Qũy tích phương pháp chung để giải các bài toán quỹ tích

QUỸ TÍCH PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TỐN QUỸ TÍCH I) Định nghĩa: Một hình H gọi tập hợp điểm ( Quỹ tích) điểm M thỏa mãn tính chất A chứa chứa điểm có tính chất A II) Phương pháp giải tốn: Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất A ta thường làm theo bước sau: Bước 1: Tìm cách giải: + Xác định yếu tố cố định, không đổi, tính chất hình học có liên quan đến tốn + Xác định điều kiện điểm M + Dự đốn tập hợp điểm Bước 2: Trình bày lời giải: A Phần thuận:Chứng minh điểm M thuộc hình H B Giới hạn: Căn vào vị trí đặc biệt điểm M để chứng minh điểm M thuộc phần B hình H ( Nếu có) C Phần đảo: Lấy điểm M thuộc B Ta chứng minh điểm M thoả mãn tính chất A D Kết luận: Tập hợp điểm M hình B (Nêu rõ hình dạng cách dựng hình B ) THCS.TOANMATH.com III) MỘT SỐ DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS I) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC Tập hợp điểm M cách hai điểm A, B cho trước đường trung trực đoạn thẳng AB Ví dụ 1: Cho góc xOy cố định điểm A cố định nằm tia Ox B điểm chuyển động tia Oy , Tìm tập hợp trung điểm M AB a) Phần thuận: + Xét tam giác vuông OAB ta có : y B z OM = MA = MB nên M tam giác OAM cân M Mặt khác OA cố định suy M nằm đường trung trực đoạn O M1 A thẳng OA b) Giới hạn: + Khi B trùng với O M  M1 trung điểm OA + Khi B chạy xa vơ tận tia OB M chạy xa vô tận tia M1 z c) Phần đảo Lấy M thuộc tia M1 z , AM cắt Oy B Suy MO = MA  MAO = MOA Mặt khác OBM = BOM (cùng phụ với góc MAO = MOA )  MO = MB Suy MO = MA = MB Hay M trung điểm AB THCS.TOANMATH.com x d) Kết luận: Tập hợp trung điểm M AB đường trung trực đoạn OA II) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ TIA PHÂN GIÁC Tập hợp điểm M nằm góc xOy khác góc bẹt cách hai cạnh góc xOy tia phân giác góc xOy y z M O x Ví dụ 1) Cho góc xOy tia Ox lấy điểm A cố định B điểm chuyển động tia Oy Tìm tập hợp điểm C cho tam giác ABC vuông cân C Giải: a) Phần thuận: Dựng CH , CK vng góc với Ox, Oy y B K vCAH = vCBK  CH = CK Mặt khác góc xOy cố định z C C1 O A suy C  tia phân giác Oz góc xOy b) Giới hạn, Phần đảo: Dành cho học sinh c) Kết luận:Tập hợp điểm C tia phân giác Oz góc xOy THCS.TOANMATH.com H x III) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG THẲNG , ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Ta thường gặp dạng tập hợp sau: Tập hợp điểm M nằm đường thẳng qua điểm cố định A, B đường thẳng AB Tập hợp điểm M nằm đường thẳng qua điểm cố định A tạo với đường thẳng (d ) góc khơng đổi Tập hợp điểm M cách đường thẳng (d ) cho trước đoạn không đổi h đường thẳng song song với (d ) cách đường thẳng (d ) khoảng h Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho SMAB = a  cho trước SMAC Hướng dẫn: A Phần thuận: M Gọi D giao điểm AM BC Vẽ BH , CK vng góc với AM , H , K  AM H D C B K Ta có: SMAB BH S ABD DB = = = =a SMAC CK S ACD DC Suy BD a +1 a BC  D điểm cố định +1 =  