Nghiên cứu phương pháp số giải phương trình đạo hàm riêng dạng eliptic

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC BỊI NGÅC N‹M NGHI–N CÙU PH×ÌNG PHP SÈ GIƒI PH×ÌNG TRœNH „O H€M RI–NG D„NG ELIPTIC LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2013 Số hóa trung tâm học liệu Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc.tnu.edu.vn/ „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC BỊI NGÅC N‹M NGHI–N CÙU PH×ÌNG PHP SÈ GIƒI PH×ÌNG TRœNH „O H€M RI–NG D„NG ELIPTIC LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Chuy¶n ng nh : TON ÙNG DƯNG M số 60 46 01 12 : NGìI HìẻNG DN KHOA HÅC: TS NG THÀ OANH THI NGUY–N - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LÍI CAM OAN Luên vôn ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn cừa Oanh TS ng Th Tổi xin cam oan cĂc kát quÊ ữủc trẳnh by luên vôn l tổi tỹ lm dữợi sỹ hữợng dăn cừa giĂo viản hữợng dăn v khổng chp tứ bĐt ký luên vôn no  ữủc cổng bố trữợc Ơy T¡c gi£ Bịi Ngåc N«m Số hóa trung tâm hoùc lieọu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LI CM èN Luên vôn ny ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn khoa hồc cừa TS °ng Thà Oanh Em xin ÷đc tä láng c£m ỡn chƠn thnh nhĐt tợi Cổ và sỹ giúp ù nhiằt tẳnh  em hon thnh luên vôn ny Tiáp theo em xin ữủc cÊm ỡn chƠn thnh nhĐt tợi Trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản, nỡi em  nhên ữủc mởt hồc vĐn sau Ôi hồc côn bÊn Xin cÊm ỡn gia ẳnh, ỗng nghiằp ¢ c£m thỉng, chia s´, õng hë v  gióp ï thíi gian em håc cao håc v  ho n th nh luên vôn Cuối em xin chúc sực khọe cĂc thƯy cổ giĂo v ỗng nghiằp Em xin chƠn thnh cÊm ỡn! ThĂi Nguyản, ngy 20 thĂng 05 nôm 2013 Ngữới viát Luên Vôn Bũi Ngồc Nôm Soỏ hoựa bụỷi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mưc lưc MËT Sẩ KIN THC Bấ TRẹ 1.1 Hằ phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh 1.2 Mët sè phữỡng phĂp giÊi hằ phữỡng trẳnh Ôi số truyán tẵnh 1.3 1.2.1 Chuân cừa ma trên, chuân cừa vectỡ 1.2.2 Ph÷ìng ph¡p Gauss 1.2.3 Ph÷ìng ph¡p Jacobi 12 1.2.4 Ph÷ìng ph¡p truy i ba ÷íng ch²o 14 Khæng gian Hilbert v  b i to¡n y¸u 16 1.3.1 Khỉng gian vectì 16 1.3.2 Khæng gian chu©n 17 1.3.3 Khæng gian Banach 18 1.3.4 Khổng gian cõ tẵch vổ hữợng 18 1.3.5 Khæng gian Hilbert 19 1.3.6 Phi¸m h m khỉng gian Hilbert 19 1.3.7 B i to¡n y¸u khỉng gian Hilbert 22 1.3.8 Tẵnh gƯn úng nghiằm cõa b i to¡n y¸u 24 1.3.9 Sü hëi tö v  sai sè 26 PH×ÌNG PHP SAI PH…N V€ PH×ÌNG PHP PH†N TÛ HÚU H„N 28 2.1 2.2 KhĂi niằm m Ưu và phữỡng trẳnh sai phƠn 28 2.1.1 B i to¡n câ gi¡ trà ban ¦u 28 2.1.2 B i to¡n bi¶n 35 Phữỡng phĂp sai phƠn giÊi bi toĂn hai chi·u 48 48 2.2.1 Ph¡t biºu bi toĂn 2.2.2 Lữợi sai phƠn v hm lữợi Soỏ hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 