z a b c 1 Vậy max Câu [DS10.C4.2.E03.c] (HSG cấp trường lớp 11 – THPT Cẩm Thủy – Thanh Hóa – 2017 - 2018) 2 Cho x, y thỏa mãn x y xy x y 3xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y xy xy 3 Lời giải 1 x y 3 xy x y x y xy y x Ta có x y xy x y 3xy 1 x y 3 x y x y 0 x y 4 * y x x y Lại có 2 3 1 xy x y x y xy 2 P x y x y xy x y Nên f t t 1; t 4 t Đặt xy x y x y xy 125 3 225 27 71 P f t t t 1 3 1 128 2t 2t 8 128 71 Pmin x y 2 Vậy Câu [DS10.C4.2.E03.c] (HSG11-NGHỆ AN- 2015-2016) Cho ba số thực dương thay đổi a , b , c thỏa mãn: a b c (a b c) ab bc ca Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a (a 2b 2) b(b 2c 2) c (c 2a 2) abc Lời giải Từ giả thiết, ta có: (a b c) ( a b c) ab bc ca 2(ab bc ca ) ( a b c ab bc ca )(a b c ab bc ca ) 0 a b c ab bc ca a b c 2(ab bc ca ) (b c a ) 4bc (1) Vì vai trị a, b, c nên giả sử a min{a, b, c} Từ (1) ta có b c a 2 bc Khi P a b c 2(ab bc ca ) 2(a b c ) abc 1 2(a b c ) 2(b c a ) 4a abc abc 1 4 bc bc 4a 8 abc abc a b , c 2 Dấu xảy Vậy giá trị nhỏ P 2 bc bc 4a [DS10.C4.2.E03.c] (HSG 11 – VĨNH PHÚC 2013-2014) Xét phương trình bậc hai Câu ax bx c 0 có hai nghiệm thuộc đoạn 0; 2 Tìm giá trị lớn biểu thức 8a 6ab b P 4a 2ab ac Lời giải b x x a x x c x , x a Gọi hai nghiệm phương trình Theo định lí Viet ta có b b 8 2 x1 x2 x1 x2 8a 6ab b a a P b c 4a 2ab ac x1 x2 x1 x2 4 a a Khi ta có x1 x2 2 x12 x1 x2 , x22 4 x12 x22 x1 x2 x1 x2 3x1 x2 Do x1 x2 x1 x2 P 3 x1 x2 x1 x2 Vậy Đẳng thức xảy x1 x2 2 x1 0, x2 2 b a 4 c b 4a c 4 a Câu b 2 a c 0 b 2a c 0 [DS10.C4.2.E03.c] (HSG K11 Bắc Giang 2013 – 2014) Cho x, y thỏa x y x4 y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ S x y Lời giải Đặt a x 4; b y (a, b 0) Suy S a b a b S mãn S a b (*) ab S 9S+36 18 S 0 3 S 9S+36 0 18 S S 9S+36 4 18 Từ (*) a , b 0 nên (**) Giải (**) S 12 Vậy S 6 a b 1 hay x ; y 9 Smax 12 a b 2 hay x 0 ; y 12 Câu [DS10.C4.2.E03.c] (HSG trường THPT Cẩm Thủy-Thanh Hóa 2016-2017) Cho a, b, c số a 2b c 2 a b c ab bc ca thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức a c 2 a b 1 P a (b c ) a b (a c )(a 2b c ) Lời giải 2 a b c ab bc ca ab bc ca a b c a 2bc 2(ab ac 1) a ab bc ca 2(ab ac 1) (a b)(a c) ab ac (a b)(a c) 1 a (b c ) a b (a b)(a c ) a b (a b)(a c 2) 2 a c 2 a (b c ) a b a b (a c)(a 2b c ) a c a 2b c (a b) a b 1 a b 1 1 (a c)( a 2b c) ( a b) a b ( a b) 2 1 1 1 P 2 a b a b ( a b) a b (a b ) a b 2 2 a MaxP b Câu [DS10.C4.2.E03.c] Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị lớn biểu thức P ab bc ca a ab bc b bc ca c ca ab Lời giải P 1 a b c a c b a c b x 3 ; y 3 ; z 3 1 1 1 b c a b a c b a c Đặt P Ta có 1 3 x z y x z y với x, y, z dương xyz 1 x3 y ( x y ) ( x y ) xy ( x y ) xy x3 y 1 ( x y ) xy x y ( x y ) xy xyz xy ( x