DB = CD a a +1 Vậy điểm M nằm đường thẳng (d ) cố định qua A, D Phần cịn lại dành cho học sinh THCS.TOANMATH.com Ví dụ 2: Cho tam giác ABC điểm K chuyển động cạnh AC , P điểm chuyển động trung tuyến BD tam giác ABC cho S APK = SBPC Gọi M giao điểm AP, BK Tìm tập hợp điểm M Hướng dẫn: Bài tốn liên quan đến diện tích nên ta A dựng đường cao F E K MF ⊥ AC , BE ⊥ AC , AH ⊥ BD, CI ⊥ BD M1 M D H Ta dễ chứng minh được: P B Nhưng C M2 S ABK MK MF S ABD AH AD = = = = =1 , S AMK BK BE S BDC CI DC Mặt khác ta có: I S APB AH = = Từ giả thiết ta suy S APK = S APB SBPC CI S APK MK = =  BM = BK S APB BM Vậy tập hợp điểm M đường trung bình song song với cạnh AC tam giác ABC trừ hai trung điểm M1, M tam giác ABC điểm I Ví dụ 3: Cho đường trịn (O) có hai đường kính AB,CD vng góc với Một điểm M chuyển động đoạn thẳng AB ( M không trùng với O,A, B) Đường thẳng CM cắt (O) giao điểm thứ N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N (O) điểm P Chứng minh điểm P chạy đoạn thẳng cố định: Hướng dẫn: C THCS.TOANMATH.com A M O B Điểm M,N nhìn đoạn OP góc vng nên tứ giác MNPO nội tiếp suy MNO = MPO = MDO Từ suy MODP hình chữ nhật Do MP = OD = R Vậy điểm P nằm đường thẳng song song với AB cách AB khoảng không đổi R Giới hạn: P thuộc đoạn thẳng nằm hai tiếp tuyến A, B (O) Ví dụ 4: Cho đường trịn đường kính BC đường trịn lấy điểm A ( Khác B,C ) Kẻ AH vuông góc với BC(H  BC) Trên cung AC lấy điểm D (khác A,C) Đường thẳng BD cắt AH điểm I Chứng minh tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AID ln nằm đường thẳng cố định D thay đổi cung AC Hướng dẫn: Ta có: BDC = 90 , BAH = ACB phụ với góc B Mặt khác ADB = ACB (cùng chắn cung AB ) Suy D A B K I C H O BAI = ADI suy AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI Mặt khác AC cố định AC ⊥ AB nên tâm K đường trịn ngoại tiếp tam giác ADI ln thuộc đường thẳng AC IV TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG TRÒN, CUNG CHỨA GÓC THCS.TOANMATH.com Nếu A, B cố định Thì tập hợp điểm M cho AMB = 900 đường trịn đường kính AB ( Khơng lấy điểm A, B ) Nếu điểm O cố định tập hợp điểm M cách O khoảng khơng đổi R đường trịn tâm O bán kính R Tập hợp điểm M tạo thành với đầu mút đoạn thẳng AB ) ( cho trước góc MAB =  khơng đổi    1800 hai cung tròn đối xứng qua AB Gọi tắt ‘’cung chứa góc ‘’ M α A O A B α M Ví dụ Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) D điểm cạnh BC Kẻ DM / /AB ( M  AC ) DN / /AC ( N  AB) Gọi D' điểm đối xứng D qua MN Tìm quỹ tích điểm D' điểm D di động cạnh BC Hướng dẫn giải: A M D' N B THCS.TOANMATH.com D C Phần thuận: Từ giả thiết đề ta thấy NB = ND = ND' , ba điểm B, D, D' nằm đường trịn tâm N Từ BD' D = 1 BND = BAC (1) 2 Tương tự ta có ba điểm D', D,C nằm đường tròn tâm M Nên DD'C = 1 DMC = BAC (2) Từ (1) (2) suy BD'C = BAC (không đổi) 2 Vì BC cố định, D' nhìn BC góc BAC khơng đổi, D' khác phía với D (tức phía với A so với MN ) nên D' nằm cung chứa góc BAC vẽ đoạn BC (một phần đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ) Phần đảo: Bạn đọc tự giải Kết luận: Quỹ tích điểm D' cung chứa góc BAC đoạn BC Đó cung BAC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ví dụ Cho đường trịn ( O ) dây cung BC cố định Gọi A điểm di động cung lớn BC đường tròn ( O ) ( A khác B , A khác C ) Tia phân giác ACB cắt đường tròn ( O ) điểm D khác điểm C Lấy điểm I thuộc đoạn CD cho DI = DB Đường thẳng BI cắt đường tròn ( O ) điểm K khác điểm B a) Chứng minh tam giác KAC cân b) Chứng minh đường thẳng AI qua điểm J cố định c) Trên tia đối tia AB lấy điểm M cho AM = AC Tìm quỹ tích điểm M A di động cung lớn BC đường tròn ( O ) Hướng dẫn giải: M x A D K THCS.TOANMATH.com O B C J a) Ta có DBK = ( ) ) ( 1 sđDA + sđAK ; sđDIB = sđBD + sđKC 2 Vì sđBD + sđDA DBI cân D nên sđKC + sđAK Suy AK = CK hay KAC cân K (đpcm) b) Từ kết câu a, ta thấy I tâm đường tròn nội tiếp ABC nên đường thẳng AI qua điểm J (điểm cung BC khơng chứa A ) Rõ ràng J điểm cố định c) Phần thuận: Do AMC cân A , nên BMC = BAC Giả sử số đo BAC 2 (khơng đổi) A di động cung lớn BC M thuộc cung chứa góc  dựng đoạn BC phía điểm O Phần đảo: Tiếp tuyến Bx với đường tròn ( O ) cắt cung chứa góc  vẽ đoạn BC điểm X Lấy điểm M Cx (một phần cung chứa góc  vẽ đoạn BC ( M#X;M#C) Nếu MB cắt đường tròn ( O ) A rõ ràng A thuộc cung lớn BC đường trịn ( O ) Vì BAC = 2; AMC =  suy AMC cân A hay AC = AM Kết luận: Quỹ tích điểm M cung Cx , phần cung chứa góc  vẽ đoạn BC phía O trừ hai điểm C X Ví dụ Cho đường tròn O; R dây BC cố định A điểm di động đoạn thẳng BC D tâm đường tròn qua A, B tiếp xúc với O; R B ; E tâm đường tròn qua A,C tiếp xúc với O; R C Tìm tập hợp giao điểm M khác A hai đường tròn D THCS.TOANMATH.com E Hướng dẫn: a) Phần thuận: O D O, B, D thẳng hàng; O tiếp xúc B O, E ,C thẳng hàng B1 C A2 C EA B1 A2 EC Suy B1 BO / /AE, A1 C1 DA , B1 A1 DB A2, A1 E tiếp xúc C OB OC , C1 , DA / /OE Do ADOE hình bình hành Gọi K tâm hình bình hành ADOE K trung điểm M O AO DE D cắt E A , M D I E K DE trung trực AM B 1 A Gọi I giao điểm DE AM IK đường trung bình AMO IK / /MO hình thang Mà DM DOME OE (cùng bán kính D ) Vậy D, M ,O, E bốn đỉnh hình thang cân Do D, M ,O, E thuộc đường tròn THCS.TOANMATH.com C b) Giới hạn: Khi M B D B, K K1 ( K1 giao điểm d đường trung C, K K2 ( K2 giao điểm d đường trung trực AB ) Khi M C E trực AC ) Vậy K di động đoạn thẳng K1K2 c) Phần đảo: Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng K1K2 Vẽ đường tròn K ; KA cắt AB, AC D E Vẽ DM / /AC M AC Cần chứng minh ME / /AB Ta có: KA Xét KO OAE O K OBD có: OAE OAD ; AEO OBD ODB (tứ giác AEOD nội tiếp) AE BD OA OB Do OAE OBD DBM ACB ( ABC cân A ), DMB DBM DMB DBM cân D DM AE BD ACB DM / /AC Do BD Ta có AE DM mà AE / /DM nên tứ giác MDAE hình bình hành, suy ME / /AB d) Kết luận: Tập hợp điểm K đoạn thẳng K1K2 thuộc đường trung trực đoạn thẳng AO Câu 14 Cho tam giác ABC , H trực tâm Hai đương thẳng song song THCS.TOANMATH.com d d ' qua A