49 2.3 2.2.3 B i to¡n sai ph¥n 50 2.2.4 Ph÷ìng ph¡p Seidel co d¢n 57 2.2.5 Phữỡng phĂp tiát kiằm khối lữủng tẵnh 60 Phữỡng phĂp phƯn tỷ hỳu hÔn giÊi bi toĂn Poisson 63 63 2.3.1 B i to¡n Dirichlet dối vợi phữỡng trẳnh Poisson 2.3.2 Phữỡng phĂp phƯn tỷ hỳu hÔn trữớng hủp l chỳ nhêt 68 2.3.3 Trữớng hủp miÃn a giĂc khổng chỳ nhêt 74 2.3.4 Trữớng hủp biản cong 81 THÛ NGHI›M SÈ 83 3.1 CĂc bữợc giÊi bi toĂn 3.2 Chữỡng trẳnh thû nghi»m 3.2.1 83 84 So s¡nh ph÷ìng ph¡p FD v  ph÷ìng ph¡p FEM trản miÃn hẳnh chỳ nhêt 86 3.2.2 Phữỡng phĂp FEM trản miÃn cõ hẳnh hồc phực tÔp 87 3.2.3 CĂc hm cỡ bÊn cừa chữỡng trẳnh: Kát luên T i li»u tham kh£o Số hóa trung tâm học lieäu 96 97 98 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MÐ †U Nhi·u hi»n tữủng khoa hồc v k thuêt dăn án cĂc bi toĂn biản cừa phữỡng trẳnh vêt lỵ toĂn GiÊi cĂc bi toĂn õ án Ăp số bơng số l mởt yảu cƯu quan trồng cừa thỹc tiạn Trong mởt số ẵt trữớng hủp, thêt ỡn giÊn viằc õ cõ th l m ÷đc nhí v o nghi»m t÷íng minh cõa b i to¡n dữợi dÔng cĂc cổng thực sỡ cĐp, cĂc tẵch phƠn hoc cĂc chuội hm Cỏn Ôi a số trữớng hđp kh¡c, °c bi»t l  èi vỵi c¡c b i to¡n cõ hằ số bián thiản, cĂc bi toĂn phi tuyán, cĂc bi toĂn trản miÃn cõ hẳnh hồc phực tÔp thẳ nghiằm tữớng minh cừa bi toĂn khổng cõ, hoc cõ rĐt phực tÔp Trong nhỳng trữớng hủp õ viằc tẵnh nghiằm phÊi dỹa vo cĂc phữỡng phĂp giÊi gƯn úng Hiằn cõ nhiÃu phữỡng phĂp giÊi số bi toĂn ny nhữ: Phữỡng phĂp sai phƠn hỳu hÔn, phữỡng phĂp phƯn tỷ hỳu hÔn, phữỡng phĂp phƯn tỷ biản, phữỡng phĂp khổng lữợi, v.v Mội phữỡng phĂp cõ ữu v nhữủc im riảng Nởi dung cừa luên vôn l tẳm hiu v ci t thỷ nghiằm phữỡng phĂp sai phƠn hỳu hÔn v phữỡng phĂp phƯn tỷ hỳu hÔn Kát quÊ thỷ nghiằm cừa chúng tổi cho thĐy: - Trản cĂc miÃn hẳnh chỳ nhêt phữỡng phĂp sai phƠn hỳu hÔn dng hỡn phữỡng phĂp phƯn tỷ hỳu hÔn, sai số cừa phữỡng phĂp sai phƠn hỳu hÔn nhọ hỡn phữỡng phĂp phƯn tỷ hỳu hÔn - Trản cĂc miÃn hẳnh hồc phực tÔp v cĂc hm cõ ký d phữỡng phĂp phƯn tỷ hỳu hÔn thỹc hiằn dng hỡn Luên vôn gỗm phƯn m Ưu, ba chữỡng nởi dung chẵnh, kát luên v ti liằu tham khÊo Chữỡng trẳnh by mởt số khĂi niằm và hằ phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh, mởt số phữỡng phĂp giÊi hằ phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh, khỉng gian Hillbert v  b i to¡n y¸u, mët sè b i toĂn tứ thỹc tá dăn án phữỡng trẳnh Ôo hm riảng dÔng elliptic Chữỡng 2: Giợi thiằu cĂc kián thực chuân b cho viằc nghiản cựu kát Soỏ hoựa bụỷi trung taõm hoùc lieọu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ quÊ chẵnh cừa luên vôn Trữợc hát trẳnh by khĂi niằm m Ưu và phữỡng trẳnh sai phƠn, sau õ trẳnh by phữỡng phĂp sai phƠn giÊi bi toĂn hai chiÃu v phữỡng phĂp phƯn tỷ hỳu hÔn giÊi bi toĂn