Một số đặc trưng của mô đun cohen macaulay với chiều s

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ LÝ MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MÔ ĐUN COHEN-MACAULAY VỚI CHIỀU >S Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS.NGUYỄN THỊ DUNG Thái Nguyên, năm 2014 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn hoàn toàn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn đà đồng ý cá nhân tổ chức Các thông tin, tài liệu luận văn đà ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2014 Học viên Phạm Thị Lý Xác nhận Xác nhận trưởng khoa chuyên môn người h­íng dÉn khoa häc TS Ngun ThÞ Dung i Lêi cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình cặn kẽ TS Nguyễn Thị Dung, Cô đà dành nhiều thời gian công sức giúp hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô hướng dẫn Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm, Đại học Khoa học thuộc Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, người đà tận tình giảng dạy giúp đỡ trình học tập trường Cuối xin cảm ơn bạn bè người thân đồng nghiệp đà động viên tạo điều kiện cho để hoàn thành khóa học Thái Nguyên, tháng năm 2014 Học viên Phạm Thị Lý ii Mục lục Trang Mục lục iii Më ®Çu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 HÖ tham sè, sè béi kiểu đa thức 1.2 Mô đun đối đồng điều địa phương 1.3 BiĨu diƠn thø cÊp, chiỊu Noether Ch­¬ng Một số đặc trưng môđun Cohen-Macaulay với chiều > s 12 2.1 Môđun Cohen-Macaulay số më réng 12 2.2 Một số đặc trưng môđun Cohen-Macaulay với chiều > s 20 KÕt luËn 37 Tài liệu tham khảo 38 iii Mở đầu Cho (R, m) vành giao hoán, địa phương Noether M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Ta đà biết lớp môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò quan trọng lý thuyết vành Noether môđun hữu hạn sinh Nhắc lại môđun M gọi Cohen-Macaulay hệ tham số M -dÃy quy Cấu trúc lớp môđun Cohen-Macaulay đà biết rõ thông qua lý thuyết bội, môđun đối đồng điều địa phương, đầy đủ m-adic, địa phương hóa, (xem [BH], [Mat]) Đà có số mở rộng khái niệm môđun Cohen-Macaulay, số khái niệm M -dÃy M -dÃy quy với chiều > s giới thiệu Brodmann-Nhan [BN] môđun Cohen-Macaulay với chiều > s định nghĩa N Zamani [Z] Định nghĩa (x1 , , xn ) mäi Cho s > số nguyên m gọi M -dÃy Một dÃy phần tử với chiều > s nÕu xi ∈ / p, víi p ∈ AssR (M/(x1 , , xi−1 )M ) tháa m·n dim(R/p) > s, víi mäi i = 1, , n Ta nãi r»ng mäi hÖ tham sè M M môđun Cohen-Macaulay với chiều M -d·y víi chiỊu > s Râ rµng r»ng mét M -d·y víi chiỊu > M -d·y, f-d·y øng víi M >s s víi s = −1, 0, t­¬ng øng lµ mét theo nghÜa cđa C­êng-Schenzel-Trung [CST], vµ d·y chÝnh quy suy réng øng víi M theo nghÜa cđa L T Nhàn [Nh] Vì lớp môđun Cohen-Macaulay với chiều > tương ứng môđun Cohen-Macaulay, s trường hợp s = 1, 0, f -môđun định nghĩa [CST] f- môđun suy rộng giới thiệu Nhàn-Morales [NM] Hơn nghiên cứu gần cho thấy lớp môđun Cohen-Macaulay với chiều với s>1 > s, số nguyên tùy ý nhiều tính chất tương tự lớp môđun quen biết Thật vậy, năm 2009, N Zamani [Z] đà chứng minh số đặc trưng môđun Cohen-Macaulay với chiều >s thông qua đầy đủ m-adic, địa phương hóa, tính catenary, tính đẳng chiều đến thành phần nguyên tố với chiều >s tập giá M Ngoài ra, số kết liên quan tới tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương mở rộng kết trước Hellus [H] Nhàn-Morales [NM] đà đưa [Z] TiÕp tơc nghiªn cøu cđa N Zamani, mét vấn đề đặt là: môđun Cohen-Macaulay với chiều Liệu > s có đặc trưng qua số bội, kiểu đa thức chiều Noether môđun đối đồng điều địa phương hay không? Câu hỏi đà trả lời nghiên cứu gần N T Dung [D] Mục đích luận văn đọc trình bày lại kết b¸o "Some characterizations of Cohen-Macaulay modules in dimension > s" [D] đăng tạp chí Bulletin of the Korean Mathematical Society năm 2014 Luận văn chia thành hai chương Chương bao gồm kiến thức chuẩn bị: hệ tham số số bội, kiểu đa thức, biểu diễn thứ cấp chiều Noether, môđun đối đồng điều địa phương Mục Chương dành để nhắc lại kết lớp môđun Cohen-Macaulay mét sè më réng, ®ã giíi thiƯu vỊ líp môđun với chiều > s số đặc trưng lớp môđun thông qua đầy đủ m-adic, địa phương hóa, tính catenary, tính đẳng chiều đến thành phần nguyên tố với chiều > s tập giá M Các đặc trưng đà chứng minh [Z] đà trình bày lại luận văn thạc sĩ Dương Thị Giang [G] Mục Chương nội dung luận văn, dành để chứng minh số đặc trưng môđun Cohen-Macaulay với chiều > s thông qua số bội e(x; M ) cđa M , chiỊu Noether N-dimR Hmi (M ) môđun đối đồng điều địa phương M Hmi (M ), kiểu đa thức p(M ) giới thiệu [C] Phần kết luận luận văn tổng kết kết đà đạt Chương Kiến thức chuẩn bị Trong toàn chương này, ta ký hiệu Noether, A R-môđun Artin M (R, m) vành địa phương, R-môđun Chương dành để nhắc lại số kiến thức dùng chương tiếp theo: biểu diễn thứ cÊp, chiỊu Noether, sè béi, kiĨu ®a thøc, 1.1 HƯ tham sè vµ sè béi Mơc nµy dµnh để nhắc lại số kiến thức hàm Hilbert, hệ tham số số bội Các kết dùng chương sau xem [Mat], [BH] Nhắc lại iđêan I (R, m) gọi iđêan định nghĩa √ cđa R nÕu tån t¹i n > cho mn ⊆ I ⊆ m Khi ®ã mn ⊆ I ⊆ m hay √ I = m nªn ta có I m-nguyên sơ Vậy I iđêan định nghĩa I R-môđun M Cho sử m-nguyên sơ Tương tự iđêan I m gọi I tồn n > cho mn M IM iđêan định nghĩa cđa {a1 , , ar } lµ hệ sinh Artin, tức `R (R/I) đa thức Hilbert, với < iđêan định nghĩa I R M Ta có R- môđun hữu hạn sinh Giả dim(R/I) = Do vËy `R (I k M/I k+1 M ) nên < R/I vành Theo Định lý k đủ lớn, tồn đa thức với hƯ sè h÷u tØ PM,I (k) cho PM,I (k) = `R (I k M/I k+1 M ) §Ỉt PM,I (n) = n X PM,I (k) = Samuel n đủ lớn, PM,I (n) đa thức gọi đa thức Hilbert- PM,I (n) `R (I k M/I k+1 M ) = `R (M/I n+1 M ) k=0 k=0 Khi ®ã víi n X ®èi víi M I Ng­êi ta ®· chøng minh r»ng bậc đa thức không phụ thuộc vào cách chọn iđêan định nghĩa chiều Krull I Hơn nữa, dim M = d tồn phần tử x1 , , xd ∈ m cho `R (M/(x1 , , xd )M ) < Khi ta có kết sau Định lý 1.1.1 Với giả thiết trên, ta cã dim M = deg(PM,I (n)) = min{t | ∃x1 , , xt ∈ m : `R (M/(x1 , , xt )M ) < } Từ định lý ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.2 số M (ii) NÕu lµ nÕu (i) Mét hƯ x := x1 , , xd m gọi lµ mét hƯ tham `(M/(x))M ) < ∞ x ∈ m lµ mét hƯ tham sè cđa M , víi mäi mét phÇn hƯ tham sè Chó ý 1.1.3 (ii) NÕu cña sè x x1 , , xi gọi i = 1, , d (i) Hệ tham số tồn hệ tham số M, phần tử nữa, M q = (x1 , , xd ) gọi iđêan tham q + AnnR M iđêan định nghĩa R, tức `R (q + AnnR M ) < ∞ MƯnh ®Ị sau cho ta số tính chất hệ tham số, (xem [Mat, Định lý 14.1, Định lý 14.2]) MƯnh ®Ị 1.1.4 mét bé gåm cđa d (i) NÕu x lµ mét hƯ tham sè cđa sè nguyên dương M x(n) = xn1 , , xnd d M n = n1 , , n d lµ cịng lµ hƯ tham sè (ii) Cho x1 , , x t dÃy phần tử cđa m, víi t d Khi ®ã, dim(M/(x1 , , xt )M ) > dim M t Đẳng thức xảy x ∈ m (iii) HÖ x1 , , xt lµ mét hƯ tham sè cđa p ∈ Ass M/(x1 , , xi−1 )M tháa M m·n vµ chØ xi ∈ / p, dim R/p = d − i + 1, víi mäi với i = 1, , d Đặc biệt, phần tử x m phần tử tham sè cđa M chØ x∈ / p, víi mäi p ∈ Ass M (iv) NÕu ®ã cho x hệ tham số M M phần hệ tham số dim R/p = d c, x cịng lµ hƯ tham số M c tôpô đầy đủ m-adic M M Định nghĩa 1.1.5 dim M = d thức với n Cho I iđêan m-nguyên sơ R, chiều Krull Theo Định lý 1.1.1, ta có `R (M/I n+1 M ) ®đ lín, ®ã deg PM,I (n) = d = PM,I (n) đa Khi tồn số nguyên e0 , e1 , , ed , e0 > cho ! ! n+d n+d−1 − e1 + + (−1)d ed d d−1 PM,I (n) = e0 C¸c sè e0 , , ed gọi hệ số Hilbert M I, kí hiệu ei (I, M ) Đặc biệt, số nguyên dương e0 biểu diễn gọi ®èi víi x = x1 , xd I iđêan định nghĩa M cho (x)I n M = I n+1 M ) sè béi cđa M I, kÝ hiƯu lµ e(I, M ) Chó ý r»ng nÕu lµ sè béi e(I; M ) cđa M M tồn hệ tham số (x) iđêan rút gọn I Hơn e(I; M ) = e(x; M ) ứng với iđêan định nghĩa I ứng với M (nghĩa Vì thế, việc tính toán quy trường hợp I iđêan sinh bëi hƯ tham sè cđa M bëi v× ®ã cã thĨ biĨu diƠn sè béi th«ng qua ®ång ®iỊu Koszul H• (x; M) (xem [BH]) Do ®ã, ®Ĩ tiện việc tính toán số bội, ta nhắc lại khái niệm số bội hình thức giới thiệu Northcott Vẫn giả thiết hữu hạn sinh Một hệ phần tử M vành địa phương (R, m) x1 , , xt M R-môđun m gọi hệ béi cña `(M/(x1 , , xt )M ) < , hay cách tương đương, (x1 , , xt ) iđêan định nghĩa dÃy khớp R-môđun x1 , , xt x1 , , x t M Cho −→ M −→ M −→ M 00 −→ Khi hệ bội hệ bội cđa M0 M th× x1 , , xt vµ M 00 lµ mét hƯ béi cđa M Từ dễ chứng minh x2 , , x t lµ hƯ béi cđa M/x1 M :M x1 Vì ta có định nghĩa sau Cho x1 , , xt lµ hƯ béi cđa M NÕu t Định nghĩa 1.1.6 = 0, tức `(M ) < ta đặt e(; M ) = `(M ) NÕu t > 0, tøc lµ `(M/(x1 , , xt )M ) < ∞ th× ta cã `((0 :M x1 )/(x2 , , xt )(0 :M x1 )) < ∞, tøc lµ (x2 , , xt ) lµ hƯ béi cđa :M x1 Theo giả thiết quy nạp e(x2 , , xt ; M/x1 M ) vµ e(x2 , , xt ; :M x1 ) tồn Khi e(x1 , , xt ; M ) = e(x2 , , xt ; M/x1 M ) − e(x2 , , xt ; :M x1 ) gọi số bội M øng víi hƯ béi (x1 , , xt ) Sau số tính chất số bội Mệnh đề 1.1.7 biệt, nÕu (i) tån t¹i i e(x1 , , xt ; M ) `(M/(x1 , , xt )M ) cho xni M = 0, với n số tự nhiên e(x1 , , xt ; M ) = (ii) Gi¶ sư −→ Mn −→ M1 M0 Đặc Chứng minh (a) (c) (i) Điều kiện tương đương Cho d = Khi s=0 (a) (b) Bổ đề 2.2.3, (i) M Cohen-Macaulay suy rộng Theo Bổ đề 2.1.4(iv), tồn hệ tham số chuẩn tắc x1 M, nghĩa s, ®ã I(x21 ; M ) = I(x1 ; M ) Vì (c) Cho d > Ta chứng minh kết quy nạp theo s < d Cho s = Khi ®ã N-dimR Hmi (M ) víi mäi i < d Theo Bỉ i (M )) ®Ị 1.3.5, (i), `R (Hm < ∞ víi mäi i < d, nghÜa M Cohen-Macaulay suy rộng Vì thế, theo Bổ đề 2.1.4, (iv), tồn hệ tham số chuẩn tắc x = x1 , , xd cña M cho I(x21 , , x2d ; M ) = I(x1 , , xd ; M ) nghĩa điều kiện (c) cho trường hợp giả sử kết cho tr­êng hỵp s = s − NÕu Cho §iỊu 16s cho x1 m cho x1 ∈ / p víi mäi Att(Hmi (M )))\{m} Chó ý r»ng theo gi¶ thiÕt cđa (a) theo Bổ đề 2.2.3, (i) ta có p(M ) s Do ®ã, p(M/x1 M ) = p(M ) − s − 1, theo Bỉ ®Ị 2.2.3, (ii) Vì vậy, Bổ đề 2.2.3, (i) số chuẩn tắc N-dim(Hmi (M/x1 M ) s − víi mäi i < d theo áp dụng giả thiết quy n¹p cho M/x1M , tån t¹i mét hƯ tham x2 , , xd cđa M vµ số nguyên k2 , , ks ∈ {2, , d} cho