Cd3 ds10 kntt b5 elip

5     ELIP Thuật ngữ Đỉnh, độ dài trục Đường chuẩn, tâm sai Bán kính qua tiêu Hình chữ nhật sở   Kiến thức, kĩ Xác định yếu tố đặc trưng elip (ellipse) biết phương trình tắc Giải số vấn đề thực tiễn gắn với elip Mỗi hành tinh hệ Mặt Trời chuyển động theo quỹ đạo hình elip nhận tâm Mặt Trời tiêu điểm Khoảng cách lớn nhỏ từ Trái Đất đến tâm Mặt Trời tương ứng với khoảng 152.106 km 147.106 km (Theo: nssdc.gsfc.nasa.gov) Liệu có lập phương trình tắc elip quỹ đạo Trái Đất? HÌNH DẠNG CỦA ELIP HĐ1: Cho elip có phương trình tắc (H.3.1) a) Tìm toạ độ giao điểm elip với trục toạ độ b) Hãy giải thích sao, điểm thuộc elip điểm có toạ độ , thuộc elip c) Với điểm thuộc elip, so sánh với Giải: a) + Gọi  x0 ;0  tọa độ giao điểm elip với trục hoành x02 1  x02 a  x0 a Ta có a  a ;0  ,  a ;  Vậy tọa độ giao điểm elip với trục hoành  0; y 0 + Gọi  tọa độ giao điểm hypebol với trục tung y02 1  y02 b  y0 b b Ta có Vậy tọa độ giao điểm elip với trục tung x02 y02  1 M  x0 ; y0  b b) Vì điểm thuộc elip nên a  0;  b  ,  0; b  x ;  y0    x0 ; y0    x0 ;  y0  Vì thay tọa độ điểm  , , vào phương trình tắc elip ta có 2 x0 y0  1 a2 b2 nên điểm thuộc elip c) Vì điểm M  x0 ; y0  thuộc elip nên x02 y02 x02 y02 x02       1  x02 a  x0 a a b2 a2 b2 a2 M  x0 ; y0  Tương tự ta có điểm thuộc elip nên x02 y02 y02 x02 y02  1  1   1  y02 b  y0 b a b b a b x2 y2  1 b Cho elip có phương trình tắc a , với a  b  Khi  Elip có hai trục đối xứng Ox , Oy tâm đối xứng gốc toạ độ O  Các điểm  Các đoạn thẳng A1 A2 , B1 B2 tương ứng gọi trục lớn, trục nhỏ  Độ dài trục lớn, trục nhỏ tương ứng 2a 2b  b OM a với M thuộc elip  Hình chữ nhật với bốn đỉnh sở elip Ví dụ A1   a;  , A2  a;  , B1  0;  b  , B2  0; b  gọi đỉnh P   a; b  , Q   a;  b  , R  a;  b  , S  a; b  gọi hình chữ nhật x2 y  1 Cho elip 100 25 Tính diện tích tứ giác có bốn đỉnh bốn đỉnh elip Giải Các trục lớn, trục nhỏ elip tương ứng (H.3.2) có độ dài 2a 2 100 20 2b 2 25 10 A  10;  , A2  10;0  Do đó, elip có đỉnh  , B1  0;  5 , B2  0;5  Tứ giác A1 B1 A2 B2 có hai đường chéo vng góc với nhau, nê̂n có diện tích 1 S  A1 A2 B1 B2  20 10 100 2 Luyện tập Viết phương trình tắc elip với độ dài trục lớn 10 tiêu cự Giải x2 y2  1 b Gọi phương trình tắc elip có dạng a Ta có độ dài trục lớn 2a 10  a 5 Tiêu cự 2c 6  c 3 2 2 2 Mặt khác: b a  c 5  4 x2 y  1 Vậy phương trình tắc elip là: 25 16 x2 y2  1 Ví dụ b Cho