Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 16 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Bài Một hàng vải gồm 99 thẳng hàng đánh số theo thứ tự từ đến 99 Ban đầu có ong đậu để hút mật hoa Sau đó, có hai ong bay sang hai bên cạnh để tìm hút mật theo hai chiều ngược Hỏi sau số giờ, có hay khơng trường hợp mà a) Khơng có ong có thứ tự chẵn b) Có 50 ong cuối Hướng dẫn giải Ta gán cho ong có thẻ ghi số thứ tự S n Gọi tổng số ghi thẻ tất ong thứ n Vì có hai ong S n bay sang hai bên cạnh theo hai chiều ngược nên không thay đổi S n S 1 1 99 50.99 Vậy S n a) Vì có lẻ 99 ong nên khơng ong có thứ tự chẵn tổng 99 số lẻ, tức S n số lẻ, mâu thuẫn Vậy trường hợp không xảy S n 99.50, b) Nếu có 50 ong cuối mâu thuẫn Vậy trường hợp không xảy Bài Cho 100 số tự nhiên khơng lớn 100 có tổng 200 Chứng minh từ số chọn số số có tổng 100 Hướng dẫn giải Nếu tất số tất số Khi ta lấy 50 số có tổng 100 Giả sử a1 a2 ta xét 100 số có dạng a1 , a2 , a1 a2 , a1 a2 a3 , , a1 a2 a99 200 Nếu có số chia hết cho 100 số 100 số bé 200 Nếu khơng có số chia hết cho 100 100 số phải có hai số đồng dư phép chia cho 100 (vì số dư nhận giá trị từ đến 99) suy hiệu chúng chia hết cho 100 hiệu hai số tổng cần tìm Cho n số nguyên dương giả sử Bài a1 ; a2 ; ; a2016 2016 A 1; 2;3; ; 2016 a ; a ; ; a2016 thỏa mãn Hỏi có hoán vị Hướng dẫn giải k 1; 2;3; ; 2016 b max ak ; k ; ck min ak ; k Với , kí hiệu k 2016 Khi k 1 2016 2016 2016 k 1 k 1 k 1 ak k bk ck bk c k 2016 Chú ý 2016 c k k 1 b k 2 1009 1010 1011 2016 1008.3025 k 1 2 1008 1008.1009 k 1 hoán vị tập hợp ak k 20162 2n Suy a k k 1 k 1008 3025 1009 2016 2 Đẳng thức xảy điều kiện sau thỏa mãn: + Với k 1; 2;3; ;1008 + Với k 1009;1010;1011; ; 2016 1008! Vậy có tất ak 1009;1010;1011; ; 2016 ak 1; 2;3; ;1008 hoán vị thỏa mãn Bài Một bảng vng kích thước 3x3 gọi bảng “ 2015 hoàn thiện” tất điền số nguyên không âm (không thiết phân biệt) cho tổng số hàng cột 2015 Hỏi có tất bảng “ 2015 hoàn thiện” cho số nhỏ số đường chéo nằm vị trí tâm bảng? (Đường chéo bảng vng đường nối vng góc bên trái với vng góc bên phải) Hướng dẫn giải m Ta giải tốn trường hợp lập bảng “ hồn thiện” kích thước 3x3 Gọi x, y, z , t số điền đường chéo vị trí dịng cột 2, số cịn lại xác định hình bên x t m x t mz x y t y x t z y t z m y t z Vì số điền không âm y số nhỏ số đường chéo nên điều kiện sau phải thỏa: x, y, z, t 0; x t m; x t z; z y t m; x y t m z; y min x, y, z Các điều kiện rút gọn lại thành: y min x, y, z ; x t m; z y t * Khi y 2 y t z x y t z x t m y; y t z; x y t z; x t theo thứ tự tăng dần xác định Ta thấy bốn số không âm * tương ứng với cách lập bảng “ m hoàn thiện” Do vậy, số cách lập số x, y, z , t thỏa mãn Cm 4 Áp dụng với m 2015 kết C2019 Bài Có n học sinh ( n 2) đứng thành hàng dọc, lần thầy giáo thổi cịi có học sinh đổi chỗ cho Hỏi sau 2015 lần thầy giáo thổi cịi, ta thấy tất học sinh đứng trở lại vị trí ban đầu hay khơng? Đánh số từ đến n cho bạn học sinh hàng dọc lúc đầu Ký hiệu Pn tập hoán vị 1; 2; ; n Gọi 1 , , , n Hướng dẫn giải 1, 2,, n Cặp (i , j ) gọi nghịch hoán vị i j i j