Câu [DS12.C1.1.E03.c] (HSG Toán 12 - Quảng Ngãi 1819) Giải hệ phương trình x y x x xy 5 x (4 y ) x xy Lời giải x x 3xy 0 Điều kiện Từ x (4 y ) x xy y2 y 1 x2 x * 2 t f t t t , t ; f t 0, t ta có 3 t Xét hàm số 2 ; * y f t Do từ x Suy đồng biến x x x 5 ** x vào 1 ta Thay x ** g x 3x x không nghiệm nên 2x Ta có 10 g x 0, x , x 2 3x 2 x x Ta có: 2 7 7 ; ; g x Suy đồng biến y Mà g 1 g 0 nên ** có nghiệm x; y hệ 1;1 , Vậy nghiệm Câu 1 6; 6 y x x y 0 x y y 3 x y 3x [DS12.C1.1.E03.c] Giải hệ phương trình: với x, y Lời giải y x x y 0 1 x y y 3 x y x Giải hệ phương trình: ìï x ³ - ïï ïí y ³ ïï ï x + y - 3x ³ * Điều kiện: ïỵ ìï a = x + ³ ìï x = a - ï Þ ïí í ïï b = y ³ ïï y = b ỵ - Đặt ïỵ ( 1) trở thành: ( b - 2) a - b ( a - 2) = Û ab ( b - a ) + ( b - a ) = Khi Û ( b - a ) ( ab + 2) = Û a = b ( ab + > 0) Þ x +2 = y Û y = x +2 - Thay vào phương trình ( x +1 ( 2) ta phương trình: ( ) x + +1 = ( x - 1) + x - x + ( ) ( ) ) x +1 + ( x +1) +1 = ( x - 1) + ( x - 1) +1 ( ) Û ( 3) vơ nghiệm - Nếu x 0, " t ẻ [ 0; +Ơ ) [ 0;+Ơ ) ng bin trờn ộx = ị ( 3) Û f x +1 = f ( x - 1) Û x +1 = x - Û x - 3x = Û ê Þ x =3 ê x = ë (do x ³ ) ( x; y ) = ( 3;5) Vậy hệ có nghiệm Có: ( Câu 1+t , hàm số f ( t) ) [DS12.C1.1.E03.c] (HSG Toán 12 – Bến Tre năm 1819) Giải hệ phương trình y x x y 0 x y y 3 x y 3x (1) (2) Lời giải x y 0 x y x 0 ĐK: a x x a b y y b Đặt , ( a 1, b 0) , ta Khi phương trình (1) trở thành b a b a 0 ab b a b a 0 b a ab 0 a b (do ab ) nên PT (1) x 1 x y x y Thay vào phương trình (2), ta x x 1 x x x 1 x 1 x 1 f (t ) t t Xét hàm số f t số đồng biến 1 x 1 , ta có 1 (3) f ' t 1 t t2 1 t2 x 1 x x x 1 x x 1 (3) f x f x 1 Ta có x 1 x 3x 0 x 3 Với x 3 y 5 , ta thấy x 3, y 5 thỏa mãn điều kiện 0, t , hàm x; y 3;5 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm Nhận xét: Ta biến đổi phương trình (1) theo hướng khác sau: y x y x (4) , ta có đặt y a , a 1 thay vào (4), ta Từ PT(2), ta có y 3 , nên PT(1) Câu a x t g t x , từ suy x Xét hàm số t đồng biến 0; , ta a a x hay y x [DS12.C1.1.E03.c] (HSG Toán 12 – Bến Tre năm 1819) Giải hệ phương trình y x x y 0 x y y 3 x y 3x (1) (2) Lời giải x y 0 x y x 0 ĐK: a x b y Đặt , ( a 1, b 0) , ta b a b a 0 ab b a b a 0 b a ab 0 a b (do ab ) nên PT (1) x 1 x a y b Khi phương trình (1) trở thành x y x y Thay vào phương trình (2), ta x x 1 x x x 1 x 1 x 1 f (t ) t t Xét hàm số f t số đồng biến 1 x 1 , ta có 1 (3) f ' t 1 t t2 1 t2 0, t , hàm x 1 x x x 1 