Kiến thức, kĩ năng • Mô tả các bước chứng minh tính đúng đắn của một mệnh đề toán học bằng phương pháp quy nạp toán học. • Chứng minh tính đúng đắn của một mệnh đề toán học bằng phương pháp quy nạp toán học. • Vận dụng phương pháp quy nạp để giải quyết một số vấn đề thực tiễn.
1 MỆNH ĐỀ ❶ Giáo viên Soạn: Lê Công Hiếu FB: Lê Công Hiếu Giáo viên Soạn: Nguyễn Nga ❷ Giáo viên phản biện : Hồ Thị Liên FB: Hồ Liên MỆNH ĐỀ, MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN a Mệnh đề: HĐ1: Trong câu tình mở đầu : a) Câu đúng? b) Câu sai? c) Câu khơng xác định tính sai? Giải a) Câu nói Khoa b) Câu nói An sai c) Câu ‘’Có vật xuất hình vẽ ?’’ khơng xác định tính sai Những câu nói An Khoa khẳng định có tính sai Người ta gọi câu mệnh đề lôgic (gọi tắt mệnh đề) Những câu không xác định tính sai khơng phải mệnh đề Mỗi mệnh đề phải hoặc sai Một mệnh đề vừa vừa sai Chú ý : Người ta thường sử dụng chữ P, Q, R ,…để biểu thị mệnh đề Ví dụ Trong câu sau, câu mệnh đề? Câu khơng phải mệnh đề? a) Phương trình 3x x 0 có nghiệm nguyên; b) ; c) Có dấu hiệu nhận biết hai tam giác đồng dạng ? d) Đấy cách xử lí khơn ngoan! Giải Chương Đại số ⓾ Vì phương trình 3x x 0 có nghiệm nguyên x 1 nên câu a Câu b sai Do câu a câu b mệnh đề Câu c câu hỏi; câu d câu cảm thán, nêu lên ý kiến người nói Do đó, khơng xác định tính sai Vậy câu c d mệnh đề Chú ý :Những mệnh đề liên quan đến toán học (các mệnh đề câu a câu b Ví dụ 1) gọi mệnh đề toán học Luyện tập sau : Thay dấu ‘’?’’ dấu ‘’x’’ vào ô thích hợp bẳng Câu Không phải mệnh đề ? Mệnh đề ? Mệnh đề sai ? ? ? ? ? ? ? Thời tiết hôm thật đẹp! Giải ? ? ? Câu Không phải mệnh đề Mệnh đề x Mệnh đề sai 13 số nguyên tố Tổng độ dài hai cạnh tam giác nhỏ độ dài cạnh lại Bạn làm tập chưa? 13 số nguyên tố Tổng độ dài hai cạnh tam giác nhỏ độ dài cạnh lại Bạn làm tập chưa? x x Thời tiết hôm thật x đẹp! b Mệnh đề chứa biến Xét câu “ n chia hết cho ” (với n số tự nhiên) Ta chưa khẳng định tính sai câu này, chưa phải mệnh đề Tuy nhiên, thay n số tự nhiên cụ thể câu cho ta mệnh đề Chẳng hạn: Với n 5 ta mệnh đề “5 chia hết cho 2” Đây mệnh đề sai Với n 10 ta mệnh đề “10 chia hết cho 2” Đây mệnh đề Ta nói câu “ n chia hết cho ” mệnh đề chứa biến Xét câu “ x ” Hãy tìm hai giá trị thực x để từ câu cho ta nhận mệnh đề mệnh đề sai Giải Khi x 7 x mệnh đề Chương Đại số ⓾ Khi x x mệnh đề sai MỆNH ĐỀ PHỦ ĐỊNH HĐ2: Quan sát biển báo hình bên Khoa nói: “Đây biển báo đường dành cho người bộ” An không đồng ý với ý kiến Khoa Hãy phát biểu ý kiến An dạng mệnh đề Giải Phát biểu ý kiến An : “Đây biển báo đường dành cho người bộ” Để phủ định mệnh đề P, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” “không phải” vào trước vị ngữ mệnh đề P Ta kí hiệu mệnh đề phủ định mệnh đề P P Để phủ định mệnh đề P, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” “không phải” vào trước vị ngữ mệnh đề P Ta kí hiệu mệnh đề phủ định mệnh đề P P Mệnh đề P mệnh đề P hai phát biểu trái ngược Nếu P P sai, cịn P sai