f thu từ cách đổi chỗ hai vị trí kề i , i 1 giữ Xét ánh xạ f i : Pn Pn mà i ngun vị trí cịn lại * f : P Pn Cho i, j N , i j n Xét ánh xạ ij n fij f j 1of j 2of j 3o of i 2 ofi 1of i o of j 3of j 2of j 1 2 j i f i , j Là hợp thành ánh xạ Dễ thấy ij thu từ cách đổi vị trí giữ ngun vị trí cịn lại T Gọi số nghịch hoán vị T ( π ) −1 n ế u( π ( i ) ; π ( i+1 )) ng hịc h t hế T f Ta có i T ( π ) +1 n ế u ( π (i ) ; π ( i+1 ) ) k hô ng l ng hị c h t hế { Do T fi T 1 mod Từ (1) (2) suy T fij (2) T 1 mod (3) Giả sử k thứ tự n học sinh sau lần thổi còi thứ k thầy giáo fij k Ta có k Pn k 1 với i j n T k 1 T k 1 mod Theo (3) ta có T k T k k mod T 0) Do (vì Nếu k lẻ T ( π k ) ≢ 0(mod 2) k Vậy sau 2015 lần thổi còi, tất học sinh đứng trở lại vị trí ban đầu Bài Tồn hay không tập hợp gồm 2014 số nguyên dương với tính chất: loại số khỏi tập hợp tập hợp 2013 số cịn lại chia thành hai tập với tổng số (thuộc tập đó) nhau? Hướng dẫn giải Giả sử tồn tập F với tính chất cho a F ’ | a F 2 Nếu số a F chẵn, ta xét tập Hiển nhiên tập F ’ có tính chất nêu tốn Do ta coi tồn tập F thoả mãn tốn F chứa số lẻ a Gọi a1 , a2 , , a2014 phần tử tập F Đặt S a1 a2 a2014 F \ Theo giả thiết, i (1 i 2014) tập chia thành hai tập với tổng số nên F \ tổng S – tập số chẵn với i 1,, 2014 2014 Từ suy ra: S a 2013S i i 1 số chẵn S số chẵn Khi S – a số lẻ mâu thuẫn với S – số chẵn với i 1,, 2014 Vậy khơng tồn tập hợp với tính chất nêu Bài Cho 100 số tự nhiên không lớn 100 có tổng 200 Chứng minh từ số chọn số số có tổng 100 Hướng dẫn giải Nếu tất số tất số Khi ta lấy 50 số có tổng 100 Giả sử a1 a2 ta xét 100 số có dạng: a1 , a2 , a1 a2 , a1 a2 a3 , , a1 a2 a99 200 Nếu có số chia hết cho 100 số 100 số bé 200 Nếu khơng có số chia hết cho 100 100 số phải có hai số đồng dư phép chia cho 100 (vì số dư nhận giá trị từ đến 99) suy hiệu chúng chia hết cho 100 hiệu hai số tổng cần tìm Bài Cho n số nguyên dương không nhỏ Các điểm A1 ; A2 ; ; An thuộc đường trịn Có tối đa tam giác nhọn có đỉnh số đỉnh Cho n số nguyên dương không nhỏ Các điểm A1 ; A2 ; ; An thuộc đường trịn Có tối đa tam giác nhọn có đỉnh số đỉnh Hướng dẫn giải A;A AA A Với hai điểm i j ta kí hiệu i j cung Ai kết thúc j theo chiều kim đồng hồ kí m Ai Aj m Ai Aj 180o hiệu số đo cung Một cung gọi tù m Ai Aj m Aj Ai 360o Nhận thấy nên có hai cung tù Kí hiệu xs số cung tù mà hai đầu mút có s –1 điểm s Nếu xs xn s n i có cung Ai Ai s ; Ai s Ai tù, tổng theo i ta n Đẳng thức xảy khơng có đường kính Ai Ai s Nhận thấy số tam giác không nhọn (tù vng) số góc khơng nhọn Mỗi cung tù chứa s –1 điểm có n – s –1 tam giác không nhọn (Dùng hai điểm đầu mút cung kết hợp với điểm cung) Số lượng tam giác không nhọn là: N x1 n x2 n xn 1.2 xn Theo bất đẳng thức ta đánh giá được: n n n n 1 n 3 N s 1 xn s xs n s 1 n lẻ n 2 n n n n n n 2 N s 1 xn s xs x n n 2 2 s 1 n chẵn Dấu xảy BĐT không tồn điểm đối xứng qua tâm đường tròn n n 1 n Cn3 Số lượng tam giác có đỉnh điểm Vậy số tam giác nhọn là: n n 1 n n n 1 n 3 n 1 n n 1 24 n lẻ n n 1 n n n n 2 n n 2 24 Và n chẵn Bài Một khu rừng có dạng hình vng với chiều