30 đề đề hsg toán 10 toàn quốc 2010 2018

TUYỂN CHỌN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 10 TỪ NĂM 2010 – 2018 A- PHẦN ĐỀ ĐỀ SỐ 01 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ không chuyên, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm)  x  y m   2 Cho hệ phương trình  x  y  x  y  m  (trong m tham số x y ẩn) a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A  xy   x  y   2011 Tìm tất giá trị m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lớn  x   3m  1 x  6m  0 Câu (1,5 điểm) Giải hệ phương trình  x  y  xy 1  2  x   y  4 Câu (1 điểm) Chứng minh x, y số thực dương 1 x  1 y    xy Câu (3,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm  trục hoành cho AMB 45 A  1;  B  4;3 Tìm tọa độ điểm M Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H Các đường thẳng AH, BH, CH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D, E, F (D khác A, E khác B, F D  2;1 E  3;  khác C) Hãy viết phương trình cạnh AC tam giác ABC; biết , ,  17  F ;  5  Cho tam giác ABC, có a BC , b CA , c  AB Gọi I, p tâm đường tròn nội tiếp, nửa chu vi tam giác ABC Chứng minh IA2 IB IC   2 c  p  a a  p  b b  p  c ĐỀ SỐ 02 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ THPT chuyên, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4,0 điểm)  xy  y  3x  y 0  x  xy  0 Giải hệ phương trình  2 2 Giải phương trình 18 x  16  x  x  7 x  x   x  x  Câu (1,0 điểm) Tìm tất ba số hữu tỷ dương p  m; n; p  m cho số 1 n np ; pm ; mn số nguyên Câu (2,0 điểm) a 2012 b 2012 c 2012  2010  2010  2011 2010 c a Giả sử a, b, c số thực dương thỏa mãn b Chứng minh tồn số tự nhiên n cho a n 3 b n 3 c n 3 2011 a n 2 b n 2 c n 2      n  n b n 1 c n 1 a n 1 2010 b n c a Cho a, b, c số thực dương Chứng minh với số tự nhiên m ta có bất đẳng thức: a m 3 b m3 c m3 a m2 b m2 c m 2    m  m  m b m1 c m1 a m1 b c a Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt điểm H Tiếp tuyến B, C đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt điểm T, đường thẳng TD EF cắt điểm S Gọi X, Y giao điểm đường thẳng EF với đường thẳng TB, TC; M trung điểm cạnh BC Chứng minh H, M tâm đường tròn nội tiếp DEF XTY Chứng minh đường thẳng SH qua trung điểm đoạn thẳng BC Câu (1,0 điểm) Kí hiệu  tập hợp số tự nhiên Giả sử f :    hàm số thỏa mãn điều kiện f  1  f  2011 f  m  2n   f  m   f  n  f  2 với m, n   Tính giá trị ĐỀ SỐ 03 (Đề thi HSG lớp 10, Hà Tĩnh, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 Giải phương trình:  x   3 x   x 3 2 Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện: a  2b  5c 0 Chứng minh phương trình ax  bx  c 0 có nghiệm Câu  x  xy  x  y 0  x  x y  3x  y 0 Giải hệ phương trình:  Câu A  1;3 B   5;  3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm , Xác định tọa độ điểm M   2MA  MB đường thẳng d: x  y  0 cho đạt giá trị nhỏ Câu Tam giác ABC có góc thỏa mãn hệ thức: cot A  cot C  cot B Xác định góc hai đường trung tuyến AA1 CC1 tam giác ABC  2 Tìm giá trị lớn góc B  2 Câu 1   1 Ba số dương a, b, c thỏa mãn: a b c Tìm giá trị lớn biểu thức: P 5a  2ab  2b  5b  2bc  2c  5c  2ca  2a ĐỀ SỐ 04 (Đề thi HSG lớp 10, TP Đà Nẵng, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (1,5 điểm) y Xác định tính chẵn – lẻ hàm số x  10  x x 10  x A  a; a  1 B  b; b   Cho nửa khoảng , Đặt C  A  B Với điều kiện số thực a b C đoạn? Tính độ dại đoạn C Câu (2,0 điểm) Tìm m để phương trình x  m  m  có bốn nghiệm