Sở Giáo dục & Đào tạo Vĩnh Phúc KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT NĂM HỌC 2009 – 2010 Mơn Tốn 12 (Khơng chun) Thời gian: 180 phút (Khơng kể giao đề) Câu Tìm tất ba số thực thỏa mãn Câu Tìm tất ba số nguyên dương cho Câu Chứng minh phương trình có nghiệm khoảng , gọi nghiệm Chứng minh dãy hội tụ tìm Câu Cho tứ giác lồi tia tam giác lấy điểm có Trên tia đối tia cho đường tròn Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác phân biệt, chứng minh đường thẳng tham số thực tia đối ngoại tiếp cắt hai điểm qua trung điểm Câu Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức lấy điểm Họ tên thí sinh ………………………………………… Số báo danh …………… Chữ ký giám thị Chữ ký giám thị Sở Giáo dục & Đào tạo Vĩnh Phúc KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT NĂM HỌC 2009 – 2010 Hướng dẫn chấm mơn Tốn 12 (Chun) Thời gian: 180 phút (Khơng kể giao đề) Chú ý - Mỗi tốn có nhiều cách giải, hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải, học sinh có lời giải khác với lời giải HDC, giám khảo cho điểm tối đa phần - Hướng dẫn chấm có trang Câ Nội dung Điể u m + Phương trình thứ viết lại dạng 0.25 Suy dương âm + Nhận xét nghiệm nghiệm hệ Do cần xét với + Đặt với Vậy , từ phương trình thứ hai suy ba góc tam giác + Kết hợp với phương trình thứ đồng dạng với tam giác 0.5 0.25 0.25 + Từ nhận xét trên, nghiệm hệ 0.5 định lý sine suy tam giác có + Suy 0.25 + Viết lại phương trình dạng 0.25 Suy ước chung + Nhưng ước nguyên tố với nên 0.25 số phương + Đặt , 0.25 + Đặt chẵn 0.25 Suy + Nếu Nếu vơ lý 0.25 Điều khơng xảy số phương đồng dư mod + Vậy Ta có nữa, Hơn phương nào, nên (do khơng có số 0.25 ngun tố) + Thử trực tiếp, 0.5 Vậy + Xét hàm số nghịch biến , liên tục nên phương trình cho có nghiệm Từ đó, + Chứng minh nên nên 0.25 hội tụ (1) Do (1) nên 0.25 + Vì + Giả sử , ta thấy hàm số nên tồn số cho 0.5 với có + Khi với có 0.5 vơ lý Vậy E M A B G O1 O2 D N C F + Gọi giao điểm thứ hai điểm vng góc với trung Cần chứng minh + Từ giả thiết, suy + Thế Gọi hay theo thứ tự hình chiếu theo thứ tự chia Do (cùng chắn theo tỷ số cung (cùng chắn cung 0.5 (1) ) 0.25 0.5 ) nên (2) + Từ (1) (2) suy 0.25 + Suy ra + Từ đó, Do , mà Suy nên qua trung điểm , nên qua trung điểm 0.25 0.25 0.25 + Đặt +Khi 0.25 + Nhận thấy phương trình (1) phương trình họ đường thẳng định qua điểm cố hệ (I) phương trình cung elip (hình vẽ) 0.25 + Miền mặt phẳng chứa cung elip bị giới hạn hai đường thẳng họ: (đường thẳng qua (đường thẳng qua Bài toán quy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 0.25 cho đường thẳng họ (1) nằm + cắt , cắt , đường thẳng họ (1) cắt 0.25 + Do nằm nên 0.25 0.25 + Kết luận 0.25