Về các tập giả giá và quỹ tích không cohen macaulay của các môđun hữu hạn sinh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– NGUYỄN VIỆT HƯƠNG VỀ CÁC TẬP GIẢ GIÁ VÀ QUỸ TÍCH KHƠNG COHEN - MACAULAY CỦA CÁC MƠĐUN HỮU HẠN SINH Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Mơc lơc Lêi c¶m ơn 1 Vành môđun Cohen-Macaulay 1.1 Chuẩn bÞ vỊ chiỊu 1.2 Chn bÞ vỊ d·y chÝnh quy độ sâu 1.3 Vành môđun Cohen-Macaulay 11 1.4 Liên hệ với tính không trộn lÉn vµ tÝnh catenary phỉ dơng 14 1.5 Đặc trưng đồng ®iỊu cđa m«®un Cohen-Macaulay 16 Gi¶ giá quỹ tích không Cohen-Macaulay 22 2.1 Tập giả giá số tính chất 22 2.2 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua giả giá 27 2.3 Quỹ tích không Cohen-Macaulay ®iỊu kiƯn Serre 33 40 Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Nhân dịp xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Tôi xin bày tỏ lòng biết ¬n tíi GS TSKH Ngun Tù C­êng, PGS TS Ngun Quốc Thắng, PGS.TSKH Phùng Hồ Hải, TS Vũ Thế Khôi thầy cô giáo Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên đà tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt thời gian học tập Trường Tôi biết ơn cán bộ, Giáo viên trường THPT Lương Ngọc Quyến nơi công tác, đà tạo điều kiện để hoàn thành kế hoạch học tập Cuối xin bày tỏ lòng biết ơn tới người thân, bạn bè đà giúp đỡ, động viên để hoàn thành c«ng viƯc Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Trong suốt luận văn, giả thiết (R, m) vành Noether địa phương M R-môđun hữu hạn sinh Ta lu«n cã dim M ≥ depth M NÕu dim M = depth M ta nói M môđun Cohen-Macaulay Vành gọi vành Cohen-Macaulay R-môđun Cohen-Macaulay R Lớp vành môđun Cohen-Macaulay lớp vành môđun quan trọng Đại số giao hoán Chúng xuất nhiều lĩnh vực khác toán học Đại số tổ hợp, Đại số đồng điều, Hình học đại số Q tÝch kh«ng Cohen-Macaulay cđa M , kÝ hiƯu bëi nCM(M ), xác định công thức nCM(M ) = {p Spec(R) | Mp không Cohen-Macaulay } Nhiều nhà toán học đà chứng minh tính đóng quỹ tích không CohenMacaulay R-môđun hữu hạn sinh vành sở R vành thương vành Gorenstein (chẳng hạn P Schenzel [S]) Cũng với giả thiết này, năm 1991, N T Cường [C] đà xác định chiều qua bất biến gọi kiểu đa thức nCM(M ) thông M Gần đây, năm 2010, N T C­êng, N T K Nga, L T Nhàn [CNN] đà mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay của M thông qua tập giả giá M trường hợp tổng quát (không cần điều kiện R), tập giả giá thứ i M , kí hiệu PsuppR M, định nghÜa bëi M Brodmann vµ R.Y Sharp [BS1] nh­ sau i−dim(R/p) PsuppiR M = {p ∈ Spec(R) | HpRp Tõ ®ã hä chøng minh tÝnh ®ãng cña (Mp ) 6= 0} nCM(M ) giả thiết R vành thương vành Cohen-Macaulay (giả thiết yếu vành S húa bi Trung tõm Hc liu Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Gorenstein lµ vµnh cohen-Macaulay) Quỹ tích không Cohen-Macaulay M nghiên cứu mèi quan hƯ víi tÝnh catenary cđa vµnh R/ AnnR (M ), điều kiện Serre M tính không