Câu [DS10.C3.1.E07.d] Giải phương trình x x x x x x , ( x ) Lời giải Xét phương trình x x x x x x (1) 3 Đặt u x ; v x x 3 Phương trình cho trở thành u u v3 v f (t ) t2 , t 3 (t 1) f ( t ) t t Xét hàm số Có f ( t ) f ( u ) f ( v ) u v Suy hàm số đồng biến Nên x 0 x x x x 3x 0 x Ta có x 0 ; x Vậy phương trình cho có nghiệm [DS10.C3.1.E07.d] Ở cơng ty có 10 xe đưa rước nhân viên xuất phát từ bến để đến Câu 2 cơng ty Mỗi tài xế có hai lựa chọn : (1) Đi quốc lộ không ngại kẹt xe phải vòng, thời gian tốn 40 phút (2) Đi nội thành, đường ngắn 15 phút xe chạy, đường nhỏ nên có thêm xe chạy ( xét xe cơng ty này) thời gian di chuyển xe tăng phút, thế, thời gian tăng tỉ lệ thuận với số xe tăng thêm Hỏi tài xế phải thảo luận chọn xe nội thành để tổng thời gian xe di chuyển ? Lời giải Giả sử có xe nội thành có 10 x xe quốc lộ 40 10 x Tổng thời gian xe quốc lộ 15 x 1 5 x 10 Thời gian di chuyển xe nội thành x x 10 Tổng thời gian xe nội thành Do đó, tổng thời gian xe 2 40 10 x x x 10 5 x x 80 5 x 355 355 + Vậy thời gian tối thiểu 355 phút, đạt x 3 Câu [DS10.C3.1.E07.d] Giải phương trình x x x x 2 x (với x R ) Lời giải 2 x x x x 2 x (1) Điều kiện 1 x Khi x x x x 4 x x x4 x2 x x2 x x x 0 4 x x x x x x x x x 2, 4 x x 0 2 x x 1 x x 1 Phương trình có nghiệm Câu x3 x 1 x x 1 x x 3 [DS10.C3.1.E07.d] Giải phương trình : Lời giải Điều kiện : x x3 x 1 x2 x 1 x x 3 x3 x 3 x x x 1 x3 x x x x 0 x 3 Bình phương vế ta được: Thử lại : x 1 3, x 1 nghiệm Câu [DS10.C3.1.E07.d] Giải phương trình x 1 x 1 x 1 16 x 4 x Lời giải 16 x 4 x Ta có: 4 x 0 16 x x x x x 0 * x * 3 x x x đối chiếu điều kiện ta Giải x Vậy nghiệm phương trình cho [DS10.C3.1.E07.d] Cho phương trình: x x 0 Giả sử x1 , x2 , x3 nghiệm phương Câu 8 trình Tính x1 x2 x3 Lời giải x 4 xi x 4 x x x 16 xi (do xi 0 ) i i i i i xi8 xi3 xi5 xi 1 xi 16 xi 65 xi2 48 xi A 65 x1 x2 x3 x1 x2 x2 x3 x3 x1 48 x1 x2 x3 24 x1 x2 x3 0 x x x x x x A 544 Áp dụng định lý Viet: 2 3 Câu [DS10.C3.1.E07.d] (HSG TP HỒ CHÍ MINH ĐỀ 2-2019) Cho đa thức bậc ba Giả sử tồn số thực P bi , P bi ci , P ci ai , bi , ci với P x x3 3x i 1,3 gồm số đôi phân biệt cho với i 1,3 Đặt Si ai bi ci với i 1, 2 Chứng minh S1 S2 S3 S1.S S2 S3 S3 S1 Lời giải 2 Giả sử S1 S2 S3 S1.S2 S2 S3 S3 S1 S1 S2 S3 d Xét đa thức Ta có: Q x x P x P P x d suy Q x đa thức bậc Q a1 a1 P a1 P P a1 d a1 b1 P b1 d a1 b1 c1 d S1 d 0 Q b1 b1 P b1 P P b1 d b1 c1 a1 d S1 d 0 Q c1 c1 P c1 P P c1 d c1 a1 b1 d S1 d 0 Q x 0 Suy a1 , b1 , c1 nghiệm phân biệt phương trình Q x 0 Tương tự, a2 , b2 , c2 a3 , b3 , c3 nghiệm phân biệt phương trình hay phương trình Q x 0 có nghiệm thực phân biệt có tổng 3d Mặt khác, Q x Q x x x3 3x x 3x x3 3x hay Q x x x 27 x 29 x x suy Q x 0 không chứa x nên theo định lí viét phương trình có tổng nghiệm hay 3d 0 d 0 Q x 0 có nghiệm 0, mà P 0 mâu thuẫn với giả thiết P bi , P bi ci , P ci ai 2 Vậy S1 S2 S3 S1.S2 S2 S3 S3 S1 Câu [DS10.C3.1.E07.d] (HSG cấp trường Toán 10 – THPT Đan Phượng