2 toan 10 b2 c9 duong thang tu luan hdg

C H Ư Ơ N CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG VII PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG LÝ THUYẾT I = = PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG = a Véc tơ phương vectơ pháp tuyến đường thẳng I r r u ¹ - Vectơ gọi vectơ phương (VTCP) đường thẳng D giá song song trùng với D Nhận xét:   k u ,  k 0  u d + Nếu vtcp đường thẳng véc tơ phương d + Một đường thẳng xác định biết vtcp điểm mà qua u r r n ¹ - Vectơ gọi vectơ pháp tuyến (VTPT) D giá vng góc với D Page CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Nhận xét:   k n ,  k 0  n d a) Nếu vtpt đường thẳng vtpt d   b) Nếu n VTPT đường thẳng d u VTCP đường thẳng d  n.u 0 c) Một đường thẳng xác định biết VTPT mộ điểm qua LIÊN HỆ GIỮA VTCP VÀ VTPT   n u d Từ nhận xét “Nếu VTPT đường thẳng VTCP đường thẳng   d n.u 0 ” ta rút được: n  A; B  VTPT đường thẳng d VTCP   u  B ;  A u   B; A    d ( )   Từ nhận xét “Nếu n VTPT đường thẳng d u VTCP đường thẳng   u d n.u 0 ” ta rút được:  a; b  VTCP đường thẳng d VTPT   n   b ; a n  b;  a    d (hoặc ) Hai nhận xét giúp ích nhiều việc chuyển đổi qua lại dạng phương trình đường thẳng Từ PTTQ ta chuyển sang PTTS ngược lại b Phương trình tham số đường thẳng Page CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG  A x ; y u    a; b  Khi 0 Cho đường thẳng  qua điểm có vectơ phương   M  x; y  điểm thuộc đường thẳng  tồn số thực t cho AM tu , hay  x  x0  at   y  y0  bt (2) Hệ (2) gọi phương trình tham số đường thẳng  (t tham số)  M x ; y u  a; b    0 Đường thẳng d qua điểm có vtcp có phương trình tham  x  x0  at  y  y0  bt  d  tương ứng với số  ( Mỗi điểm M thuộc đường thẳng số thực t  R ngược lại) Nhận xét : A Ỵ D Û A(x0 + at;y0 + bt), t Î R  x  x0  at  y  y0  bt Oxy Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , phương trình dạng  với  a  b 0 phương trình đường thẳng d có vtcp u  a; b  b Phương trình tổng quát (PTTQ) đường thẳng Trong mặt phẳng tọa độ, đường thẳng có phương trình tổng qt dạng ax  by  c 0 , với a b không đồng thời Ngược lại, phương trình dạng ax  by  c 0 , với a b không đồng thời , phương trình đường  n  a; b  thẳng, nhận vectơ pháp tuyến  M  x0 ; y0  n  A; B  d Đường thẳng qua điểm có VTPT có phương trình tổng qt A  x  x0   B  y  y0  0 Ngược lại, mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy phương trình dạng Ax  By  C 0  A2  B 0  phương trình tổng quát đường thẳng d có  n  A; B  VTPT Một số trường hợp đặc biệt PTTQ Ax  By  C 0  A2  B 0  a) Nếu A 0 phương trình trở thành By  C 0  y  C B đường thẳng song C  M  0;   B  song với trục hoành Ox cắt trục tung Oy điểm Page CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Ax  C 0  x  b) Nếu B 0 phương trình trở thành C A đường thẳng song  C  M   ;0  A  song với trục tung Oy cắt trục hồnh Ox c) Nếu C 0 phương trình trở thành Ax  By 0 đường thẳng qua gốc tọa độ O  0;0  d) Đường thẳng có dạng y ax  b , (trong a gọi hệ số góc đường   n  a;  1 n  A; B  thẳng ) có VTPT Ngược lại đường thẳng có VTPT có hệ số góc  A B x y  1 A  a;0  B  0; b  e) Đường thẳng d qua điểm có phương trình a b d Phương trình tắc đường thẳng Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0  có vtcp  u  a; b  với a 0, b 0 có x  x0 y  y0  b phương trình tắc là: a Ví dụ: Viết phương trình tham số phương trình tổng quát đường thẳng d trường hợp sau: a) Đường thẳng d qua điểm A(2; 1) có vectơ phương u = (3; 2); b) Đường thẳng d qua điểm B(3; 3) có vectơ pháp tuyển n = (5; -2); c) Đường thẳng d qua hai điểm C(1; 1), D(3;5) Giải a) Đường