Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ QUỲNH CHI DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội, 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ QUỲNH CHI DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Mã số: Phương trình vi phân tích phân 46 01 03 Người hướng dẫn khoa học GS TS Cung Thế Anh Hà Nội, 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam kết kết nghiên cứu hướng dẫn GS.TS Cung Thế Anh Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm tính trung thực hồn tồn luận án Nghiên cứu sinh Trần Thị Quỳnh Chi i LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS TS Cung Thế Anh Thầy người khơi gợi, định hướng, bảo, giúp đỡ - vừa nghiêm khắc, vừa truyền cảm hứng lúc tơi gặp khó khăn nghiên cứu, sống Xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt thầy cô Bộ môn Giải tích theo sát giúp đỡ, góp ý để tơi xây dựng luận án hồn chỉnh Xin cảm ơn trường Đại học Điện lực, trực tiếp đồng nghiệp công tác Khoa Khoa học Tự nhiên ủng hộ tạo điều kiện để tập trung nghiên cứu khoa học Cuối cùng, xin cảm ơn bố mẹ, chồng con, người thân liên tục động viên, giúp đỡ mặt để yên tâm, tự tin tập trung học tập ii Mục lục LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 10 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 11 Phương pháp nghiên cứu 12 Cấu trúc kết luận án 12 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 13 Các lớp tốn tử khơng gian hàm 13 1.1.1 Khơng gian Sobolev có trọng 13 1.1.2 Một số lớp toán tử 14 Chương 1.1 1.2 Sơ lược lí thuyết tập hút toàn cục 14 1.2.1 Định nghĩa tập hút toàn cục 15 1.2.2 Cấu trúc ý nghĩa tập hút toàn cục 17 1.2.3 Sự tồn tập hút toàn cục 17 1.3 Sơ lược lí thuyết tập hút lùi 17 1.4 Một số kết bổ trợ 19 1.4.1 Một số bất đẳng thức 19 1.4.2 Một số bổ đề Chương 21 TẬP HÚT TỒN CỤC ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN TỰA TUYẾN TÍNH VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN BẬC TÙY Ý 23 2.1 Đặt toán 23 2.2 Một số kết bổ trợ 24 2.3 Sự tồn nghiệm yếu toàn cục 27 2.4 Sự tồn tập hút toàn cục 34 Chương TẬP HÚT LÙI ĐỐI VỚI LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN TỰA TUYẾN TÍNH KHƠNG ƠTƠNƠM 39 3.1 Đặt toán 39 3.2 Sự tồn tập hút lùi 41 3.2.1 Sự tồn tập hút lùi L (RN ) 46 3.2.2 Sự tồn tập hút lùi L q (RN ) 52 1,p 3.2.3 Sự tồn tập hút lùi W0 (RN , σ) Chương 57 SỰ TỒN TẠI VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM ĐỐI VỚI MỘT LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẢN ỨNG KHUẾCH TÁN VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN KIỂU MŨ 60 4.1 Đặt toán 60 4.2 Sự tồn nghiệm yếu 61 4.3 Sự tồn tập hút toàn cục (L (Ω))2 69 4.4 Tập hút toàn cục hệ gradient 71 4.5 Sự tồn tính ổn định mũ nghiệm dừng 74 4.6 Một số ví dụ 80 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 84 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN RN "Không gian vectơ thực N chiều với chuẩn Euclid" Ω, ∂ Ω "Miền Ω Rn với biên ∂ Ω" ΩT "Ω T := Ω × (0, T )" C0∞ (Ω) "Không gian hàm khả vi vơ hạn có giá compact Ω" |x| "Chuẩn Euclid x không gian RN " k·k "Chuẩn không gian X " 〈·, ·〉 "Tác động đối ngẫu X X ∗ " (·, ·) "Tích vô hướng không gian Hilbert H" + "Hội tụ yếu" +∗ "Hội tụ ∗ -yếu" → " Hội tụ mạnh" ,→ "Phép nhúng liên tục" ,→,→ "Phép nhúng compact" h.k.n "Hầu khắp nơi" ∇ "Toán tử gradient" dist(A, B) "Nửa khoảng cách Haussdorf hai tập A, B X " m(E) " Độ đo Lebesgue E" E X "Bao đóng E X " MỞ ĐẦU Lịch sử lí chọn đề tài Các phương trình đạo hàm riêng (PDEs) loại parabolic xuất nhiều trình sinh học vật lí, chẳng hạn mơ hình quần thể sinh học, trình truyền nhiệt khuếch tán (xem [49, 56]) Việc tìm hiểu lớp phương trình có nhiều ý nghĩa quan trọng khoa học cơng nghệ Do đó, thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học giới Sau nghiên cứu tính đặt tốn, việc tìm hiểu dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian vô quan trọng Đây việc làm có ý nghĩa thực tiễn, nghiệm phương trình đạo hàm riêng thường mơ tả trạng thái mơ hình thực tế Vì vậy, biết dáng điệu tiệm cận nghiệm ta hiểu dự đốn xu phát triển hệ động lực tương lai, từ ta đưa đánh giá điều chỉnh thích hợp để đạt kết mong muốn Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình đạo hàm riêng parabolic, hệ động lực tương ứng phức tạp tính vơ hạn chiều khơng gian trạng thái, người ta thường sử dụng lí thuyết tập hút Tập hút hệ động lực tập compact, bất biến, hút tập bị chặn chứa đựng nhiều thông tin dáng điệu tiệm cận hệ động lực xét Trong năm gần đây, tồn tính chất tập hút nghiên cứu cho nhiều lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính, trường hợp không suy biến trường hợp suy biến Tuy nhiên, phần lớn kết tập hút đạt trường hợp phương trình parabolic vô hướng (xem, chẳng hạn, chuyên khảo [12, 17, 49, 56] tài liệu trích dẫn đó) Việc phát triển kết cho trường hợp hệ phương trình, trường hợp khó nhiều tương tác số hạng phi tuyến hệ, đạt số tiến năm gần [13, 16, 37, 38] Đây vấn đề thời sự, có nhiều ý nghĩa thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học giới Bên cạnh việc tìm hiểu tồn tính chất tập hút, tồn tính ổn định nghiệm dừng vấn đề quan trọng Nghiệm dừng hệ tương ứng với trạng thái dừng trình xét quan trọng Tiếp theo số kết lí thuyết tập hút • Năm 2000, P Caldiroli and R Musina nghiên cứu toán elliptic chứa toán tử −div(σ(x)∇u) miền Ω RN (xem [10]) Đây kết suy biến với hàm σ đo được, không âm triệt tiêu hữu hạn điểm Các tác giả đưa điều kiện hàm σ sau: (i) Hàm σ ∈ L l1oc (Ω) với α ∈ (0, 2), lim inf x→z miền Ω bị chặn σ(x) |x − z|α (ii) Hàm σ thỏa mãn điều kiện (i) lim inf|x|→∞ miền Ω không bị chặn σ(x) |x|β > với ∀z ∈ Ω, > với β > 2, Để tìm hiểu tốn này, P Caldiroli and R Musina xây dựng không gian D01 (Ω; σ) Không gian D01 (Ω; σ) khơng gian Sobolev có trọng bổ sung đủ C0∞ (Ω) tương ứng với chuẩn sau: Z kuk2 1,p D0 (Ω,σ) σ(x)|∇u| d x := 1/2 Ω Các tác giả chứng minh số bất đẳng thức Sobolev có trọng định lí nhúng kiểu Sobolev Rellich, từ tính đặt chỉnh tốn Kết P Caldiroli and R Musina tiền đề cho nghiên cứu lí thuyết tập hút Năm 2009, tác giả C.T Anh T.Đ Kế tìm hiểu dáng điệu nghiệm thời gian t → ∞ số lớp phương trình parabolic tựa tuyến tính chứa tốn tử có trọng p- Laplace suy biến kiểu Caldiroli - Musina (xem [4, 5]) Một cách xác, lớp phương trình chứa tốn tử dạng −div(σ|∇u| p−2 ∇u) u t − div(σ|∇u| p−2 ∇u) + f (x, u) = g Các tác giả tạo khơng gian Sobolev có trọng thích hợp với toán σ(x)|∇u| p−1 |u|d x p m m m≤|x|≤ 2m Z C ≤ σ(x)|∇u| p−1 |u|d x m m≤|x|≤p2m !1/p Z !(p−1)/p Z C σ(x)|u| p d x σ(x)|∇u| p d x , ≤ p p m m≤|x|≤ 2m m≤|x|≤ 2m Z C không phụ thuộc vào m R Bây ta ước lượng số hạng m≤|x|≤p2m σ(x)|u| p d x Trường hợp 1: Hàm σ thỏa mãn điều kiện (i) (H ∞ ) Với m ≥ M0 , ta có Z σ(x)|u| d x ≤ C Z p p m≤|x|≤ 2m p m≤|x|≤ 2m |u| p d x Vì dựa vào Bổ đề 3.1, với m ≥ M0 τ ≤ τ0 , ta có Z |x| 2|x| θ σ(x)|∇u| p−1 |u|d x p m m m≤|x|≤ 2m !1/p Z !(p−1)/p Z C ≤ |u| p d x σ(x)|∇u| p d x p p m m≤|x|≤ 2m m≤|x|≤ 2m ! Z (p−1)/p C p σ(x)|∇u| d x ≤ p m m≤|x|≤ 2m (3.26) Trường hợp 2: Hàm σ thỏa mãn điều kiện (ii) (H ∞ ) Dựa vào (1.5) ta thu Z p m≤|x|≤ 2m σ(x)|u| p d x Z ≤ 2p−2 p m≤|x|≤ 2m ! p−2 2p−2 σ(x) p−2 d x ! Z p m≤|x|≤ 2m 48 |u|2p−2 d x p 2p−2 Vì theo Bổ đề 3.3, với m ≥ M0 τ ≤ τ0 , suy