H Các điểm M , N hình chiếu B C d ; điểm Q, P hình chiếu B,C d ' MP cắt NQ I Tìm tập điểm I d d ' di động Hướng dẫn: a) Phần thuận: N A BM CN d d (gt ) BM / /CN M D (d) I H (d') P K Q BM / /CN MN / /QP(gt ) MNPQ B E C hình bình hành Mà QMN 900 (gt) nên MNPQ hình chữ nhật I trung điểm đoạn thẳng MP NQ Gọi D E trung điểm AH BC , ta có D, E cố định ANHQ hình thang, DI đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo, suy DI / /MN MPCB hình thang, IE đường trung bình hình thang, suy IE / /NC DI / /MN , IE / /NC mà MNC DIE 900 nên DIE 900 900, DE cố định Vậy I thuộc đường trịn đường kính DE THCS.TOANMATH.com b) Giới hạn: d quay quanh A nên điểm I chuyển động đường trịn đường kính DE c) Phần đảo: Lấy điểm I thuộc đường tròn đường kính DE Nối DI Qua A, H kẻ đường thẳng d , d ' song song với DI Gọi M ,Q hình chiếu B d , d ' MI cắt d ' P ; QI cắt d N ; PQ cắt IE K MN / /DI / /QP, DA IM Mà M IP, IN IQ DH IP, IN IM IQ MNPQ hình bình hành 900 nên MNPQ hình chữ nhật PMB có IM IP, IK / /MB BPC có KB KP, EB KB KP ; EK / /CP EC DIE 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), DI / /MN EI MN , EI MN , PN MN C , P, N thẳng hàng d) Kết luận: Tập hợp điểm I đường trịn đường kính DE Câu 15 Cho đường trịn O; R , M điểm ngồi O , vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến O ( A, B tiếp điểm) đường trung trực đường kính BC cắt CA D 1) Tìm tập hợp điểm M cho MAB 2) Tìm tập hợp điểm D cho MAB Hướng dẫn: THCS.TOANMATH.com D M A C O 1) a) Phần thuận: MAB OMA 600 ; AMB AMB 300 ( MA, MB tiếp tuyến O ) 900,OAM OMA có OAM OA OM OM 300 suy 2OA OM OMA nửa tam giác đều, 2R 2R , O cố định, suy M thuộc đường tròn cố định O;2R b) Giới hạn: M điểm tùy ý O;2R vẽ MAB Vậy M chuyển động O;2R c) Phần đảo: Lấy M thuộc O;2R vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến O; R ( A, B tiếp điểm) Tam giác OMA có A tam giác nên OMA MAB cân có AMB MA 900 ;OA MB MAB cân M OM R , suy 300 , suy AMB 600 2.OMA OMA nửa 600 MAB d) Kết luận: Tập hợp điểm M đường tròn O;2R 2) a) Phần thuận: nên AOB MAB 1200 ; THCS.TOANMATH.com AMB 600 Mà AMB AOB 1800 AOB ACB DOC có O 900, DCO OC có DO DO 600 600 suy DOC nửa tam giác ta R R , O cố định nên D thuộc đường tròn O; R b) Giới hạn: D điểm tùy ý O; R c) Phần đảo: Lấy điểm D thuộc O; R Vẽ đường kính BC vng góc OD, DC cắt O A M giao điểm hai tiếp tuyến A, B O DOC có O 900 ; DO OC R DOC nửa tam giác DCO 600 MAB MAB cân MA 600 MB có MAB 600 MAB d) Kết luận: Tập hợp điểm D đường tròn O; R Câu 16 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn bên tam giác vẽ hai nửa đường trịn có đường kính AB, AC Một đường thẳng d quay quanh A cắt hai nửa đường tròn theo thứ tự M , N (khác A ) Tìm tập hợp trung điểm MN Hướng dẫn: THCS.TOANMATH.com a) Phần thuận: AMB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn), ANC 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn), suy BCNM hình thang vng Gọi O trung điểm BC ta có O cố định; gọi K trung