thẳng d qua điểm A(2; 1) có vectơ phương u = (3; 2), nên ta có phương trình tham số d là: t {x=2+3 y=1+2 t Đường thẳng d có vectơ phương u = (3; 2) nên có vectơ pháp tuyền n = (2; -3) Phương trình tổng quát d là: 2(x – 2) – 3(y – 1) =  2x – 3y – = b) Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n = (5; -2) nên có vectơ phương u = (2; 5) Phương trình tham số d là: {x=3+2t y=3+5 t Phương trình tổng quát d là: 5(x – 3) – 2(y – 3) =  5x – 2y – = c) Đường thẳng d qua hai điểm C(1; 1),D(3; 5) nên có vectơ phương u =  CD = (2; 4) Page CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG có vectơ pháp tuyến n = (4; -2) Phương trình tham số d là: t { x=1+2 y=1+4 t Phương trình tổng quát d là: 4(x – 1) – 2(y – 1) =  4x – 2y – =  2x – y – =0 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : a1 x  b1 y  c1 0 d : a2 x  b2 y  c2 0 Nếu n n phương ∆ ∆ song song trùng Lấy điểm P tuỳ ý ∆   Nếu P ∈ ∆ ∆ ≡ ∆ Nếu P ∉ ∆ ∆ // ∆ Nếu n n không phương ∆ ∆ cắt điểm M(x0; y0) với (x0; y0) nghiệm hệ phương trình: a1 x+ b1 y + c1=0 a2 x+ b2 y + c2 =0 { Chú ý 1: a) Nếu n n = n ⊥ n 2, suy ∆ ⊥ ∆ b) Đề xét hai vectơ n (a1; b1) n (a2; b2) phương hay không phương, ta xét biểu thức a1b1 – a2b2: Nếu a1b1 – a2b2 = hai vectơ phương Nếu a1b1 – a2b2 ≠ hai vectơ khơng phương Chú ý 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : a1 x  b1 y  c1 0 d : a2 x  b2 y  c2 0   Để xét vị trí tương đối hai đường thẳng ta xét số nghiệm hệ phương trình  a1 x  b1 y  c1 0   a2 x  b2 y  c2 0 101\* MERGEFORMAT (.)  1.1 có nghiệm ta nói hai đường thẳng cắt tọa độ giao điểm + Nếu hệ nghiệm hệ phương trình nói  1.1 vơ nghiệm ta nói hai đường thẳng nói song song với + Nếu hệ  1.1 nghiệm với x  R hai đường thẳng trùng + Nếu hệ + Tuy nhiên để thuận tiện cho việc xét nhanh vị trí tương đối hai đường thẳng ta ý nhận xét sau Nhận xét Nếu a2b2 c2 0 ta có a1 b1   d1  d  I  a) a2 b2 Page CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG a1 b1 c1    d1 / / d a b2 c2 b) a1 b1 c1    d1 d a c) b2 c2 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng 1 : a1 x  b1 y  c1 0  : a2 x  b2 y  c2 0 Khái niệm góc hai đường thẳng Hai đường thẳng ∆ ∆ cắt tạo thành bốn góc  Nếu ∆ khơng vng góc với ∆ góc nhọn bốn góc gọi góc hai đường thẳng ∆ ∆  Nếu ∆ vng góc với ∆ ta nói góc ∆ ∆ 900 Ta quy ước: Nếu ∆ ∆ song song trùng góc ∆ ∆ 00 Như góc α hai đường thẳng thoả mãn: 00 ≤ α ≤ 900 Góc hai đường thẳng ∆ ∆ kí hiệu (^ ∆ 1, ∆ ) (∆ 1, ∆ 2) Khi hai đường thẳng cắt góc hai đường thẳng tính theo công thức:   n1.n2 a1a2  b1b2 cos  1 ;       n1 n2 a12  b12 a22  b22 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG M x ;y  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng  : ax  by  c 0 điểm 0 Khi khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  tính theo cơng thức: d  M 0;   ax0  by0  c a  b2 BÀI TẬP Câu Trong mặt phẳng tọa độ, cho   n  2;1 , v  3;  , A  1;3  , B   2;1  a) Lập phương trình tổng quát đường thẳng 1 qua A có vectơ pháp tuyến n   v B b) Lập phương trình tham số đường thẳng qua có vectơ phương c) Lập phương trình tham số đường thẳng AB Lời giải  a) Phương trình tổng quát đường thẳng 1 qua A có vectơ pháp tuyến n 2( x  1)  ( y  3) 0  x  y  0 Page CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG   v B b) Phương trình tham số đường thẳng qua có vectơ phương  x   3t 2 :   y 1  2t c) Lập phương trình tham số đường thẳng AB  AB   3;   Đường thẳng AB qua điểm A có vectơ phương  x 1  3t   y 3  2t Câu Lập phương trình tổng quát trục tọa độ Lời giải  O  0;0  Ox - Phương trình trục qua điểm nhận j (0;1) làm