D03 ứng dụng tính đơn điệu vào pt, bpt, hpt, bđt muc do 3

Câu [DS12.C1.1.E03.c] (HSG Toán  12 - Quảng Ngãi 1819) Giải hệ phương trình   x y   x   x  xy 5    x (4  y )    x  xy Lời giải  x    x  3xy 0 Điều kiện Từ x (4  y )    x  xy   y2  y   1  x2 x  *  2 t  f  t    t  t ,  t   ;    f  t     0, t    ta có  3 t Xét hàm số 2  ;   *  y     f t  Do từ x Suy đồng biến  x   x   x  5  ** x vào  1 ta  Thay x  **  g  x   3x   x   không nghiệm nên 2x  Ta có 10 g  x      0, x  , x  2 3x  2 x   x   Ta có: 2 7 7   ;    ;  g  x  Suy đồng biến  y Mà g  1  g   0  nên  ** có nghiệm   x; y  hệ  1;1 ,  Vậy nghiệm Câu  1 6;  6  y   x   x y 0    x  y   y  3  x  y  3x [DS12.C1.1.E03.c] Giải hệ phương trình: với x, y   Lời giải  y   x   x y 0  1    x  y   y  3  x  y  x   Giải hệ phương trình:        ìï x ³ - ïï ïí y ³ ïï ï x + y - 3x ³ * Điều kiện: ïỵ ìï a = x + ³ ìï x = a - ï Þ ïí í ïï b = y ³ ïï y = b ỵ - Đặt ïỵ ( 1) trở thành: ( b - 2) a - b ( a - 2) = Û ab ( b - a ) + ( b - a ) = Khi  Û ( b - a ) ( ab + 2) = Û a = b ( ab + > 0) Þ x +2 = y Û y = x +2 - Thay vào phương trình ( x +1 ( 2) ta phương trình: ( ) x + +1 = ( x - 1) + x - x + ( ) ( ) ) x +1 + ( x +1) +1 = ( x - 1) + ( x - 1) +1 ( ) Û ( 3) vơ nghiệm - Nếu x 0, " t ẻ [ 0; +Ơ ) [ 0;+Ơ ) ng bin trờn ộx = ị ( 3) Û f x +1 = f ( x - 1) Û x +1 = x - Û x - 3x = Û ê Þ x =3 ê x = ë (do x ³ ) ( x; y ) = ( 3;5) Vậy hệ có nghiệm Có: ( Câu 1+t , hàm số f ( t) ) [DS12.C1.1.E03.c] (HSG Toán 12 – Bến Tre năm 1819) Giải hệ phương trình  y   x   x y 0    x  y   y  3  x  y  3x    (1)  (2) Lời giải  x    y 0  x  y  x 0 ĐK:   a  x    x a    b y y b Đặt  , ( a 1, b 0) , ta  Khi phương trình (1) trở thành b   a  b  a   0  ab  b  a    b  a  0   b  a   ab   0  a b (do ab   ) nên PT (1)  x 1   x   y  x   y Thay vào phương trình (2), ta   x    x  1  x  x   x 1   x  1    x  1  f (t ) t   t Xét hàm số f t số   đồng biến    1   x  1   , ta có 1  (3) f '  t  1   t  t2 1 t2  x 1  x   x   x 1 x  x 1 (3)  f x   f  x  1  Ta có  x 1   x  3x 0  x 3 Với x 3  y 5 , ta thấy x 3, y 5 thỏa mãn điều kiện  0, t   , hàm x; y   3;5  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  Nhận xét: Ta biến đổi phương trình (1) theo hướng khác sau: y x   y x  (4) , ta có đặt y  a , a 1 thay vào (4), ta Từ PT(2), ta có y 3 , nên PT(1) Câu a x t  g  t  x  , từ suy x  Xét hàm số t  đồng biến  0;   , ta a  a  x hay y x  [DS12.C1.1.E03.c] (HSG Toán 12 – Bến Tre năm 1819) Giải hệ phương trình  y   x   x y 0    x  y   y  3  x  y  3x    (1)  (2) Lời giải  x    y 0  x  y  x 0 ĐK:   a  x   b y Đặt  , ( a 1, b 0) , ta b   a  b  a   0  ab  b  a    b  a  0   b  a   ab   0  a b (do ab   ) nên PT (1)  x 1    x a     y b Khi phương trình (1) trở thành  x   y  x   y Thay vào phương trình (2), ta   x    x  1  x  x   x 1   x  1    x  1  f (t ) t   t Xét hàm số f t số   đồng biến    1   x  1   , ta có 1  (3) f '  t  1   t  t2 1 t2  0, t   , hàm  x 1  x   x   x 1 x  x 1 (3)  f x   f  x  1  Ta có  x 1   x  3x 0  x 3 Với x 3  y 5 , ta thấy x 3, y 5 