Nghiên cứu một số bài toán khuếch tán cho phương trình đạo hàm riêng

ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ THÀNH ĐỒN TP HỒ CHÍ MINH TRUNG TÂM PHÁT TRIỂN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ TRẺ CHƯƠNG TRÌNH KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ CẤP THÀNH PHỐ BÁO CÁO TỔNG HỢP KẾT QUẢ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TỐN KHUẾCH TÁN CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Cơ quan chủ trì nhiệm vụ: Trung tâm Phát triển Khoa học Công nghệ Trẻ Chủ nhiệm nhiệm vụ: ThS.NCS Võ Văn Âu Thành phố Hồ Chí Minh - 2022 ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ THÀNH ĐỒN TP HỒ CHÍ MINH TRUNG TÂM PHÁT TRIỂN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TRẺ CHƯƠNG TRÌNH KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ CẤP THÀNH PHỐ BÁO CÁO TỔNG HỢP KẾT QUẢ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TỐN KHUẾCH TÁN CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG (Đã chỉnh sửa theo kết luận Hội đồng nghiệm thu ngày ) Chủ nhiệm nhiệm vụ: Chủ tịch Hội đồng nghiệm thu (Ký ghi rõ họ tên) Võ Văn Âu Cơ quan chủ trì nhiệm vụ Đồn Kim Thành Thành phố Hồ Chí Minh- 2022 THÀNH ĐỒN TP HỒ CHÍ MINH TRUNG TÂM PHÁT TRIỂN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TRẺ CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Tp HCM, ngày 28 tháng 10 năm 2022 BÁO CÁO THỐNG KÊ KẾT QUẢ THỰC HIỆN NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU KH&CN I THÔNG TIN CHUNG Tên nhiệm vụ: Nghiên cứu số tốn khuếch tán cho phương trình đạo hàm riêng Mã số đề tài: 48/2021-HĐ-KHCNT-VU, kí ngày 08/12/2021 Thuộc: Chương trình Vườn ươm Sáng tạo Khoa học Công nghệ trẻ Lĩnh vực: Tự nhiên Chủ nhiệm nhiệm vụ: Họ tên: Võ Văn Âu Ngày, tháng, năm sinh: 08/01/1990 Giới tính: Nam Học hàm, học vị: Thạc sĩ Chức danh khoa học: Nghiên cứu sinh tiến sĩ Điện thoại: Tổ chức: 028 7105 9999 Mobile: 0939451980 Chức vụ: Không Nhà riêng: 0327179818 E-mail: vovanau@vlu.edu.vn vvau8190hg@gmail.com Tên tổ chức công tác: Trường Đại học Văn Lang Địa tổ chức: 69/68, Đặng Thuỳ Trâm, P 13, Q Bình Thạnh, Tp HCM Địa nhà riêng: E17.14, Chung cư 17,3 ha, P An Phú, Tp Thủ Đức, Tp HCM Tổ chức chủ trì nhiệm vụ: Tên tổ chức chủ trì nhiệm vụ: Trung tâm Phát triển Khoa học Công nghệ Trẻ Điện thoại: 028.38.230.780 E-mail: khoahoctre@gmail.com, Website: khoahoctre.com.vn Địa chỉ: Số 01 Phạm Ngọc Thạch, Phường Bến Nghé, Quận Họ tên thủ trưởng tổ chức: Đoàn Kim Thành Số tài khoản: 3713.0.1083277.00000 Tại: Kho bạc Nhà nước Quận II TÌNH HÌNH THỰC HIỆN Thời gian thực nhiệm vụ: - Theo Hợp đồng ký kết: từ tháng 12 năm 2021 đến tháng 12 năm 2022 - Thực tế thực hiện: từ tháng 12 năm 2021 đến tháng 12 năm 2022 - Được gia hạn (nếu có): Khơng gia hạn Kinh phí sử dụng kinh phí: a) Tổng số kinh phí thực hiện: 90 triệu đồng, đó: + Kính phí hỗ trợ từ ngân sách khoa học: 90 triệu đồng + Kinh phí từ nguồn khác: đồng b) Tình hình cấp sử dụng kinh phí từ nguồn ngân sách khoa học: Số TT Theo kế hoạch Thực tế đạt Thời gian Kinh phí Thời gian Kinh phí (Tháng, năm) (Tr.đ) (Tháng, năm) (Tr.