dài 1km Trong khu rừng có 4000 thơng, to có đường kính 0,5 m Chứng minh khu rừng có nhât 560 mảnh đất, diện tích mảnh 200m khơng có thơng +) Vì 1km 1000m 48.20 47.0, 2.5,9 1000m 95.10 94.0,52 2.0,56 +) Chia cạnh hình vng thành 48 đoạn, đoạn dài 20m, khoảng cách đoạn 0, 6m, hai đầu hai đoạn đoạn dài 5,9m Chia cạnh lại thành 95 đoạn, đoạn dài 10m, khoảng cách đoạn 0,52m, hai đầu hai đoạn đoạn dài 0,56m Như có tất 48.95 4560 mảnh có diện tích 200m Vì có 4000 đường kính khơng q 0,5m nên cịn 560 mảnh (mỗi mảnh có diện tích 200m Bài 10 Có cách phân tích thành tích số nguyên dương, biết cách phân tích mà nhân tử khác thứ tự tính lần? Hướng dẫn giải , bi N a1 a2 a3 9 a b a b a b b b b 9 Xét phân tích với Với a1 , a1 9 , có 10 a1 cách chọn số a2 , để a1 a2 9 1 2 3 từ chọn a3 9 a1 a2 a ,a ,a Vậy số cách chọn 10 55 cách số cách chọn a1 , a2 , a3 b1 , b2 , b3 55.55 cách Bây giờ, ta tính số cách phân tích bị trùng +) TH1: thừa số nhau: 69 23.33 23.33 23.33 +) TH2: thừa số nhau: 69 2a.3b 2a.3b 29 a.39 2b a; b 3;3 a 0;1; 2;3; 4 ; b 0;1; 2;3; 4 a; b 3;3 Khi số cặp a; b 5.5 –1 24, 24 cặp cho ta 24 cách phân tích thỏa mãn yêu cầu Tuy nhiên, cặp cho lần đếm trình đếm mà ta vừa nêu +) TH3: thừa số khác nhau, phân tích bị đếm trùng 3! 6 lần 24 55 55 24 3 1 : 517 Vậy số cách phân tích là: cách Bài 11 Trên tờ giấy có kẻ lưới ô vuông, người ta vẽ đường gấp khúc khép kín với đỉnh mút lưới tất đoạn có độ dài Chứng minh rằng, số đoạn đường gấp khúc khép kín số chẵn Hướng dẫn giải Giả sử A1 A2 An A1 đường gấp khúc cho Ta lấy hệ trục tọa độ vng góc đường biên lưới x,y chiều rộng ô làm đơn vị Khi tọa độ i i đỉnh Ai nguyên với i 1, 2, , n Đặt X i xi 1 xi ; Yi yi 1 yi ; X n x1 xn ; Yn y1 yn Ta có X X X n 0 1 2 3 Y1 Y2 Yn 0 X 12 Y12 X 22 Y22 X n2 Yn2 C 2 Để ý X Y chia cho dư X , Y chẵn, dư có số lẻ dư hai số lẻ Có thể giả thiết X , X , , X n , Y1 , Y2 , , Yn có số lẻ, nói cách khác ta chia tất số cho ước chung chúng xét số nhận Như ta có hai trường hợp xảy ra: 1) C chia cho dư 2, với i X i Yi lẻ nên từ điều kiện (1) suy n chẵn 2) C chia dư 1, với i X i Yi số lẻ, số chẵn Từ (1) suy số cặp X i ; Yi X i ; Yi mà i lẻ số chẵn nên số cặp mà X i lẻ số chẵn Từ (2) suy số cặp X i ; Yi chẵn Như trường hợp n chẵn Bài 12 Cho k số nguyên dương a1 , a2 , , ak đôi nguyên tố số nguyên dương n Tìm số nguyên dương a n cho a chia hết với i 1, 2, , k Hướng dẫn giải * A a | a n, a ai Với i 1, 2, , k ta đặt i Suy số số thỏa mãn yêu cầu toán là: k k Ai Ai i 1 Dễ thấy i 1 1i1 i2 k Ai Ai Ai , 2ai , , mi k Ai Ai Ai ( 1) k 1 Ai 1i1 i2 i3 k i 1 n Ai mi m a n mi 1 với mi thỏa mãn i i * n Ai Aj a * | a n, a a j Ai Aj a j ( a , a ) 1 Ta có (Do i j ) Hồn tồn tương tự ta có: n A1 A2 Ak a * | a n, a a1a2 ak A1 A2 Ak a1a2 ak Vậy k k Ai Ai i 1 i 1 Ai Ai 1i1 i2 k k n i 1 n 1i i k ai 2 k Ai Ai Ai ( 1) k 1 Ai 1i1 i2 i3 k n 1i i i k ai 3 i 1 n k 1 ( 1) a1a2 an a , a , , an tập 1, 2, , n Với số nguyên dương n có tồn hay khơng hốn vị thỏa mãn: số 0; a1 ; a1 a2 ; a1 a2 a3 ; ; a1 a2 an khơng có hai số có số dư chia Bài 13 cho n Hướng dẫn giải n a1 a2 an 1 n