thỏa mãn điều kiện x; y   3;5  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  Nhận xét: Ta biến đổi phương trình (1) theo hướng khác sau: y x   y x  (4) , ta có đặt y  a , a 1 thay vào (4), ta Từ PT(2), ta có y 3 , nên PT(1) a x t  g  t  x  , từ suy x  Xét hàm số t  đồng biến  0;   , ta a  a  x hay y x   Câu   x y   x   x  xy 5    x   y     x  xy [DS12.C1.1.E03.c] Giải hệ phương trình  Lời giải  x y   x   x  xy 5  1    x   y     x  xy  2 Xét hệ phương trình   +) Điều kiện:  x     x  3xy 0 +) Với điều kiện  x     y   y  2   *  , từ   *   4  y  1 4  x x  3 t f ' t    0,t  f  t    t    t, t  t2  Suy +) Xét hàm số:   f  t  t2  t   ;   Do đó, hàm số đồng biến  Mặt khác f t y +) Thay Nhận thấy, 3x   Đặt    1    3  f  y   f    y    ;   x  x liên tục Do đó, từ 2x  7 x vào  1 , ta được:  x  3x    x  5  4 không nghiệm   , nên   viết lại: x 3   2x  g  x   3x   g'  x    x 3  3x   x 3  0 2x  7 , x  ,x  2x  3 10 x   3x  10     2 3x  2 x   x   x  3x   x   x  29  x  3x  x   3x    10  2x  7 2  , x  ,x  2 7 7  ;  ;     g  x  Suy đồng biến    g  1  g   0   có hai nghiệm x 1,x 6 Mà , nên  1  6;  x; y  1;1   +) Vậy nghiệm hệ phương trình   Câu [DS12.C1.1.E03.c] Giải phương trình  x3  x  x  12  x  3 x   x  Lời giải   x 3 Điều kiện x  0  x 3 Phương trình cho tương đương với  x    x  3x  3  x  3  x    x   1  x   1  x  1  x  3x  3  x  3  x   x   x  x 3  x   0    x  1  x 4   x    x  3x  3  x  3 x   x   *  Dễ thấy x 3 không nghiệm phương trình cho     x2  3x  x   x   *  x  x  1 x  Với , giải phương trình ta  x     x   1  x   x  1   f  x  4  f x  x  1 x  1   t  5t  f  t  1   0, t   f t  t   1;      t  Xét hàm số , có     1;  mà f  x    f x  hàm số đồng biến  x  0  x 4 9    x 2  x   x   x  x  19 0 Do x   x  9 x Vậy phương trình cho có nghiệm x 4 ; Suy Câu f t [DS12.C1.1.E03.c]  3x  1  y  y  3x  1(1)  xy 4 x   x  3(2) Giải hệ phương trình  Lời giải Cách 1:  y 0    x  Điều kiện:  1  3x   y  x  1  y    3x   y   x   y    Vì Từ x    3x   y   3x   y  4 3x   y 3x   y   0 3x   y   *  VP     3xy   x   2  4 y      3x   y  3x 3x x x  3x   y 0  y 3x  thay vào   ta có:  3x  x      3x  x   2 x x   x   x  x    3x  x   Từ  * 0 3x   y     x 3   3x  0     x 1  x 1 9 x  x  0    x   y 4 Vậy hệ có nghiệm  x ; y   1;4   Cách 2:  y 0   x   Điều kiện:  y 0; x  nên x   x    3xy   x   Vì Mặt khác, 3xy 4 x   x   x  y   y 1 3x    a , b  1 Đặt a  y ; b  3x  ,  1  a  4a b4  4b   a  b    a  b   a  b    0  *  a b   2   a  b  a  b2  Vì a , b  nên a  b   *  a b hay y  3x   y 3x  Từ  ta có:  3x  x  1 4 x   x   x  x   x    x2   x    3x       3x  1  x   3x 1  x    x   9 x  x  0   x 3     x 1  x 1    x   y 4 Vậy hệ có nghiệm  x ; y   1;4   Cách 3:  y 0    x  Điều kiện:  1   3x 1  x   y  y  * f  t  t  4t  t   0;     Xét hàm số f  t  4t  ; Bảng biến thiên f  t  0  t 1 ; từ  * ta có f   3x   f  y  0;1 ; đồng biến  1;  Từ bảng biến thiên ta thấy: hàm số nghịch biến  0;1  1;   ta có: + Nếu 3x  y thuộc 3x   y  y 3x  thay vào   ta có:  3x  x  1 4 x   x   x x   x   x   x     x 3  