Một số ứng dụng của tích phân trong đại số và lượng giác

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VI THỊ NGỌC YẾN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG ĐẠI SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VI THỊ NGỌC YẾN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG ĐẠI SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mở đầu Chương Tính chất tích phân 1.1 Tính chất chung nguyên hàm 1.2 Tính chất tích phân xác định Chương Một số ứng dụng tích phân đại số 2.1 Khảo sát phương trình, bất phương trình Đại số 2.1.1 Chứng minh tồn nghiệm phương trình 2.1.2 Giải phương trình sinh số dạng nguyên hàm 13 2.2 Phương pháp tích phân bất đẳng thức đại số 19 2.3 Phương pháp tích phân tốn cực trị đại số 28 Chương Một số ứng dụng tích phân lượng giác 3.1 32 Tích phân hàm lượng giác hàm tuần hoàn 32 3.1.1 Tích phân hàm chẵn lẻ 32 3.1.2 Tích phân hàm đặc trưng đặc biệt 36 3.1.3 Tích phân hàm tuần hoàn 42 3.1.4 Sử dụng hệ thức truy hồi 45 3.2 Tích phân tốn bất đẳng thức lượng giác 48 3.3 Tích phân toán cực trị lượng giác 51 3.4 Ứng dụng tích phân vào phương trình lượng giác 56 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 MỞ ĐẦU Chuyên đề phép tính tích phân có vị trí đặc biệt tốn học, khơng đối tượng nghiên cứu trọng tâm Giải tích mà cịn cơng cụ đắc lực nhiều lĩnh vực lý thuyết hàm số ứng dụng liên quan Bản thân phép tính tích phân thường sử dụng nghiên cứu Vật lý, Thiên văn học, Cơ học, Y học, giải pháp hữu hiệu mơ hình toán học cụ thể hoạt động thực tiễn Trong kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Olympic Tốn sinh viên tốn liên quan đến tính tốn tích phân hay đề cập xem dạng toán thuộc loại khó Hiện nay, tốn liên quan đến phép tính tích phân nằm chương trình thức Tốn giải tích bậc trung học phổ thơng Lý thuyết tốn phép tính tích phân đề cập giáo trình Giải tích tốn học Tuy nhiên, tài liệu có tính hệ thống ứng dụng phép tính tích phân chuyên đề chọn lọc cho giáo viên học sinh cuối bậc trung học phổ thơng sinh viên trường kỹ thuật chưa có nhiều Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề phép tính tích phân ứng dụng, luận văn "Một số ứng dụng tích phân Đại số Lượng giác" nhằm cung cấp số tính chất tích phân hàm biến cho phân loại dạng toán ứng dụng khảo sát phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức toán cực trị liên quan Đại số Lượng giác Ngoài phần Mở đầu Kết luận, luận văn chia thành ba chương đề cập đến vấn đề sau đây: Chương trình bày tính chất nguyên hàm tích phân hàm biến thực Chương trình bày ứng dụng tích phân đại số Chương trình bày số ứng dụng tích phân lượng giác CHƯƠNG Tính chất tích phân 1.1 Tính chất chung nguyên hàm Kí hiệu K khoảng, đoạn hay nửa khoảng trục thực Định nghĩa 1.1 (xem [3]) Cho hàm số f (x) xác định K Hàm số F (x) gọi nguyên hàm hàm f (x) K hàm số F (x) liên tục K , có đạo hàm điểm x thuộc K F (x) = f (x), ∀x ∈ K Chú ý 1.1 Trong trường hợp K = [a; b], đẳng thức F (a) = f (a), F (b) = f (b) hiểu giá trị đạo hàm phía F (x) − F (a) x→a x−a F (x) − F (b) F (b) = lim− x→b x−b F (a) = lim+ Định lý 1.1 ([3], [5], Về tồn nguyên hàm) Mọi hàm số liên tục K có nguyên hàm K Định lý 1.2 (xem [3]) 1) Nếu hàm số f (x) có nguyên hàm F (x) K K có vơ số nguyên hàm 2) Hai nguyên hàm hàm cho K sai khác số cộng Từ Định lí 1.2 ta thấy F (x) nguyên hàm hàm số f (x) K nguyên hàm f (x) K có dạng F (x) + C , với C ∈ R Vậy F (x) + C, C ∈ R họ tất nguyên hàm f (x) K R Họ tất nguyên hàm f (x) K kí hiệu f (x)dx Để đơn giản cách trình bày, ta sử dụng cách viết sách giáo khoa: Z f (x)dx = F (x) + C, C ∈ R Định lý 1.3 (Tính chất nguyên hàm) R i) R ii) d iii)
0 f (x)dx = f (x) R
f (x)dx = f (x)dx df (x) = f (x) + C Định lý 1.4 (Quy tắc tìm nguyên hàm) i) ii) R kf (x)dx = k R R f (x)dx (k 6= 0) R R f (x)dx+ g(x)dx = [f (x) + g(x)]dx iii) Quy tắc đổi biến Z Z f (x)dx = f [ϕ(t)]ϕ0 (t)dt, x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục iv) Quy tắc lấy nguyên hàm phần Z Z udv = uv − vdu, u = u(x), v = v(x) hàm số có đạo hàm liên tục 1.2 Tính chất tích phân xác định Ta nhắc lại định nghĩa tích phân xác định hàm số Định nghĩa 1.2 Cho hàm số y = f (x) xác định đoạn [a; b] Chia đoạn [a; b] thành n đoạn nhỏ điểm chia xi (i = 0, , n): a = x0 < x1 < x2 < x3 < < xn−1 < xn = b (Mỗi phép chia gọi phép phân hoạch đoạn [a; b], kí hiệu Π.) Đặt ∆xi = xi − xi−1 d(Π) = max ∆xi , ≤ i ≤ n Trên đoạn [xi−1 ; xi ], ta lấy điểm tùy ý ξi (i = 1, , n) lập tổng σΠ = n X f (ξi )∆xi (1.1) i=1 Tổng (1.1) gọi tổng tích phân hàm số f (x) ứng với phép phân hoạch Π Nếu giới hạn I = lim σΠ = lim d(Π) →0 d(Π) →0 n X f (ξi )∆xi i=1 tồn tại, không phụ thuộc vào phép phân hoạch đoạn [a; b] cách chọn điểm ξi giới hạn gọi tích phân xác định f (x) [a; b] kí hiệu Zb f (x)dx = lim n X d(Π) →0 a f (ξi )∆xi i=1 Khi hàm f (x) gọi khả tích đoạn [a; b] Chú ý 1.2 Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào việc lựa chọn biến lấy tích phân: Zb Zb f (x)dx = a f (t)dt a Ta ln ln có Zb Zb f (x)dx = 0, b a f (x)dx = − Za f (x)dx b Như thấy, để tính diện tích "hình thang cong", ta xấp xỉ phần giới hạn đường cong cho trước nhờ tổng xác định tìm diện tích xác cách thiết lập giới hạn tổng Sau đó, tìm giá trị số giới hạn cở sở sử dụng định lí phép tính giới hạn Để ý rằng, f (x) liên tục [a; b] lim max ∆xk →0 n X Zb f (xk )∆xk = k=1 b f (x)dx = F (x) a = F (b) − F (a) (1.2) a F (x) nguyên hàm f (x) Có nhiều đại lượng khác Hình học, Vật lí, khảo sát phương pháp thể tích, độ dài, diện tích mặt đại lượng vật lí công sinh lực biến đổi tác động từ khoảng cách cho trước, lực thủy tĩnh, Trong trường hợp vậy, trình thực phép chia khoảng biến thiên độc lập thành khoảng nhỏ đại lượng xét tính gần tổng tương ứng, giới hạn tổng cho ta giá trị xác đại lượng cần tính dạng tích phân xác