Sử dụng ma trận và định thức để chứng minh một số kết quả hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Đỗ Văn Hải SỬ DỤNG MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ KẾT QUẢ HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - Năm 2013 Số hóa trung tâm học liệu Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Đỗ Văn Hải SỬ DỤNG MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ KẾT QUẢ HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chuyên Ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60460113 Người hướng dẫn khoa học:PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên - Năm 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Cơng trình hồn thành Trường Đại học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đàm Văn Nhỉ Phản biện 1: GS.TSKH Nguyễn Tự Cường Phản biện 2: PGS.TSKH Lê Thị Thanh Nhàn Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Ngày 27 tháng 09 năm 2013 Có thể tìm hiểu Trung tâm học liệu Đại Học Thái Nguyên Thư viện trường Đại Học Khoa học - ĐH Thái Ngun Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Ma trận, phép toán ma trận 1.2 Định thức số đồng thức cổ điển 1.3 Vành ma trận K[A] 3 12 Chương Vận dụng hình học sơ cấp 14 2.1 Phép biến đổi tọa độ đặc biệt mặt phẳng 14 2.1.1 Phép tịnh tiến 14 2.1.2 Phép đối xứng trục 14 2.1.3 Phép quay 15 2.1.4 Phép đối xứng tâm 15 2.1.5 Phép vị tự 15 2.1.6 Vận dụng 15 2.2 Diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp 21 2.2.1 Diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp 21 2.2.2 Bài toán véc tơ liên quan tới tam giác 35 2.3 Thể tích, bán kính mặt cầu ngoại tiếp qua định thức 37 2.3.1 Tích vơ hướng, tích có hướng hai véc tơ 37 2.3.2 Thể tích, bán kính mặt cầu ngoại tiếp qua định thức 43 2.3.3 Khai thác toán véctơ tứ diện 56 2.4 Đồ thị phẳng 21 - điểm K3 57 Kết luận 62 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Vận dụng ma trận định thức số kết đại số tuyến tính vào nghiên cứu Tốn sơ cấp nhiều thầy, giáo quan tâm.Với giúp đỡ định thức ma trận ta thu nhiều kết qua việc biến đổi tọa độ giải hệ phương trình bậc nhiều ẩn đại số hóa số hình sơ cấp Do vậy, luận văn đặt vấn đề vận dụng định thức ma trận vào xét số tốn hình học sơ cấp Nội dung luận văn chia làm hai chương Chương I: Kiến thức chuẩn bị ma trận,các phép toán ma trận, định thức số đồng thức cổ điển, Vành ma trận K[A] Chương II: Vận dụng định thức ma trận hình học sơ cấp Mục 2.1 Trình bày phép biến đổi tọa độ đặc biệt mặt phẳng Mục 2.2 Trình bày diện tích , bán kính đường trịn ngoại tiếp qua tọa độ đỉnh , độ dài cạnh tam giác Mục 2.3 Sử dụng định thức tính thể tích qua tọa độ đỉnh , độ dài cạnh Mục 2.4 Xét toán đồ thị phẳng 21 - điểm K3 Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình PGS-TS Đàm Văn Nhỉ - Đại học Sư phạm Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn thầy Em xin trân trọng cảm ơn tới Thầy cô Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên, phòng Đào Tạo Trường Đại Học Khoa Học Tôi xin cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Tỉnh Hà Giang, Ban Giám hiệu Trường THPT Việt Lâm - Huyện Vị Xuyên tạo điều kiện cho tơi học tập hồn thành kế hoạch học tập Thái Nguyên, ngày 08 tháng 08 năm 2013 Tác giả Đỗ Văn Hải Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Ma trận, phép toán ma trận 1) Ma trận Định nghĩa 1.1 Ma trận cỡ m × n : thành m dòng, n cột sau:  a11 a12 a1j   a21 a22 a2j      a  i1 ai2 aij    am1 am2 amj Một bảng gồm m.n số viết  a1n  a2n      ain      amn (1.1) gọi ma trận kiểu (m × n) Mỗi số aij gọi thành phần ma trận Nó dịng thứ i cột thứ j Ta thường kí hiệu ma trận chữ in hoa: A, B Có thể viết ma trận (1.1) cách đơn giản bởi: A = (aij )m×n Khi biết rõ m n cịn viết là: A = (aij ) Ma trận dịng: Ma trận cỡ × n gọi ma trận dòng