trộn lẫn vành R/p với p SuppR (M ) Mục đích luận văn trình bày lại chi tiết kết quỹ tích không Cohen-Macaulay nCM(M ) tập giả giá Psuppi (M ) Nguyễn Tự Cường, Lê Thanh Nhàn Nguyễn Thị Kiều Nga báo: On pseudo supports and non-Cohen-Macaulay locus of finitely generated modules, 323 (2010), 3029-3038 Bên cạnh đó, luận văn trình bày tính chất vành môđun Cohen-Macaulay: chuyển qua đầy đủ, chuyển qua địa phương hóa, xét tính catenary phổ dụng, xét tính không trộn lẫn đặc trưng đồng điều Luận văn chia làm chương Chương I trình bày tính chất vành môđun Cohen-Macaulay Các nghiên cứu quỹ tích không Cohen-Macaulay tập giả giá môđun hữu hạn sinh viết Chương II S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Vành môđun Cohen-Macaulay Trong suốt luận văn này, cho R vành giao hoán Noether M R-môđun hữu hạn sinh Để tiện theo dõi, trước trình bày khái niệm vành môđun Cohen-Macaulay, nhắc lại số khái niệm tính chất chiều độ sâu 1.1 Đặt Chuẩn bÞ vỊ chiỊu AnnR M = {a ∈ R | aM = 0} Khi AnnR M iđêan R 1.1.1 Định nghĩa Một dÃy p0 p1 pn iđêan nguyên tố R tháa m·n ®iỊu kiƯn pi 6= pi+1 víi mäi i gọi nguyên tố độ dài n R ChiỊu (Krull) cđa vµnh R, kÝ hiƯu lµ dim R, cận độ dài dÃy iđêan nguyên tố của dÃy iđêan R ChiỊu (Krull) M , kÝ hiƯu lµ dim M , chiều vành thương R/ AnnR M 1.1.2 Ví dụ (i) Trong vành iđêan nguyên tố độ dài iđêan có dạng Z số nguyên, dÃy {0} 2Z dÃy Vì iđêan nguyên tố Z {0} pZ với p số nguyên tố, nên cận độ dài dÃy iđêan nguyên tố (ii) Xét vành Z Vì dim Z = Z6 Vành có iđêan nguyên tố 3Z6 2Z6 Do ®ã dim Z6 = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Một phương pháp tính chiều môđun hữu hạn sinh vành Noether thông qua chiều iđêan nguyên tố liên kết, nêu bổ đề sau Nhắc lại iđêan nguyên tố gọi iđêan nguyên tố liên kết cho hiệu p R M nÕu tån t¹i 6= x ∈ M p = AnnR x Tập iđêan nguyên tố liên kết M kí AssR M Giá M , kí hiệu Supp M , cho c«ng thøc Supp M = {p ∈ Spec(R) | Mp 6= 0} 1.1.3 Bổ đề Tập iđêan nguyên tố liên kết tối thiểu tập iđêan nguyên tố tối thiểu chứa M AnnR M Đặc biệt ta cã dim M = max{dim(R/p) | p ∈ AssR M } Chứng minh Vì M hữu hạn sinh nên Supp M = Var(AnnR M ) Do ®ã Supp M = Var(AnnR M ) Theo [Mat, Định lí 6.5(iii)] ta cã Ass M = Supp M Do ®ã Ass M = Var(AnnR M ) Mệnh đề sau cho ta công thức tính chiều vành đa thức (xem [Mat, Định lí 15.4]) dim R[x1 , , xn ] = n + dim R 1.1.4 Mệnh đề Đặt R[[x]] = nX o x | ∈ R, ∀i Mỗi phần tử R[[x]] i i=0 gọi chuỗi lũy thừa hình thức biến Định nghĩa phÐp céng ∞ X i=0 i x ∞ X ∞ X x i + i=0 j bj x = ∞ X j=0 ∞ X bi xi = i=0 k ck x , ®ã ck = k=0 ∞ X x víi hƯ sè R (ai + bi )xi phép nhân i=0 X bj Khi R[[x]] i+j=k vành giao hoán Noether, gọi vành chuỗi lũy thừa hình thức biến x R Khi (R, m) vành địa phương với iđêan tối đại S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn m R[[x]] vành địa phương với iđêan tối đại o X i n= x ∈ R[[x]], a0 ∈ m i=0 Vµnh chuỗi lũy