P Ví dụ Phát biểu mệnh đề phủ định mệnh đề sau: P: “17 số phương” ; Q: “Hình hộp khơng phải hình lăng trụ” Giải Mệnh đề phủ định P P : “17 số phương” Mệnh đề phủ định Q Q : “Hình hộp hình lăng trụ” Luyện tập Phát biểu mệnh đề phủ định mệnh đề sau xác định tính sai mệnh đề phủ định P: “2022 chia hết cho 5” ; Q: “Bất phương trình x có nghiệm” Giải Chương Đại số ⓾ Mệnh đề phủ định P P : “2022 không chia hết cho 5” Mệnh đề P mệnh đề sai 2022 : 505 dư Mệnh đề phủ định Q Q : “ Bất phương trình x vơ nghiệm ” Mệnh đề Q mệnh đề sai với x 1: 2.1 3 nên x 1 nghiệm bất phương trình x Vận dụng Cho mệnh đề Q: “Châu Á châu lục có diện tích lớn giới” Phát biểu mệnh đề phủ định Q xác định tính sai hai mệnh đề Q Q Giải : Mệnh đề phủ định Q : “Châu Á châu lục có diện tích lớn giới’’ Mệnh đề Q mệnh đề Q mệnh đề sai MỆNH ĐỀ KÉO THEO, MỆNH ĐỀ ĐẢO a Mệnh đề kéo theo HĐ3: Trong Cặp từ quan hệ sau phù Sử dụng hợp rượu bia tham với vị trí bị che khuất câu ghép hình gia giao bên? thơng A Nếu … … bị xử phạt hành B Tuy … … Giải xử lí hình tùy Nếu Sử dụng rượu bia tham gia giao thông theo mức độ vi bị xử phạt hành xử lí phạm hình tùy theo mức độ vi phạm HĐ4: Cho hai câu sau P : “ Tam giác ABC tam giác vuông A ”; Q : “ Tam giác ABC có AB AC BC ” Hãy phát biểu câu ghép có dạng “ Nếu P Q ” Giải Nếu tam giác ABC tam giác vuông A ” 2 Tam giác ABC có AB AC BC ” Mệnh đề ‘’Nếu P Q ’’ gọi mệnh đề kéo theo kí hiệu P Q Ví dụ Cho tứ giác , xét hai câu sau: P : “ Tứ giác ABCD có tổng số đo hai góc đối diện 180 ”; Chương Đại số ⓾ Q : “ ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn ” Phát biểu mệnh đề P Q cho biết tính sai mệnh đề Giải P Q : “ Nếu tứ giác ABCD có tổng số đo hai góc đối diện 180 ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn ” Mệnh đề kéo theo mệnh đề Các định lí tốn học mệnh đề thường có dạng P Q Khi ta nói: P giả thiết định lí, Q kết luận định lí, “ P điều kiện đủ để có Q ” b.“ Q Mệnh đảo điềuđề kiện cần để có P ” HĐ5: Cho hai câu sau : P : “ Phương trình bậc hai ax bx c 0 có hai nghiệm phân biệt”; Q : “ Phương trình bậc hai ax bx c 0 có biệt thức b 4ac ” a) Hãy phát biểu mệnh đề P Q b) Hãy phát biểu mệnh đề Q P Giải a) Nếu phương trình bậc hai ax bx c 0 có hai nghiệm phân biệt Phương 2 trình bậc hai ax bx c 0 có biệt thức b 4ac 2 b) Nếu phương trình bậc hai ax bx c 0 có biệt thức b 4ac Phương trình bậc hai ax bx c 0 có hai nghiệm phân biệt Mệnh đề P Q gọi mệnh đề đảo mệnh đề P Q Nhận xét Mệnh đề đảo mệnh đề không thiết mệnh đề Hãy phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề : “Nếu tam giác tam giác tam giác tam giác cân” xác định tính sai mệnh đề đảo Ví dụ Giải Chương Đại số ⓾ Mệnh đề đảo : “ Nếu tam giác ABC tam giác cân tam giác ABC tam giác đều” Mệnh đề đảo sai Cho mệnh đề : “và chia hết cho ” ; : “chia hết cho ” Luyện tập a) Hãy phát biểu định lí P Q Nêu giả thiết, kết luận định lí phát biểu định lí dạng điều kiện cần, điều kiện đủ b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề P Q xác định tính sai mệnh đề đảo Giải a) Phát biểu định lí P Q Nếu a b chia hết cho c a b chia hết cho c Trong giả thiết a b chia hết cho c , kết luận a b chia hết cho c Phát biểu định lý dạng điều kiện cần : a b chia hết cho c điều kiện cần để a b chia hết cho c Phát biểu định lý dạng điều kiện đủ : a b chia hết cho c điều kiện đủ để a b chia hết cho c b) Mệnh đề đảo mệnh đề P Q ‘’nếu a b chia hết cho c a b chia hết cho c ’’ Mệnh đề đảo mệnh đề P Q mệnh đề sai a 2; b 7; c 3 a b chia hết cho c c b chia hết cho c MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG HĐ6: Hãy xác định tính sai mệnh đề sau : “Một số tự nhiên chia hết cho số có chữ số tận ngược lại” Giải “Một số tự nhiên chia hết cho số có chữ số tận 5’’ mệnh đề “Số tự nhiên có chữ số tận số chia hết cho 5’’ mệnh đề Mệnh đề HĐ6 phát biểu dạng : “Một số tự nhiên chia hết cho số có chữ số tận ” Mệnh đề “ b Q ” gọi mệnh đề tương đương kí hiệu P Q Nhận xét Nếu hai mệnh đề P Q Q P mệnh đề tương đương P Q Khi ta nói “ b tương đương với Q ” “ b điều kiện cần đủ để có Q ” “ b Q ” Ví dụ Cho hai mệnh đề P : “Tứ giác ABCD hình vng”; Chương Đại số ⓾ Q : “ Tứ giác ABCD hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với nhau” Hãy phát biểu mệnh đề tương đương P Q xác định tính sai mệnh đề tương đương Giải Mệnh đề tương đương P Q : “Tứ giác ABCD hình vng tứ giác ABCD hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với nhau” Mệnh đề tương đương hai mệnh đề P Q Q P Luyện tập Phát biểu điều kiện cần đủ để số tự nhiên chia hết cho Giải Số tự nhiên n chia hết cho số có chữ số tận số chẵn MỆNH ĐỀ CĨ CHỨA KÍ HIỆU ∀,∃ Câu “Mọi số thực có bình phương khơng âm” mệnh đề Có thể viết mệnh đề sau: Kí hiệu đọc “với mọi”; " P : x , x 0" Câu “Có số hữu tỉ mà bình phương 2” mệnh đề Có thể viết mệnh đề sau: " Q : x , x 2" Em xác định tính đúng, sai hai mệnh đề Giải Câu “Mọi số thực có bình phương khơng âm” mệnh đề Câu “Có số hữu tỉ mà bình phương 2” mệnh đề sai Luyện tập Phát biểu lời mệnh đề sau cho biết mệnh đề hay sai x , x 0 Giải Chương Đại số ⓾ Mệnh đề phát biểu là: “Mọi số thực có bình phương cộng với nhỏ 0” 2 Mệnh đề sai x 0 nên x Dưới ta xét mệnh đề phủ định mệnh đề có chứa kí hiệu , 1.1=1 Mọi số tự nhiên nhân với Khơng Có số tự nhiên nhân với khơng 2.1=2 3.1=3 4.1=4 … Mệnh đề “ Có số tự nhiên nhân với khơng nó” phủ định mệnh đề “Mọi số tự nhiên nhân với nó” Như mệnh đề phủ định mệnh đề P : " n , n.1 n " mệnh đề P :" n , n.1 n " Ví dụ Viết mệnh đề phủ định mệnh đề sau xác định tính đúng, sai P :" x , x 0" Giải Mệnh đề P phát biểu là: “Tồn số thực mà bình phương cộng với 0” Phủ định mệnh đề P là: “Không tồn số thực mà bình phương cộng với 0”, tức “Mọi số thực có bình phương cộng với khác 0” Ta viết mệnh đề phủ định P P : " x , x 0" Mệnh đề phủ định Luyện tập Trong tiết học mơn Tốn, Nam phát biểu: “Mọi số thực có phương khác 1” bình Mai phát biểu: “Có số thực mà bình phương 1” Chương Đại số ⓾ a) Hãy cho biết bạn phát