elip có phương trình tắc a Chứng minh rằng, điểm thuộc elip khác đỉnh nằm hình chữ nhật sở, cịn bốn đỉnh elip trung điểm cạnh hình chữ nhật Giải x02 y02  1 2 2 2 M  x0 ; y0  b Gọi điểm thuộc elip Do a nên x0 a , y0 b x0 a y0 0 , 2 x ;y y0 b x0 0 Vậy  a  x0  a,  b  y0  b cặp  0  bốn cặp   a;0  ,  a;0  ,  0;  b  ,  0; b  Tử đó, ta có điều phải chứng minh Chú ý b Khi tỉ số a nhỏ (càng gần ), hình nhật sở "dẹt" elip "gầy" b Khi tỉ số a lớn (càng gần tới 1), hình chữ nhật sở gần với hình vng elip "béo" (càng gần đường tròn) (H.3.4) Hinh 3.4 2 (Phép co đường tròn) Cho đường tròn có phương trình x  y a số k (0  k  1) M  x0 ; y0  H x ;0 Với mổi điểm thuộc đường trịn, gọi   hình chiếu vng góc M lên trục Ox HN k HM ,  H 3.5  N điểm thuộc đoạn MH cho x y ;k a) Tính toạ độ N theo 0i b) Chứng minh điểm M thay đổi đường trịn N thay đổi elip có phương trình Luyện tập x2 y2  1 2 tắc a (ka ) Giải a) N thuộc đoạn MH Ta có Vậy  N  x0 ; yN  HN k HM  yN2 k y02  y N ky0 N ( x0 ; ky0 ) N ( x0 ;  ky0 )   HN  k HM  y N ky0 Sửa: Ta có Vậy N ( x0 ; ky0 )  x02  x  x  x02    y2  2  y (ky0 )  y0  N ( x ; y ) k  b) Ta gọi theo ý a) ta có y2 x2 y2  x  y a  x  a   1 k a (ka ) M thay đổi đường tròn 2 2 => điều phải chứng minh 2 Chú ý: Người ta nói: Phép co trục hồnh hệ số k biến đường tròn x  y a thành elip có phương x2 y2  1 2 trình a ( ka ) BÁN KÍNH QUA TIÊU, TÂM SAI VÀ ĐƯỜNG CHUẨN HĐ Cho elip có hai tiêu điểm F1   c;0  , F2  c;0  độ dài trục lớn 2a điểm M  x; y  2: 2 a) Tính MF1  MF2 MF  MF2 2a  b) Khi điểm M thuộc elip  , tính MF1  MF2 ; MF1 ; MF2 Giải a) Ta có: MF12  x  c   y 2 Khi ; MF22  x  c   y MF12  MF22  x  c   y   x  c   y 4cx 2   MF1  MF2   MF1  MF2  4cx   MF1  MF2  2a 4cx b) Theo câu a) ta có MF1  MF2 4cx 4cx 2cx  MF1  MF2   2a a cx  2cx  MF1 a   MF  MF    a a    MF1  MF2 2a  MF a  cx  a  Giải hệ phương trình x2 y2  1 F  c;  , F2  c;0  b Cho elip có phương trình tắc a , với tiêu điểm  (với c c MF1 a  x, MF2 a  x 2 M x ; y   thuộc elip, ta có c  a  b ) Với điểm a a Các đoạn thẳng MF1 , MF2 gọi bán kính qua tiêu M x2 y2  1 Ví dụ b Cho elip có phương trình tắc a Tìm điểm elip để khoảng cách từ điểm đến tiêu điểm F1 tương ứng đạt giá trị nhỏ nhất, lớn Giải 2 M  x0 ; y0  Elip có nửa tiêu cự c  a  b Với điểm thuộc elip, ta có bán kinh qua tiêu M c MF1 a  x0 F a Mặt khác M  x0 ; y0  thuộc elip nên  a  x0 a Do đó, ứng với tiêu điểm c a  c MF1 a  x0 a  c