n 1 đồng dư với modun n Vậy với n chẵn + Nếu n chẵn ta có khơng tồn hốn vị thỏa mãn yêu cầu toán 1; 2; ; n thỏa mãn yêu cầu toán Đặt n 2k , k + Với n lẻ ta xây dựng hoán vị a2i 2i , i a k i 1; k ;3; k 2;5; k 3; ; 2; k - Xét dãy hay 2i 1 (2) 1,3, , k 2, 4, , 2k Ta có k số lẻ k số chẵn xếp xen kẽ với chữ số lẻ xếp theo thứ tự tăng dần số chẵn xếp theo thứ tự giảm dần, dễ thấy số tập xuất dãy (2) lần * - Tìm số dư bm a1 a2 am , m chia cho n 2k Với m lẻ ta có a1 1 mod 2k a2 a3 a4 a5 a2 k a2k 1 2k 1 mod 2k , m 1 bm a1 a2 a3 am am mod 2k 1 b1 , b3 , , b2 k 1 1, 2, , k 1 mod 2k Với m chẵn ta có a1 a2 a3 a4 a2 k a2 k 2k 1 mod 2k bm m mod 2k b2 , b4 , , b2 k 1, 2, , k mod 2k 1; 2; , n thỏa mãn yêu cầu tốn Vậy với n lẻ ln tồn hốn vị 1; 2;3 Bài 14 Cho số 1, 2, , 2k 1 1) Chúng ta thực phép biến đổi số sau: thay hai số chúng, ví dụ a b, a b a b Hỏi nhận số sau: hạn phép biến đổi từ số ban đầu a1; b1; c1 thỏa mãn a1 b1 c1 10 sau thực hữu 1; 2;3 ? 2) Nếu thực phép biến đổi số sau: thay hai số chúng, ví dụ a b, a b a b Hỏi nhận số 28; 4; 2014 sau thực hữu hạn phép biến đổi từ số ban đầu 1; 2;3 Hướng dẫn giải 1; 2;3 3; 1;3 3; 2; 3; 2; 7; 2; 1 a1; b1; c1 Ta thực theo cấu hình sau a b1 c1 10 Dễ thấy: Trong cấu hình ta ln có: Tổng bình phương số không đổi 2 2 2 Lại có: 28 2014 Vậy câu trả lời phủ định Bài 15 Lấy ngẫu nhiên 498 số nguyên dương không vượt 1000 Chứng minh có số có tổng chia hết cho 111 Hướng dẫn giải S 1, 2, ,1000 A 1000 , B 111; 222;;999 Xét tập ta phân hoạch S sau: T S \ AUB Và chia tập thành tập có phần tử mà tổng 999 sau: T1 1;998 , T2 2;997 , T3 3;996 , , T495 499;500 Như S chia thành 497 tập con, 498 số chọn ngẫu nhiên phải có số rơi vào tập hợp Hai số chia hết cho 111 có tổng 999 nên tổng chúng chia hết cho 111 k n k 1 m Bài 16 Cho m, n, k số nguyên dương thoả mãn m Xét tập hợp S 1, 2, , n Gọi X tập hợp tất tập A S thoả mãn đồng thời hai tính chất sau: A k (i) ; a j m, ai , a j A, i j; i, j 1, k (ii) Hãy xác định số phần tử tập hợp X Hướng dẫn giải A X , A a1 , a2 , , ak a1 a2 ak n; a j m, 1 j i k Giả sử với b a1 , b2 a2 m, , bi ai i 1 m, , bk ak k 1 m Đặt b1 b2 bk n k 1 m a1 a2 ak n; a j m, 1 j i k Vì nên B b1 , b2 , , bk 1, 2, , n k 1 m Suy tập tập có k phần tử tập Gọi Y tập tất 1, 2, , n k 1 m tập có k phần tử tập hợp Khi ánh xạ f :X Y A B Khi f song ánh Thật A , A X , A1 A2 B1 , B2 Y , B1 B2 f A1 f A2 ● f đơn ánh: Vì với B b1 , b2 , , bk Y ● f toàn ánh: Giả sử A b1 , b2 m, , bk k 1 m a1 , a2 , , ak a a bi 1 im bi i 1 m m Đặt Ta có i 1 i nên A X f A B X Y Cnk k 1 m Vì ta có ■ m Bài 17 Chứng minh số tự nhiên không chia hết cho , cho , cho m ước m số có chữ số dạng 11 Hướng dẫn giải 10 m 99 0 mod m m, m,5 1 m,10 1 E m cs Vì nên từ theo ta có Nhưng lại m m,3 1 nên m,9 1 , 10 11 0 mod m m cs ■ Bài 18 Hội khỏe Phù Đổng năm 2014 có tổ chức thi đấu mơn thể thao chạy 100m, nhảy xa, nhảy cao, bắn cung quy định điều kiện cho đội tham gia sau: Mỗi vận động viên đội thi đấu mơn thể thao Mỗi đội lựa chọn số vận động viên cho môn tùy ý (nhưng tổng số vận động viên 20 ) Tại lễ khai mạc, đội xếp