đ) 12/2021-05/2022 45 12/2021-05/2022 45 05/2022-10/2022 27 05/2022-10/2022 27 10/2022-12/2022 18 10/2022-12/2022 18 Ghi (Số đề nghị toán) c) Kết sử dụng kinh phí theo khoản chi: Đối với đề tài: Đơn vị tính: Triệu đồng Số TT Nội dung khoản chi Trả công lao động (khoa học, phổ thông) Nguyên, vật liệu, lượng Thiết bị, máy móc Xây dựng, sửa chữa nhỏ Chi hội thảo khoa học, công tác phí ngồi nước phục vụ hoạt động nghiên cứu Chi văn phịng phẩm, thơng tin liên lạc, in ấn Chi khác Tổng cộng Theo kế hoạch Tổng NSKH 84.597 73 Thực tế đạt Nguồn khác Tổng NSKH 84.597 73 84.597 73 84.597 73 4.9 4.9 4.9 4.9 0.5022 0.50227 0.5022 0.50227 90 90 90 90 Nguồn khác - Lý thay đổi (nếu có): Đối với dự án: Đơn vị tính: Triệu đồng Số TT Nội dung khoản chi Thiết bị, máy móc mua Theo kế hoạch Tổng NSKH Nguồn khác Thực tế đạt Tổng NSKH Nguồn khác Nhà xưởng xây dựng mới, cải tạo Kinh phí hỗ trợ cơng nghệ Chi phí lao động Ngun vật liệu, lượng Thuê thiết bị, nhà xưởng Khác Tổng cộng - Lý thay đổi (nếu có): Các văn hành q trình thực đề tài/dự án: (Liệt kê định, văn quan quản lý từ công đoạn xét duyệt, phê duyệt kinh phí, hợp đồng, điều chỉnh (thời gian, nội dung, kinh phí thực có); văn tổ chức chủ trì nhiệm vụ (đơn, kiến nghị điều chỉnh có) Số TT Số, thời gian ban hành văn 48/2021/HĐKHCN-VƯ Tên văn Ghi HỢP ĐỒNG THUÊ KHOÁN Tổ chức phối hợp thực nhiệm vụ: Số TT Tên tổ chức đăng ký theo Thuyết minh Tên tổ chức tham gia thực Nội dung tham gia chủ yếu Sản phẩm chủ yếu đạt Ghi chú* - Lý thay đổi (nếu có): Cá nhân tham gia thực nhiệm vụ: (Người tham gia thực đề tài thuộc tổ chức chủ trì quan phối hợp, không 10 người kể chủ nhiệm) Số TT Tên cá nhân đăng ký theo Thuyết minh ThS.NCS Võ Văn Âu ThS.NCS Nguyễn Hữu Cần Tên cá nhân tham gia thực ThS.NCS Võ Văn Âu ThS.NCS Nguyễn Hữu Cần ThS.NCS Trần Ngọc Thạch ThS.NCS Trần Ngọc Thạch Nội dung tham gia Nội dung 1-5 Nội dung 1-5 Nội dung 1-5 Sản phẩm chủ yếu đạt Sản phẩm nội dung 1-5 Sản phẩm nội dung 1.1, 1.2.2, 1.3.2, 1.4.2 Sản phẩm nội dung 1.2.1, 1.3.1, 1.4.1, 1.5 Ghi chú* - Lý thay đổi ( có): Tình hình hợp tác quốc tế: Số TT Theo kế hoạch (Nội dung, thời gian, kinh phí, địa điểm, tên tổ chức hợp tác, số đoàn, số lượng người tham gia ) Thực tế đạt (Nội dung, thời gian, kinh phí, địa điểm, tên tổ chức hợp tác, số đoàn, số lượng người tham gia ) Ghi chú* - Lý thay đổi (nếu có): Tình hình tổ chức hội thảo, hội nghị: Theo kế hoạch Số (Nội dung, thời gian, kinh phí, địa TT điểm ) Thực tế đạt (Nội dung, thời gian, kinh phí, địa điểm ) Ghi chú* - Lý thay đổi (nếu có): Tóm tắt nội dung, cơng việc chủ yếu: (Nêu mục 15 thuyết minh, không bao gồm: Hội thảo khoa học, điều tra khảo sát nước nước ngồi) Số TT Các nội dung, cơng việc chủ yếu (Các mốc đánh giá chủ yếu) Bài toán khuếch tán cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Bài tốn khuếch tán cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp không nguyên (bậc phân thứ) Bài tốn khuếch tán cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến khác Thời gian (Bắt đầu, kết thúc - tháng … năm) Theo kế Thực tế đạt hoạch Nghiên cứu Đã nghiên định tính, đưa cứu định phương tính, đưa pháp nghiên phương pháp cứu phù hợp nghiên cứu phù hợp Nghiên cứu Đã nghiên định tính tính cứu định chất nghiệm, tính tính chất tính tồn tại, nghiệm, tính tính