a Hơn nữa, MF1 a  c  x0  a, y0 0 MF1 a  c  x0 a, y0 0 A  a;0  A a;  Vậy MF1 nhỏ điểm M trùng đỉnh  MF1 lớn điểm M trùng đỉnh  elip Chú ý: Tương tự ví dụ 3, khoảng cách từ M đến tiêu điểm F2 A a;0  nhỏ M trùng đỉnh  lớn M trùng đỉnh A1   a;0  Bán kính qua tiêu có độ dài lớn nửa tổng độ dài trục lớn tiêu cự, có độ dài nhỏ nửa hiệu độ dài trục lớn tiêu cự x2 y  1, Luyện tập Cho elip 36 20 điểm M thay đổi elip Hỏi khoảng cách từ M tới tiêu điểm elip lớn bao nhiêu, nhỏ bao nhiêu? Giải: 2 Elip có a 36, b 20  a 6, b  20, c  36  20 4 Tiêu điểm F1   4;0  , F2  4;0     A1   6;0  , A2  6;0  , B1 0;  20 , B2 0; 20 Đỉnh:  Khoảng cách từ M tới tiêu điểm lớn F1 A2  FA  Khoảng cách từ M tới tiêu điểm nhỏ 1 Vận dụng   4    4     10     2 Với thơng tin đưa tình mở đầu, lập phương trình tắc elip quỹ đạo Trái Đất, với đơn vị đo mặt phẳng tọa độ ứng với 10 km thực tế Giải: x2 y  1 b Phương trình tắc elip có dạng: a Khoảng cách lớn nhỏ từ Trái Đất đến tâm Mặt Trời F1 A2 152, F1 A1 147 a F1 A2  F1 A1 299, 2c F1 F2 F1 A2  F1 A1 5  b a  c  357579 Suy x2 y2  1 Phương trình quỹ đạo Trái Đất là: 89401 357579 Sửa : 2a F1 A2  F1 A1 299  a  299 2c F1 F2 F1 A2  F1 A1 5  c   b a  c 22344 x2 y2  1 Phương trình quỹ đạo Trái Đất là: 89401 22344 x2 y2  1, HĐ3 F  c;  , F2  c;0  , a2 b2 Cho elip có phương trình tắc với tiêu điểm  c  a  b (H.3.6) Xét đường thẳng 1 : x  a2 a2  : x  c c Với điểm M  x; y  thuộc elip, tính tỉ số MF1 d  M , 1  MF2 d  M ,   theo a c Hình 3.6 Giải Với điểm M  x; y  thuộc elip ta có MF1 d  M , 1  c c x a x c a a    a c a a a x x c a c a MF2  d  M ,   Sửa MF2 d  M ,   , c c x a x c a a    a c a a a x x c a c a c c x a x c a a   a c a a2 a x x c a c a x2 y2  1, F  c;  , F2  c;0  b Cho elip có phương trình tắc a với tiêu điểm  ( với c  a  b ) Khi điểm M  x; y  thay đổi trêm elip, ta ln có MF1 MF2  e d  M , 1  d  M ,   khơng đổi, c a gọi tâm sai elip a a 1 : x   : x  e e gọi đường chuẩn tương ứng với F1 F2 elip e   Chú ý  Tâm sai e elip số dương nhỏ  Độ dài bán kính qua tiêu điểm M  x; y  thuộc elip viết dạng MF1 a  ex, MF2 a  ex Ví dụ x2 y2  1 Cho elip 64 39 Tìm tâm sai, tiêu điểm đường chuẩn elip Giải 2 2 Ta có a 64, b 39 Suy a 8, b  39 c  a  b 5 c e   0, 625 F  5;0  , F2  5;0  a Vậy elip có hai tiêu điểm  tâm sai Đường chuẩn ứng với 64 64 1 : x   : x  F F đường chuẩn ứng với tiêu điểm tiêu điểm x2 y2  1 Luyện tập Cho elip có phương trình tắc 