thành hàng dọc, vận động viên chạy 100m cầm cờ đỏ đứng đầu, đến vận động viên nhảy xa cầm cờ vàng đến vận động viên nhảy cao cầm cờ xanh cuối vận động viên bắn cung cầm cờ tím Giả sử số đội tham dự đủ lớn, hỏi có tối đa loại hàng dọc (phân biệt theo độ dài màu hàng) Hướng dẫn giải Bài giải theo phương pháp song ánh để tính số phần tử tập hợp kết hợp với kỹ thuật dùng dãy nhị phân 0 a, b, c, d 20 Ta thấy hàng tương ứng với số (a, b, c, d) với a b c d 20 để số lượng vận động viên thi đấu môn chạy 100m, nhẩy xa, nhẩy cao, bắn cung tương ứng Với số ta đặt tương ứng với dãy nhị phân 23 101 101 101 a phân khác có tối đa C b 23 c 1771 d Dễ thấy tương ứng song ánh có loại hàng dọc khác C 23 dãy nhị Bài 19 Lấy điểm tùy ý cho điểm thẳng hàng mặt phẳng Khi dùng hai màu để tơ điểm nên theo nguyên lý Dirichlet phải tồn ba điểm số màu Giả sử điểm A, B, C màu đỏ Gọi G trọng tâm tam giác ABC Hướng dẫn giải Nếu G có màu đỏ ta tam giác có đỉnh trọng tâm màu đỏ Nếu G có màu xanh Kéo dài GA, GB, GC đoạn AA ', BB ', CC ' cho AA ' 3GA, BB ' 3GB, CC ' 3GC Gọi M , N , P tương ứng trung điểm BC , CA, AB AA ' 3GA 6GM , suy AA ' 2 AM Tương tự BB ' 2 BN , CC ' 2CP Do tam giác A ' BC , B ' CA, C ' AB tương ứng nhận A, B, C làm trọng tâm Mặt khác ta có tam giác ABC , A ' B ' C ' có trọng tâm G Có hai trường hợp xảy a) Nếu A ', B ', C ' có màu xanh, tam giác A ' B ' C ' trọng tâm G có màu xanh b) Nếu điểm A ', B ', C ' màu đỏ Không giảm tổng quát, giả sử A ' đỏ Khi tam giác A ' BC trọng tâm A có màu đỏ Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com A' A N P G B C M C' B' Bài 20 Có 1000 học sinh gồm 499 học sinh nam 501 học sinh nữ xếp thành 10 hàng dọc, hàng 100 học sinh Người ta muốn chọn từ 1000 học sinh nhóm học sinh, số học sinh nữ chọn lẻ thoả mãn điều kiện sau đây: học sinh chọn từ hàng khác có cặp học sinh có thứ tự đứng hàng (tính từ người đứng hàng đó) Chứng minh số cách chọn nhóm số lẻ Hướng dẫn giải Gọi nhóm học sinh lấy từ hai hàng thỏa mãn yêu cầu toán đội Đặt S { | đội}, O { S | có số lẻ học sinh nữ}, E { S | có số chẵn học sinh nữ} Ta cần chứng minh | O | lẻ f ( A) g ( ) S , A A Với tập ta định nghĩa , g ( ) số học sinh nữ Vì O E O E S nên f ( S ) f (O) f ( E ) Hơn f ( E ) chẵn, suy f ( S ) f (O ) (mod 2) Mặt khác, xét học sinh nữ Để tạo thành đội, học sinh bắt cặp với học sinh khác hàng 99 cách, sau tìm học sinh khác hàng khác cách Suy ra, học sinh nữ thành viên 99.9 891 đội Có nghĩa học sinh nữ tính 891 lần f ( S ) Vì ta có 501 học sinh nữ nên f ( S ) 891.501 1 (mod 2) Vì O chứa số số lẻ học sinh nữ nên f (O) | O | (mod 2) Suy | O | f (O) f ( S ) 1 (mod 2) Như số cách chọn đội số lẻ Bài 21 Trên bảng có số nguyên Người ta ghi nhớ chữ số cuối số này, sau xố cộng 2014 thêm vào với số lại bảng lần chữ số vừa xoá Ban đầu có số Hỏi hay khơng sau số lần thực thế ta thu số 2014 ? Hướng dẫn giải N 10a b b 9 Giả sử số có bảng Khi số nhận sau phép biến đổi N a 5b Ta thấy N N 49a Như N 7 N 7 2014 2014 Do 7 , cịn 2014 khơng chia hết qua phép biến đổi cho từ thu 2014 Bài 22 Các số nguyên dương 1, 2,3, , 