thừa hình thức n biến x1 , , xn víi hƯ sè trªn R, kÝ hiÖu R[[x1 , , xn ]], định nghĩa tương tự Mệnh đề sau cho phép ta tính chiều vành chuỗi lũy thừa hình thức (xem [Mat, Định lí 15.4]) 1.1.5 Mệnh ®Ị 1.1.6 VÝ dơ dim R[[x1 , , xn ]] = n + dim R (i) TÝnh chiỊu cđa vµnh Z[x, y, z]/I víi I = (x2 , y)(z ) Đặt R = Z[x, y, z] Ta cã dim R = + dim Z = Chó ý r»ng AssR (R/I) = {(x, y), (z)} Suy dim(R/I) = max{dim(R/(x, y)), dim(R/(z))} = (ii) Tinh chiều vành Đặt R R[[x, y, z, t]]/J víi J = (x, y , z) ∩ (y, z , t5 ) = R[[x, y, z, t]] Khi ®ã dim R = 4+dim R = Ta cã AssR (R/J) = {(x, y, z), (y, z, t)} Suy dim(R/J) = max{dim R/(x, y, z), dim(R/(y, z, t)} = 1.1.7 Định nghĩa Vành Noether R gọi vành địa phương có iđêan tối đại Từ sau, giả thiết (R, m) vành địa phương với m iđêan tối đại M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d 1.1.8 Định nghĩa Một iđêan I R gọi iđêan nguyên sơ I 6= R từ điều kiện xy I kéo theo x I tồn sè n > y n ∈ I víi x, y R Giả sử I iđêan nguyên sơ R Khi tập I = {x ∈ R | ∃n ∈ N ®Ĩ xn ∈ I} iđêan nguyên tố p R, cho trường hợp ta gọi I iđêan p-nguyên s¬ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lí sau đây, gọi Định lí đa thức Hilbert - Samuel , cho ta bất biến tương đương với chiều 1.1.9 Định lý đó, ([Mat, Định lí 13.4]) Cho q iđêan m-nguyên sơ Khi `(M/qn M ) ®a thøc víi hƯ sè h÷u tû n ®đ lín vµ dim M = deg `(M/qn M )  = inf t | ∃x1 , , xt ∈ m, `(M/(x1 , , xt )M ) < ∞ 1.1.10 NhËn xÐt V× R vành Noether nên m hữu hạn sinh Do tồn hữu hạn phần tử x1 , , xt ∈ m cho m = (x1 , , xt )R V× `(M/mM ) < ∞ nªn `(M/(x1 , , xt )M ) < Do theo Định lí ®a thøc Hilbert - Samuel ta suy 1.1.11 HÖ qu¶ Chøng minh Cho dim M < ∞ dim(M/(x1 , , xr )M ) ≥ d − r, ∀x1 , , xr ∈ m Bằng quy nạp ta cần chứng minh cho trường hợp r = x m Giả sử dim(M/xM ) = k < d Đặt M1 = M/xM Theo Định lí đa thức Hilbert - Samuel, tồn t¹i x1 , , xk ∈ m cho `(M1 /(x1 , , xk )M1 ) < ∞ Do ®ã `(M/(x, x1 , , xk )M ) < Theo Định lÝ ®a thøc Hilbert - Samuel, d = dim M k + Do ®ã d − k, vô lí 1.1.12 Định nghĩa số Một hệ (x1 , , xd ) ⊆ m gọi hệ tham M `(M/(x1 , , xd )M ) < ∞ Mét hÖ (x1 , , xr ) ⊆ m với r d, gọi phần hƯ tham sè cđa M nÕu dim(M/(x1 , , xr )M ) = d − r Mét dÃy (xn ) R gọi dÃy Cauchy theo tôpô m-adic với k N cho trước, tồn số tự nhiên n0 cho xn − xm ∈ mk víi mäi n, m ≥ n0 DÃy (xn ) R gọi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn dÃy không với http://www.lrc-tnu.edu.vn k ∈ N cho tr­íc, tån t¹i sè n0 cho xn ∈ mk víi mäi n ≥ n0 Ta trang bị quan hệ tương đương tập dÃy Cauchy nh­ sau: Hai d·y Cauchy (xn ), (yn ) gọi tương đương dÃy (xn yn ) dÃy không Kí b tập lớp tương đương Chú ý quy tắc cộng (xn ) + (yn ) = hiÖu R (xn + yn ) quy tắc nhân (xn )(yn ) = (xn yn ) không phụ thuộc vào cách chọn đại diện lớp tương đương Vì phép toán b với hai phép toán này, R b làm thành vành Noether địa R b Vành R b vừa xây dựng gọi phương