Câu [DS10.C3.1.E07.c] Giải phương trình: 1 1 x x x x x 2 x 3x 3x 4 4 x2 (có 2014 dấu bậc hai) Lời giải x2 1 1 x x x x x 2 x 3x 3x 4 4 (1) Ta có: x 3x 3x x x 3x 1 x x x 1 x 1 x 3 x 1 x x 1 x 1 x 2 3 2 x 3x 3x x 1 x x +) Nếu 1 vơ nghiệm x +) Nếu x2 1 x x x x 2 1 1 1 x2 x x2 x x2 x x 4 4 1 1 1 x x x x x 2 x 2 x 4 4 2 x2 Do Có 2014 dấu bậc hai x2 1 1 x x x x x 2 x x x 4 4 x x 1 x x 1 x 0 x 1 x x 0 x x 0 x 0; x Câu 1 x x x 0 (vì 2) Vậy: [DS10.C3.1.E07.c] (HSG cấp tỉnh lớp 11 – Quảng Bình – năm 1213) Cho phương trình: x + ax + bx + cx + d = Với d = , giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh a2 + b2 + c2 ³ Lời giải Gọi x0 nghiệm phương trình ( x0 ¹ ) x04 + ax03 + bx02 + cx0 +1 = Û b =- x02 + - 1 ax c x02 x0 2ù é ỉ 1 ú( x + +1) ÷ ( a + b2 + c ) ( x02 + x +1) = ờờa + c +ỗỗỗ- x02 + x - ax0 - c x ÷ ÷ ÷ú x02 è ê 0 0øú ë û Ta có: 2 ỉ - 1ư ổ 1ữ 2 ỗ ữ ữ ỗ = x + ỗax0 + c - x0 + - ax0 - c ữ ỗ ữ ữ ố ữ ỗ ç x02 ÷ x0 x0 x0 ø è ø ( a + b2 + c2 ) ³ Suy ra: ổ2 ỗ ữ x0 + ữ ỗ ữ ỗ ữ x0 ứ ố x02 + +1 x02 = t2 t +1 t = x02 + với ³ x02 t2 ³ Û 3t - 4t - ³ Û (t - 2)(3t + 2) ³ Mặt khác: t +1 (đúng t ³ ) Vậy a2 + b2 + c2 ³ Dấu xảy a = b = c =- (ứng với x0 = ) 2 a = c = , b =3 (ứng với x0 =- ) Câu [DS10.C3.1.E07.c] Chứng minh phương trình nghiệm Lời giải x x 3x 6 có 4 D ; 3 TXĐ: Xét f x x x 3x xác định D f x f x 0 Hàm số liên tục D nghịch biến đó, phương trình có nhiều nghiệm D f x 0 Mà x 0 nghiệm phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm x 0 Câu [DS10.C3.1.E07.c] (Đề Ơn thi HSG Tốn 11 – Thanh Hóa năm 1819) Giải phương trình: 1 x x 1 x x Lời giải ● Điều kiện: x 1 1 1 x Cahcy 1 x x x 1 x x x x x x x Cahcy 1 x x x x 1 ● Ta có: 1, ● Từ Dấu " " xảy 1 x x 1 1 x x 0 x x 2 x x 2 1 x ● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình Câu [DS10.C3.1.E07.c] (HSG cấp trường Yên Đinh 2017-2018) Cho phương trình: x mx m 0 x x Gọi nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức x1 x2 B x1 x22 x1 x2 1 sau: Lời giải x x m x x m Theo hệ thức Vi-ét thì: 2 x1 x2 x1x2 2(m 1) 2m B 2 x1 x2 x1 x2 1 ( x1 x2 ) m2 m 2 Đưa giải phương trình bậc với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình cho ln có nghiệm với m 2m B Bm2 2m B 0 m 2 (Với m ẩn, B tham số)(**) Câu Ta có: 1 B(2 B 1) 1 B B Để phương trình (**) ln có nghiệm với m B B 0 B B 0 B 1 B 1 0 hay B m 2 Vậy: max B 1 m 1 , [DS10.C3.1.E07.c] (HSG 11 – HÀ NAM 2016-2017) Giải phương trình sau tập số thực: x3 x x 1 Lời giải Phương trình cho tương đương với (2 x)3 x (6 x 1) x u 2 x v x 1 Đặt Ta có phương trình: 2 2 u u v v (u v)(u uv v 1) 0 u v, (u uv v 0) 3 Ta có u v x x x x 1 Đặt x cos t , (t [0; ]) 2 cos 3t t k , k PT 2(4 cos t 3cos t ) 1 5 7 t [0; ] t ; ; 9 5 7 cos ; cos ;cos 9 Phương trình có tập nghiệm Câu [DS10.C3.1.E07.c] Tìm tất nghiệm thuộc [0;1] phương trình x(2 x 1)(8 x x 1) 1 (1) Lời giải x cos 0; x [0;1] , đặt 2 Do (1) 8cos (2 cos 1)(8cos 8cos 1) 1 8cos cos 2 [2(2 cos 1) 1] 1 8cos cos 2 (2 cos 2 1) 1 8cos cos 2 cos 4 1 sin 8 sin (Do sin 0) k 2 k 2 9 2 ; x cos ; cos Nghiệm phương trình x x x x 1 0;1 [DS10.C3.1.E07.c] Trên đoạn , phương trình có nghiệm? Lời giải x cos Câu t 0; x 0;1 Phương trình trở thành Do nên đặt x sin t , với sin tt sin tt sin sin 1 sin tt.cos 2t.cos 1 * Nhận thấy cos t 0 khơng phải nghiệm, ta có: k 2 t 18 sin 8ttcos t l 2 * cos tt.sin tt.cos 2t.cos cos 14 , k , l t 0; nên k 0 , k 1 , l 0 , l 1 thỏa mãn Vì Câu t 0; * với số nghiệm phương trình ban đầu Mặt khác, số nghiệm x 0;1 5 x sin x sin x sin 0;1 18 ; 18 ; 14 ; Vậy , phương trình ban đầu có bốn nghiệm 5 x sin 14 [DS10.C3.1.E07.c] (HSG LỚP 12 - SỞ BẮC GIANG- 2016-2017) Giải phương trình x x x x x x , ( x ) Lời giải Xét phương trình x x x x x x (1) 3 Đặt u x ; v x x Phương trình cho trở thành 3 u 1 u v3 1 v f (t ) t2 (t 1) , t Xét hàm số f (t ) t t Có Suy hàm số f (t ) đồng biến Nên f (u ) f (v ) u v x 0 x x x x 3x 0 x Ta có x 0 ; x Vậy phương trình cho có nghiệm [DS10.C3.1.E07.c] (HSG10_OLYMPIC THÁNG ĐỒNG_NAI_2017-2018) Ở cơng ty có 10 xe đưa rước nhân viên xuất phát từ bến để đến cơng ty Mỗi tài xế có hai lựa chọn Câu 2 : (1) Đi quốc lộ khơng ngại kẹt xe phải vịng, thời gian tốn 40 phút (2) Đi nội thành, đường ngắn 15 phút xe chạy, đường nhỏ nên có thêm xe chạy ( xét xe cơng ty này) thời gian di chuyển xe tăng phút, thế, thời gian tăng tỉ lệ thuận với số xe tăng thêm Hỏi tài xế phải thảo luận chọn xe nội thành để tổng thời gian xe di chuyển ? Lời giải Giả sử có xe nội thành có 10 x xe quốc lộ 40 10 x Tổng thời gian xe quốc lộ 15 x 1 5 x 10 Thời gian di chuyển xe nội thành x x 10 Tổng thời gian xe nội thành Do đó, tổng thời gian xe 2 40 10 x x x 10 5 x x 80 5 x 3 355 355 + Vậy thời gian tối thiểu 355 phút, đạt được x 3 [DS10.C3.1.E07.c] (HSG trường THPT Cẩm Thủy-Thanh Hóa 2016-2017) Giải phương trình : Câu x3 x 1 x2 x 1 x x 3 Lời giải Điều kiện : x x3 x 1 x2 x 1 x x 3 x3 x 3 x x x 1 x3 x x x x 0 x 3 Câu Bình phương vế ta được: Thử lại : x 1 3, x 1 nghiệm [DS10.C3.1.E07.c] (HSG11 Cao 16 x 4 x Bằng 2011 - x 1 x 1 x 1 2012) Giải phương trình Lời giải 16 x 4 x Ta có: 4 x 0 3 16 x x x x x 0 * x * 3 x x x đối chiếu điều kiện ta được Giải x Vậy nghiệm phương trình cho [DS10.C3.1.E07.c] (HSG cấp trường Dương Xá – Hà Nội) Cho phương trình: x x 0 (4) Câu Chứng minh phương trình (4) có nghiệm phân biệt Giả sử x1 , x2 , x3 nghiệm 8 phương trình Tính x1 x2 x3 Lời giải f x x3 x liên tục R f f 1 f 1 f 3 ; ; phương trình cho có nghiệm phân biệt Mà phương trình bậc có tối đa nghiệm (Đpcm) 2 *) xi 4 xi xi 4 xi xi xi 16 xi (do xi 0 ) *) Ta có: Hàm số f 3 f xi8 xi3 xi5 xi 1 xi 16 xi 65 xi2 48 xi A 65 x1 x2 x3 x1 x2 x2 x3 x3 x1 48 x1 x2 x3 24 x1 x2 x3 0 x x x x x x A 544 Áp dụng định lý Viet: 2 3 Câu 1.