36 25 Tìm tâm sai đường chuẩn elip Tính bán kính qua tiêu điểm M thuộc elip có hồnh độ  Giải 2 2 Ta có a 36, b 25 Suy a 6, b 5 c  a  b  11 11 Đường chuẩn ứng với Vậy elip có hai tiêu điểm 36 36 1 : x   : x  11 đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2 11 tiêu điểm F1    F1  11;0 , F2 11; c  tâm sai e  a  Bán kính qua tiêu điểm M thuộc elip có hồnh độ  MF1 6  11 11 MF2 6  ; c a  b2 b e   1   a  a  nên: a2 Nhận xét Trong phương trình tắc elip, tâm sai  b e nhỏ ( gần 0) a lớn elip “béo” ( gần đường tròn);  b e lớn ( gần tới 1) a nhỏ elip “dẹt” (H.3.7) Vận dụng Mặt Trăng chuyển động theo quỹ đạo hình elip nhận tâm Trái Đất tiêu điểm Các khoảng cách lớn nhỏ từ vị trí Mặt Trăng đến tâm Trái Đất tương ứng 400 000 km 363 000 km ( Theo: nssdc.gsfc.nasa.gov) Tìm tâm sai quỹ đạo elip Giải Giả sử Trái Đất tiêu điểm Mặt Trăng điểm M  x; y F1   c ;0  nằm elip  E : x2 y  1 a b2 Khi khoảng cách từ Mặt Trăng đến Trái Đất max MF1 a    a ; a Sửa: MF1 a  c x a với x   a ; a  c c   a  a  c 400000 MF1 a  a a  c 363000 a a ;   a ; a c MF1 a  x a với x   a ; a  c c max MF1 a  a a  c 400000 MF1 a    a  a  c 363000   a ; a a a ;   a ; a a  c 363000 a 381500   Giải hệ phương trình a  c 400000 c 18500 c 18500 37 e   a 381500 763 Vậy tâm sai BÀI TẬP x2 y  1 3.1 Cho elip 12 a) Xác định đỉnh độ dài trục elip b) Xác định tâm sai đường chuẩn elip c) Tính bán kính qua tiêu điểm M thuộc elip, biết điểm M có hồnh độ  Giải 2 2 a) Ta có a 12, b 4 Suy a 2 3, b 2 c  a  b 2 Vậy elip có đỉnh     A1  3;0 A2 3;0 B1  0;   B2  0;  , , , Độ dài trục lớn 2a 4 Độ dài trục nhỏ 2b 4 c e   a b) Tâm sai Các đường chuẩn elip:  1  : x  a a     : x  3 e e ; c) Điểm M thuộc elip , có hồnh độ  nên bán kính qua tiêu là: MF1 a  c x 2    3 2  a c 6 MF2 a - x 2   3 2  a ; 3.2 Viết phương trình tắc elip trường hợp sau: a) Độ dài trục lớn 8, tiêu cự b) Độ dài trục lớn tâm sai Giải: x2 y2  1 b Gọi phương trình tắc elip là: a 2 a) Độ dài trục lớn nên a  , tiêu cự nên c  Suy b  a  c  x2 y  1 Vậy, phương trình tắc elip cần tìm là: 16 b) Độ dài trục lớn nên a 4 c e   2 a Suy c  , b  a  c 2 Tâm sai x2 y  1 Vậy, phương trình tắc elip cần tìm là: 16 x2 y  1 3.3 Cho elip a) Qua tiêu điểm elip vẽ đường thẳng vng góc với trục Ox, cắt elip hai điểm A B Tính độ dài đoạn thẳng AB b) Tìm điểm M elip cho MF1 2 MF2 với F1 F2 hai tiêu điểm elip (hoành độ F1 âm) Giải 10 2 2 a) Ta có a 9, b 5 Suy a 3, b  c  a  b 2 Đường thẳng qua tiêu điểm AB  AF1 Có F1 elip vng góc với trục Ox, cắt elip hai điểm A B Suy AF1  AF2 2a 6  AF2 6  AF1 Mặt khác, tam giác Suy  AF1  AF1 F2 vuông nên 2  AF1       AF1   AF1  2   F2 F1   AF2  10 AB  Vậy b) Có MF1  MF2 2a 6  MF 4    MF2 = Và MF1 2 MF2 Hoành độ F1 âm nên c MF1 a  x 3  x 4  x   y  a 3  3  M1  ;  M  ;   2 ; 2  Vậy, có hai điểm M thỏa mãn: c 15 MF1 a  x 3  x 4  x   y  a 2 Sửa:  15  3 15  M  ;  M  ;    2 ; 2 Vậy, có hai điểm M thỏa mãn: 11 3.4 Đường trịn phụ hình elip đường trịn có đường kính trục nhỏ elip (H.3.8) Do đó, đường trịn phụ đường trịn lớn nằm bên hình elip Tìm phương trình đường trịn phụ b  x2 y2 N  x0 ; y0   1 M x ; y  0  thuộc elip điểm  a  thuộc đường b elip a chứng minh rằng, điểm tròn phụ Giải: 2  x0   y0  x2 y2 M ( x0 ; y0 ) thuộc elip a  b 1 nên a  b 1 2 Đường trịn phụ có tâm trùng với gốc tọa độ O , bán kính R b có phương trình x  y b (1) 2 b  b  N  x0 ; y0   x0    y0  b  vào phương trình (1), ta được:  a  Thay tọa độ điểm  a  x0  Chia vế phương trình cho b , ta được: a2   y0  b2 1 (mệnh đề đúng) Vậy, điểm N thuộc đường tròn phụ (đpcm) 3.5 Với tâm sai khoảng 0, 244 , quỹ đạo elip Diêm Vương “dẹt” so với quỹ đạo tâm hành tinh hệ Mặt Trời (xem Em có biết? cuối bài) Nửa độ dài trục lớn elip quỹ đạo khoảng 590 635.106 km Tìm khoảng cách gần khoảng cách xa Diêm Vương tâm Mặt Trời (tiêu điểm quỹ đạo) (Theo: nssdc.gsfc.nasa.gov ) Giải: Coi Diêm Vương chất điểm M , di chuyển theo quỹ đạo elip có tiêu điểm F tâm mặt trời ( hình vẽ) Khi khoảng cách Diêm Vương tâm Mặt Trời là bán kính qua tiêu điểm M  x; y MF a  c x  a  x MF a  c a 12 c e  0, 224 11 a Ta có : a 590 635.10 km ; Suy c 1,323.10 11 11 Vậy, khoảng cách gần là: a  c 4,58335.10 km , khoảng cách xa là: a  c 7, 22935.10 km 3.6 Một phòng thầm có trần vịm elip với hai tiêu điểm độ cao 1, 6m (so với mặt sàn) cách 16m Đỉnh mái vòm cao 7, 6m (H.3.9) Hỏi âm thầm từ tiêu điểm sau giây đến tiêu điểm kia? Biết vận tốc âm 343, m/s làm tròn đáp số tới chữ số sau dấu phẩy Giải: Theo giả thiết, tiêu cự elip 16m nên c 8m Nửa độ dài trục nhỏ: b 7,6  1,6 6m 2 Vậy nửa độ dài trục lớn elip: a  c  b 10 Âm thầm từ tiêu điển thứ nhất, giả sử phản xạ đến vị trí điểm M, hội tụ vị trí tiêu điểm thứ MF1  MF2 2a 20m 2, quãng đường là: Do vận tốc âm 343, m/s nên thời gian để âm thầm từ tiêu điểm đến tiêu s 20 t   0, 0583 v 343, điểm giây 13