poisson Chữỡng 3: Ci t chữỡng thỷ nghiằm trản miÃn hẳnh chỳ nhêt, hẳnh L v miÃn a giĂc Dũ  rĐt cố gưng, chưc chưn nởi dung ữủc trẳnh by luên vôn cỏn nhỳng thiáu sõt nhĐt nh, em rĐt mong nhên ữủc sỹ gõp ỵ cừa cĂc thƯy cổ giĂo v cĂc bÔn  bÊn bĂo cĂo ny ữủc ho n thi»n hìn Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ch÷ìng MËT SÈ KI˜N THÙC BÊ TRĐ 1.1 Hằ phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh Xt viằc giÊi hằ phữỡng trẳnh Ôi số tuyán tẵnh n phữỡng tr¼nh    a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = a1n+1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = a2n+1   an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = ann+1 n ©n: (1.1.1) aij , (i, j = 1, n) l nhỳng số  biát, gồi l cĂc hằ số cừa hằ phữỡng trẳnh (1.1.1); ain+1 , (i = 1, n) cơng l  nhúng sè ¢ biát, gồi l vá phÊi cừa hằ phữỡng trẳnh (1.1.1); xi (i = 1, n) l  c¡c ©n sè ph£i tẳm õ: Ta kỵ hiằu: a11 a21 A =  an1  a12 a1n a22 a2n   an2 ann l  ma hằ số cừa hằ phữỡng trẳnh (1.1.1)  a1n+1 x1  a2n+1   x2  b =   v  x =    ann+1 xn l vectỡ vá phÊi v vectỡ ân số cừa hằ phữỡng trẳnh (1.1.1) Hằ phữỡng trẳnh (1.1.1) cõ th viát gồn dữợi dÔng: Ax = b Soỏ hóa trung tâm học liệu (1.1.2) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ N¸u ma hằ số A khổng suy bián, nghắa l: 26 1.3.9 Sü hëi tư v  sai sè 1.3.9.1 K¸t qu£ ch½nh Gi£ sû u∈V l  nghi»m cõa b i to¡n (1.3.16), v  wN ∈ V N l  nghi»m cõa b i to¡n (1.3.22) ngh¾a l : Khi â u − wN α (u, v) = L (v) , ∀v ∈ V (1.3.16.) α (wN , v) = L (v) , ∀v ∈ V (1.3.22.) l  sai sè Ta s³ ¡nh gi¡ sai sè â theo chu©n α (u − wN , u − wN ) = ku − wN kα Ănh giĂ ku wN kV Muốn thá, trữợc h¸t ta ¡nh gi¡ â ¡p dưng (1.3.18) ta suy nh lỵ 1.3.9 (u wN , u − wN ) = inf α (u − y, u − y) y∈VN Chùng minh X²t phi¸m h m Φ (w) xĂc nh tÔi V sau (1.3.28) w =V: (w) = α (w, w) − 2L (w) Thay (1.3.16) v=u∈V v  v=η∈V ta câ: L (u) = α (u, u) , L (η) = α (u, η) Do â: Φ (η) − Φ (u) = α (η, η) − 2L (η) − α (u, u) + 2L (u) = α (η, η) − 2α (u, η) − α (u, u) + 2α (u, u) = α (η, η) − 2α (u, η) + α (u, u) = α (η − u, η − u) Vªy câ: Φ (η) − Φ (u) = α (η − u, η − u) , ∀η ∈ V (1.3.29) Mët c¡ch t÷ìng tü ta câ: Φ (ηN ) − Φ (wN ) = α (ηN − wN , ηN − wN ) , ∀ηN ∈ VN V¼ α (ηN − wN , η − wN ) > n¶n (1.3.30) cho: Φ (wN ) ≤ Φ (ηN ) , ∀ηN ∈ VN Số hóa trung tâm học liệu (1.3.30) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (1.3.31) 27 p dửng lƯn lữủt (1.3.29), (1.3.31), (1.3.29) ta ữủc: (wN − u, wN − u) = Φ (wN ) − Φ (u) ≤ Φ (ηN ) − Φ (u) = α (ηN − u, ηN − u) Vªy: α (wN − u, wN − u) ≤ inf {α (η − u, η − u)} η∈VN M°t kh¡c, v¼ w N ∈ VN ⊂ V (1.3.32) n¶n: inf α (y − u, y − u) ≤ α (wN − u, wN u) yVN (1.3.33) Kát hủp (1.3.33)vợi (1.3.32) ta suy kát luên cừa nh lỵ (1.3.9) 1.3.9.2 