đều, tính tồn tại, tính phụ thuộc đều, tính phụ liên tục theo thuộc liên liệu, tính tục theo bùng nổ liệu, tính bùng nổ Nghiên cứu Đã nghiên định tính cứu định tính chất tính tính nghiệm, tính chất nghiệm, tồn tại, tính tính tồn tại, đều, tính phụ tính đều, thuộc liên tục tính phụ theo liệu, thuộc liên tính bùng nổ tục theo liệu, tính bùng nổ - Lý thay đổi (nếu có): III SẢN PHẨM KH&CN CỦA NHIỆM VỤ Sản phẩm KH&CN tạo ra: a) Sản phẩm Dạng I Người, quan thực Võ Văn Âu, Nguyễn Hữu Cần, Trần Ngọc Thạch Võ Văn Âu, Nguyễn Hữu Cần, Trần Ngọc Thạch Võ Văn Âu, Nguyễn Hữu Cần, Trần Ngọc Thạch Số TT Tên sản phẩm tiêu chất lượng chủ yếu Đơn vị đo Theo kế hoạch Số lượng Thực tế đạt - Lý thay đổi (nếu có): b) Sản phẩm Dạng II: Báo cáo tổng kết Số TT Tên sản phẩm Báo cáo tổng kết đề tài Yêu cầu khoa học cần đạt Theo kế hoạch Thực tế đạt Báo cáo rõ ràng, Báo cáo rõ ràng, phù hợp phù hợp Ghi - Lý thay đổi (nếu có): c) Sản phẩm Dạng III: Bài báo khoa học Số TT Tên sản phẩm Bài báo Yêu cầu khoa học cần đạt Theo Thực tế kế hoạch đạt 01 báo phù hợp 02 báo ISI: với chuyên ngành - 01 báo ISI thuộc danh mục Q1 Scopus Q4 trở lên - 01 báo ISI ISI từ Q4 trở Q2 lên Số lượng, nơi công bố (Tạp chí, nhà xuất bản) - 01 ISI Q1: Applied Mathematics Letters, 134, (2022), 108332, IF = 4.294, Hindex=98, NXB Elsevier - 01 ISI Q2: Discrete and Continuous Dynamical SystemsSeries S, (accepted), (Oct 2022), IF = 1.865, H-index=32, NXB American Institute of Mathematical Sciences * Ghi chú: Các báo nằm danh mục uy tín HĐCDGSNN ngành tốn NAFOSTED - Lý thay đổi (nếu có): Không thay đổi d) Kết đào tạo: Số TT Cấp đào tạo, Chuyên ngành đào tạo Thạc sỹ Tiến sỹ Số lượng Theo kế hoạch Thực tế đạt Ghi (Thời gian kết thúc) - Lý thay đổi (nếu có): đ) Tình hình đăng ký bảo hộ quyền sở hữu công nghiệp: Số TT Tên sản phẩm đăng ký Kết Theo kế hoạch Thực tế đạt - Lý thay đổi (nếu có): e) Thống kê danh mục sản phẩm KHCN ứng dụng vào thực tế Ghi (Thời gian kết thúc) Số TT Tên kết ứng dụng Thời gian Địa điểm (Ghi rõ tên, địa nơi ứng dụng) Kết sơ … Đánh giá hiệu nhiệm vụ mang lại: a) Hiệu khoa học công nghệ: - Đề tài tập trung nghiên cứu theo hướng khảo sát tốn liên quan đến mơ hình tốn học cho vấn đề đặt kỹ thuật, học,… có định hướng ứng dụng thực tiễn - Góp phần hỗ trợ cho nhóm nghiên cứu trẻ trường Đại học Tp HCM nói riêng nước nói chung bắt kịp với tình hình nghiên cứu cộng đồng khoa học kỹ thuật nước tiên tiến giới b) Hiệu kinh tế xã hội: Đề tài ứng dụng trực tiếp giảng dạy, đào tạo với việc triển khai vào đề tài luận án tiến sĩ đề tài luận văn thạc sĩ Tình hình thực chế độ báo cáo, kiểm tra nhiệm vụ: Số TT I II III Thời gian thực Nội dung Báo cáo tiến độ Lần 20/08/2022 Ghi (Tóm tắt kết quả, kết luận chính, người chủ trì…) - Đã hồn thành sản phẩm Dạng III (Bài báo ISI Q1, sản phẩm vượt đăng kí) - Đang hồn thành sản phẩm Dạng II (Báo cáo tổng kết) - Đồng ý cho tiếp tục thực Báo cáo giám định Nghiệm thu sở Chủ nhiệm đề tài (Họ tên, chữ ký) Võ Văn Âu Thủ trưởng tổ chức chủ trì (Họ tên, chữ ký đóng dấu) MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU MỞ ĐẦU: TỔNG QUAN VỀ CÁC KẾT QU NGHIấN CU ă TN TI TON CC CHO PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHI TUYẾN PHÂN TÁN VỚI SỐ MŨ KÌ DỊ SOBOLEV 2.1 Giới thiệu 2.2 Kết 2.3 Kí hiệu kết bổ trợ 2.4 Chứng minh kết 2.5 Kết luận 11 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CHO PHƯƠNG TRÌNH RAYLEIGHSTOKES VỚI ĐẠO HÀM CẤP PHÂN SỐ THEO THỜI GIAN VÀ NGUỒN PHI TUYẾN HỖN HỢP 12 3.1 Giới thiệu 12 3.2 Kết 13 3.3 Kết luận 15 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 16 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 ´ CARABALLO VO VAN AU AND TOMAS apply the fixed point theorem Let us analyze in more detail through the following diagram Jα,β : X u (step 2) −→ 7−→ Z F (u) (step 1) −→ 7−→ V Jα,β u (Space-estimate) Choosing the appropriate spaces X, Z, V is a real challenge First, we estimate ∥Jα,β u∥V , it causes the term ∥F (u)∥Z to appear Next, estimating ∥F (u)∥Z makes the norms ∥u∥X Final, to apply the fixed point theorems we need Jα,β : V → V , that is, we shall find a space V satisfying the following embedding X ←- V To make it easier to visualize the picture of the above settings, for the operator Jα,β : V ,→ X → Z → V and we summarize it in the following schema V J ← - −→α,β X −→ Z −→ V Remark 1.2 In this paper, for − N4 < q < N4 , we choose V ≡ H2q (Ω), using Lemma 2.2 we infer that Z ≡ L2 (Ω) Using Sobolev embeddings Lemma 2.5 we can deduce that H2q (Ω) ≡ V ,→ X ≡ L(·) (Ω), with the indexes (·) depending on N, p, q In addition, for choosing V ≡ H2q (Ω), we need to estimate the term ∥Jα,β u(t)∥H2q (which contains forcing term t−β and operator Sα (t), t > 0) By using Lemma 2.2 to estimate operator Jα,β in the norm of H2q (Ω), this produces the Euler singular integrals and the calculations for these integrals are available (related the Beta functions, see Lemma 2.4) So, it is interesting to study this model with the mixed nonlinearity in the form t1β |u|p−2 u log ⟨u⟩b , for p > 2, b > 0, β ∈ (0, 1) Next, we shall present the main results of this paper The first result is about the local in time existence of mild solutions to Problem (P) in C([0, T ]; H2q (Ω)) for q ∈ 2q (0, 1) From now on, for I ⊂ R is an interval, we shall write CI H2q x = C(I; H (Ω)) for short Theorem 1.3 (Local existence-regularity) Let N ≤ 4, < β < α < 1, p > 2, q satisfy the condition     p−2 N N (p + p′ − 2)N , 1− ≤q< , ≤ max ′ ′ 4(p + p − 1) (p + p − 2)(p − 1) 4 for p′ > max{0, 25 − p}, and let u0 ∈ H2q+2 (Ω) Then, there exists a positive time T ≡ T (u0 ) such that Problem (P) admits a mild solution (unique) which belongs 2q ′ to C[0,T ] H2q (Ω) for x Moreover, for α ∈ ( , 1), < β < 2α − and if u0 ∈ H ′ q − q ≤ 1, we have the following regularity estimate (decay estimate) ∥u(t)∥H2q (Ω) ≲ ∥u0 ∥H2q′ (Ω) λ11−q+q ′ tα−1 , for t ∈ (0, T ], q ′ ≥ q − 1, where λ1 > is the first eigenvalue of the minus Laplace operator (2) A MIXED NONLINEAR TIME-FRACTIONAL RAYLEIGH-STOKES EQUATION Remark 1.4 In Theorem 1.3, it is obvious that q < 1, from (2) this means that q ′ can be a negative number or zero or positive That is why we want to consider the regularity of the solution with the minimum possible conditions on the initial condition Specifically, if q ′ = q − < 0, u0 ∈ H−(2−2q) (Ω) then we have t1−α ∥u(t)∥H2q (Ω) ≲ ∥u0 ∥H−(2−2q) (Ω) , t ∈ (0, T ] If q ′ = 0, u0 ∈ L2 (Ω) then we have t1−α ∥u(t)∥H2q (Ω) ≲ ∥u0 ∥L2 (Ω) λ1−q , t ∈ (0, T ] If q ′ = q + 1, u0 ∈ H2q+2 (Ω) then t1−α ∥u(t)∥H2q (Ω) ≲ ∥u0 ∥H2q+2 (Ω) , λ21 t ∈ (0, T ] We know that Problem (P) possesses a unique mild solution for ≤ t ≤ T Our second main result addresses whether this solution can be stretched over [0, T+ ] for T+ > T First, we give the following definition Definition 1.5 Let q ∈ (0, 1) and let u ∈ C[0,T ] H2q x be a mild solution to (P) A function u+ is called a continuation of u iff u+ ∈ C[0,T+ ] H2q x is also a solution to (P) for T+ > T and u+ (t) = u(t), ∀t ∈ [0, T ] Theorem 1.6 (Continuation) Assume conditions in Theorem 1.3 are fulfilled If u0 ∈ H2q+2 (Ω) then the unique solution of (P) on the interval [0, T ] can be stretched to the time-interval [0, T+ ], for some T+ > T The following theorem is about blow-up alternative (i.e., either blow-up in finitetime or global existence) Let us explain this in the following definitions Definition 1.7 (Maximal existence time) Let u(·) be a mild solution to (P) We define the time Tmax > as the maximal-time existence of u(·) by the following: (i) Tmax = ∞ iff the mild solution u(t) exists ∀t ∈ [0, ∞) (ii) Tmax = T < ∞ iff u(t) exists ∀t ∈ [0, T ), but existence of solution is not reached at t = T Definition 1.8 (Finite-time blow-up) Let u(·) be a mild solution to (P) Then u(·) blows up in finite-time iff Tmax < ∞ and the following limit occurs lim ∥u(t)∥H2q (Ω) = ∞ − t↑Tmax Theorem 1.9 (Blow-up alternative) Assume conditions in Theorem 1.3 hold If u0 ∈ H2q+2 (Ω), then there is a maximal-time Tmax > so that Problem (P) possesses a unique solution u ∈ C[0,Tmax ) H2q x Therefore, either Tmax = ∞ (i.e global existence) or finite-time blow-up occurs with lim sup ∥u(t)∥H2q (Ω) = ∞ − t↑Tmax α, we must need the time-weighted Banach space to ensure that our results follow However, that is not the goal of this article ´ CARABALLO VO VAN AU AND TOMAS Notations and preliminaries 2.1 Notations For positive numbers Y, Z, we shall write Y ≲k Z if there is a constant C(k) > such that Y ≤ C(k)Z Writing Y ≃ Z implies Y = CZ, for some constant C > For n ∈ N∗ , {ξn }n∈N∗ a family of eigenvector, we have −∆ξn (x) = λn ξn (x), for x ∈ Ω and ξn (x) = 0, for x ∈ ∂Ω, and λn , n ∈ N∗ are eigenvalues satisfying < λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ ≤ λn ≤ ↑ ∞ Denote by ∥ · ∥B the norm in B (here B be a Banach space), ∥ · ∥q will denote the norm in Lq -Banach spaces and ∥ · ∥ is the usual norm in L2 -Hilbert space For T > 0, ≤ q ≤ ∞, let Lq (0, T ; B) be the Banach space of measurable functions v : (0, T ) → B such that ∥v∥Lq (0,T ;B) < ∞, with  ! q1 Z T    q  ∥v(t)∥B dt , if q < ∞, ∥v∥Lq (0,T ;B) :=    ess sup ∥v(t)∥B , if q = ∞ t∈(0,T ) C([0, T ]; B) denotes the space of continuous functions [0, T ] → B with the norm ∥v∥C([0,T ];B) = sup ∥v(t)∥B < ∞ t∈[0,T ] Note that if the interval (0, T ) is bounded then this space is a Banach space with the norm of L∞ (0, T ; B) For any q ≥ 0, we define the Hilbert scales space ( X q H (Ω) = L2 (Ω) ∋ v = ξn ⟨v, ξn ⟩L2 (Ω) : n∈N∗ ∥v∥Hq (Ω) = X ⟨v, ξn ⟩L2 (Ω) λqn ! 21 )