ĐỀ ĐỀ XUẤT THI HSG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ MÔN TOÁN 10 NĂM HỌC 2022 2023 Thời gian 180 phút Câu 1 (Đa thức) Cho tam thức bậc hai 2( )f x x ax b= + + Biết rằng phương trình ( )( ) 0ff x = có bốn[.]
ĐỀ ĐỀ XUẤT THI HSG DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ MƠN TỐN 10 NĂM HỌC 2022 - 2023 Thời gian : 180 phút Câu (Đa thức) ff x( )) = Cho tam thức bậc hai f (x) = x + ax + b Biết phương trình ( có bốn nghiệm phân biệt có hai nghiệm có tổng - 1, chứng minh Câu (Bđt) Giả sử a,b,c b£ - 2 số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng a b c + + £ minh b + c + a + Câu ( hình học) Cho tam giác ABC nội tiếp (O)có đường cao AD,BE,CF Gọi EF cắt BC L Giả sử BE,CF cắt AL I,J X,Y trung điểm BE,CF a) Chứng minh X,Y,I,J nằm đường tròn b) Giả sử ∠BAC=60° Gọi O' điểm đối xứng O qua BC Đường qua L vuông AO' cắt OD G Chứng minh AG chia đôi BC Câu ( số học) a) Cho X tập hợp tất số tự nhiên n khác thỏa mãn tính chất " n có 15 ước số dương" Hãy tìm số n bé thuộc tập X b) Tìm giá trị nhỏ Câu (tổ hợp) Q 12m 5n với m , n số nguyên dương Một giải đấu bóng đá có 20 đội bóng tham dự Tại thời điểm giải đấu, người ta nhận thấy có 101 trận đấu diễn hai đội thi đấu với không trận Chứng minh rằng, thời điểm đó, tồn đội bóng đơi thi đấu với Giáo viên đề: Đào Thị Lê Dung – THPT Chuyên Thái Bình SĐT: 0385.792.492 Hết HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ CHẤM Hướng dẫn giải Thang điểm điểm Câu 1.( điểm) Cho tam thức bậc hai f (x) = x + ax + b Biết phương trình ff( x( )) = có bốn nghiệm phân biệt có hai nghiệm có tổng b£ - - 1, chứng minh Giả sử phương trình có hai nghiệm ff( x( )) = x1;x2 thỏa mãn f ( x) = có bốn nghiệm phân biệt x ;x ;x ;x chẳng hạn f ( x) = c x1 + x2 = - a hay a = Các phương trình Suy phương trình c;d , theo định lý Viet Khi nghiệm phương trình Ta xét hai trường hợp sau: x1;x2 điểm x1 + x2 = - phải có hai nghiệm phân biệt, gọi chúng c + d =- a ta có Trường hợp 1: x1;x2;x3;x4 f ( x) = c; f ( x) = d hai nghiệm phương trình, hay x + ax + b - c = Áp dụng định lý Viet f ( x) = c; f ( x) = d trở thành x + x + b - c = x2 + x + b - d = ìï 1- 4( b - c) > ï í ï 1- 4( b - d) > Các phương trình có hai nghiệm phân biệt nên ïïỵ , - 8b + 4( c + d) > c +d = - suy Lại nên ta có - 8b - > Þ b < - Trường hợp 2: x1;x2 f ( x) = c; f ( x) = d nghiệm hai phương trình điểm 2 Ta có x1 + ax1 + b = c x2 + ax2 + b = d Cộng hai đẳng thức ta có x12 + x22 + a ( x1 + x2 ) + 2b = c + d Û x12 + x22 + 2b = (vì c + d = - a x1 + x2 = - ) Áp dụng BĐT Bunhiacơpxky b£ - - 2b = x12 + x22 ³ 1 x1 + x2 ) = ( 2 Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có đường cao AD, BE, CF Gọi EF cắt BC L Giả sử BE, CF cắt AL I, J X,Y trung điểm BE, CF a) Chứng minh X,Y, I, J nằm đường tròn b) Giả sử ∠BAC=60° Gọi O' điểm đối xứng O qua BC Đường thẳng qua L vuông AO' cắt OD G Chứng minh AG chia đôi BC Gọi AD,BD,CE đồng quy H Do AB,EL,CJ đồng quy F EB cắt AL I => (EB,HI)=-1 Mà X trung điểm EB nên theo hệ thức Maclaurin, ta có: HX.HI=HB.HE Tương tự ta có HY.HJ=HC.HF điểm Mà BFEC nội tiếp nên HE.HB=HC.HF => HX.HI=HY.HJ =>XYIJ nội tiếp (đpcm) Do H trực tâm tam giác ABC nên ta có: ∠BHC=180°-∠BAC=120°=2∠BAC=∠BOC => BHOC nội tiếp Gọi