a1 a2 aj an Ma trận cột: Ma trận cỡ m × gọi ma trận cột   a1  a2         aj      an Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (1.2) (1.3) Ma trận vuông: Ma trận cỡ n × n gọi ma trận vng cấp n (hay ma trận cấp n) viết A = (aij )n×n Trong ma trận vng A = (aij )n×n dãy phần tử có số hàng số cột a11 , a22 , , ann gọi đường chéo ma trận A Định nghĩa 1.2 Ta gọi  a11   a12     a  1j    a1n ma trận a21 ai1 am1   am2      aij amj      ain amn a22 ai2 a2j a2n (1.4) ma trận chuyển vị ma trận (1.1) kí hiệu t A Như ma trận t A thu từ A cách đổi dòng thứ i A thành cột thứ i t A A ma trận kiểu m × n ma trận chuyển vị t A ma trận kiểu n × m 2) Các phép tốn ma trận Phép cộng hai ma trận Định nghĩa 1.3 Tổng hai ma trận A = (aij )m×n B = (bij )m×n ma trận: A + B = (aij + bij )m×n Định nghĩa 1.4 Với ma trận vuông cấp hai dạng:     a11 a12 b11 b12 A= ;B = a21 a22 b21 b22   a11 + b11 a12 + b12 đó: A + B = a21 + b21 a22 + b22 Định nghĩa 1.5 Với ma trận vuông cấp ba dạng:     a11 a12 a13 b11 b12 b13 A =  a21 a22 a23  ; B =  b21 b22 b23  a31 a32 a33 b31 b32 b33   a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 đó: A + B =  a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23  a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Quy tắc cộng ma trận: Muốn cộng hai ma trận ta việc cộng thành phần tương ứng (cùng dịng, cột) chúng: (aij )m×n + (bij )m×n = (aij + bij )m×n Phép nhân ma trận với số Định nghĩa 1.6 Tích phần tử k ∈ K với ma trận A = (aij )m×n ∈ Mm×n [K] ma trận: kA = (kaij )m×n   a11 a12 Với ma trận vuông cấp hai: A = , ta có: a21 a22   αa11 αa12 αa13 αA =  αa21 αa22 αa23  αa31 αa32 αa33   a11 a12 a13 Với ma trận vuông cấp ba: A =  a21 a22 a23 , ta có: a31 a32 a33   αa11 αa12 αa13 αA =  αa21 αa22 αa23  αa31 αa32 αa33 Tích hai ma trận Định nghĩa 1.7 Tích AB ma trận A = (aij )m×n ma trận B = (jk )m×n ma trận C = (cik ) ∈ M (m × p, K) với phần tử xác định sau: cik = n P (aij bjk ), (1 i m, k p) j=1 Định nghĩa 1.8 Với ma trận vuông cấp hai dạng:     a11 a12 b11 b12 A= ;B = a21 a22 b21 b22 đó:  AB = a11 b11 + a12 b21 a11 b12 + a12 b22 a21 b11 + a22 b21 a21 b12 + a22 b22 Soá hóa trung tâm học liệu  http://www.lrc.tnu.edu.vn/  Với ma trận cột X =  AX = x y  , tích AX xác định sau: a11 a12 a21 a22  x y   = a11 x + a12 y a21 x + a22 y Định nghĩa 1.9 Với ma trận vuông cấp ba    a11 a12 a13 b11    A = a21 a22 a23 ; B = b21 a31 a32 a33 b31 đó:  P P P j=1 j=1 dạng:  b12 b13 b22 b23  b32 b33 a1j bj1 a1j bj2 a1j bj3  j=1 j=1 j=1   P 3 P  a b P a2j bj2 a2j bj3 AB =  2j j1  j=1 j=1 j=1  3 P P  P a3j bj1 a3j bj2 a3j bj3            j=1  x  Với ma trận cột X = y  , tích AX xác định sau: z      a11 a12 a13 x a11 x + a12 y + a13 z AX =  a21 a22 a23   y  =  a21 x + a22 y + a23 z  a31 a32 a33 z a31 x + a32 y + a33 z Nhận xét 1.1 Điều kiện để định nghĩa ma trận tích AB số cột ma trận A số hàng ma trận B Ma trận đơn vị: Ma trận E cấp n có đường chéo 1, phần tử ngồi đường chéo gọi ma trận đơn vị:     E=    0 Số hóa trung tâm học liệu        http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (1.5) Mệnh đề 1.1 Với hai ma trận vng cấp hai AB ln có |AB| = |A||B|     a b x y Chứng minh Giả sử A = B = Khi ta có tích c d z t   ax + bz ay + bt AB = Từ việc biến đổi tích hai ma trận đinh cx + dz cy + dt thức a21 a22   a11 a12 a13 Định thức ma trận cấp ba A =  a21 a22 a23  a31 a32 a33 a22 a23 a21 a23 a21 a22 −a