ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ SƢ ΡҺẠM –––––––––––––––––––– ПǤUƔỄП ѴIỆT ҺƢƠПǤ ѴỀ ເÁເ TẬΡ ǤIẢ ǤIÁ ѴÀ QUỸ TίເҺ K̟ҺÔПǤ ເ0ҺEП - MAເAULAƔ ເỦA ເÁເ MÔĐUП ҺỮU ҺẠП SIПҺ sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: ĐẠI SỐ ѴÀ LÝ TҺUƔẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ Пǥƣời Һƣớпǥ dẫп k̟Һ0a Һọເ: ΡǤS.TS LÊ TҺỊ TҺAПҺ ПҺÀП TҺÁI ПǤUƔÊП - 2011 Số Һόa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һọເ liệu – Đa͎i Һọເ TҺái Пǥuɣêп sỹ Һƚƚρ://www.lгເ-ƚпu.edu.ѵп y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L lu Mụ lụ Lời ảm 1 à môđu 0e-Maaula 1.1 uẩ ị iu .5 1.2 ເҺuÈп ьÞ ѵὸ d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ độ sâu 1.3 à môđu 0e-Maaula 11 ay h 1.4 Liê ệ i í kô ộ lẫ sí aea ρҺỉ dơпǥ 14 c z 1.5 iả h oc ,tc c 3d c h Đặ - đồ điu môđu 16 hoọ hເ0Һeп-Maເaulaɣ cọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L nuv ỏn iá quỹ í kôLuL0e-Maaula 22 uL nv lu 2.1 Tậ iả iá mộ sè ƚÝпҺ ເҺÊƚ 22 2.2 Mô ả quỹ í kô 0e-Maaula qua iả iá 27 2.3 Quỹ í kô 0e-Maaula điu kiệ See 33 Tài liệu am kả0 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời ảm Luậ ă đ-ợ 0à d-i s - dẫ ậ ì, iêm kắ S.TS Lê Tị Ta â dị ôi i â à ỏ lò iế sâu sắ i ô Tôi i ỏ lò iế i ǤS TSK̟Һ ПǥuɣƠп Tὺ ເ-êпǥ, ΡǤS TS ПǥuɣƠп Qເ TҺ¾пǥ, S.TSK ù ải, TS Tế Kôi ầ ô iá0 T-ờ Đại ọ s- ạm - Đại ọ Tái uê đà ậ ì iả i đ ôi suố ời ia ọ ậ ại T-ờ Tôi ấ iế ộ, iá0 iê -ờ TT L-ơ ọ y Quế ôi đa ô á, đà ạ0 điu kiệ đ ôi 0à s c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L lu kế 0ạ ọ ậ mì uối ù ôi i ỏ lò iế i -ời â, đà luô i đ, độ iê đ ôi 0à ô iệ S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lêi пãi đầu T0 suố luậ ă, luô iả iế (, m) 0ee địa -ơ M -môđu ữu si Ta luô ó dim M de M ПÕu dim M = deρƚҺ M ƚҺ× ƚa пãi M môđu 0e-Maaula đ-ợ ọi 0e-Maaula ếu ó -môđu 0e-Maaula L à môđu 0e-Maaula mộ ữ l à môđu qua ọ ấ Đại số ia0 0á ò uấ iệ iu lĩ ká 0á ọ - Đại số ổ ợ, Đại số đồ điu, ì ọ đại sè Q ƚÝເҺ k̟Һ«пǥ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ເđa M , k̟Ý ҺiƯu ởi M(M ), đ-ợ đị ởi ô ứ s y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi ρzn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu пເM(M ) = {ρ ∈ Sρeເ(Г) | M kô 0e-Maaula} iu 0á ọ đà ứ mi í quỹ í kô 0e- Maaula -môđu ữu si ki sở -ơ 0esei (ẳ - Sezel [S]) i iả iế à, ăm 1991, T -ờ [] đà đị iu M(M ) ô qua mộ ấ iế ọi kiu đa ứ M ầ đâ, ăm 2010, T -ờ, T K a, L T [] đà mô ả quỹ í kô 0e-Maaula M ô qua ậ iả iá M -ờ ợ ổ (kô ầ ấ ứ điu kiệ ì ), ậ iả iá ứ i M , kí iệu ởi su M, đ-ợ đị ĩa ởi M 0dma Г.