tiếp tuyến B,C (O)cắt P => B,H,O,C,P nằm đường tròn Do O' đối xứng O qua BC nên O' tâm (BHC), tức tâm (BOC) Ta có kết quen thuộc AO' cắt OH trung điểm đường, gọi N => N tâm đường tròn Euler tam giác ABC Gọi PL cắt (O') Q Do AD,BE,CF đồng quy H EF cắt BC L nên (BC,DL)=-1 Gọi QO cắt BC D’ QD’ phân giác ∠BQC Mà QD’ vuông QL nên QL phân giác ∠BQC =>(BC,D'L)=-1 => D trùng D', tức O,D,Q thẳng hàng Gọi MA cắt OD G', cắt (N)tại U; AO cắt EF V; K trung điểm AC => AO vuông EF V OK vuông AC K nên OVEK nội tiếp => AV.AO=AE.AK=AU.AM => UVOM nội tiếp Lại có ∠OV L=∠OQL=∠OML=90° nên O,M,Q,L,V thuộc đường trịn đường kính OL điểm =>U thuộc đường trịn đường kính OL nên UOMQ nội tiếp =>G'U.G'M=G'O.G'L =>G' thuộc trục đẳng phương (N)và (O') Mà LE.LF=LB.LC nên L thuộc trục đẳng phương (N)và (O') =>LG' vuông NO', tức LG' vuông AO' =>G trùng G' =>AG chia đôi BC (đpcm) Câu (4 điểm) Giả sử a,b,c số thực không âm thỏa mãn a b c + + £ a + b + c = Chứng minh b + c + a + 2 2 điểm Giải Quy đồng, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với å a(a + 2)(c + 2) £ (a + 2)(b + 2)(c + 2) Û ab2 + bc2 + ca2 + 2(a2 + b2 + c2) £ abc + Û ab2 + bc2 + ca2 £ abc + Giả sử b nằm hai số a,c Khi (b - a)(b - c) £ Û b + ac £ b(a + c) Do ab2 + bc2 + ca2 = a(b2 + ac) + bc2 £ ab(a + c) + bc2 = b(a2 + c2) + abc 2 Nên để chứng minh ab + bc + ca £ abc + ta cần chứng minh b(a2 + c2) £ 2 2 Ta có 2- b(a + c ) = 2- b(3- b ) = (b - 1) (b + 2) ³ Do ta có bất đẳng thức cần chứng minh a = 0,b = 1, c = Dấu xảy a = b = c = hoán vị Câu ( số học) a) Cho X tập hợp tất số tự nhiên n khác thỏa điểm mãn tính chất " n có 15 ước số dương" Hãy tìm số n bé thuộc tập X b) Tìm giá trị nhỏ nguyên dương Q 12m 5n với m , n số Giải x x x a) Giả sử n a1 a2 ak , x1 , x2 số nguyên dương, a1 , a2 , số nguyên tố Số ước số dương n x1 1 x2 1 xk 1 15 1.15 3.5; xi 1 2, i x1 3 x 2 x 5 x2 4 Ta có x1 15 x1 14 Truờng hợp x1 14 Để n bé nhất, ta chọn a1 2 , suy điểm n 214 Trường hợp 2: x1 2, x2 4 Để n bé nhất, ta chọn a1 3, a2 2 , suy n 3 2 144 Kết luận n 144 số tự nhiên bé thỏa đề b) Với m n 1 Q 7 Ta chứng minh giá tri nhỏ Q Thật vậy, giả sử ngược lại tồn số m, n nguyên dương cho Q Ta ý Q khơng chia hết cho 2,3,5 nên xảy trường hợp Q 1 Nếu 12m 5n 1 12m 5n Ta có 12m 0( mod 4),5n 2( mod 4) , vô lý m m n m n Nếu 12 12 5 Ta có 12 0( mod 6) hay 5n 0( mod 6) , suy n số chẵn * m k Đặt n 2k , k , 12 25 k m Ta có 25 0; 2( mod13),12 1; 1( mod13) (vô lý) Vậy Q 7 m n 1 điểm Câu (tổ hợp) Một giải đấu bóng đá có 20 đội bóng tham dự Tại thời điểm giải đấu, người ta nhận thấy có 101 trận đấu diễn hai đội thi đấu với khơng q trận Chứng minh rằng, thời điểm đó, tồn đội bóng đơi thi đấu với Ta chứng minh phản chứng Giả sử khơng tồn đội bóng cho đội thi đấu với Gọi X (một số đội) thi đấu nhiều trận Giả sử X thi đấu k trận với đội X 1; X ; ; X k Do giả sử phản chứng, đội X ; X ; ; X k đôi chưa thi đấu với Như đội nhóm X 1; X ; ; X k thi đấu tối đa 20 k trận với đội cịn lại Bên cạnh đó, đội ngồi nhóm X 1; X ; ; X k thi đấu tối đa k trận Áp dụng bổ đề bắt tay lập luận trên, ta có số trận tối đa diễn k 20 k 20 k k k 20 k 100 Điều mâu thuẫn với giả thiết có 101 trận đấu diễn Vậy giả sử phản chứng sai, hay ta có điều phải chứng minh điểm