Sỹ hởi tư v  sai sè Nhí cỉng thùc (1.3.28) ta suy sü hëi tư v  ¡nh gi¡ sai sè: N¸u cĂc phƯn tỷ tồa ở chồn ữủc cho: inf α (u − y, u − y) → N → ∞ ∀u ∈ V y∈VN th¼ câ: ku − wN kα → N → ∞ K¸t hđp vỵi (1.3.18) ta suy ra: ku − wN kV → N → ∞ â l  sü hëi tử V Náu Ănh giĂ ữủc vá phÊi cừa (1.3.28) th¼ câ ¡nh gi¡ sai sè theo Vα Sau õ, kát hủp vợi (1.3.18) ta suy Ănh gi¡ sai sè theo cõa V chu©n cõa chu©n Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 28 Ch÷ìng PH×ÌNG PHP SAI PH…N V€ PH×ÌNG PHP PH†N TÛ HU HN 2.1 KhĂi niằm m Ưu và phữỡng trẳnh sai phƠn 2.1.1 Bi toĂn cõ giĂ tr ban Ưu 2.1.1.1 B i to¡n Cho kho£ng [x0 , X] T¼m hm u = u(x) xĂc nh tÔi [x0 , X] v  thäa m¢n: u0 = f (x, u) x0 < x ≤ X u (x0 ) = η â f = (x, u) (2.1.1) (2.1.2) η l  mët sè cho trữợc u = u(x) ừ trỡn, nghắa l l mởt hm số cho trữợc v GiÊ sỷ bi toĂn (2.1.1),(2.1.2) cõ nghiằm nõ cõ Ôo hm liản tửc án cĐp m ta cƯn 2.1.1.2 Lữợi sai phƠn [x0 , X] thnh N oÔn bơng nhau, mội oÔn d i h = (b − a)/N bði c¡c iºm xi = x0 + ih, i = 0, 1, , N (Hẳnh 2.1.1).Têp cĂc im xi gồi l mởt lữợi sai phƠn trản [x0 , X], kỵ hiằu l h , mội im xi gồi l mởt nút cừa lữợi, h gồi l bữợc i cừa lữợi Ta s tẳm cĂch tẵnh gƯn úng giĂ tr cừa nghiằm u(x) tÔi cĂc nút xi cừa lữợi h Ta chia oÔn Soỏ hoựa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 29 H¼nh 2.1.1 â l ỵ tững Ưu tiản cừa phĂp lữợi phữỡng phĂp sai phƠn, cỏn gồi l phữỡng 2.1.1.3 Hm lữợi õ l nhỳng hm số xĂc nh tÔi cĂc nút cừa lữợi xi viát l vi Mởt hm số u(x) xĂc nh tÔi giĂ tr tÔi nút xi l ui = u(xi ) lữợi v h GiĂ tr cừa hm tÔi nút mồi x [a, b] s tÔo hm lữợi u cõ 2.1.1.4 Ôo hm lữợi Xt hm lữợi giĂ tr tÔi nút v xi Ôo hm lữợi l: vxi = Ôo hm lữợi tián cĐp mởt cừa v, kỵ hiằu l vx, cõ vi+1 vi h lũi cĐp mởt cừa v, kỵ hiằu l vx, cõ giĂ tr tÔi nút xi l: vxi = Sau Ơy ta s thĐy rơng h vi vi1 h b thẳ Ôo hm lữợi xĐp x  ữủc Ôo hm thữớng (xem cĂc cổng thực (2.1.5), (2.1.6), (2.1.7)) 2.1.1.5 Qui ữợc viát vổ b KhĂi niằm xĐp x liản quan án khĂi niằm vổ b  vi¸t c¡c vỉ cịng b² mët c¡ch ìn gi£n ta s Ăp dửng qui ữợc sau Ơy: (h) l mởt vổ M > cho: GiÊ sỷ Ôi lữủng >0 v hơng số b h Náu tỗn tÔi số | (h)| M h thẳ ta viát: (h) = O (h ) Soỏ hoựa bụỷi trung taõm hoùc lieọu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 30 Viát nhữ trản cõ nghắa l: Khi v h0 thẳ (h) tián án số h nhọ thẳ (h) l mởt Ôi khổng chêm hỡn M h lữủng nhọ 2.1.1.6 Cæng thùc Taylor Gi£ sû F (x) l  mët h m số xĂc nh v cõ Ôo hm án cĐp mët kho£ng (α, β) chùa x v  x + ∆x, x m+1 cõ th dữỡng hay Ơm Khi õ ngữới ta chùng minh ÷đc cỉng thùc Taylor sau: (∆x)2 00 F (x + ∆x) = F (x) + ∆xF (x) + F (x) + 2! (∆x)m (m) (∆)m+1 m+1 + F (x) + F (c) m! (m + 1)! â â ta câ (2.1.3) c l  mët iºm ð kho£ng tø x ¸n x + ∆x;  th viát c = x + x vợi 0