định - tính tốn nhờ phép tính Ta thấy chi tiết trình tính giới hạn tổng tích phân phức tạp lặp lặp lại nhiều lần việc chọn điểm tùy ý Điều gây trở ngại cho nhận thức trực quan tích phân xác định Cách thức khảo sát việc xây dựng tích phân xác định (1.2) phương pháp trực quan dễ hiểu (xem [5]) Ta hình dung diện tích đường cong (giới hạn phần đường cong trục x) tổng nhiều hình chữ nhật xếp thẳng đứng hình có độ cao y chiều rộng dx, diện tích dS = ydx = f (x)dx (1.3) Diện tích gọi phần tử tích phân diện tích hay đơn giản phần tử diện tích, nằm vị trí tùy ý miền đánh dấu giá trị x a b Bây giờ, ta xem diện tích tồn S hợp tất phần tử diện tích dS diện tích hình chữ nhật thẳng đứng quét lấp đầy miền √ S= xdx = x = n n 3 √ Gọi Ai điểm với toạ độ (i, i) (i = 1, , n) A điểm có toạ độ (n, 0) Khi diện tích đa giác 0A1 A2 An−1 An A S1 ta có: √ √ √ √ √ √ √ √ √ S1 = ( + + + + + · · · + n − + n − + n − + n) √ √ √ 1√ = + + ··· + n − n 27 Do S1 < S , nên: √ 1+ Suy √ √ + ··· + √ n− 1√ √ n < n n √ √ 4n + + ··· + n < √ Gọi Bi điểm với toạ độ (i, i + 1) với i = 0, , n − Khi ký hiệu S2 diện tích đa giác 1+ (2.17) 0B0 A1 B1 A2 An−1 Bn−1 An Bn S2 = Suy √ √ √ 1+ √ + ··· + √ n √ n> n n Từ (2.17) (2.18), ta suy điều phải chứng minh 1+ + ··· + √ (2.18) Bài toán 2.24 Chứng minh n! < nn+ e1−n , n ∈ N∗ \{1} Lời giải Xét hàm số y = ln x với ≤ x ≤ n Gọi S diện tích hình tam giác cong giới hạn đường y = 0, x = n, y = ln x Khi đó, ta có Zn S= ln xdx = (x ln x − x)|n1 = n ln n − n + (2.19) Gọi Ai điểm với tọa độ (i; ln i), i = 1, 2, , n A điểm có tọa độ (n; 0) Khi diện tích S1 đa giác A1 A2 An−1 An A xác định theo công thức S = [ln + ln + ln + + ln(n − 2) + ln(n − 1) + ln(n − 1) + ln n] 1 = ln + ln + + ln n − ln n = ln(n!) − ln n (2.20) 2 28 Do S1 < S nên từ (2.19) (2.20), ta thu  1 ln(n!) < n + ln n + − n hay 1 n! < e1−n e(n+ ) ln n ⇔ n! < e1−n nn+ 2.3 Phương pháp tích phân toán cực trị đại số Bài toán 2.25 Tìm giá trị lớn hàm số f (x) = 2x6 + 3x4 + 6x2 − 11x, x ∈ [0, 1] Lời giải Ta có g(t) = t5 + t3 + t hàm liên tục đồng biến [0, 1] Do đó, ∀x ∈ [0, 1], ta có Zx (t5 + t3 + t)dt x Z1 (t5 + t3 + t)dt, hay 1 1 x6 x4 x2 + + 6x + + 6 Suy 2x6 + 3x4 + 6x2 − 11x Vậy, giá trị lớn hàm số y = f (x) x ∈ [0, 1] 0, x = x = Bài tốn 2.26 Tìm giá trị lớn hàm số √ f (x) = πx − 2 arcsin x, x ∈ [0, Lời giải Ta có g(t) = − √ √ ] hàm nghịch biến liên tục − t2 29 " " √ # √ # 2 0, , nên ∀x ∈ 0, , 2 √ √ Zx Z2 −√ dt ≥ x − √ dt − t2 − t2 0 √ √22 x ⇔ arcsin t x arcsin t 0 √ xπ arcsin x · Do √ πx − 2 arcsin x ≥ √ Vậy, giá trị nhỏ f (x) x = x = 2 Bài tốn 2.27 Tìm giá trị lớn hàm số √ √ √ f (x) = 3x − 3arctan x + x(π − 3) √ đoạn [0, 3] Bài tốn 2.28 Tìm giá trị lớn hàm số √ √ f (x) = 3x2 + 4x x + 4(2 − x) − x − 6x, x ∈ [0, 2] √ √ Lời giải Ta có g(t) = t + t − − t hàm liên tục đồng biến [0, 2], nên ∀x ∈ [0, 2], Zx (t + √ t− √ (t + √ t− √ − t)dt # " # √ x 2 √ √ t2 2t t t 2t t