I(y2 , , yd ; M ) = I(x2 , , xd ; M ), ®ã yj = x2j víi mäi j = 2, , d if j ∈ / {k2 , , ks } vµ yj = x j nÕu j ∈ {k2 , , ks }, Không tính tổng quát ta có thĨ gi¶ sư r»ng 26 k2 = 2, , ks = s, nghÜa lµ I(x2 , , xs , x2s+1 , , x2d ; M/x1 M ) = I(x2 , , xd ; M/x1 M ) Theo c¸ch chọn (1) x1 , áp dụng Bổ đề 2.2.1, ta cã dim(0 :M x1 ) V× d > 1, nên theo Mệnh đề 1.1.7,(3i) ta có e(x2 , , xs , x2s+1 , , x2d ; :M x1 ) = = e(x2 , , xs , xs+1 , , xd ; :M x1 ) Vì theo tính chất hàm độ dài theo định nghĩa số bội hình thức I(x2 , , xs ,x2s+1 , , x2d ; M/x1 M ) = `(M/x1 M/(x2 , , xs , x2s+1 , , x2d )M/x1 M ) − e(x2 , , xs , x2s+1 , , x2d ; M/x1 M ) = `R (M/(x1 , , xs , x2s+1 , , x2d )M ) − e(x1 , , xs , x2s+1 , , x2d ; M ) + e(x2 , , xs , x2s+1 , , x2d ; :M x1 ) = I(x1 , , xs , x2s+1 , , x2d ; M ) T­¬ng tù, ta cịng cã I(x2 , , xd ;M/x1 M ) = `(M/x1 M/(x2 , , xd )M/x1 M ) − e(x2 , , xd ; M/x1 M ) = `R (M/(x1 , x2 , , xd )M ) − e(x1 , x2 , , xd ; M ) + e(x2 , , xd ; :M x1 ) = I(x1 , , xd ; M ) V× vËy, tõ (1) kÐo theo I(x1 , , xs , x2s+1 , , x2d ; M ) = I(x1 , , xd ; M ), vµ (c) chứng minh (c) (d) Cho d = Khi s=0 tồn hệ tham số chuẩn tắc x1 27 M Cohen-Macaulay suy rộng Do M theo Bổ đề 2.1.4, (iv), ta cã I(x1 ; M ) = I(x21 ; M ) = I(xn1 ; M ) víi mäi n ∈ N Cho Cx = I(x1 ; M ) I(xn1 ; M ) = Cx = n0 Cx Khi ®ã víi mäi n > Vì (d) chứng minh Cho d > Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo s, ®ã s < d Cho s = Từ giả thiết (c), tồn hệ tham sè x cña M cho I(x21 , , x2d ; M ) = I(x1 , , xd ; M ) Điều cã nghÜa r»ng (iv) ta cã M Cohen-Macaulay suy réng theo Bổ đề 2.1.4, x hệ tham số chuẩn tắc M Đặt Cx = I(x1 , , xd ; M ) Khi ®ã I(xn1 , , xnd ; M ) = n0 Cx víi mäi n > vµ (d) cho trường hợp kết cho tr­êng hỵp tham sè cđa M tháa m·n s − s > giả sử x = (x1 , , xd ) lµ mét hƯ s = Cho Cho (c) Kh«ng mÊt tÝnh tỉng quát ta giả sử k1 = d − s + 1, , ks = d , nghÜa lµ I(x21 , , , x2d−s , xd−s+1 , , xd ; M ) = I(x1 , , xd ; M ) (2) Theo tÝnh chÊt cđa sè béi Bỉ ®Ị 1.1.7, ta cã I(x21 , , x2d−s ,xd−s+1 , , xd ; M ) = `(M/(x21 , , x2d−s , xd−s+1 , , xd )M ) − e(x21 , , x2d−s , xd−s+1 , , xd ; M ) = `(M/xd M/(x21 , , x2d−s , xd−s+1 , , xd−1 )M/xd M ) − e(x21 , , x2d−s , xd−s+1 , , xd−1 ; M/xd M + e((x21 , , x2d−s , xd−s+1 , , xd−1 ); :M xd ) = I(x21 , , x2d−s , xd−s+1 , , xd−1 ; M/xd M ) + 2d−s e(x1 , , xd−1 ; :M xd ) T­¬ng tù ta còng cã I(x1 , , xd ; M ) = I(x1 , , xd−1 ; M/xd M ) + e(x1 , , xd−1 ; :M xd ) 28 Chó ý r»ng I(x21 , , x2d−s , xd−s+1 , , xd−1 ; M/xd M ) > I(x1 , , xd−1 ; M/xd M ) theo Bổ đề 2.2.4 Vì s < d, nªn ta cã 2d−s e(x1 , , xd−1 ; :M xd ) > e(x1 , , xd−1 ; :M xd ) V× vËy, theo (2) ta cã e(x1 , , xd−1 ; :M xd ) = vµ I(x1 , , xd−s , xd−s+1 , , xd−1 ; M/xd M ) = I(x21 , , x2d−s , xd−s+1 , , xd−1 ; M/xd M ) Do ®ã, dim(0 :M xd ) d − theo Mệnh đề 1.1.7 thế, ta có đẳng thøc e(xn1 , , xnd−1 ; :M xd ) = 0, môđun với n > M/xd M , tån t¹i mét h»ng sè Cx Dùng giả thiết quy nạp cho cho I(xn1 , ,xnd ; M ) nI(xn1 , , xnd−1 , xd ; M )
= n `(M/(xn1 , , xnd−1 , xd )M ) − e(xn1 , , xnd−1 , xd ; M )
= n `(M/xd M/(xn1 , , xnd−1 )M/xd M ) − e(xn1 , , xnd−1 ; M/xd M ) + e(xn1 xnd−1 ; :M xd )