2014 xếp hàng theo thứ tự Ta thực quy tắc đổi chỗ số sau: số k ta đổi k số theo thứ tự ngược lại Chứng minh sau số hữu hạn lần thực quy tắc số xuất vị trí Hướng dẫn giải Giả sử k ,1 k 2014 số lớn xuất vị trí tất trình đổi chỗ Giả sử số k xuất lần thứ h Khi lần thực sau lần thứ h số k giữ ngun vị trí Trong q trình đổi chỗ sau ta gọi k1 số lớn xuất vị trí Giả sử số k1 xuất lần thứ h1 Khi sau lần thứ h1 số k1 giữ ngun vị trí,…cứ tiếp tục sau số hữu hạn bước phải dừng lại Khi không thực việc thực quy tắc đổi chỗ toán tức số vị trí số Bài toán chứng minh Bài 23 Cho p số nguyên tố lẻ Tìm số tập X tập {1;2; ;2p} biết X chứa p phần tử tổng tất phẩn tử X chia hết cho p Hướng dẫn giải A {c {1; 2; ; p}: x p} A C2pp Đặt A {x A : S ( x) j (mod p )} Và j với j 0,1, 2, , p A A0 A1 Ap A Aj i j Vì i nên: A A0 A1 Ap p p 2 p p Xét đa thức: P ( x) x x x , đa thức có p nghiệm phức { , , , } 1 p p p Và x 1 có p nghiệm phức phân biệt: , , , , , 1 , nên ta có: p x p ( x k ) k 1 Suy ra: 2p ( x k k 1 p p p k ) ( x ). ( x k1 k 1 p k p p k p ( x ) ( x ) ) ( x ) ( x 1) k 1 k 1 k 1 k k p So sánh hệ số x vế đẳng thức: p ( x k ) ( x p 1) k 1 ( 1) p S ( x ) x A ta có: S ( x) k x Ak ta có: Do p lẻ p A k k 0 k 0 p Do x nghiệm đa thức: Q( x) Ak x k A0 k 1 p p Vì x nghiệm đa thức: P ( x) x x x A A2 Ap A0 nên A1 A2 Ap A0 A A0 p p p C 2 A0 p 2 p số tập thỏa mãn toán Bài 24 Trên mặt phẳng cho 2015 điểm tô màu đỏ, 2016 điểm tô màu xanh ba điểm thẳng hàng Ta sử dụng k đường thẳng phân biệt không qua điểm cho để chia mặt phẳng thành nhiều phần cho phần khơng chứa điểm có hai màu Tìm giá trị nhỏ k Trên mặt phẳng cho 2015 điểm tô màu đỏ, 2016 điểm tơ màu xanh khơng có ba điểm thẳng hàng Ta sử dụng k đường thẳng phân biệt không qua điểm cho để chia mặt phẳng thành nhiều phần cho phần không chứa điểm có hai màu Tìm giá trị nhỏ k Hướng dẫn giải Trước hết ta trình bày ví dụ để thấy k 2015 đánh dấu Đánh dấu 2015 điểm màu đỏ 2015 điểm màu xanh xen kẽ lên đường tròn phân chia thành điểm màu xanh lại vị trí mặt phẳng Khi đường tròn 4030 cung tròn với điểm đầu điểm cuối cung có màu sắc khác Như u cầu tốn thực cung phải giao với số đường thẳng Mỗi đường thẳng phải có hai 4030 2015 điểm chung với cung trịn Do cần đường thẳng 2015 Ta cần phải chứng minh cần đường thẳng chia mặt phẳng chứa 2015 điểm tô màu đỏ 2016 điểm tô màu xanh thành phần cho phần không chứa điểm có hai màu Trước hết ta thấy với hai điểm A, B màu ta dùng hai đường thẳng phân biệt để tách hai điểm khỏi điểm lại Cụ thể ta lấy hai đường thẳng song song với AB, nằm khác phía so với AB đủ gần để hai đường thẳng có hai điểm A B Gọi đường thẳng qua hai điểm A, B 4031 điểm cho cho điểm cịn lại nằm phía so với đường thẳng Trường hợp 1: Hai điểm A, B khác màu giả sử A có màu đỏ Ta dùng đường thẳng để tách điểm A khỏi điểm cịn lại Sau với 2014 điểm màu đỏ lại ta ghép thành 1007 cặp tách riêng cặp điểm với điểm khác hai đường thẳng song song Do ta dùng hết 1007.2 2015 đường thẳng để thực yêu cầu toán Trường hợp : Hai điểm A, B màu xanh Ta dùng đường thẳng song song với AB để tách hai