x x 1 (3) f x f x 1 Ta có x 1 x 3x 0 x 3 Với x 3 y 5 , ta thấy x 3, y 5 thỏa mãn điều kiện x; y 3;5 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm Nhận xét: Ta biến đổi phương trình (1) theo hướng khác sau: y x y x (4) , ta có đặt y a , a 1 thay vào (4), ta Từ PT(2), ta có y 3 , nên PT(1) a x t g t x , từ suy x Xét hàm số t đồng biến 0; , ta a a x hay y x Câu x y x x xy 5 x y x xy [DS12.C1.1.E03.c] Giải hệ phương trình Lời giải x y x x xy 5 1 x y x xy 2 Xét hệ phương trình +) Điều kiện: x x 3xy 0 +) Với điều kiện x y y 2 * , từ * 4 y 1 4 x x 3 t f ' t 0,t f t t t, t t2 Suy +) Xét hàm số: f t t2 t ; Do đó, hàm số đồng biến Mặt khác f t y +) Thay Nhận thấy, 3x Đặt 1 3 f y f y ; x x liên tục Do đó, từ 2x 7 x vào 1 , ta được: x 3x x 5 4 không nghiệm , nên viết lại: x 3 2x g x 3x g' x x 3 3x x 3 0 2x 7 , x ,x 2x 3 10 x 3x 10 2 3x 2 x x x 3x x x 29 x 3x x 3x 10 2x 7 2 , x ,x 2 7 7 ; ; g x Suy đồng biến g 1 g 0 có hai nghiệm x 1,x 6 Mà , nên 1 6; x; y 1;1 +) Vậy nghiệm hệ phương trình Câu [DS12.C1.1.E03.c] Giải phương trình x3 x x 12 x 3 x x Lời giải x 3 Điều kiện x 0 x 3 Phương trình cho tương đương với x x 3x 3 x 3 x x 1 x 1 x 1 x 3x 3 x 3 x x x x 3 x 0 x 1 x 4 x x 3x 3 x 3 x x * Dễ thấy x 3 không nghiệm phương trình cho x2 3x x x * x x 1 x Với , giải phương trình ta x x 1 x x 1 f x 4 f x x 1 x 1 t 5t f t 1 0, t f t t 1; t Xét hàm số , có 1; mà f x f x hàm số đồng biến x 0 x 4 9 x 2 x x x x 19 0 Do x x 9 x Vậy phương trình cho có nghiệm x 4 ; Suy Câu f t [DS12.C1.1.E03.c] 3x 1 y y 3x 1(1) xy 4 x x 3(2) Giải hệ phương trình Lời giải Cách 1: y 0 x Điều kiện: 1 3x y x 1 y 3x y x y Vì Từ x 3x y 3x y 4 3x y 3x y 0 3x y * VP 3xy x 2 4 y 3x y 3x 3x x x 3x y 0 y 3x thay vào ta có: 3x x 3x x 2 x x x x x 3x x Từ * 0 3x y x 3 3x 0 x 1 x 1 9 x x 0 x y 4 Vậy hệ có nghiệm x ; y 1;4 Cách 2: y 0 x Điều kiện: y 0; x nên x x 3xy x Vì Mặt khác, 3xy 4 x x x y y 1 3x a , b 1 Đặt a y ; b 3x , 1 a 4a b4 4b a b a b a b 0 * a b 2 a b a b2 Vì a , b nên a b * a b hay y 3x y 3x Từ ta có: 3x x 1 4 x x x x x x2 x 3x 3x 1 x 3x 1 x x 9 x x 0 x 3 x 1 x 1 x y 4 Vậy hệ có nghiệm x ; y 1;4 Cách 3: y 0 x Điều kiện: 1 3x 1 x y y * f t t 4t t 0; Xét hàm số f t 4t ; Bảng biến thiên f t 0 t 1 ; từ * ta có f 3x f y 0;1 ; đồng biến 1; Từ bảng biến thiên ta thấy: hàm số nghịch biến 0;1 1; ta có: + Nếu 3x y thuộc 3x y y 3x thay vào ta có: 3x x 1 4 x x x x x x x x 3 3x x 1 x 0 3x x x 1 x 1 y 4 9 x x 0 x