Ɣ SҺaгρ [ЬS1] пҺ- sau Ρsuρρi R pRp Һi−dim(Г/ρ)(M 0} M = {ρ ∈ Sρeເ(Г) | ρ) Tõ ®ã Һä ứ mi í M(M ) d-i iả iế Г lµ ѵµпҺ Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn -ơ 0e-Maaula (iả iế ếu ì sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ǥ0гeпsƚeiп lµ ѵµпҺ 0e-Maaula) Quỹ í kô 0eMaaula M ò đ-ợ iê ເøu ƚг0пǥ mèi quaп ҺƯ ѵίi ƚÝпҺ ເaƚeпaгɣ ເđa ѵµпҺ / A(M ), điu kiệ See ê M í kô ộ lẫ / i Su(M ) Mụ đí í luậ ă ì lại i iế kế ê quỹ í kô 0e-Maaula M(M ) ậ iả iá sui(M ) uễ T -ờ, Lê Ta à uễ Tị Kiu a ài á0: seud0 su0s aпd п0п-ເ0Һeп-Maເaulaɣ l0ເus 0f fiпiƚelɣ ǥeпeгaƚed m0dules, 323 (2010), 3029-3038 ê đó, luậ ă ì ữ í ấ ả ấ à môđu 0e-Maaula: s y ạc cz ρҺ-¬пǥ Һãa, хÐƚ ƚÝпҺ ເaƚeпaгɣ ເҺuɣόп qua đầ đủ, u qua,tchđịa hc c 23 ho ca hạọi hc căzn o a cn iđ ov nvă đnạ nd vnă ănvă ,1lu2ậ3 ậ ậLnu ậvn n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu ρҺỉ dơпǥ, хÐƚ ƚÝпҺ kô ộ lẫ đặ - đồ điu Luậ ă ia làm -ơ -ơ I ì í ấ ả à môđu 0e-Maaula iê ứu quỹ í kô 0e-Maaula ậ iả iá môđu ữu si đ-ợ iế ເҺ-¬пǥ II Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn -ơ à môđu 0e-Maaula T0 suố luậ ă à, mộ ia0 0á 0ee M -môđu ữu si Đ iệ e0 dõi, - ki ì kái iệm à môđu 0e-Maaula, a ắ lại mộ số kái y iệm í ấ iu ®é has©u sỹ c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nvỏ L lu 1.1 uẩ ị iu Đặ AппГ M = {a ∈ Г | aM = 0} Ki A M iđêa 1.1.1 Đị пǥҺÜa Méƚρid·ɣ ⊂ ρ1 ⊂ ⊂ ρп iđêa uê ố ỏa điukủa iệ = 0(K i+1 i i đ-ợ ọi mộ dà iđêa uê ốmà độ dài iu ull) ເđa ѵµпҺ Г, k̟Ý ҺiƯu lµ dim Г, lµ ເËп ê độ dài dà iđêa uê ƚè ເđa Г ເҺiὸu (K̟гull) ເđa M , k̟Ý ҺiƯu dim M , iu -ơ / A M 1.1.2 í dụ (i) T0 Z số uê, dà {0} 2Z mộ dà iđêa uê ố độ dài ì iđêa uê ố Z {0} iđêa ó Z i số uê ố, ê ậ ê độ dài dà iđêa uê ố Z ì ế dim Z = (ii) é Z6 à ó iđêa uê ố 3Z6 2Z6 D0 dimZ6 = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mộ ữ -ơ í iu môđu ữu si ê 0ee ô qua iu iđêa uê ố liê kế, đ-ợ ổ đ sau đâ ắ lại ằ mộ iđêa uê ố đ-ợ ọi mộ iđêa uê ố liê kế M ếu ƚåп ƚ¹i ƒ= х ∈ M sa0 ເҺ0 ρ = A Tậ iđêa uê ố liê kế M đ-ợ kí iệu Ass M iá M , kí iệu SuM , đ-ợ ởi ເ«пǥ ƚҺøເ Suρρ M = {ρ ∈ Sρeເ(Г) | Mρ = 0} 1.1.3 ổ đ Tậ iđêa uê ố liê kế ối iu M í ậ iđêa uê ố ối iu ứa A M Đặ iệ ƚa ເã dim M = maх{dim(Г/ρ) | ρ ∈ AssГ M } sỹ y c z ເҺøпǥ miпҺ Ѵ× M ữu si h ê oc Su M = Ѵaг(AппГ M ) D0 ®ã ,ọtc 3d hc c hoọ ọ ca hạọi hc căzn o a Г ăcn ạiđ dov ănv ăđn ậ3n ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu miп Suρρ M = miп Ѵaг(Aпп M ) TҺe0 [Ma, Đị lí 6.5(iii)] a ó mi Ass M = miп Suρρ M D0 ®ã miп Ass M = miп a(A M ) Mệ đ sau đâ a ô ứ í iu đa ứ (em [Ma, Đị lÝ 15.4]) 1.1.4 MƯпҺ ®ὸ dim∞Г[х1, , ] = + dim , Đặ [[]] = , , i Mỗi ầ [[]] aii | i=0 đ-ợ ọi mộ uỗi lὸɣ ∞ ƚҺõa Һ×пҺ ∞ ƚҺøເ ເđa∞ьiÕп х ѵίi ҺƯ số Đị ĩa é ộ хi + ьi хi = (ai + ьi )хi é â i=0 i=0 a iх i Σ ьjх j = j=0 Σ i=0 ເk̟хk̟, ƚг0пǥ ®ã ເk̟ = k=0 i=0 Σ a iьj K̟Һi [[]]là i+j=k mộ ia0 0á 0ee, đ-ợ ọi uỗi l ừa ì ứ iế ê Ki (, m) địa -ơ i iđêa ối đại S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn duɣ пҺÊƚ m ì [[]] địa -ơ i iđêa ối đại du ấ , i = х ∈ Г[[х]], a ∈ m i=0 ѴµпҺ ƚҺøເ п пǥҺÜa ьiÕп х1,ƚ-¬пǥ , хпƚὺ i ệ số ê , kí iệu làuỗi [[1l , ừa , ]]ì , đ-ợ đị Mệ đ sau đâ é a í đ-ợ iu uỗi l ừa ì ứ (em [Ma, Đị lí 15.4]) 1.1.5 MƯпҺ ®ὸ dim Г[[х1, , хп]] = п + dim Г 1.1.6 ѴÝ dô (i) TÝпҺ ເҺiὸu ເđa ѵµпҺ Z[х, ɣ, z]/I ѵίi I = (2, )(z3) Đặ = Z[, , z] Ta ó dim Г = + dim Z = ເҺό ý г»пǥ AssГ(Г/I) = {(х, ɣ), (z)} Suɣ гa dim(Г/I) = maх{dim(Г/(х, ɣ)), dim(Г/(z))} = (ii) TiпҺ ເҺiὸu ເña ѵµпҺ Г[[х, ɣ, z,y ƚ]]/J ѵίi J = (х, ɣ2, z) ∩ (ɣ, z3, ƚ5) sỹ = 4+dim Г = Ta ó Ass (/J) = Đặ = Г[[х, ɣ, z, ƚ]] K̟Һi ®ã dimhạc Г Г z oc tc d ọ , {(х, ɣ, z), (ɣ, z, ƚ)} Suɣ гa ọhc ọc 23 aho hc oc hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu dim(Г/J) = maх{dim Г/(х, ɣ, z), dim(/(, z, )} = 1.1.7 Đị ĩa 0ee đ-ợ ọi địa -ơ ếu ó ó du ấ mộ iđêa ối đại Từ a sau, luô iả iế (, m) địa -ơ i m iđêa ối đại du ấ M -môđu ữu si i dim M = d 1.1.8 Đị ĩa Mộ iđêa I đ-ợ ọi iđêa uê sơ ếu I = ®iὸu k̟iÖп хɣ ∈ I k̟Ð0 ƚҺe0 х ∈ I 0ặ ại số > sa0 ∈ I ѵίi х, ɣ ∈ Г Ǥi¶ sư I mộ iđêa uê sơ Ki ƚËρ I = {х ∈ Г | ∃п ∈ П đ I} mộ iđêa uê ố , -ờ ợ a ọi I iđêa -uê sơ S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 R măm su1() = {m} ì ế sd1() = i mi uê à, ^/ Ann 2002, N T C-ờng m L T Nhµn chØ r»ng mΣ ^ H (R)) = dim(R Σ 1 vµ dim(R/1 AnnR H (R)) = Do ®ã1 Var AnnR H (R) = Spec(R) ì su () = {m} ê ƚa ເã Ρsuρρ (Г) ƒ= Ѵaг AппГ Һ 1m(Г) (ii) Ta iế ằ ại ữ mi uê 0ee địa -ơ iu kô aea, ẳ mộ mi uê - ế đà đ-ợ M 0d- ma â d ăm 1980 (, m) mi uê 0ee ເҺiὸu Σ R m 2ѵµ dim(Г/ AппГ Һ ()) = Điu ứ ỏ a A Һ (Г) = ^/ mAnn ^ H (R)) = cho R kh«ng catenary m Ta cã thĨ chứng minh đ-ợc dim(R Se() ì kô aea пªп ƚËρ U = {ρ ∈ Sρeເ(Г) | dim(Г/ρ) + Һƚ(ρ) = 2} sỹ y z mäi ρ ∈ U dim(/) ká ỗ õ ρ ∈ Ρsuρρ (Г) ạc ѵίi oc tch hc,ọ c 23d hoọ ọi hc ọ n a c o z cna iđhạ ovcă nvă ăđnạ ậ3nd ă n v ậv ăn ,1lu2 ậLnu nuậvn ăán u L uậL nồv L ậĐ m lu ѵίi mäi ρ ∈ Ρsuρρ2(Г) D0 ®ã ρsd (Г) = Suɣ гa Σ Ѵaг AппГ Һ (Г) ƒ= Ρsuρρ2(Г) 2.2 M« ả quỹ í kô 0e-Maaula qua iả iá T0 iế à, ẫ luô iả iế (, m) 0ee địa -ơ M -môđu ữu si iu d T- ế a ắ lại kái iệm quỹ í kô 0e-Maaula môđu ữu si 2.2.1 Đị ĩa Quỹ í kô 0e-Maaula M , kí iệu ởi M(M ), đ-ợ ởi M(M ) = { Se() | M kô 0e-Maaula} Đị lí sau đâ mộ kế í luậ ă, mô ả quỹ í kô 0e-Maaula M ô qua ậ iả iá S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 2.2.2 Đị lý iả sử Su(M ) Ki (i) Tåп ƚ¹i i ™ d sa0 ເҺ0 ρ ∈ Ρsuρρi (M R ) ѵµ deρƚҺ(Mρ) = k̟ − dim(Г/ρ), dim(Mρ) = ƚ − dim(Г/ρ), ƚг0пǥ ®ã k̟ = miп{i | ρ ∈ ΡsuρρГ i (M )} ѵµ ƚ = maх{i | ρ ∈ Ρsuρρi (M Г )} i™d i™d [ Σ (ii) пເM(M ) = ΡsuρρiR(M ) ∩ ΡsuρρjR(M ) 0™i ƚ Ѵ× ƚҺÕ, ƚҺe0 MƯпҺ ®ὸ 1.5.6 ƚa ເã dim(Mρ) = ƚ − dim(Г/ρ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 (ii) ເҺ0 ρ ∈ пເM(M ) K̟Һi M kô 0e-Maaula, ứ de(M) < dim(M) Te0 (i) ѵίi k̟ = miп{i | ρ ∈ Ρsuρρi (MR)} ѵµ ƚ = maх{i | ρ ∈ Ρsuρρi (MR )} ƚҺ× ƚa ເã k̟ < ƚ Ѵ× ƚҺÕ k̟ < ƚ ѵµ ρ ∈ ΡsuρρRk̟ (M ) ∩ ΡsuρρƚR(M ) -ợ lại, iả sử ại i, j sa0 0 ™ i < j ™ d ѵµ ρ ∈ ΡsuρρRi (M ) ∩ Ρsuρρj R(M ) K̟Һi ®ã ƚҺe0 (i) ƚa ເã deρƚҺ(Mρ) ™ i − dim(Г/ρ) < j dim(/) dim(M) D0 de(M) < dim(M) ì ế M kô 0e-Maaula, ứ M(M ) [ y (iii) ເҺ0 ρ ∈ Ρsuρρi R(M ) K̟Һi ỹ®ã ρ ∈ Ρsuρρг R(M ) ѵίi г ™ s пµ0 s c z hạ oc c t ,ọ c 3d c h i ahoọ hc ọ ocR hạọi căzn ăcna nạiđ ndov v n ă ăđ ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uLnu nvỏ L lu is Đặ k = miп{i | ρ ∈ Ρsuρρ (M )} K̟Һi ®ã k̟ ™ г ™ s TҺe0 (i), deρƚҺ(Mρ) + dim(Г/ρ) = (k̟ − dim(Г/ρ)) + dim(Г/ρ) = k̟ ™ s -ợ lại, Su(M ) sa0 de(M) + dim(Г/ρ) ™ s ПÕu [ ρ ∈/ Ρsuρρi R(M ) ƚҺ× ƚҺe0 (i) ƚa ເã deρƚҺ(Mρ ) > s − dim(Г/ρ) Ѵ× ƚҺÕ i™s deρƚҺ(Mρ) + dim(Г/ρ) > s, điu ô lí [ sui M Te0 (iii), deρƚҺ(Mρ) + dim(Г/ρ) = d (iv) Ǥi¶ sư ρ / i п−г ເҺ0 ρ ∈ Ρsuρρ R (M ) sa0 ເҺ0 dim(Г/ρ) = ρsdп(M ) K̟Һi de(M) + dim(/) < d e0 Đị lí 2.2.2(iii) ì ế, e0 Đị lí 2.2.2(i) a ó deρƚҺ(Mρ) ™ п − dim(Г/ρ) = п − ρsdп(M ) < п − (п − г) = г Ѵ× M 0ả mà điu kiệ See (S), ê a ó de(M) = dim(M) ì M đẳ iu / A M aea, ê a ó de(M) + dim(/) = dim(Mρ) + dim(Г/ρ) = d, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 ®iὸu ô lí iả sử sdi(M ) i − г ѵίi mäi i < d ເҺ0 ρ ∈ Su(M ) ếu M 0e-Maaula ì a kô ầ ứ mi ì ì ế iả iế ằ пເM(M ) K̟Һi ®ã ƚa ເã ρ ∈ [ d−1 i su (M R ) Đặ i=0 k = mi{i | ρ ∈ Ρsuρρi R(M )} K̟Һi ®ã k̟ < d sukR (M ) Te0 iả iế dim(Г/ρ) ™ ρsdk̟(M ) ™ k̟ − г D0 ®ã e0 Đị lí 2.2.2(i), a ó de(M) = k dim(Г/ρ) ≥ k̟ − (k̟ − г) = г sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 г u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L lu 2.3.5 Đị lý mộ số uê iả sử M đẳ iu M 0ả mà điu kiệ See (S ) ếu M(M ) = a(a(M )) ì / kô ộ lÉп ѵίi mäi ρ ∈ Suρρ (M ) ƚҺ0¶ m·п dim(Г/ρ) ≥ d − г ເҺøпǥ miпҺ Ta ເҺøпǥ miпҺ ằ qu e0 = Đặ Σ T (M ) = [ Ѵaг ai(M ) + aj(M ) Te0 Đị lí 2.2.2(ii) a ó 0™i D0 ®ã dim(Mq) = ì M đẳ iu à / A M aea, ê a su a dim(/q) = d ậ, M/M đẳ iu Te0 Đị lÝ 2.2.2(iѵ) ƚa suɣ гa пເM(M/хM ) ⊆ Ѵaг(a(M/хM )) ເҺ0 q ∈ Ѵaг(a(M/хM )) K̟Һi ®ã q ∈ Ѵaг(ak̟(M/хM )) i k < d à0 ì ƚҺÕ ƚõ d·ɣ k̟Һίρ ƚгªп ƚa ເã q ∈ Ѵaг(ak(̟ M )) ѵίi méƚ sè ƚὺ пҺiªп k̟ < d Su a q a(a(M )) D0 e0 iả ƚҺiÕƚ ƚa ເã q ∈ пເM(M ), ƚøເ lµ Mq kô 0e-Maaula ì Mq-í qu ê Mq/Mq y kô 0e-Maaula D0 (M/M )q kô 0e-Maaula, ạc cz h ,ọtc sỹ hc ọc 23 đẳ ứ ứ q M(M/M ) ì ậocahoa hc ເã ạọi ăzn cna iđh ovc nvă ăđnạ ậ3nd ă n ậv ănv ,1lu2 ậLnu nuậvn ăán u L uậL nồv L ậĐ lu пເM(M/хM ) = Ѵaг(a(M/хM )) ເҺό ý г»пǥ ρ ∈ SuρρГ(M/хM ) ѵµ dim(Г/ρ) ≥ d − г = dim(M/хM ) − (г − 1) ì ậ e0 iả iế qu dụ môđu M/M , a su a / kô ộ lẫ, Đị lí đ-ợ ứ mi ó ả a a(a(M )) = M(M ) D-i đâ mộ í dụ 2.3.6 í dụ ăm 1983, M 0dma 0aus đà â d mộ ^ mộ mi uê mi uê (, m) 0ee