vectơ pháp tuyến có phương trình y 0  O  0;0  - Phương trình trục Oy qua điểm nhận i (1; 0) làm vectơ pháp tuyến có phương trình x 0  x 1  2t 1 :   y 3  5t  :2 x  y  0 Câu Cho hai đường thẳng a) Lập phương trình tổng quát 1 b) Lập phương trình tham số  Lời giải a) Lập phương trình tổng quát 1  M 1;3 u  2,5     Đường thẳng qua điểm , có vectơ phương nên 1 có vectơ pháp  tuyến n (5;  2) Khi phương trình tổng qt 1 là: x  y  0 b) Lập phương trình tham số   N  1;1 Đường thẳng  qua điểm , có vectơ pháp tuyến n (2;3) nên  có vectơ  x 1  3t   u  3;   phương Khi phương trình tham số  là:  y 1  2t A  1;  , B  3;0  C   2;  1 Câu Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có a) Lập phương trình đường cao kẻ từ A Page CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B Lời giải A a) Lập phương trình đường cao kẻ từ Đường cao kẻ từ A qua A  1;  nhận  CB  5;1 vectơ pháp tuyến có phương trình x  y  0 b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B  1 M  ;  Gọi M trung điểm AC  2   7 1 MB  ;    2  vectơ phương nên có vectơ pháp Đường trung tuyến kẻ từ B nhận  B  3;0  tuyến n (1;7) qua nên có phương trình là: x  y  0 Câu (Phương trình đọan chắn đường thẳng ) Chứng minh rằng, đường thẳng qua hai điểm trình A  a;0  , B  0; b  với ab 0  H 7.3 có phương x y  1 a b Lời giải A  a;0  , B  0; b   AB   a; b  Đường thẳng qua hai điểm nhận làm vectơ phương có  n  b; a  vectơ pháp tuyến Khi phương trình đường thẳng là: bx  ay  ab 0 Page CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Vì ab 0 nên chia hai vế phương trình cho ab ta phương trình x y  1 a b 0 Câu Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ 21, Bắc, kinh độ 105,8 Đơng, sân bay 0 Đà Nẵng có vĩ độ 16,1 Bắc, kinh độ 108, Đông Một máy bay, bay từ Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng Tại thời điểm t giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay vị trí có vĩ độ x Bắc, kinh độ y Đơng tính theo công thức 153   x 21,  40 t   y 105,8  t  a) Hỏi chuyến từ Hà Nội đến Đà Nẵng giờ? b) Tại thời điểm kể từ lúc cất cánh, máy bay bay qua vĩ tuyến 17 ( 17 Bắc) chưa? Lời giải a) Hỏi chuyến từ Hà Nội đến Đà Nẵng giờ? 0 Thay x 16,1 , y 108, vào cơng thức ta có 153  16,1  21,  t  40  t  108, 105,8  t  Vậy chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng b) Tại thời điểm kể từ lúc cất cánh, máy bay bay qua vĩ tuyến 17 ( 17 Bắc) chưa? Tại thời điểm kể từ lúc cất cánh máy bay bay đến 17,375 Bắc nên máy bay bay qua vĩ tuyến 17 Câu Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau: a) 1 : x  y  0  : x  y  b) d1 : x  c) m1 : x  y  0 m2 : x  y  0 0 3y  0 d2 : x  3y  0 Giải: 3 x  y  0  a) Xét hệ phương trình 6 x  y  0 có vơ số nghiệm Page CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Vậy 1  trùng  x  y  0  b) Xét hệ phương trình  x  y  0 vô nghiệm Vậy d1 d2 song song   x    x  y  0 y 5   Hệ phương trình có nghiệm c) Xét hệ phương trình 3x  y  0  5 A ;  Vậy m1 m2 cắt  7  Câu Tính góc cặp đường thẳng sau: a) 1 : x  y  0  : x  3y  0  x   2t  x 3  s d1 :  d2 :   y 3  4t  y 1  3s ( t, s tham số) b) Giải:  n1   3;1 a) Đường thẳng 1 có vectơ pháp tuyến  n 1; Đường thẳng  có vectơ pháp tuyến   Gọi  góc đường thẳng 1  Ta có    3.1  n1 n2 cos  cos n1 , n2     n1 n2  12 12       3  Do đó, góc đường thẳng 1   30   u 2; n    2;  1 d b) Đường thẳng có vectơ phương nên có vectơ pháp tuyến   u 1;  n    3;1 d Đường thẳng có vectơ phương nên có vectơ pháp tuyến Gọi  góc đường thẳng d1 d2 Ta có   n1 n2   2.3    1 cos  cos n1 , n2      2 n1 n2 22    1 32  12   Do đó, góc đường thẳng d1 d2  45 Page 10