với iđean tối đại mR vành đầy đủ theo tôpô Một dÃy m-adic R (zn ) M gọi dÃy Cauchy theo t«p« m-adic nÕu víi k ∈ N cho tr­íc, tån t¹i n0 cho zn − zm ∈ mk M Từ khái niệm dÃy Cauchy trên, tương tự ta định nghĩa khái niệm môđun đầy đủ theo tôpô b Môđun kí hiệu M c m-adic vành R 1.1.13 Ví dụ Cho K mét tr­êng, K[x1 , , xn ] vành đa thức n biến K Vành S = K[x1 , , xn ] kh«ng vành địa phương Dễ thấy P = (x1 , xn )S iđêan cực đại S Do vành địa phương hóa R = SP vành địa phương với iđêan tối đại m = (x1 , xn )R Ng­êi ta kiểm tra vành đầy đủ m-adic cđa R chÝnh lµ K[[x1 , , xn ]] Kết sau khẳng định chiều môđun không đổi chuyển qua đầy ®đ 1.1.14 Bỉ ®Ị 1.2 c) dim M = dim(M Chuẩn bị dÃy quy độ sâu 1.2.1 §Þnh nghÜa mét m-adic (xem [Mat, §Þnh lÝ 15.1(ii)]) M -dÃy (i) Một dÃy phần tử quy độ dµi x1 , , xt cđa R gọi t (x1 , , xt )M 6= M xi không ước không môđun thương S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên M/(x1 , , xt )M víi mäi i http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 p ∈ PsuppiR (M ) cho psdi (M ) = dim(R/p) Khi i−dim(R/p) b R b nªn theo Bổ HpRp (Mp ) 6= Vì vành đầy ®đ cđa R/p lµ R/p b R) b = dim(R/p) Vì thế, theo Bổ đề 1.1.3, tồn đề 1.1.14 ta cã dim(R/p Cho Chøng minh t¹i b R) b cho dim(R/p) = dim(R/ b b b p ∈ Ass(R/p p) Chú ý ánh xạ bbp phẳng Vì theo Định lí chuyển sở phẳng (xem [BS, Rp R Định lí 4.3.2]) ta có b b i−dim(R/ p) HbpRb b p Suy i−dim(R/p) cbp ) ∼ bbp 6= (M (Mp ) ⊗ R = HpRp c) V× thÕ psdi (M c) ≥ dim(R/ b b b p ∈ PsuppiRb (M p) = psdi (M ) Sử dụng nguyên lí nâng địa phương (Bổ đề 2.1.7) ta kiểm tra c) = Var(Ann b H i (M c)) = Var(Ann b Hmi (M )) PsuppiRb (M b R mR R V× thÕ c) = dim(R/ b Ann b Hmi (M )) Theo Bæ ®Ò 2.1.4(iii), ta cã psdi (M R AttRb (Hmi (M )) = Var(AnnR Hmi (M )) Do ®ã có iđêan nguyên b b b Ann b Hmi (M )) q) = dim(R/ tè b q ∈ AttRb (Hmi (M )) cho dim(R/ R Theo Bỉ ®Ị 2.1.5 ta cã b q ∩ R ∈ AttR (Hmi (M )) Do ®ã b Ann b Hmi (M )) = dim(R/ b b dim(R/ q) R dim(R/(b q ∩ R)) dim(R/ AnnR Hmi (M )) Cã thÓ xảy trường hợp PsuppiR (M ) tập thùc sù cđa Var(AnnR Hmi (M )) vµ b Ann b Hmi (M )) < dim(R/ AnnR Hmi (M )) psdi (M ) < dim(R/ R 2.1.10 VÝ dô (i) Năm 1970, D Ferrand M Raynaud đà xây dựng miền nguyên Noether địa phương (R, m) có chiỊu cho tån t¹i mét b víi dim(R/ b b iđêan nguyên tố liên kết b q Ass(R) q) = Khi ®ã ta cã Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 Psupp1 (R) = {m} psd1 (R) = Với miền nguyên này, năm b Ann b Hm1 (R)) = 2002, N T C­êng vµ L T Nhµn chØ r»ng dim(R/ R
1 dim(R/ AnnR Hm (R)) = Do Var AnnR Hm (R) = Spec(R)
1 Vì Psupp (R) = {m} nên ta có Psupp (R) 6= Var AnnR Hm (R) (ii) Ta biÕt r»ng tồn miền nguyên Noether địa phương chiều không catenary, chẳng hạn miền nguyên đà M Brodmann xây dựng từ năm 1980 Cho (R, m) miền nguyên Noether chiều b Ann b Hm2 (R)) = cho R kh«ng catenary Ta cã thể chứng minh dim(R/
