CHƯƠNG I §7 Các khái niệm mở đầu §8 Tổng và hiệu của hai vectơ §9 Tích của một vectơ với một số §10 Vectơ trong mặt phẳng tọa độ §11 Tích vô hướng của hai vectơ Bài tập cuối chương 4 CHƯƠNG IV VECTƠ C[.]
CHƯƠNG I CHƯƠNG IV VECTƠ §7 Các khái niệm mở đầu §8 Tổng hiệu hai vectơ §9 Tích vectơ với số §10 Vectơ mặt phẳng tọa độ §11 Tích vơ hướng hai vectơ Bài tập cuối chương CHƯƠNG CHƯƠNG IV.IVECTƠ TOÁN ĐẠI TOÁN ĐẠI SỐ ➉ SỐ CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU KHÁI NIỆM VECTƠ HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, CÙNG HƯỚNG, BẰNG NHAU BÀI TẬP Vectơ gọi hiệu hai vec tơ và kí hiệu Phép lấy hiệu hai vec tơ gọi phép trừ vec tơ Chú ý Nếu Với ba điểm O, M, N tùy ý, ta có Quy tắc hiệu: Với ba điểm O, M, N, ta có Ví dụ 2: Cho Hình bình hành ABCD điểm O Chứng minh Lời giải • Áp dụng quy tắc hiệu, ta có • Mặt khác nên Ví dụ 3: Lời giải • a) Chứng minh trung điểm • b) Chưng minh trọng tâm tam giác ABC • a) (H4.15) Khi I trung điểm AB, hai vec tơ có độ dài ngược hướng • Do đó, đối nhau, suy Ví dụ 3: Lời giải • a) Chứng minh trung điểm • b) Chưng minh trọng tâm tam giác ABC b) (H4.16) Trọng tâm G tam giác ABC thuộc trung tuyến AI Lấy điểm D đối xứng với G qua I • Khi tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên hình bình hành • Ta có • Hai vec tơ có độ dài ngược hướng nên chúng hai vec tơ đối nhau, • Trong hình bình hành, ta có • Vậy Luyện tập Lời giải • Ta có Cho tứ giác Gọi , trung điểm cạnh , O trung điểm Chứng minh Chú ý: Phép cộng vec tơ tương ứng với quy tắc tổng hợp lực, tổng hợp vận tốc • Nếu hai lực tác động vào chất điểm biểu diễn vec tơ , hợp lực tác dộng vào biễu diễn vec tơ • Nếu thuyền di chuyển sông với vận tốc riêng( vận tốc so với dòng nước) biễu diễn vec tơ vận tốc dòng nước( so với bờ) biễu diễn vec tơ vận tốc thực tế thuyền (so với bờ) biểu diễn vec tơ Ví dụ 4: Lời giải Ta biểu thị hai bờ sông hai đường thẳng song song, (H4.17) Cho tứ giác Gọi , trung điểm cạnh , O trung điểm Chứng minh Giả sử tàu xuất phát từ bánh lái , giữ để tàu tạo với bờ góc Gọi vec tơ vận tốc riêng tàu vận tốc dòng nước Gọi điểm cho • Khi tàu chuyển chuyển động với vec tơ vận tốc thực tế • Gọi tương ứng giao điểm với Tàu chuyền động thẳng từ đến với vận tốc thực tế , thời gian cần thiết kế để tàu sang bờ • Mặt khác khơng đổi nên nhỏ nhỏ Cho tứ giác Gọi , • Vậy để tàu sang bờ bên trung điểm cạnh , O nhanh nhất, ta cần giữ bánh lái để trung điểm Chứng minh tàu ln vng góc với bờ Ví dụ 4: Vận dụng: Tính lực kéo cần thiết để kéo pháo có trọng lượng ( ứng với khối lượng xấp xỉ ) lên dốc nghiêng so với phương nằm ngang (H.4.18) Nếu lực kéo người , cần tối thiểu người để kéo pháo? Lời giải Ta có • Trọng lực có độ lớn , có phương Chú ý: vng góc với phương nằm ngang hướng xuống Ta coi pháo chịu tác động ba lực: Trọng lực ( có độ lớn , • Phản lực có độ lớn , có phương vng góc với phương • có phương vng góc với mặt nằm ngang hướng xuống dốc hướng lên trên) dưới), phản lực ( có độ lớn , có phương vng góc với mặt dốc hướng lên trên) lực kéo ( theo Bài tập: Lời giải 4.6 Cho bốn điểm , , , Hãy chứng minh a) b) a) Ta có b) Ta có nên Bài tập: Lời giải 4.7 Cho hình bình hành Hãy tìm điểm để Tìm mối quan hệ hai vec tơ Ta có thep quy tắc hình bình hành nên đỉnh thứ tư hình bình hành ( hình vẽ) Bài tập: Lời giải 4.8 Cho tam giác cạnh Tính độ dài vec tơ a) Tính độ dài vectơ Ta có nên b) Tính độ dài vectơ • Gọi trung điểm Suy • Dựng điểm cho tứ giác hình thoi • Ta lại có B D H A C Bài tập: Lời giải 4.9 Hình 4.19 biểu diễn hai lực tác động lên vật, cho Tính độ lớn hợp lực • Gọi • Ta có • Xét tam giác • Vậy Bài tập: 4.10 Hai tàu xuất phát lúc từ bờ bên để sang bờ bên dòng sơng với vận tốc riêng khơng đổi có độ lớn Hai tàu giữ lái cho chúng tạo với bờ góc nhọn tàu hướng xuống hạ Lời giải lưu, tàu hướng lên thượng • Gọi tàu thứ tàu hướng nguồn ( hình vẽ) Vận tốc dịng xuống hạ lưu có vận tốc thực tế nước đáng kể, yếu tố bên ngồi khác khơng ảnh hưởng • tàu thứ hai tàu hướng lên đến vận tốc tàu Hỏi thượng nguồn có vận tốc thực tế tàu sang bờ bên trước? • Ta thấy nên tàu thứ Bài tập trắc nghiệm: Lời giải Câu Cho hình bình hành giao điểm Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A B C D Phương án C sai theo quy tắc hình bình hành Bài tập trắc nghiệm: Lời giải Câu Cho điểm Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A B C D Ta có Bài tập trắc nghiệm: Lời giải Câu Cho bốn điểm Trong Ta có khẳng định sau, khẳng định đúng? A B C D Bài tập trắc nghiệm: Lời giải Câu Cho với điểm , , , Chọn khẳng định đúng? A B C D Ta có