điểm A, B khỏi điểm cịn lại Sau với 2014 điểm màu xanh lại ta ghép thành 1007 cặp tách riêng cặp điểm với điểm khác hai đường thẳng song song Do ta dùng hết 1007.2 2015 đường thẳng để thực yêu cầu toán Trường hợp : Hai điểm A, B màu đỏ Ta dùng đường thẳng song song với AB để tách hai điểm A, B khỏi điểm cịn lại Sau với 2012 điểm màu đỏ 2013 điểm màu đỏ lại ghép thành 1006 cặp tách riêng cặp điểm với điểm khác hai đường thẳng song song Điểm màu đỏ lại ta ghép với điểm A dùng hai đường thẳng song song để tách rời hai điểm với điểm cịn lại Do ta dùng hết 1006.2 2015 đường thẳng để thực yêu cầu toán Vậy ta có giá trị nhỏ k 2015 Bài 25 Các số nguyên dương 1, 2,3, , 2014 xếp hàng theo thứ tự Ta thực quy tắc đổi chỗ số sau: số k ta đổi k số theo thứ tự ngược lại Chứng minh sau số hữu hạn lần thực quy tắc số xuất vị trí Hướng dẫn giải k ,1 k 2014 Giả sử số lớn xuất vị trí tất trình đổi chỗ Giả sử số k xuất lần thứ h Khi lần thực sau lần thứ h số k giữ ngun vị trí Trong q trình đổi chỗ sau ta gọi k1 số lớn xuất vị trí Giả sử số k1 xuất lần thứ h1 Khi sau lần thứ h1 số k1 giữ nguyên vị trí,…cứ tiếp tục sau số hữu hạn bước phải dừng lại Khi không thực việc thực quy tắc đổi chỗ toán tức số vị trí số Bài toán chứng minh Bài 26 Trong mặt phẳng cho điểm tùy ý cho khơng có ba điểm thẳng hàng Người ta tô đoạn thẳng tạo từ điểm hai màu đen trắng Chứng minh tồn tam giác có cạnh tơ màu Hướng dẫn giải B , C , D , E , F Từ điểm A ta tạo với điểm đoạn thẳng AB, AC , AD, AE , AF Vì tơ màu đen trắng nên đoạn thẳng phải tồn đọan thẳng tơ màu Khơng tính tổng qt, ta giả sử AB, AC , AD tô màu đen Nếu có mơt ba đọan thằng BC , CD, DB tơ màu đen Khơng tính tổng qt giả sử BC tơ màu đen ABC tam giác thỏa yêu cầu đề Nếu BC , CD, DB tơ màu trắng BCD tam giác thỏa yêu cầu đề Vậy ta giải tốn Bài 27 Cho 17 điểm điểm khơng thẳng hàng Mỗi đoạn thẳng nối điểm chúng tô màu ba loại màu: đỏ, xanh vàng Chứng minh rằng: tồn tam giác đồng màu (tam giác có ba cạnh tơ màu) Hướng dẫn giải 17 Từ điểm A thuộc điểm cho, ta vẽ 16 đoạn thẳng đoạn thẳng đem tơ màu => có đoạn thẳng có màu AA1 , AA2 , AA3 , AA4 , AA5, AA6 Giả sử đoạn thẳng có màu đỏ Từ điểm A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 có đoạn thẳng tơ màu đỏ có tam giác đồng màu đỏ Ngược lại: đoạn thẳng tô màu xanh vàng Từ đỉnh A1 , ta vẽ đoạn thẳng tô hai màu xanh vàng => có đoạn thẳng màu Giả sử đoạn thẳng màu xanh A1 B1 , A1 B2 A1 B3 Nếu ba điểm B1 , B2 , B3 có đoạn thẳng tơ màu xanh có tam giác đồng màu Nếu đoạn thẳng từ ba điểm B1 , B2 , B3 tô màu vàng ta có tam giác đồng màu H có n đỉnh ( n 6 ) nội tiếp đường tròn tâm O Xét tam giác có Bài 28 Cho đa giác H Tìm n biết số tam giác đó, số tam giác mà ba cạnh đỉnh lấy từ n đỉnh đa giác H lần số hình chữ nhật có bốn đỉnh n đỉnh đa giác không cạnh đa giác H Hướng dẫn giải H n n – Số tam giác có cạnh cạnh hình H n Số tam giác có cạnh cạnh hình H có ba đỉnh n đỉnh đa giác H Số tam giác có ba cạnh khơng cạnh đa giác Cn n(n 4) n Cn n 3n Một hình chữ nhật nội tiếp đường trịn có hai đường chéo cắt tâm O Hai đường chéo