3x  x  1   x  0   3x  x        x 1  x 1  y 4 9 x  x  0  x  x      x    0;1  1;  + Nếu 3x  y không thuộc 3x y 3x   y  0  0  x  y  1 0 3x   y   Từ       3x  y  1  Vậy hệ có nghiệm  x  1  vô lý  x ; y   1;4  Câu [DS12.C1.1.E03.c] Giải phương trình log ( x  x  3) log ( x  x  4), (x  ) Lời giải  x  x    x  7x   Điều kiện  2 Viết lại phương trình dạng  log ( x  x  3) log ( x  x  4) Đặt y log ( x  x  4) Từ phương trình (1) ta có hệ: y y y  x  x  4  4  1 y y   5       1  y  5  5  x  x  5 y y  4 1 f ( y )          hàm nghịch biến Hàm số (1) (2) Do phương trình (2) có nghiệm nghiệm Nhận thấy y 1 nghiệm  x 1 y 1  x  x  4  x  x  0    x  Với Vậy phương trình có nghiệm x  x 1 Câu [DS12.C1.1.E03.c] Giải phương trình x   x   x  x   x  x  2, (x  ) Lời giải 3 Đặt u  x  3; v  x  x  Phương trình cho trở thành 3 u   u  v3   v Xét hàm số f (t )  t   t Có f '(t )  t2 (t  1)   0, t  f (u)  f(v)  u  v Suy hàm số đồng biến Nên  x 0 2 x   x  x   x  3x 0    x   Ta có x 0; x  Vậy phương trình cho có nghiệm Câu [DS12.C1.1.E03.c] (HSG Tốn 12 – Phú n năm 1617) Tìm m để phương trình x   m   x  5m  15   x 0 có nghiệm Lời giải x   m   x  5m  15  x  Xét phương trình (1)  x 3  x 3    2  x   m   x  5m  15 x  x   x  x  m  x   (2) (3)  x 3  (1), (2)   x  4x  m (4)  f ( x)  2x   Khi x 3 x   Từ  x2  5x  4 f '( x )  2 x  5  Ta có Lập bảng biến thiên sau : -∞ x - f'(x) +∞ + f(x) f ( x)  f (4) 2 lim f ( x)  Vậy x 3 ; x   Do hệ (3), (4) có nghiệm (tức ptđc có nghiệm) m 2 Câu [DS12.C1.1.E03.c] Giải bất phương trình x  x  x  1 Lời giải +) Điều kiện x 2 +) BPT   x 1  x  2  3  x 1  x    x   Xét f  t  t  3t có f '  t  3t   0, t  3 x  2 x  1  x    x    x  x   Do hàm số đồng biến liên tục tập số thực f Suy  x  x   1  x    f  x    1  x    x    x  1  x    x     x    x  x  3 0  x 2 Câu [DS12.C1.1.E03.c] Giải hệ phương trình 3 x  x   x x  2  y  1 y  y   x, y     2  x  y 2 x  y  Lời giải 3 x  x   x x  2  y 1 y  y   1  x  y  x  y  0  2 Hệ cho trở thành   x  x   x x    y  1 y  y   x  y  x  y   x  x x   y  1   y  1 Xét f  t  t  t t  f  t  2t  t    Do t  | t | t  y  1 1  *  t   t2 t 1  t   2t t   t t 1   t 1  t t 1  0  f t Suy hàm số đồng biến  Do từ phương trình (*) ta có: x  y  vào phương trình (2) ta được:  y  1  y   y  1  y  0  y   y  y  0    y  +) Với y  Suy x  y x Suy +) Với Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu  x; y  là: 2 ;   3   1;   ;  [DS12.C1.1.E03.c] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c 1 Tìm giá trị nhỏ 121 A 2  a  b  c 14  ab  bc  ca  biểu thức Lời giải   a2  b2  c2  2 2  a  b  c  a  b  c   ab  bc  ca   ab  bc  ca  Ta có 121 A  2 a  b  c   a  b2  c  Do 2 Đặt t a  b  c   Vì a, b, c  a  b  c 1 nên  a  ,  b  ,  c  2 Suy t a  b  c  a  b  c 1 Mặt khác 2  a  b  c  a  b  c   ab  bc  ca  3  a  b  c  1  t   ;1 t a  b  c  3  Vậy Suy 121 1  f  t   ; t   ;1 t 7(1  t ) 3  Xét hàm số 121 f '  t    t 1 t  7 t  f '  t  0  72t  98t  49 0  t 18 (loại) f  t Lập BBT hàm số   324 1  f t f    ; t   ;1  18  3  Dựa vào BBT suy 324 1 A  a  ;b  ;c  đạt Vậy