điểm MN OK đường trung bình hình thang BCNM suy OK / /BM OK / /BM AMB 900 (d) AKO 90 d2 N d1 A K 900 , OA cố định, AKO K1 K2 M K thuộc đường trịn đường kính OA B C O b) GIới hạn: Khi d K d1 ( d1 tiếp tuyến đường trịn đường kính AB )thì K1 ( K1 hình chiếu O d1 ) Khi d K1 d2 ( d2 tiếp tuyến đường trịn đường kính AC )thì K2 ( K2 hình chiếu O d2 ) Vậy K chuyển động cung K 1K đường tròn đường kính OA c) Phần đảo: Lấy điểm K thuộc cung K 1K OKA 900 AK cắt đường trịn đường kính AB, AC M , N AMB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) THCS.TOANMATH.com ANC 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Suy BCNM hình thang vng OK MN OK / /BM KM KN d) Kết luận: Tập hợp điểm K cung K 1K đường trịn đường kính OA Câu 17 Cho đường tròn O; R cố định BC dây cung cố định, A điểm chuyển động cung lớn BC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD AC Tìm tập hợp điểm D Hướng dẫn: a) Phần thuận: Gọi J trung điểm cung lớn BC , ta có I cố định D1 xét điểm A thuộc cung IC I IAC IBC D A 1800 O (tứ giác BIAC nội tiếp); B 1800 (hai góc kề bù), IAD IAB IBC IAB IC Xét Do IAC IAC C ID Suy IAC IAD IAD có IA (cạnh chung), IAC IAD (c.g.c), suy IC THCS.TOANMATH.com ID IAD, AC AD I ,C cố định IC không đổi Vậy D chuyển động đường tròn I ; IC b) GIới hạn: Khi A B D D1 ( D1 giao điểm I ; IC với tiếp tuyến O B ) Khi A C D C Vậy D chuyển động cung D1C đường tròn I ; IC c) Phần đảo: Lấy điểm D cung D1C BD cắt O A A AIC ABC Do ID B ABC (hai góc nội tiếp chắn cung AC O ; DIC Suy AIC Xét IC IAC IAC DIC , AIC IAD có IC DIA ID, AIC IAD (c.g.c), suy AC DIA, IA cạnh chung AD d) Kết luận: Tập hợp điểm D cung D1C đường tròn I , IC (với D1 giao điểm đường tròn I , IC với tiếp tuyến đường tròn O B , I trung điểm cung lớn BC O ) THCS.TOANMATH.com Câu 18 Cho AB dây cung cố định đường tròn O; R C điểm chuyển động cung lớn AB Trên tia CA lấy điểm D cho CD CB Tìm tập hợp điểm D Hướng dẫn: a) Phần thuận: Gọi I trung điểm AB Xét DCI BCI có CD CB, DCI BCI AI IB , CI (cạnh chung) Do (c.g.c), suy ID C IB (khơng đổi); I cố định D thuộc đường tròn cố định I ; IB O D b) Giới hạn: Khi C A A D E B I ( E giao điểm tiếp tuyến A với O I ; IB ) Khi C B D E B Vậy D chuyển động cung BAE I ; IB c) Phần đảo: Lấy điểm D BAE I ; IB , ta có ID Vẽ phân giác DIB cắt O C Xét DCI BCI (c.g.c), suy DCI THCS.TOANMATH.com BCI ,CD CB IB sđ BI nên DCB A, D,C thẳng hàng Mà BCI sđ AB Do sđ AB ACB d) Kết luận: Tập hợp điểm D BAE I ; IB ( I trung điểm AB Chú ý: 1) Xét toán tương tự C chuyển động AB 2) Nhận xét tốn Câu 19 Cho đường tròn O; R , A điểm cố định O Kẻ tiếp tuyến AB với O Đường thẳng d quay quanh A cắt O hai điểm C , D Tìm tập hợp trọng tâm G tam giác BCD Hướng dẫn: a) Phần thuận: Gọi E, F trung B điểm CD,OA ta có F cố định K G (vì OA cố định); K điểm BF cho BK BF F O C , suy K E G1 D B1 cố định (vì BF cố định) BG BK BE BF GK GK / /EF EF BEF có: THCS.TOANMATH.com Suy GK EF mà EF OA , A OA (không đổi) K cố định Vậy G thuộc đường tròn cố định K bán kính OA GK b) Giới hạn: Khi d tiến dần đến tiếp tuyến AB G B Khi d tiến dần đến tiếp tuyến AB1 G G1 (với G1 giao điểm đường tròn K ; OA với BB1 ) Vậy G chuyển đọng BG1 đường tròn K ; OA (trừ hai điểm B G1 ) c) Phần đảo: Lấy điểm G BG1 ( trừ B G1 K ; OA ), suy GK BG OA Trên tia BG lấy điểm E cho BE AE cắt O D,C BEF có: GK EF GK 3 OA E thuộc đường trịn đường kính OA OAE 900 BG BE OE BG BE BK BF CD GK / /EF E trung điểm CD nên G trọng tâm THCS.TOANMATH.com OA BCD có BE trung tuyến BCD d) Kết luận: Tập hợp điểm G BG1 đường tròn K ; OA (với K thuộc đoạn BF, BK BF , G1 giao điểm BB1 K ; OA 3 (trừ B G1 )) Câu 21 Cho điểm A chuyển động cung lớn BC cố định đường tròn O; R Tìm tập hợp tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC Hướng dẫn: Cách 1.a) Phần thuận: A Cung BC cố định, I đặt sđ BC sđ BAC IBC (không đổi) sđ BC 2 ABC ( BI phân giác ABC ); ICB ACB (CI phân giác ACB ); THCS.TOANMATH.com B C 1800 BIC BAC 900 900 IBC 900 ICB 1800 ABC ACB , BC cố định Do I thuộc cung chứa góc dựng đoạn thẳng BC b) Giới hạn: B Khi A C I C Vậy I chuyển động cung chứa góc 900 dựng đoạn thẳng BC nằm nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm O Khi A B I c) Phần đảo: Lấy điểm I thuộc cung BC cung chứa góc dựng đoạn thẳng BC Vẽ điểm A cung lớn BC 900 đường tròn O; R cho BI phân giác ABC BIC 900 ; IBC ICB 1800 BIC ABC IBC 900 BAC ABC phân giác ACB ABC có BI CI phân giác đường trịn nội tiếp ABC ACB CI I tâm d) Kết luận: Tập hợp tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC dựng đoạn thẳng BC nằm nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm O cung chứa góc 900 Cách THCS.TOANMATH.com a) Phần thuận: AI cắt O D , ta có BAD DB DC DC (khơng đổi) DB BID ABI BAI ( BID góc ngồi IBD IBC CBD; BAI ABI IBC ( I tâm đường tròn nội tiếp Suy IBD DI DAC suy BID DB CBD DB ABI ) DC ABC ) DI DB không đổi D cố định Vậy I thuộc đường tròn D, DB b) Giới hạn: Khi A B I B , Khi A C I C Vậy I chuyển động BC đường tròn D, DB c) Phần đảo: Lấy điểm I thuộc BC đường tròn D, DB , ta có DI DB A A D BID ABI DC DB BAI DI DAC , CBD BAI ; IBD BID , DI cắt đường tròn IBD IBC Vậy I tâm đường trịn nội tiếp DAC Do BAI CBD Suy ABI CBD IBC ABC c) Kết luận: Tập hợp điểm I BC đường tròn D, DB nằm nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm O THCS.TOANMATH.com THCS.TOANMATH.com ...III) MỘT SỐ DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS I) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC Tập hợp điểm M cách hai điểm A, B cho trước đường trung trực đoạn... giác ABC cho S APK = SBPC Gọi M giao điểm AP, BK Tìm tập hợp điểm M Hướng dẫn: Bài toán liên quan đến diện tích nên ta A dựng đường cao F E K MF ⊥ AC , BE ⊥ AC , AH ⊥ BD, CI ⊥ BD M1 M D H Ta... /AB ( M  AC ) DN / /AC ( N  AB) Gọi D'' điểm đối xứng D qua MN Tìm quỹ tích điểm D'' điểm D di động cạnh BC Hướng dẫn giải: A M D'' N B THCS.TOANMATH.com D C Phần thuận: Từ giả thiết đề ta