phân biệt Giải biện luận (theo tham số m) bất phương trình:  m  1 x   m  x Câu (2,5 điểm) Giải phương trình x  x  2 x  x  y  x  y 5  x  y  x  y 1 Giải hệ phương trình  Câu (3,0 điểm)  Cho tam giác ABC có AB c , AC b BAC 60 Các điểm M, N xác định     MC  2MB NB  NA Tìm hệ thức liên hệ b c để AM CN vuông góc với Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA AB tam giác đó, lấy điểm A', B' C' Gọi S a , Sb , Sc S tương ứng diện tích tam giác AB'C', BC'A', CA'B' ABC Chứng minh bất đẳng thức S a  Sb  S c  S Dấu đẳng thức xảy nào? Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính R ( R  , R khơng đổi) Gọi A B điểm di động trục hoành trục tung cho đường thẳng AB ln tiếp xúc với đường trịn Hãy xác định tọa độ điểm A, B để tam giác OAB có diện tích nhỏ ĐỀ SỐ 05 (Đề thi HSG lớp 10, Bạc Liêu, năm học 2010 – 2011) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4 điểm) Hãy tìm tất số để thêm vào tích sau ta số chia hết cho 2011 A  20112  1 2010 20102011 Câu (4 điểm)  x  1 f  x  f   x   x  Tìm tất hàm số f(x) xác định  thỏa mãn , với x 0, x 1 Câu (4 điểm) Giải phương trình: x  x  67  x  0 Câu (4 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a3 b3 c3   1 a  ab  b b  bc  c c  ca  a Tìm giá trị lớn biểu thức S a  b  c Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (C) có tâm O bán kính R Chứng minh: M   C   MA2  MB  MC 2BC ĐỀ SỐ 06 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ không chuyên, năm học 2011 – 2012) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: x  x   x  x  2  x   x   m  1 x  m3   m  1 0 Giả sử phương trình bậc hai ẩn x (m tham số): có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1  x2 4 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức sau: P x13  x23  x1 x2  x1  3x2   Câu 2   x  x y  xy  xy  y 1  x  y  xy x      Giải hệ phương trình:   x, y    Câu  x Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn điều kiện:  x2  y    y 2012 Tìm giá trị nhỏ P  x  y Câu Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M, N, P điểm đối xứng O qua đường thẳng BC, CA, AB; H trực tâm tam giác ABC L trọng tâm tam giác     OA  OB  OC OH ba điểm O, H, L thẳng hàng MNP Chứng minh Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử tồn điểm M nằm bên tứ giác cho     MAB MAC MCD MDA  Chứng minh đẳng thức sau: AB  BC  CD  DA2 cot   AC.BD.sin  ,  số đo góc hai đường thẳng AC BD Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vng góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm  5  13  N  ;  P  ;  M  1;   ,  2  ,  2  (M, N, P không trùng với đỉnh ABC ) Tìm tọa độ đỉnh A, B, C biết đường thẳng AB qua điểm Q   1;1 điểm A có hoành độ dương ĐỀ SỐ 07 (Đề thi HSG lớp 10, Vĩnh Phúc, Hệ chuyên, năm học 2011 – 2012) Thời gian làm bài: 180 phút Câu (6,0 điểm) x  12 x x  27  x  1 a) Giải phương trình sau  : ; b) Giải bất phương trình sau: x x  Câu (3,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương n cho hai số n  26 n  11 lập phương hai số nguyên dương Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC điểm K thuộc cạnh BC cho KB 2 KC , L hình chiếu B AK, F   trung điểm BC, biết rẳng KAB 2 KAC Chứng minh FL vng góc với AC Câu (4,0 điểm) Cho A tập hợp gồm phần tử, tìm số lớn tập gồm phần tử A cho giao tập tập tập hợp gồm phần tử Câu (4,0 điểm) Cho số dương x, y, z Chứng minh bất đẳng thức:  x  1  y  1 3 z x2 1  y  1  z  1  3 x2 y 1  z 1  x  1  3 y z 1  x  y  z  10