biểu b) Dùng kí hiệu , để viết lại phát biểu Nam Mai dạng mệnh đề Giải a) Bạn Nam phát biểu tồn số thực x 1 để x 1 b) Phát biểu Nam dạng mệnh đề: P :" x , x 1" Phát biểu Mai dạng mệnh đề (đây mệnh đề phủ định P): P :" x , x 1" BÀI TẬP 1.1 Trong câu sau, câu mệnh đề? a) Trung Quốc nước đông dân giới; b) Bạn học trường nào? c) Không làm việc riêng trường học; d) Tơi sút bóng trúng xà ngang 1.2 Xét tính sai mệnh đề sau: a) 10 ; b) Phương trình 3x 0 có nghiệm; c) Có số cộng với 0; d) 2022 hợp số 1.3 Cho hai câu sau: P: “Tam giác ABC tam giác vng”; Q: “Tam giác ABC có góc tổng hai góc cịn lại” Hãy phát biểu mệnh đề tương đương P Q xét tính sai mệnh đề 1.4 Phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề sau xác định tính sai chúng P: “Nếu số tự nhiên n có chữ số tận n chia hết cho 5”; Q: “Nếu tứ giác ABCD hình chữ nhật tứ giác ABCD có hai đường chéo nhau” 2 1.5 Với hai số thực a b, xét mệnh đề P :" a b " Q :"0 a b " Chương Đại số ⓾ a) Hãy phát biểu mệnh đề P Q b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề câu a c) Xác định tính sai mệnh đề câu a câu b 1.6 Xác định tính sai mệnh đề sau tìm mệnh đề phủ định Q: “ n , n chia hết cho n+1” 1.7 Dùng kí hiệu , để viết mệnh đề sau: P: “Mọi số tự nhiên có bình phương lớn nó”; Q: “ Có số thực cộng với 0” Em có biết? Lơgic mệnh đề lần phát triển cách có hệ thống nhà triết học Hy Lạp Aritotle 2300 năm trước thảo luận nhà toán học người Anh George Boole vào năm 1854 sách “The Laws of Think” Aritotle George Boole Hướng dẫn giải: 1.1 Câu a) “Trung Quốc nước đông dân giới.” mệnh đề là: Câu b) câu nghi vấn; Câu c) câu cầu khiến; Câu d) câu khẳng định chưa xác định tính sai) 1.2 Xét tính sai mệnh đề sau: 10 a) Mệnh đề 3,14 10 10 3,33 nên b) Phương trình 3x 0 có nghiệm Vì phương trình 3x 0 có nghiệm hữu tỉ x 10 7 nên mệnh đề Chương Đại số ⓾ c) Có số cộng với 0;Do tồn số thực để + = nên mệnh đề d) 2022 hợp số Ta có: 2022 1011.2 nên 2022 hợp số hay mệnh đề cho 1.3 Mệnh đề tương đương P Q : “Tam giác ABC tam giác vuông tam giác ABC có góc tổng hai góc cịn lại” Mệnh đề P Q Thật vậy: + P Q đúng: Hiển nhiên + Mệnh đề Q P : “Tam giác ABC có góc tổng hai góc cịn lại tam giác ABC tam giác vuông” Không giảm tổng quát ta giả sử tam giác ABC có: A B C 1800 B C B C 1800 B C 900 A B C Nên tam giác ABC vng A Do mệnh đề Q P 1.4 Mệnh đề đảo P: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho n có chữ số tận ” Mệnh đề sai số nguyên n có chữ số tận Mệnh đề đảo Q: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo tứ giác ABCD hình chữ nhật” Mệnh đề sai (khơng thỏa mãn dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật) (Tứ giác có hai đường chéo hình thangcân) 1.5 2 a) Mệnh đề P Q : “Nếu a b a b ” 2 b) Mệnh đề đảo Q P : “Nếu a b a b ” 11 Chương Đại số ⓾ c) Mệnh đề P Q sai ví dụ có ( 3) 42 Mệnh đề Q P 1.6 Mệnh đề Q tồn n 0 để chia hết cho Mệnh đề phủ định: Q : “ n , n không chia hết cho n ” 1.7 P :" n , n n " Q :" x , x x 0" 12 Chương Đại số ⓾