[DS10.C3.1.E07.c] (HSG Toán 10 - Hà Nam năm 19-20) Cho phương trình x m 3 x 2m x m 0 2 có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 Tìm điều kiện tham số m để x1 , x2 , x3 thỏa mãn: x x x 23 Lời giải x 1 x m x m 3 0 Phương trình x 1 x m x m 0 1 1 Giả sử x3 1 Ycbt) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác m 2 m 2 m m m 2 x1 x2 m x x m Áp dụng vi-ét, ta có: x1 x2 Khi đó: x x x 23 m 4 , suy ra: m Kết hợp Câu 2 m 4 x1 x2 23 m 2m 24 0 m [DS10.C3.1.E07.c] Tìm m để phương trình x x m 0 có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1 x2 Lời giải Cách 1: Để phương trình x x m 0 có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1 x2 1 m ( x1 1)( x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) ( x 3)( x 3) x x 3( x x ) 2 m m 2 m m5 m 2 m m5 Vậy Cách 2: x x m 0 x x m * Ta có Số nghiệm phương trình y x2 x P * số giao điểm hai đồ thị hàm số: với đường thẳng y m * có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1 x2 , từ đồ thị phần a) ta có Để phương trình m m Câu x x [DS10.C3.1.E07.c] (HSG Toán 10 - THPT Thuận Thành _2018-2019) Cho hai x x nghiệm phương trình x 3x a 0 ; hai nghiệm phương trình x2 x3 x4 x 12 x b 0 Biết x1 x2 x3 Tìm a b Lời giải (1) Phương trình x 3x a 0 có hai nghiệm Phương trình x 12 x b 0 có hai nghiệm ' 36 b 0 b 36 (2) x1 x2 3 x x a (I ) x3 x4 12 x x b Với điều kiện trên, theo Viet ta có: 9 4a 0 a x2 tx1 x2 x3 x4 t x3 tx2 t x1 x1 x2 x3 x4 tx3 t x1 Đặt x1 tx1 3 3 x1 tx1 3 x tx a 4 x1 tx1 a 1 2 2 t x1 t x1 12 t ( x1 tx1 ) 12 t x t x b 2 6 t x1 t x1 b Thế vào hệ (I) ta được: 1 Thế (3) vào (5) ta được t 4 t 2 x 1 x2 2; x3 4; x4 8 Với t 2 thay vào (3) ta được a x1 x2 1.2 2 b x3 x4 4.8 32 Khi (t/m) x x2 6; x3 12; x4 24 Với t thay vào (3) ta được a x1 x2 3.6 18 b x3 x4 12.24 288 Khi (t/m) a 2 a 18 Vậy b 32 b 288 Câu [DS10.C3.1.E07.c] (HSG lớp 10 Tỉnh Vĩnh Phúc 18-19) Cho hai phương trình: x x a 0 1 x a 1 x a a 1 0 Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình 1 x3 ; x4 hai nghiệm phương trình với x3 x4 Tìm tất giá trị a để x1 ; x2 x3 ; x4 Lời giải x a 1 x a a 1 0 Xét phương trình: Phương trình 3a có a hai nghiệm phân biệt 1 a 1 a a 1 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt Vậy với Xét phương trình: a x 1 a x x a 0 x 1 a 0 x a x a 0 x 1 a Ta có: f x x a 1 x a a 1 x1 ; x2 x3 ; x4 hay x3 x1 x2 x4 (giả sử x1 x2 ) khi: a 1 x 1 4a 3a 1 f (1 a) a 1 x2 f a 3a a Theo giả thiết f f 1 a x ; x có hai nghiệm phân biệt 1 a 1 x ; x x3 ; x4 Vậy với Câu [DS10.C3.1.E07.c] (HSG Đồng Tháp năm 2011-2012) Tìm tất nghiệm nguyên phương 2 trình: x x y Lời giải 2 2 y x x 7 y x 1 7 x x y Ta có: y x 1 y x 1 7 7* 1* * 1 1 * 2 y x 7 2 y x 1 2 y x 1 2 y x 7 x 1 y 2 x y 2 y x x y x y y x x 1 y x y x; y 1; , 1; , 2; , 2; Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên: Câu [DS10.C3.1.E07.c] (HSG Hà Nội-Cấp Thành Phố 13-14) Giải hệ phương trình: x y 3x x y 0 x 3 y y x 0 Lời giải x 2 Điều kiện: y 3 3 x 1 x 1 y y Ta có: x y 3x x y 0 (*) f t t 3t f t 3t 0, t f t Xét hàm số đồng biến (Có thể chứng minh kết cách lớp 10) Từ (*) f x 1 f y y x 2 Thay y x vào x 3 y y x 0 ta được: x 2 x 3x x 9 x 12 x x 0 y 1 Câu 0;1 Vậy nghiệm hệ phương trình cho [DS10.C3.1.E07.c] (HSG BÌNH THUẬN 18-19) Giải phương trình nghiệm nguyên x y x y xy 4( x xy y ) Lời giải 2( x y ) xy Nhận xét: x y 2 x y x y xy 4( x xy y ) ( x y )( x y 4) 4xy xy x y x y xy 1 x y x y x y 3 x y 4 x y 5 x y 3 không thỏa x y 4 không thỏa x y 5 tìm được x 1; y 4 x 4; y 1