= n I(xn1 , , xnd−1 ; M/xd M ) + e(xn1 , , xnd−1 ; :M xd ) nns−1 Cx = ns Cx víi mäi sè n > Vì (d) chứng minh (d) ⇒ (b) V× I(xn1 , , xnd ; M ) ns I(x; M ) định nghĩa kiểu đa thức với số nguyên n, theo p(M ) ta cã p(M ) s b V× ta có đẳng cấu H i (M c) = mR = Hmi (M ) b m b-môđun nên theo Bổ đề 1.3.5 giả thiết (a) ta cã N-dim b (H i (M c)) R b (ii) Giả sử (a) Đặt m R b m c môđun Cohen-Macaulay s với i < d Trước hết ta khẳng định M với chiều > s Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo d Cho d vµ c lµ M Cohen-Macaulay suy réng Theo [CST], 29 = Khi s = c lµ hƯ tham sè cđa M c-d·y chÝnh quy víi chiều > suy M c môđun Cohen Macaulay chiÒu M x = x1 , , xd lµ c Cho b c cho dim(R/ b b mét hƯ tham sè cđa M p ∈ AssRb M p) := k > s NÕu c Do đó, ta giả sử k = d x1 /b p x1 phần tử tham số M c)) theo [BS, Hệ 11.3.3] Vì vËy r»ng k < d Chó ý r»ng b p AttRb (Hmbk (M c)) theo Mệnh đề 1.3.2 Vì thÕ theo Bỉ ®Ị 1.3.5, (iii) ta cã b p ⊇ Ann b (H k (M > Cho d>1 giả sử mệnh đề với d Cho b m R c)) = dim(R/ b Ann b (H k (M c)) > dim(R/ b b N-dimRb (Hmbk (M p) = k > s b m R MỈt khác, c)) s theo giả thiết (a) Điều xảy N-dimRb (Hmbk (M Vì x1 lµ M -d·y víi chiỊu > s 2.1.10, (i) VËy suy Do ®ã dim(0 :M c x1 ) s theo Bỉ ®Ị Hmbi (0 :M c x1 ) = víi mäi i > s Tõ d·y khíp c c −→ :M c x1 ) −→ c x1 −→ M −→ M /(0 :M b»ng cách chứng minh tương tự Bổ đề 2.2.3, ta có đẳng cấu sau c) c/(0 : c x1 ))) víi mäi i > s Do ®ã tõ d·y khíp Hmbi (M = Hmbi (M M x1 c c/x1 M c −→ 0, c/(0 : c x1 ) −→ M −→ M −→ M M c) −→ H i (M c/x1 M c) −→ H i+1 (M c) víi mäi i > s Hmbi (M b b m m c)) s víi mäi i < d nªn N-dim b (H i (M c/x1 M c)) s N-dim b (H i (M ta cã d·y khíp V× R b m R b m víi mäi i < d − theo Bỉ ®Ị 1.3.5 Do ®ã, áp dụng giả thiết quy nạp cho c/x1 M c, ta cã x2 , , xd lµ M c/x1 M c-d·y chÝnh quy víi chiỊu > s Vì vậy, M c-dÃy với chiều > s, nghĩa M c lµ Cohen-Macaulay víi chiỊu x1 , , xd M > s Vì thế, M Cohen-Macaulay với chiều > s theo Mệnh đề 2.1.15 b Ann b (H i (M c))) s dimRb (R/ b m R c)) Khi ®ã ta cã chiỊu Krull víi mäi i < d Cho i < d vµ b p ∈ AttRb (Hmbi (M b b ctheo [BS, 11.3.3] dim(R/ p) := k i < d theo [BS, 11.3.5] vµ b p ∈ AssRb M (iii) Theo Bổ đề 1.3.5, ta cần chứng minh Vì R catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay nên theo [KW, Hệ 1.2] ta có R vành thương vành Cohen-Macaulay Do 30 theo Mệnh đề 2.1.15 ta có k > s Vì c Cohen-Macaulay với chiều > s Giả sử M c cho x1 ∈ b mét hÖ tham sè x cđa M p V× thÕ k < d, tån c-dÃy với chiều > s x không M Điều xảy Vì k s VËy b Ann b (H i (M c))) = dimRb (R/ b m R max i (M c) b p∈AttRb Hm b b b dim(R/ p) s Nh­ hệ Định lý 2.2.5, ta có đặc trưng môđun CohenMacaulay với chiều > s thông qua chiỊu cđa q tÝch kh«ng Cohen-Macaulay nh­ sau NÕu NC(M ) tập quỹ tích không Cohen-Macaulay R M catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay NC(M ) tập đóng tËp dim(NC(M )) ®ã (M ) Spec R theo tôpô Zariski, xem [CNN] Vì xác định Đặt a(M ) = a0 (M ) ad−1 (M ), = AnnR (Hmi (M )) víi mäii d − HƯ qu¶ 2.2.6 NÕu R catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen- Macaulay mệnh đề sau tương đương: (i) M Cohen-Macaulay với chiều > s dim(R/a(M )) s (ii) (iii) dim NC(M ) s vµ dim(R/p) = d víi mäi p ∈ (min(SuppR M ))>s Chứng minh (i) (ii) Theo [C1, Định lý 1.2] ta cã p(M ) = dim(R/a(M )) Do ®ã kết suy từ Định lý (i) (iii) suy từ Định lý 2.1.13, (i) (iv) (iii)⇒ (i) Cho Mp p ∈ (SuppR M )>s Vì dim NC(M ) s theo giả thiết (iii), Cohen-Macaulay