qua C n2 H tạo thành hình chữ nhật n số chẵn số hình chữ nhật tâm O hình Cn3 n 3n 5C n2 4n 51n 110 0 n 10 Ta có: Vậy n 10 Bài 29 Trên vng bảng 7 ô, ta đặt châu chấu Giả sử sau tiếng gõ, châu chấu nhảy sang ô bên cạnh hàng cột Chứng minh sau tiếng gõ có hai Hướng dẫn giải Ta tô màu trắng, đen cho ô bảng bàn cờ vua (tức hai ô gần nằm hàng cột khác màu nhau) Do bàn cờ có số ô lẻ ( 49 ô) nên số ô trắng đen khác Ta giả sử có 25 trắng 24 đen Ban đầu có 49 châu chấu 25 ô trắng 24 đen Sau tiếng gõ, châu chấu ô bên cạnh tức có màu ngược với ban đầu nên 25 châu chấu đứng ô trắng nhảy qua 24 đen Do phải có châu chấu đậu vào x; y x, y Với Bài 30 Trên mặt phẳng toạ độ Đêcác Oxy, có châu chấu toạ độ N số nguyên dương cho trước, châu chấu nhảy từ điểm nguyên A đến điểm nguyên B độ dài AB N Hỏi châu chấu nhảy đến điểm nguyên sau hữu hạn bước nhảy không N 2025 ? Vì sao? Hướng dẫn giải Ta chứng minh với N 2025 câu trả lời khơng thể A x; y B z; t Giả sử châu chấu điểm nhảy đến điểm 2 x z y t 2025 Do yêu cầu đề nên 2025 chia hết 3, mà số phương chia cho dư nên x z 3 y t 3 Ta thấy x z mod 3 ; y t mod 3 Khi Trường hợp x, y3 Do ban đầu châu chấu đứng có tọa độ chia hết sau bước nhảy, nhảy đến có hồnh độ tung độ chia hết cho Như vậy, châu chấu nhảy đến điểm ngun mà có hồnh độ tung độ không chia hết cho Trường hợp x 3, y 3 x 3, y 3 x 3, y 3 Do ban đầu châu chấu đứng có hồnh độ tung độ khơng chia hết sau bước nhảy, nhảy đến có hồnh độ tung độ không chia hết cho Như vậy, châu chấu khơng thể nhảy đến điểm ngun mà có hồnh độ tung độ chia hết cho Bài 31 Cho số nguyên dương R bảng hình chữ nhật chia thành 20 15 ô vuông Những nước thực bảng sau: ta chuyển từ ô vuông đến ô vuông khoảng cách hai tâm hai vng R Bài toán đặt tìm dãy nước để chuyển từ ô sang ô kia, mà hai ô nằm hai góc kề bảng, hai góc nằm chiều dài bảng hình chữ nhật nói a) Bài tốn có giải không R chia hết cho chia hết cho 3? Tại sao? Bài tốn có giải không R 73 ? Tại sao? Hãy tìm dãy nước tốn giải b) Hướng dẫn giải 2 a) Giả sử lần di chuyển hình chữ nhật có hai cạnh m, n Do m n R Nếu R chia hết cho m, n chẵn lẻ Tô màu ô vuông bàn cờ sau: (0;0) (19;0) Như vậy, trắng di chuyển đến trắng, đen di chuyển đến đen Nhưng hai hai góc kề nhau( dọc theo chiều dài bảng hình chữ nhật) khác màu nên tốn khơng giải R chia hết cho 0; , bước tiếp Nếu R chia hết cho m, n chia hết cho Như ô có tọa độ 19;0 nên tốn theo chuyển đến có tọa độ số chia hết cho Nhưng ô cuối cần đến ô không giải a) Nếu R 73 ta có m 8; n 3 m 3; n 8 Từ ô bắt đầu, ta có nước đi: x; y đến x 8; y 3 x; y đến x 3; y 8 A: B: x; y đến x 8; y 3 x; y đến x 3; y C: D: x 8; y 3 nước âm theo dạng A; x 3; y 8 nước âm theo dạng B; Và ta xem nước x 8; y 3 nước âm theo dạng C; x 3; y 8 nước âm theo dạng D Giả sử ta thực dãy nước gồm a nước dạng A , b nước dạng B , c nước dạng C , d nước dạng D Bài tốn giải được, hệ phương trình sau có nghiệm: 8 a c b d 19 3 a c b d 0 Ta thấy nghiệm hệ a 5; b 1; c 3; d 2 Như vậy, toán giải dãy nước thực sau: a a c d a a c 0;0 8;3 16;6 8;9 11;1 19; 27;7 19;10 b c a d 16; 8;5 16;8 19;0