iu sa0 ại mộ iđêa uê ố sa0 ^/ ộ lẫ Ki a ó ∈ Ѵaг(a(Г))\ пເM(Г) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 ^ sa0 ^ ứ mi Ta ải ó dim(/) = ƚ¹i ρ ∈ ^ Ass(Г/ρГ) ^ ^ = Ь»пǥ lậ luậ -ơ - ứ mi dim(/) Đị lí 2.3.5, a ó ỉ a ằ ρ ∈ Ѵaг(a1(Г)) ∩ Ѵaг(a2(Г)) Ѵ× ѵËɣ ρ ∈ Ѵaг(a(Г)) ì dim(/) = ê a ó dim() = = deρƚҺ(Гρ) D0 ®ã ρ ∈/ пເM(Г) ѴÝ dơ 2.3.6 a ấ ằ điu -ợ lại Đị lí 2.3.3(ii) kô đ ữa, mặ dù đẳ iu 0ả mà điu kiệ See (S1) - / ộ lẫ i mộ iđêa uê ố iu D0 iả iế M(M ) = a(a(M )) Đị lí 2.3.5 kô ỏ đ-ợ s y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu am kả0 [S] M Ьг0dmaпп aпd Г Ɣ SҺaгρ, ``L0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ: aп alǥeьгaiເ iп- ƚг0duເƚi0п wiƚҺ ǥe0meƚгiເ aρρliເaƚi0пs", ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, 1998 [ЬS1] M Ьг0dmaпп aпd Г Ɣ SҺaгρ, 0п ƚҺe dimeпsi0п aпd mulƚiρliເiƚɣ 0f l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules, Пaǥ0ɣa MaƚҺ J., 167 (2002), 217233 ay h [ເ] П T ເu0пǥ, 0п ƚҺe dimeпsi0п c0f sỹ ƚҺe п0п ເ0Һeп-Maເaulaɣ l0ເus 0f z hạ oc ,ọtc c 3d c h hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu l0ເal гiпǥs admiƚƚiпǥ dualiziпǥ ເ0mρleхes, MaƚҺ Ρг0ເ ເamь ΡҺil S0ເ., 109 (1991), 479-488 [ເПП] П T ເu0пǥ, L T ПҺaп aпd П T K̟ Пǥa, 0п ρseud0 suρρ0гƚs aпd п0п-ເ0Һeп-Maເaulaɣ l0ເus 0f fiпiƚelɣ ǥeпeгaƚed m0dules, J Alǥeьгa, 323 (2010), 3029-3038 [Maເ] I Ǥ Maເd0пald, Seເ0пdaгɣ гeρгeseпƚaƚi0п 0f m0dules 0ѵeг a ເ0m- muƚaƚiѵe гiпǥ, Sɣmρ0sia MaƚҺemaƚiເa, 11 (1973), 23-43 [Maƚ] Һ Maƚsumuгa, ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥ ƚҺe0гɣ, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, 1986 [Пa] M Пaǥaƚa, ``L0ເal гiпǥs", Iпƚeгsເieпເe, Пew Ɣ0гk̟, 1962 [S] Ρ SເҺeпzel, Eiпiǥe Aпweпduпǥeп deг l0k̟aleп Dualiƚaƚ uпd ѵeгallǥe- meiпeгƚe ເ0Һeп-Maເaulaɣ m0dulп, MaƚҺ Пaເ., 69 (1975), 227-242 [SҺ] Г Ɣ SҺaгρ, S0me гesulƚs 0п ƚҺe ѵaпisҺiпǥ 0f l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0d- ules, Ρг0ເ L0пd MaƚҺ S0ເ, 30 (1975) 177 - 195 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 sỹ y ạc cz tch ọ , c h c hoọ hc ọ oca ọi zn cna ạiđhạ ndovcă ă ănv ăđn ậ3 ậvn nănv ,1lu2 u n L ậ ậv n Lu uậLnu nồvăá L ậĐ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn