D03 ứng dụng tính đơn điệu vào pt, bpt, hpt, bđt muc do 4

Câu [DS12.C1.1.E03.d] (HSG Toán 12 – Triệu Sơn, Thanh Hóa năm 2020) Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình x   m x  2 x  nghiệm với x 1 Lời giải Điều kiện: x 1  x 1 x     m 2 x 1  x 1  (1) x t 4 x 1 Đặt Do 4 (2) x  1   t  x 1 x 1 2 Bất phương trình (2) trở thành: 3t  m 2t  m  3t  2t (3) t   0;1 Xét hàm số f (t )  3t  2t , Bảng biến thiên 3 t f(t) -1 Câu x   1;   Bất phương trình (1) nghiệm bất phương trình (3) nghiệm với t   0;1  m 3 [DS12.C1.1.E03.d] (HSG Toán 12 – Triệu Sơn, Thanh Hóa năm 2020) Giải hệ phương trình  x    x  1  y    x  2 y  y     x  8  y  1  y   x     x  4x    Lời giải x  1, y  Điều kiện: x  u, y  v , (u , v 0) Khi phương trình (1) trở thành: Đặt  u  v    2v  u  0  u v (do u, v 0  2u  v 1  0) x   y   y  x  Thay vào (2) ta   x  8  x    x    x  4x   x    x    x 1  x    x 1   x2  4x  Trường hợp 1: x 8  y 11 (thỏa mãn) Trường hợp 2:  x     x 1  x  x    x  x  x       x  4x  x 1  2  x    x   3    x    3   x    3 0          (3) x 1    2 x   x   x   x   x     x    x   3x  3 0    x 2  13 11  13 x 1 x    0  x   y 2  x  5x    13 11  13  ;   2 8;11    Vậy hệ có hai nghiệm: [DS12.C1.1.E03.d] (HSG Tốn 12 - Bình Phước năm 1819) Giải hệ phương trình  x   x   y  y  4       y   y x  x  x   Lời giải y + ĐK:  Câu      + Pt(1)   x  1  x  1     y  y  (3) t t2   t f (t ) 1    0, t   t2  t2  Xét hàm: f (t ) t  t  với t   ta có: Suy ra: Hàm số đồng biến  f x  1  f   y   x   y Khi (3) trở thành:  Thay vào phương trình (2) ta được: x   x   x  x  x   x    x  1  x    x    x  x   x  x    1 1   x2  x      x  x   0  3x 1  x 1  5x    x  2    x  x 0  x 0, x 1   1    x  x  0 (*)  3x    x  1 5x    x  2 + Ta chứng minh pt(*) vô nghiệm Xét x 0 ta có: VT(*)>0 nên pt (*) vô nghiệm 1  5x    x  2     x  5x    x  2 Xét ta có  1 VT (*)  x  x   x     2 Do : Suy pt (*) vô nghiệm Câu Vậy hệ cho có nghiệm [DS12.C1.1.E03.d](HSG ( x, y )  1,  ,  0,1 12 VĨNH LONG 2018-2019)  x  x  13x  y  y  10   x  y    x  y  x  x  10 y  ; x, y  R Lời giải 2 x  y  0  Điều kiện: 3  x  y 0  1   x    x   y  y (*) Giải hệ phương trình f t t  t f ' t 3t   0t  R  f  t  Xét hàm số   Ta có   đồng biến R Do (*)  y x  Thay y x  vào (2) ta x    x  x  x  10 x  26 x      x  x3  x  10 x  24 3 x  2  x  2   x   x  x  12  3x     x  x 2    x  x  12 (3)  x     x  x  x  x  12  Phương trình (3) vơ nghiệm với  x 2  Vậy hệ có nghiệm  y 0   Câu  [DS12.C1.1.E03.d] (HSG 12 Bình Thuận 18-19) Giải hệ phương trình  xy  x  y  1 x  y  2 2  x y y   x  x y  x  1  2 Lời giải Điều kiện xy 0 x   x  , x   nên y 0 không thỏa mãn   Do y 0 Suy x 0 không  1 thỏa mãn  1 vơ lí Do x, y dương Nếu x, y âm Ta có Khi  2  x2    x2 1  x  y Xét hàm số f  t  t  t  t f '  t   t 1  Ta có  3  khoảng t2 t 1  y 1   1 1   y y 1  y x x x  3  0;    0,  t  Suy hàm số f  t đồng biến  0;  1 f    f  y    y  xy 1 x  x Khi  1 ta được: Thay xy 1 vào 2  x  y  1 x  y   x  1   y  1 0  x  y 1  x; y   1;1 Câu Vậy hệ phương trình cho có nghiệm [HH10.C1.1.E01.c] (HSG 12 Bình Thuận 18-19) Cho tam giác ABC nhọn có AB  AC hai O  O  đường cao BE , CF cắt H Các đường tròn , qua A theo thứ tự tiếp xúc  O1   O2  Chứng minh đường thẳng AD với BC B, C Gọi D giao điểm thứ hai qua trung điểm cạnh BC Lời giải O2 A E O1 K F B H D I C Gọi I giao điểm AD BC 2 Ta có IB IA.ID IC Suy IB IC Do I trung điểm BC Hay đường thẳng AD qua trung điểm I BC Câu [DS12.C1.1.E03.d] Giải hệ phương trình 3  x  y  3x  x  y  0  ( x  1) y   ( x  6) y   x  x  12 y Lời giải Điều kiện: y  3 3 Ta có x  y  x  x  y  0  ( x  1)  3( x  1)  y  y (1) Xét hàm số f (t ) t  3t , f (t ) 3t   0, t   Do hàm số f (t ) đồng biến  Mà phương trình (1) có dạng f ( x  1)  f ( y) nên x   y Do y  nên x  Thế x   y vào phương trình ( x  1) y   ( x  6) y   x  x  12 y ta có ( x  1) x   ( x  6) x   x  x  12  ( x  1)( x   2)  ( x  6)( x   3)  x  x   x 2 (TM ) ( x  1)( x  2) ( x  6)( x  2)   ( x  2)( x  4)   x  x 6    x  (*) x2 2 x 7 3  x   x 7 3 Giải phương trình (*): x 1 x 6 2( x  2) 2( x  6)  x    ( x  2)    ( x  6) 0 x2 2 x 7 3 x2 2 x2 2 x 7 3   x2    x   1  ( x  2)   ( x  6)     0 x2 2  x2 2  x 7 3  (**) x  Dễ thấy vế trái phương trình (**) ln âm với ( x ; y )  (2;3) Vậy hệ phương trình có nghiệm Bổ sung: Để đánh giá (*) vơ nghiệm xét riêng x 1 x  x   VT   x   x  2 Trường hợp 1: Trường hợp 2: x 1 x 6   x   VP  VT  x     x2 2 x 7 3 x6   2x  x 1  x6    2      x 7 3   x2 2  Câu [DS12.C1.1.E03.d] Cho số thực x, y, z khơng âm đơi phân biệt Tìm giá trị nhỏ  1  P ( x  y  z )    2 2  ( x  y ) ( y  z ) ( z  x)  biểu thức Lời giải Khơng tính tổng qt, giả sử  x  y  z Đặt a  y  x; b z  y a  0, b   1  P  x  ( x  a )  ( x  a  b)       a b ( a  b)  2 2 ( a  ab  b ) (2a  2ab  b ) 2 (1) a b ( a  b) Đẳng thức xảy x 0 2   a 2 a   a  a             1 2 b b   ( a  ab  b )     b  b  (2a  2ab  b ) 2  2 a b (a  b) a a      1 b b  Ta có a a (2t  1)(t  1) t    , t  P b b t2 Đặt (2t  1)(t  1) 4t  f (t )  2t   , t  (0; ) t t Xét hàm số f '(t )  2(t  2t  1) ; f '(t ) 0  t  t   11  5 11  5 f (t )    P 2   Từ dễ thấy Do a  1  1  t Suy b Đẳng thức xảy  x 0   y  1    Kết hợp với (1), P nhỏ  z  y 11  5 Vậy giá trịnhỏ P 2 x  y log  x  y  2  log   xy   1   2  x  y   x  y  0 [DS12.C1.1.E03.d] Giải hệ phương trình Lời giải   , ta có x  y  x  y 2   xy  suy điều kiện Điều kiện x  y   xy 0 Từ  xy  Câu 2  1  x  y  1.log  x  y  log   xy   2x  xy  y 1 log  x  y  2 22 xy.log   xy   * f  t  2t.log t Xét hàm số 1   2t 2t  ln t   t ln t.ln 1  t ln t.ln  t.ln  f  t  2t.ln 2.log t  2t Xét hàm số g  t  t ln t ln   * : Kết hợp f  2 : g  t    ln t  ln 0  t  e có đạt giá trị nhỏ ln t e  e Suy f  t   khoảng  0;    0;   Thay vào  0;  , thật vậy: Hàm số f đồng biến khoảng   x  y    f   2xy    x  y  2 2  xy  x  y 2 x  y 2 xy  x  y  2 xy  x  y   x  y    x  y   0 Trường hợp x  y  loại Trường hợp x  y 2 , suy x 1 y 1 Vậy hệ có tập nghiệm Câu S   1;1  2 [DS12.C1.1.E03.d] Cho số thực a , b thay đổi thỏa a  b  b  a 2 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Lời giải    a    b   ab    a    b   a b 2 4  a   b   b   a   2ab 2  2ab 2 a 2 b  2    a    b  4  a  b2  b  a  0   a    b  ab  * Do ab 0 theo điều kiện toán, suy a, b 0 Mặt Vậy P  a  b   12  a  1  b  1  ab khác, bình phương hai vế  * , suy a  b 2  a  b  t t2   ab  ab  Vì 4 nên Đặt t a  b t 2 Ta có P  a  b   12  a  b   12ab  ab  12 t  6t  12t  Khảo sát hàm số f  t  t  6t  12t  t2  2 với t2  2   t 2 f  t  đồng biến  2; 2 nên P 14  12 t   a 0; b  a  2; b 0 max P 9 t 2  a b 1 -Hết - Câu [DS12.C1.1.E03.d] (HSG Toán 12 – Phú Yên năm 1617) a; b  f :  a; b    (0  a  b)  a; b  , f ( x) 0 Cho hàm số liên tục đoạn  có đạo hàm khoảng f '(c )   c   a; b  x   a; b  với Chứng minh tồn cho a  c f (c ) b  c Lời giải a, b  Xét hàm số g ( x) ( x  a)( x  b) f ( x) Ta thấy g ( x) liên tục  ; g '( x ) ( x  a )( x  b) f '( x)   x  a  b  f ( x)  a, b  g (a) g (b) 0 Theo định lý Rolle, c   a, b  cho g '(c) 0 f '(c ) 1   (c  a)(c  b) f '(c)   2c  a  b  f (c) 0 Hay Từ ta có: f (c ) a  c b  c f '(c ) 1    Mặt khác, a  c  b nên a  c b  c Do a  c f (c ) b  c (đpcm).Câu [DS12.C1.1.E03.d] (HSG 12 Bình Thuận 18-19) Giải hệ phương trình  xy  x  y  1  x  y  2 2  x y y   x  x y  x  1  2 Lời giải Điều kiện xy 0 x   x  , x   nên y 0 không thỏa mãn   Do y 0 Suy x 0 không  1 thỏa mãn  1 vơ lí Do x, y dương Nếu x, y âm Ta có Khi  2  Xét hàm số x2    x2 1  x  y f  t  t  t  t f '  t   t 1  Ta có  3   y 1   t 1  3  0;  khoảng t2 1 1   y y2 1  y x x x   0,  t  f t Suy hàm số đồng biến  0;  1 f    f  y    y  xy 1 x  x Khi  1 ta được: Thay xy 1 vào 2  x  y  1 x  y   x  1   y  1 0  x  y 1  x; y   1;1 Câu Vậy hệ phương trình cho có nghiệm [DS12.C1.1.E03.d] (HSG BÀ RỊA VŨ TÀU 17-18) Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn ln  b  c 1  ln  3a  9a  b  c  P Tìm giá trị lớn biểu thức  b  c  5a   a 2a Lời giải ln  b  c 1  b  c 1 ln  9a   9a Xét hàm số  b  c f  t  ln t   t  0  b ,  c 9a   a  2  b  c  2  9a  1  b  c  18a  P 18a  5a   a 2a 1 P  f  x  2 18  x  x  x  x   0;3 2 , a f  x   f  x     x 18  x 2 , f  1 0 , 4x f  x  0  x 1 72  18  x   30 P  f  x   f  1 10 a 1 b c 2 , , Lập bảng biến thiên, suy ra: Vậy maxP 10 Câu [DS12.C1.1.E03.d] Giải 2  y  x  1  y  x    y  0    x    xy  x  1  x   9  x , y     hệ phương trình:   Lời giải + điều kiện:  xy  x  1 0 3 + Ta có PT  1  x y  x y  y  y  y    y  1 3   x y   x y  y  1   y  1  Xét hàm số f  t  t  3t có f  t  3t   , t    f  t  đồng biến  Mặt khác PT  1  f  x y   f  y  1  x y  y   x y  y  2 Thay x y  y  vào phương trình   ta có: PT Vì  2   x  3 x     x  x y  y   3 x   9   x      x  3 x   9 3 x  nghiệm phương trình nên xét , chia vế phương trình cho x  ta có: Xét hàm số   Hàm số  4x  g  x   x  3x    g  x   Ta có  x  3x     4x y g  x   3x     x  3x    0 4x   3 x    4;   \    4 x  , với 36  x  3 0  3 x    4;   \    4 , với 3    4;    , đồng biến khoảng      ;     phương trình có tối đa nghiệm Mà g   g    0  phương trình có hai nghiệm x 0 , x  Với x 0  y 1 Với x   y  1   3;    8 Vậy hệ phương trình có nghiệm  0;1 , 