Cho dim(R/q) = d theo (iii) Vì q ∈ min(SuppR M )>s cho q ⊆ p Khi R catenary phổ dụng nên R catenary Do ®ã d ≥ dim(R/p) + dim Mp ≥ dim(R/p) + ht(p/q) = dim(R/q) = d 31 V× vËy M Cohen-Macaulay với chiều > Hệ 2.2.7 R Giả sử s theo Định lý 2.1.13, (iv)(i) catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay Khi mệnh đề sau tương đương: (i) M = ⊕ni=1 Mi i, Mi cã chiỊu lín nhÊt lµ chiỊu > s (ii) Cho x1 , , xd−s lµ s Cohen-Macaulay víi chiỊu víi chiỊu M có chiều Cohen-Macaulay với chiều Chøng minh > s nÕu vµ chØ nÕu víi mäi Cohen-Macaulay với chiều phần > s hệ d tham vµ lµ Cohen-Macaulay víi sè nÕu vµ chØ nÕu Khi ®ã (x1 , , xd−s )M M là > s (i) Theo giả thiết §Þnh lý 2.2.5, ta cã > s M cđa M N-dim(Hmj (M )) s nÕu vµ chØ nÕu lµ Cohen-Macaulay víi chiỊu > s lµ Cohen-Macaulay víi mäi nÕu vµ chØ nÕu j < d dim Mi = d Do vµ N-dim(Hmj (Mi )) s víi mäi j < d hc dim Mi s víi mäi i = 1, , n (ii) Đặt N = (x1 , , xd−s )M Tõ d·y khíp → N → M → M/N giả thiết x1 , , xds phần hệ tham số M , theo tÝnh chÊt cđa hƯ tham sè ta cã dim M/N = s đồng điều địa phương ta có Vì vậy, áp dụng tính triệt tiêu môđun đối Hmi (M/N ) = víi mäi i > s Do đó, áp dụng tính chất -hàm tử đồng điều môđun đối đồng điều địa phương vào dÃy khớp ngắn ta có dÃy khớp dài → Hmi (M/N ) → Hmi+1 (N ) → Hmi+1 (M ) → Hmi+1 (M/N ) → Hmi (M/N ) = với mäi i>s nªn ta cã Hmi (N ) ∼ = Hmi (M ) víi mäi i > s Ta thu kết từ Định lý 2.2.5 Tiếp theo, ta quan tâm đến tính Cohen-Macaulay với chiều > s vành đa thức vành chuỗi lũy thừa hình thøc MƯnh ®Ị 2.2.8 thøc Cho t biÕn x1 , , xt S = R[[x1 , , xt ]] víi c¸c hƯ sè 32 vành chuỗi lũy thừa hình R Khi ®ã p(S) = p(R) + t Chøng minh B»ng quy nạp, ta cần chứng minh cho trường hợp Râ rµng r»ng t = n = (m, x1 , , xt ) iđêan cực đại S dim S = dim R+t Đặt x1 = x cho (a1 , , ad ) lµ hƯ tham sè cđa R Khi ta có toàn cấu tắc vành địa phương : S R cho P i bëi ϕ( ci x ) = c0 Do đó, ta coi R-môđun S -môđun theo nghĩa Rõ ràng Ker = xS Vì tồn đẳng cấu S -môđun S/(a1 , , ad , x)S ∼ = R/(a1 , , ad )R Điều suy S/(a1 , , ad , x)S cã ®é dài hữu hạn, nghĩa (a1 , , ad , x) phần hệ tham số nguyên dương Vì x S Cho S -chính n1 , , nd , n quy, xn lµ mét bé cịng lµ S- (d + 1) số quy (0 :S xn ) = Theo định nghĩa tính chất sè béi MƯnh ®Ị 1.1.7, (iii), ta cã kÕt qu¶ sau e(an1 , , and d , xn ; S) = e(an1 , , and d ; S/xn S) − e(an1 , , and d ; :S xn ) = e(an1 , , and d ; S/xn S) P i HiĨn nhiªn r»ng ψ : S −→ Rn cho bëi ψ( ci x ) = (c0 , , cn−1 ) ánh với Ker = xn S Vì thÕ S/xn S ∼ = Rn VËy suy lµ toµn e(an1 , , and d ; S/xn S) = e(an1 , , and d ; Rn ) = ne(an1 , , and d ; R) S/xn S ∼ = Rn , ta cã     n1 nd n1 nd n n n `S S/(a1 , , ad , x )S = `S S/x S/(a1 , , ad )S/x S   n1 nd = n`R R/(a1 , , ad )R Mặt khác, từ đẳng cÊu V× thÕ ta cã I(an1 , , and d , xn ; S)   −e(an1 , , and d , xn ; S)   = `S S/xn S/(an1 , , and d )S/xn S −e(an1 , , and d ; S/xn S)   n1 nd = n`R R/(a1 , , ad )R −ne(an1 , , and d ; R) = `S S/(an1 , , and d , xn )S = nI(an1 , , and d ; R) 33 Do đó, theo định nghĩa kiểu đa thức ta thu Cho vành chuỗi lũy thõa h×nh thøc S = R[[x1 , , xt ]] R[x1 , , xt ] p(S) = p(R) + vành đa thức t biến R Ta đà biết Macaulay (nghĩa lµ Cohen-Macaulay víi chiỊu > cịng lµ Cohen-Macaulay víi chiỊu hợp 1) S S > Dưới đây, ta quan tâm đến trường Cho s số nguyên Giả sử dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay Cho iđêan cực đại R catenary phổ n = (m, x1 , , xt )S S Các mệnh đề sau tương đương: R vành Cohen-Macaulay với chiều > s S (ii) (iii) lµ vµnh Cohen-Macaulay víi chiỊu Sn0 > s + t lµ vµnh Cohen-Macaulay víi chiỊu Chøng minh (i)⇒(ii) Vì > s + t R vành Cohen-Macaulay với chiỊu > s vµ R lµ catenary phỉ dơng vµ thớ hình thức Cohen-Macaulay, ta có theo Định lý 2.2.5 Vì Cohen- s HƯ qu¶ 2.2.9 (i) R S0 = S p(S) = p(R) + t s + t theo MƯnh ®Ị 2.2.8 Do vành Cohen-Macaulay với chiều (ii)(i) Vì R > s + t theo Định lý 2.2.5 catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen- Macaulay, theo [KW, HƯ qu¶ 1.2] ta cã Cohen-Macaulay I[[x]] S = R[[x]] R vành thương A/I vành A Từ đẳng cấu R[[x]] = p(R) s iđêan A [[x]] = A[[x]]/I[[x]], I A[[x]] có hệ số I, vành thương vành Cohen-Macaulay điều kéo theo A[[x]] Vì S catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay Do đó, theo Định lý 2.2.5, (iii) ta có p(S) < s + t p(R) < s theo Mệnh đề 2.2.8 Vì kết suy từ Định lý 2.2.5, (ii) Tương tự cho chứng minh trường hợp (i) (iii) 34 Tương tự cho trường hợp f-môđun f-môđun suy rộng, giả thiết R catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay Định lý 2.2.5 bỏ ®i ®­ỵc Ta cã thĨ minh häa b»ng vÝ dơ sau Ví dụ 2.2.10 (i) Tồn miền nguyên Noether dim S = 4, depth S = vµ S (S, n) cho: lµ Cohen-Macaulay víi chiỊu > N-dim(Hn3 (S)) = 3, dim(S/ AnnS (Hn3 (S)) = vµ dim S/a(S) = (ii) (iii) b a(S)) b = Sb không Cohen-Macaulay với chiều p(S) = 3, dim(S/ > 2, Sb ®Çy ®đ n-adic cđa S Chøng minh Cho (R, m) miền Noether địa phương chiều xây dựng D Ferrand M Raynaud [FR] đầy đủ iđêan nguyên tố nhúng b có m-adic cđa R q chiỊu Theo [CN, VÝ dơ 4.1] ta cã dimRb (Hm1 (R)) = N-dim(Hm1 (R)) = < dimR (Hm1 (R)) = (i) Cho lµ vµnh chuỗi lũy thừa hình thức hai biến S = R[[x, y]] víi hƯ sè R Khi ®ã dim S = depth S = Vì S chiều 4, nên ta thấy S x, y miỊn Noether lµ vµnh Cohen-Macaulay víi chiỊu > (ii) Rõ ràng n = (m, x, y)S iđêan cực đại S b b, nên tồn phần tử a R b Sb = R[[x, y]] đầy đủ n-adic S Vì b p ∈ Ass R cho b p = AnnRb a §Ỉt b p[[x, y]] = ∞ nX o x + bi y ∈ S | , bi ∈ b p, ∀i i i i=0 Khi ®ã b p[[x, y]] iđêan nguyên tố Sb ∞ nX o X i i i i b AnnSb a = x + bi y ∈ S | (aai )x + (abi )y = = b p[[x, y]] i=0 Do ®ã, i=0 b p[[x, y]] ∈ Ass Sb vµ dim( b R Sb b b ) = dim( )[[x, y]] = dim(R/ p) + = b b p[[x, y]] p 35 b ∼ b p[[x, y]] ∈ AttSb(Hbn3 (S)) = AttSb(Hn3 (S)) V× vËy b p[[x, y]] ⊇ AnnSb(Hn3 (S)) V× b p[[x, y]] ∈ Ass Sb AttSb(Hn3 (S)) nên Theo [BS, Hệ 11.3.3], ta cã ta cã b p[[x, y]] ∩ S ∈ Ass(S) ∩ AttSb(Hn3 (S)) = S lµ miền nguyên Do ta thu AnnS (Hn3 (S)) = AnnSb(Hn3 (S)) ∩ S ⊆ b p[[x, y]] ∩ S = dimS S/ AnnS (Hn3 (S)) = dim S/a(S) = dim S = b a(S) b = p(S) b = (iii) Theo MƯnh ®Ị 2.2.8 ta cã p(S) = Suy dim S/ p(S) = theo [C] Vì Sb không vành Cohen-Macaulay ring với chiều Vậy, > theo Định lý 2.2.5 36 Kết luận Tóm lại, luận văn đà thực vấn đề sau Trình bày kiến thức sở hệ tham số số bội, môđun đối đồng điều địa phương, biểu diễn thứ cấp chiều Noether, kiểu đa thức, Trình bày lại số kết môđun Cohen-Macaulay số mở rộng môđun Cohen-Macaulay suy rộng, f-môđun, môđun Cohen-Macaulay với chiều f -môđun suy rộng, > s Trình bày lại chứng minh chi tiết đặc trưng môđun CohenMacaulay với chiều >s thông qua số bội, kiểu đa thức, chiều Noether môđun đối đồng điều địa phương 37 Tài liệu tham khảo [BH] Bruns W , J Herzog, Cohen-Macaulay Rings , revised ed., Cambridge University Press, 1998 [BN] Brodmann M and L T Nhan, of certain A finiteness result for associated primes Ext-modules, Comm Algebra, 36 (2008), 1527-1536 [BS] Brodmann M and R Y Sharp, ``Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1998 [C] Cuong N T , On the least degree of polynomials bounding above the differences between lengths and multiplicities of certain system of parameters in local rings, [C1] Cuong N T , Nagoya Math J., 125 (1992), 105-114 On the dimension of the non-Cohen-Macaulay locus of local rings admitting dualizing Complexes, 109 Math Proc Camb Phil Soc (1991), 479-488 [CMN] Cuong N T , Marcel Morales and L T Nhan, generalized fractions, the length of Journal of Algebra, 265 (2003) 100–113 [CN] Cuong N T and L T Nhan, modules, On On Noetherian dimension of Artinian Vietnam J Math., 30 (2002), 121-130 38 [CNN] Cuong N T., L T Nhan and N T K Nga, On pseudo supports and non-Cohen-Macaulay locus of finitely generated modules, 323 J Algebra, (2010), 3029-3038 [CST] Cuong N T , P Schenzel, N V Trung, Macaulay moduln [D] N T Dung, dimension Verallgemeinerte Cohen- Math Nachr, 85 (1978) 55-73 Some characterizations of Cohen-Macaulay modules in > s,Bull Korean Math Soc., (51) (2014), No 2, pp 519-530 [G] Dương Thị Giang, Mô đun Cohen-Macaulay chiều > s ,Luận văn Thạc sỹ K19, (40) (2013) [FR] Ferrand D and M Raynaud, Noetherian, [H] Hellus M., modules, Fibres formelles d'un anneau local Ann Sci E'cole Norm Sup., (4) (1970), 295-311 On the set of associated primes of a local cohomology J Algebra 237 (2001), 406–419 [KW] Kawasaki T , , On arithmetic Macaulayfication of Noetherian rings Transactions of the American Mathematical Society, Volume 354, Number (2001), 123-149 [K] Kirby D., , Quart J Math Dimension and length for Artinian modules Oxford, (2), 41 (1990), 419-429 [Mac] Macdonald I G., mutative ring, Secondary representation of modules over a com- Sympos Math., 11 (1973), 23-43 [Mat] Matsumura H., Commutative Ring , Cambridge: Cambridge Theory University Press, (1986) [ND] L T Nhan and N T Dung, "A Finiteness Result for Attached Primes of Certain Tor-modules", Algebra Colloquium , 787-796 39 19, (Spec 1), (2012) [NM] Nhan L T and M Morales, Generalized f-modules and the associated prime of local cohomology modules , Communications in Algebra, 34 (2006), 863-878 [Nh] Nhan L T., associated On generalized regular sequences and the finiteness for primes of local cohomology , Communications in modules Algebra, 33 (2005), 793-806 [R] Roberts R N., Krull dimension for Artinian modules over quasi-local , Quart J Math Oxford, 26 (1975), 269-273 commutative rings [Sh] Sharp, R Y (1989) "A method for the study of Artinian modules with an application to asymptotic Behaviour," in: Commutative Algebra , Math Sci Res Inst Publ No 15, Spinger-Verlag, New York, pp 443-465 [T] Trung N V , Toward a theory of generalized Cohen-Macaulay modules, Nagoya Math J., 102 (1986), 1-49 [Z] Zamani N., Cohen-Macaulay Modules in Dimension > s and Results on , Communications in Algebra, 37, (2009), 1297-1307 Local Cohomology 40