năm 2018- 2019) x m 1 x m3 m 1 0 x x Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m tham số): có hai nghiệm , x x 4 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau thỏa mãn điều kiện P x13 x23 x1 x2 3x1 3x2 Lời giải 2 3 ' m 1 m m 1 m 4m Ta có x x x x 4 Phương trình có nghiệm , thỏa mãn m m 0 m 2;0 2; ' 0 m 2;0 2;3 x1 x2 4 m 3 2 m 1 4 Ta có P x13 x23 x1 x2 3x1 3x2 x1 x2 3x1 x2 x1 x2 3x1 x2 x1 x2 8x1 x2 x1 x2 x1 x2 m 1 m3 m 1 8 m3 3m 3m 1 8m3 m 2m 1 16m 40m m 2; 0 2;3 Xét P 16m 40m với Vậy P đạt giá trị lớn 16 m 2 , đạt giá trị nhỏ 144 m x z Câu [DS10.C3.1.E07.d] Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình 15 y 2 Lời giải z Theo yêu cầu tốn 15 1 2 z 4 Khi vế phải phương trình cho chia hết cho 16.Do y phải số lẻ Từ ta được: y 1 mod x 15 x y 1 1 mod x x 15 1 mod Vì ta suy x số lẻ Ta lại lập luận tiếp để kết luận z phải số chẵn phản chứng sau: n 2 z 22 n1 2 1 2 mod 3 Nếu z số lẻ y khơng thể chia dư nên ta có mâu thuẫn.Vì z y khơng thể chia hết cho Vậy tới ta tiếp tục tìm nghiệm phương trình cho với giả thiết x, y lẻ,cịn z số chẵn Ta có 15 x y 2 z 15 x 2t y 2t y với t 2 số nguyên thỏa mãn z 2t Ta nhận xét 2 t y 2t y 2.2t 2 Do t y 2t t 2 15 x 2t y 2t y t 2 2t Vì 2 t y chia hết cho 2t 1 3x x x x y 3x y 1 x y 5 t 1 x y 1 2 1 15 x 2 y 15 x y 15 Nếu x 1 y 1 y 1 z 4 t 2 x 1 y 7 x 1 y 7 t 3 z 6 x 27 3 2n 27 1 2n x 3x 76 t 6 2t 0 mod16 Ta t x 2n 3, n 0 Nếu Khi từ x 13 mod16 125 1 ; 3x x 26 mod16 ,ta kết luận 2n có 13 mod16 1 vô nghiệm 15 x 1688 t 10 2t 0 mod 32 x n 3, n Tương tự thế,nếu từ t x 16 1 Ta có nghiệm n 3 16 2n 3 mod 32 Vậy nghiệm nguyên dương Câu .Khi 15 x 16 2n 3 mod 32 ,ta kết luận vô 1;1; 1;7;6 [DS10.C3.1.E07.d] (HSG lớp 11 Phú Yên 18-19) Cho bốn số thực p,q,m, n thỏa mãn hệ thức q n p m pn qm (1) Chứng minh phương trình x px q 0 (2) x mx n 0 (3) có nghiệm phân biệt nghiệm chúng nằm xen kẽ biểu diễn trục số Lời giải Cách 1: q n p m pn qm Từ điều kiện suy p m 0 (4) Các phương trình (2) (3) có hệ số a 1 nên parabol biểu diễn có bề lõm quay lên Hai phương trình có nghiệm phân biệt nằm xen kẽ biểu diễn trục số y x px q P y x mx n P ' đồ thị hàm số cắt điểm nằm trục hoành (5) y x1 x x3 O x2 x4 (Minh họa hình vẽ) Hồnh độ giao điểm P P ' nghiệm phương trình n q x px q x mx n x p m n q n q y p q P P ' p m p m Tung độ giao điểm n q p n q p m q p m p m p m n q p m pn qm (theo (4)) Vậy (5) chứng minh, nên khẳng định đề chứng minh xong Cách 2: 2 q n p m pn qm q n q n p p m p m pq qm Ta có 2 f q n q n q n p p m q p m p m 2 p p m 4q p m p 4q Vì tồn p,q,m, n nên x1 x2 p x x q Do phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2 g x1 g x2 x1 mx1 n x2 mx2 n g x x mx n Đặt Ta có px1 q mx1 n px2 q mx2 n x1 m p n q x2 m p n q x1 x2 m p m p n q x1 x2 n q q m p m p n q p n q 2 q n p m pn qm x , x x x4 Suy phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hai số x1 , x2 có x ,x x ,x số thuộc khoảng số không thuộc khoảng Từ ta có điều phải chứng minh