R 2 dim(R/ AnnR Hm (R)) = Điều chứng tỏ Var AnnR Hm (R) = Spec(R) Vì R không catenary nªn tËp U = {p ∈ Spec(R) | dim(R/p) + ht(p) = 2} khác rỗng Rõ ràng với mäi p ∈ Psupp2 (R) víi mäi p ∈ U dim(R/p) p Psupp2 (R) Do psd2 (R) = Suy
Var AnnR Hm2 (R) 6= Psupp2 (R) 2.2 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay qua giả giá Trong tiết này, giả thiết (R, m) vành Noether địa phương M R-môđun hữu hạn sinh chiều d Trước hết nhắc lại khái niệm quỹ tích không Cohen-Macaulay môđun hữu hạn sinh 2.2.1 Định nghĩa Quỹ tích kh«ng Cohen-Macaulay cđa M , kÝ hiƯu bëi nCM(M ), ®­ỵc cho bëi nCM(M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp không Cohen-Macaulay } Định lí sau kết luận văn, mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay M thông qua tập giả giá S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 2.2.2 Định lý (i) Tồn Giả sử p SuppR (M ) Khi ®ã i d cho p ∈ PsuppiR (M ) vµ depth(Mp ) = k − dim(R/p), dim(Mp ) = t − dim(R/p), k = min{i | p ∈ PsuppiR (M )} vµ t = max{i | p ∈ PsuppiR (M )} i6d i6d [
i PsuppR (M ) ∩ PsuppjR (M ) (ii) nCM(M ) = (iii) Nếu [ s6d 06i t Vì thế, theo Mệnh đề 1.5.6 ta có dim(Mp ) = t − dim(R/p) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 (ii) Cho p nCM(M ) Khi Mp không Cohen-Macaulay, tøc lµ depth(Mp ) < dim(Mp ) Theo (i) víi k = min{i | p ∈ PsuppiR (M )} vµ t = max{i | p ∈ PsuppiR (M )} th× ta cã k < t V× thÕ k < t vµ p ∈ PsuppkR (M ) ∩ PsupptR (M ) Ngược lại, giả sử tồn i, j cho i < j d vµ p ∈ PsuppiR (M ) ∩ PsuppjR (M ) Khi ®ã theo (i) ta cã depth(Mp ) i − dim(R/p) < j − dim(R/p) dim(Mp ) Do ®ã depth(Mp ) < dim(Mp ) Vì Mp không Cohen-Macaulay, tức lµ p ∈ nCM(M ) (iii) Cho p∈ [ PsuppiR (M ) Khi ®ã p ∈ PsupprR (M ) víi r s i6s Đặt k = min{i | p ∈ PsuppiR (M )} Khi ®ã k r s Theo (i), depth(Mp ) + dim(R/p) = (k − dim(R/p)) + dim(R/p) = k s Ng­ỵc l¹i, cho p∈ / [ p ∈ SuppR (M ) cho depth(Mp ) + dim(R/p) s NÕu PsuppiR (M ) th× theo (i) ta cã depth(Mp ) > s − dim(R/p) V× thÕ i6s depth(Mp ) + dim(R/p) > s, điều vô lí [ (iv) Giả sö p ∈ / Psuppi M Theo (iii), depth(Mp ) + dim(R/p) = d i n−r Cho p ∈ PsuppnR (M ) dim(R/p) = psdn (M ) Khi ®ã depth(Mp ) + dim(R/p) n < d theo Định lí 2.2.2(iii) Vì thế, theo §Þnh lÝ 2.2.2(i) ta cã depth(Mp ) n − dim(R/p) = n − psdn (M ) < n − (n r) = r Vì M thoả mÃn điều kiƯn Serre (Sr ), nªn ta cã depth(Mp ) = dim(Mp ) Vì M đẳng chiều R/ AnnR M catenary, nên ta có depth(Mp ) + dim(R/p) = dim(Mp ) + dim(R/p) = d, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 điều vô lí Giả sử psdi (M ) i − r víi mäi i < d Cho p ∈ SuppR (M ) NÕu Mp lµ Cohen-Macaulay ta không cần chứng minh Vì giả thiÕt r»ng p ∈ nCM(M ) Khi ®ã ta cã p d1 [ PsuppiR (M ) Đặt i=0 k = min{i | p ∈ PsuppiR (M )} Khi ®ã k < d vµ p ∈ PsuppkR (M ) Theo gi¶ thiÕt dim(R/p) psdk (M ) k − r Do theo Định lí 2.2.2(i), ta có depth(Mp ) = k − dim(R/p) ≥ k − (k − r) = r 2.3.5 Định lý M Cho r1 số nguyên Giả sử thoả mÃn điều kiện Serre kh«ng trén lÉn víi mäi Chøng minh T (M ) = (Sr ) Nếu M đẳng chiều nCM(M ) = Var(a(M )) th× R/p p ∈ SuppR (M ) tho¶ m·n dim(R/p) ≥ d − r Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo r Cho r = §Ỉt