x x 0;1 1; + Nếu 3x y không thuộc 3x y 3x y 0 0 x y 1 0 3x y Từ 3x y 1 Vậy hệ có nghiệm x 1 vô lý x ; y 1;4 Câu [DS12.C1.1.E03.c] Giải phương trình log ( x x 3) log ( x x 4), (x ) Lời giải x x x 7x Điều kiện 2 Viết lại phương trình dạng log ( x x 3) log ( x x 4) Đặt y log ( x x 4) Từ phương trình (1) ta có hệ: y y y x x 4 4 1 y y 5 1 y 5 5 x x 5 y y 4 1 f ( y ) hàm nghịch biến Hàm số (1) (2) Do phương trình (2) có nghiệm nghiệm Nhận thấy y 1 nghiệm x 1 y 1 x x 4 x x 0 x Với Vậy phương trình có nghiệm x x 1 Câu [DS12.C1.1.E03.c] Giải phương trình x x x x x x 2, (x ) Lời giải 3 Đặt u x 3; v x x Phương trình cho trở thành 3 u u v3 v Xét hàm số f (t ) t t Có f '(t ) t2 (t 1) 0, t f (u) f(v) u v Suy hàm số đồng biến Nên x 0 2 x x x x 3x 0 x Ta có x 0; x Vậy phương trình cho có nghiệm Câu [DS12.C1.1.E03.c] (HSG Tốn 12 – Phú n năm 1617) Tìm m để phương trình x m x 5m 15 x 0 có nghiệm Lời giải x m x 5m 15 x Xét phương trình (1) x 3 x 3 2 x m x 5m 15 x x x x m x (2) (3) x 3 (1), (2) x 4x m (4) f ( x) 2x Khi x 3 x Từ x2 5x 4 f '( x ) 2 x 5 Ta có Lập bảng biến thiên sau : -∞ x - f'(x) +∞ + f(x) f ( x) f (4) 2 lim f ( x) Vậy x 3 ; x Do hệ (3), (4) có nghiệm (tức ptđc có nghiệm) m 2 Câu [DS12.C1.1.E03.c] Giải bất phương trình x x x 1 Lời giải +) Điều kiện x 2 +) BPT x 1 x 2 3 x 1 x x Xét f t t 3t có f ' t 3t 0, t 3 x 2 x 1 x x x x Do hàm số đồng biến liên tục tập số thực f Suy x x 1 x f x 1 x x x 1 x x x x x 3 0 x 2 Câu [DS12.C1.1.E03.c] Giải hệ phương trình 3 x x x x 2 y 1 y y x, y 2 x y 2 x y Lời giải 3 x x x x 2 y 1 y y 1 x y x y 0 2 Hệ cho trở thành x x x x y 1 y y x y x y x x x y 1 y 1 Xét f t t t t f t 2t t Do t | t | t y 1 1 * t t2 t 1 t 2t t t t 1 t 1 t t 1 0 f t Suy hàm số đồng biến Do từ phương trình (*) ta có: x y vào phương trình (2) ta được: y 1 y y 1 y 0 y y y 0 y +) Với y Suy x y x Suy +) Với Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu x; y là: 2 ; 3 1; ; [DS12.C1.1.E03.c] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị nhỏ 121 A 2 a b c 14 ab bc ca biểu thức Lời giải a2 b2 c2 2 2 a b c a b c ab bc ca ab bc ca Ta có 121 A 2 a b c a b2 c Do 2 Đặt t a b c Vì a, b, c a b c 1 nên a , b , c 2 Suy t a b c a b c 1 Mặt khác 2 a b c a b c ab bc ca 3 a b c 1 t ;1 t a b c 3 Vậy Suy 121 1 f t ; t ;1 t 7(1 t ) 3 Xét hàm số 121 f ' t t 1 t 7 t f ' t 0 72t 98t 49 0 t 18 (loại) f t Lập BBT hàm số 324 1 f t f ; t ;1 18 3 Dựa vào BBT suy 324 1 A a ;b ;c đạt Vậy