y z ) 1 x y xy ( x y z ) 1 1 3 Tương tự y z yz ( x y z ) ; z x xz ( x y z ) P 1 1 1 xy ( x y z ) yz ( x y z ) zx ( x y z ) xyz Dấu " " xảy x y z 1 a b c Vậy giá trị lớn P Câu [DS10.C4.2.E03.c] [ HSG THANH HÓA 2018]Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xy yz zx P x2 y z x y z 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y y2z z2x Lời giải Ta có 3( x y z ) ( x y z )( x y z ) x y z x y y z z x xy yz zx 2 Mà 2 2 x xy 2 x y 2 2 2 2 y yz 2 y z 3( x y z ) 3( x y y z z x ) z zx 2 z x xy yz zx ( x2 y z ) 2 x y z x2 y2 z2 2( x y z ) ( x y z )2 t x y z 3 Đặt t 2t 9t (2t 3)(t 3) P t 4 4 t 3 2t 2t 2t Dấu “=” xảy t 3 Vậy P đạt giá trị nhỏ x y z 1 P x y z Câu [DS10.C4.2.E03.c] (THPT Nguyễn Du – Đăk Lăk – Olympic 10 – Năm 2018) Với a , b , c ba số dương thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị lớn biểu thức: bc ca ab P a ab bc ca b ab bc ca c ab bc ca Lời giải 0;1 Vì a , b , c dương a b c 1 suy a , b , c a ab bc ca a a b c bc a bc 1 b c bc b c Ta có: 1 b c bc b c a ab bc ca c b c b 1 Đâu đẳng thức xảy b b c c b c b c 0 b c Chứng minh tương tự ta được: ac 1 c a b ab bc ca a c ab 1 a b c ab bc ca b a 3 b c a c a b P 1 3 a b c Từ , , ta có: Dầu đẳng thức xảy Vậy Câu max P a b c 3 a b c , đạt [DS10.C4.2.E03.c] Cho ba số thực dương x, y, z thỏa x y z 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: 2x y z P 3 z x2 1 Ta có y 3z x 3 x y 1 z 3x y 3 y z 1 Lời giải x y z x y x 1 y 1 y 1 3 x 1 y 1 2x 3y z Khi 27 x 1 y 1 2 Tương tự cho hai hạng tử lại 2 Do xz x z 3 x z , x 0, z (bất đẳng thức Côsi) nên: 2 x y z 27 x 1 y 1 27 y 1 z 1 x 1 z 1 3 z x 1 Tương tự cho hai hạng tử lại 2 2 z 1 x 1 x y z 3 P y 1 x y z 6 27 z 1 x 1 y 1 x y z 3 Suy P 162 Suy P 27.6 162 Vậy x y z 1 Câu [DS10.C4.2.E03.c] (HSG trường Thạch Thành-Thanh Hóa-18-19) Cho x, y, z xyz 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức x2 y z y2 z x z2 x y P y y 2z z z z 2x x x x y y Lời giải x y z 2 x yz 2 x x yz 2 x x xyz 1 +) Theo Cauchy ta có: 2y y 2x x 2z z P y y 2z z z z 2x x x x y y Vậy 4b c 2a x x a y y z z 4c a 2b y y b z z x x a b 2c z z c x x y y +) Đặt Khi P 2 4b c 2a 4c a 2b 4a b 2c b c a c a b 2 2 a b c a b c 9a 9b 9c 2 b c a c a b P 4.3 3 2 9 a b c a b c P x y z Vậy Câu [DS10.C4.2.E03.c] (HSG Hà Nội-Cấp Thành Phố 13-14) Cho a , b , c thỏa mãn abc 8 Hãy tìm giá trị lớn biểu thức: P 1 2a b 2b c 2c a Lời giải 1 1 P 1 a b b c c a 3 P 2 2a b 2b c 2c a a b c x z y 2, 2, x, y, z xyz 1 Đặt: 1 1 P x y y z z x Khi đó: x y 2 xy x Mà ta có: x y 2 xy ; x 2 x 1 x y xy x 1 1 P xy x yz y zx z Tương tự ta có: ( Nhân tử mẫu phân số thứ hai với x ; phân số thứ ba với xy ) xy 1 x P xy x x yz y xy zx z xy 1 x P P 1 xy x 1 xy x x xy Vậy P đạt GTLN xảy x y z 1 hay a b c 2