Var (M ) + aj (M ) Theo Định lí 2.2.2(ii) ta có [ 06i Do dim(Mq ) = Vì M đẳng chiều vành R/ AnnR M catenary, nên ta suy dim(R/q) = d Vậy, M/xM đẳng chiều Theo Định lí 2.2.2(iv) ta suy nCM(M/xM ) ⊆ Var(a(M/xM )) Cho q ∈ Var(a(M/xM )) Khi ®ã q ∈ Var(ak (M/xM )) với k < d Vì thÕ tõ d·y khíp trªn ta cã q ∈ Var(ak (M )) víi mét sè tù nhiªn k < d Suy q Var(a(M )) Do theo giả thiÕt ta cã q ∈ nCM(M ), tøc lµ Mq không Cohen-Macaulay Vì x Mq -chính quy nên Mq /xMq không Cohen-Macaulay Do tức (M/xM )q không Cohen-Macaulay, q nCM(M/xM ) Vì ta có ®¼ng thøc nCM(M/xM ) = Var(a(M/xM )) Chó ý r»ng p ∈ SuppR (M/xM ) vµ dim(R/p) ≥ d − r = dim(M/xM ) − (r − 1) V× vËy theo giả thiết quy nạp áp dụng cho môđun M/xM , ta suy vành R/p không trộn lẫn, Định lí chứng minh Có thể xảy 2.3.6 Ví dụ Var(a(M )) 6= nCM(M ) Dưới ví dụ Năm 1983, M Brodmann C Rotthaus đà xây dựng miền nguyên b miền nguyên vµ (R, m) Noether chiỊu cho R b trộn lẫn Khi ta có tồn iđêan nguyên tố p cho R/p p Var(a(R))\ nCM(R) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Chøng minh cho Ta ph¶i cã b R) b dim(R/p) = vµ tån t¹i b p ∈ Ass(R/p b b dim(R/ p) = Bằng lập luận tương tự chứng minh Định lí 2.3.5, ta p ∈ Var(a1 (R)) ∩ Var(a2 (R)) V× vËy p Var(a(R)) Vì dim(R/p) = nên ta có dim(Rp ) = = depth(Rp ) Do ®ã p∈ / nCM(R) Ví dụ 2.3.6 cho ta thấy điều ngược lại Định lí 2.3.3(ii) không Hơn nữa, R đẳng chiều thoả mÃn điều kiƯn Serre (S1 ) nh­ng R/p lµ trén lÉn víi iđêan nguyên tố p chiều Do giả thiết nCM(M ) = Var(a(M )) Định lí 2.3.5 không bỏ S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [BS] M Brodmann and R Y Sharp, ``Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1998 [BS1] M Brodmann and R Y Sharp, On the dimension and multiplicity of local cohomology modules , Nagoya Math J., 167 (2002), 217-233 [C] N T Cuong, On the dimension of the non Cohen-Macaulay locus of local rings admitting dualizing complexes , Soc., 109 Math Proc Camb Phil (1991), 479-488 [CNN] N T Cuong, L T Nhan and N T K Nga, On pseudo supports and non-Cohen-Macaulay locus of finitely generated modules, 323 J Algebra, (2010), 3029-3038 [Mac] I G Macdonald, Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica, 11 (1973), 23-43 [Mat] H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986 [Na] M Nagata, ``Local rings", Interscience, New York, 1962 [S] P Schenzel, Einige Anwendungen der lokalen Dualitat und verallgemeinerte Cohen-Macaulay moduln, Math Nac., 69 (1975), 227-242 [Sh] R Y Sharp, Some results on the vanishing of local cohomology modules, Proc Lond Math Soc, 30 (1975) 177 - 195 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn