Một số đặc trưng của đa tạp hyperbolic hầu phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————- HỒNG THIỆN CHÍ MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐA TẠP HYPERBOLIC HẦU PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp hầu phức Cấu trúc phức 1.1.2 Nhận xét 1.1.3 Ví dụ 1.1.4 Cấu trúc hầu phức 1.1.5 Đa tạp hầu phức 1.1.1 6 8 1.2 Không gian dạng vi phân ánh xạ đạo hàm Định nghĩa 1.2.2 Định nghĩa 1.2.3 Định lý (Newlander - Nirenberg) 1.2.4 Nhận xét 1.2.1 1.3 Giả khoảng cách Kobayashi đa tạp hầu phức Định nghĩa 1.3.2 Bổ đề 1.3.3 Bổ đề 1.3.4 Định nghĩa 1.3.5 Tính chất 1.3.6 Hệ 1.3.7 Mệnh đề 1.3.8 Định nghĩa 1.3.9 Mệnh đề 1.3.10 Định nghĩa 1.3.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 11 11 11 12 12 13 15 16 17 17 17 17 17 http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.3.12 Định lý 1.3.13 Định nghĩa 1.3.14 Định nghĩa 1.3.15 Họ đồng liên tục 1.3.16 Định lý Ascoli họ đồng liên tục 1.3.11 18 18 18 18 19 19 1.4 Giả metric vi phân Royden-Kobayashi đa tạp hầu phức 20 Mệnh đề 1.4.2 Định nghĩa 1.4.3 Mệnh đề 1.4.4 Ví dụ 1.4.5 Định nghĩa 1.4.6 Nhận xét 1.4.1 20 20 21 21 21 21 Chương Một số đặc trưng đa tạp hyperbolic hầu phức 2.1 Tính hyperbolic đa tạp hầu phức compact Định nghĩa 2.1.2 Định lý Brody 2.1.3 Bổ đề 2.1.4 Bổ đề tham số hoá Brody 2.1.5 Bổ đề 2.1.1 2.2 Tính hyperbolic đa tạp hầu phức Bổ đề 2.2.2 Định lý 2.2.3 Định nghĩa 2.2.4 Hệ 2.2.5 Hệ 2.2.6 Định lý 2.2.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 22 22 23 23 26 28 30 30 31 33 33 33 34 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.3 Đặc trưng tính chất ∆∗ -thác triển đa tạp hầu phức 34 Định nghĩa 2.3.2 Ví dụ 2.3.3 Mệnh đề 2.3.4 Định lý 2.3.5 Bổ đề 2.3.6 Nhận xét 2.3.7 Hệ 2.3.8 Nhận xét 2.3.1 34 34 35 35 35 38 38 39 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Đa tạp hầu phức tổng quát hoá cách tự nhiên đa tạp phức Nghiên cứu lớp đa tạp phức hay đa tạp hầu phức vấn đề hấp dẫn lĩnh vực Giải tích phức Khái niệm tính hyperbolic Kobayashi gần mở rộng đa tạp hầu phức nhiều tác giả Một vấn đề thu hút quan tâm tác giả đặc trưng tính hyperbolic Kobayashi đa tạp hầu phức Mục đích luận văn khảo sát số tiêu chuẩn cho tính hyperbolic đa tạp hầu phức Đây tiêu chuẩn gần chứng minh Haggui - Khalfallah [H-Kh] Dabalme [D] Luận văn gồm có hai chương Chương trình bày số kiến thức đa tạp hầu phức, không gian dạng vi phân ánh xạ đạo hàm, giả khoảng cách Kobayashi đa tạp hầu phức giả metric vi phân Royden - Kobayashi đa tạp hầu phức Chương trình bày chi tiết số tiêu chuẩn cho tính hyperbolic Trong chương này, trước tiên trình bày chứng minh định lý Brody, đặc trưng cho tính hyperbolic đa tạp hầu phức compact Tiếp theo luận văn đưa số tiêu chuẩn cho tính hyperbolic đa tạp hầu phức Cuối luận văn trình bày mối liên hệ tính hyperbolic với tính chất ∆∗ -thác triển đa tạp hầu phức compact Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Luận văn có đề số hướng nghiên cứu phát triển để độc giả tham khảo Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình, chu đáo PGS.TS Phạm Việt Đức Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới thầy mình, người bảo hướng dẫn suốt thời gian học tập nghiên cứu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới tồn thể thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội tận tình giảng dạy động viên tơi suốt thời gian học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên, Sở GD - ĐT Sơn La, bạn bè đồng nghiệp đặc biệt người thân gia đình động viên, ủng hộ tơi mặt để tơi hồn thành khóa học Trong q trình làm luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót, mong độc giả đóng góp ý kiến Tơi hy vọng thân có điều kiện tiếp tục sâu nghiên cứu vấn đề đặt luận văn Thái nguyên, tháng năm 2011 TÁC GIẢ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp hầu phức 1.1.1 Cấu trúc phức Giả sử V R-không gian vectơ J : V −→ V R-đẳng cấu J gọi cấu trúc phức V J := J ◦ J = −Id Giả sử J cấu trúc phức R-không gian vectơ V , ta xây dựng V thành C-không gian vectơ cách đặt (α + iβ)v := αv + βJ(v) = αv + βJv Giả sử V C-khơng gian vectơ có sở {v1 , v2 , , } Xem V R-không gian vectơ VR , xét J : VR −→ VR v 7−→ Jv = iv Khi J cấu trúc phức VR không gian phức mà cảm sinh trùng với khơng gian vectơ phức V ban đầu 1.1.2 Nhận xét VR có R-cơ sở {v1 , v2 , , , Jv1 , Jv2 , , Jvn } Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.3 Ví dụ a) Cn = {(z1 , , zn ) : zj = xj + iyj ∈ C} ∼ = R2n = {(x1 , y1 , x2 , y2 , , xn , yn )} J : R2n → R2n cho bởi: J((x1 , y1 , , xn , yn )) = (−y1 , x1 , , −yn , xn ) Khi J cấu trúc phức R2n b) Giả sử M đa tạp phức m chiều Khi cảm sinh M0 đa tạp thực nhẵn 2m chiều Gọi Tx (M0 ) không gian tiếp xúc thực M0 x gọi Tx (M ) không gian tiếp xúc phức M x Giả sử (U, h) đồ địa phương M quanh x Ta có h : U −→ U ⊂ Cm h = (h1 , h2 , , hn ), cảm sinh e h : U −→ R2m cho e h(x) = (Reh1 (x), Imh1 (x), , Rehm (x), Imhm (x)) Ta có (U, e h) đồ địa phương M0 quanh x Gọi  Nó cảm sinh   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ v = α1 + β1 + + αn + βn ∈ Tx (M0 ) ∂x1 x ∂y1 x ∂xn x ∂yn x