Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.Dáng diệu tiệm cận nghiệm của một số phương trình và hệ phương trình Parapolic phi tuyến.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ QUỲNH CHI DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC PHI TUYẾN Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2023 Luận án hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Tập thể hướng dẫn khoa học: GS.TS Cung Thế Anh Phản biện 1: PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy - Đại học Bách Khoa Hà Nội Phản biện 2: PGS.TS Lê Văn Hiện - Đại học Sư phạm Hà Nội Phản biện 3: PGS.TS Vũ Trọng Lưỡng - Đại học Giáo dục - ĐHQG Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án Thư viện Quốc gia, Hà Nội, Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lịch sử lí chọn đề tài Các phương trình đạo hàm riêng (PDEs) loại parabolic xuất nhiều trình sinh học vật lí, chẳng hạn mơ hình quần thể sinh học, trình truyền nhiệt khuếch tán (xem [49, 56]) Việc tìm hiểu lớp phương trình có nhiều ý nghĩa quan trọng khoa học cơng nghệ Do đó, thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học giới Sau nghiên cứu tính đặt tốn, việc tìm hiểu dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian vô quan trọng Đây việc làm có ý nghĩa thực tiễn, nghiệm phương trình đạo hàm riêng thường mơ tả trạng thái mơ hình thực tế Vì vậy, biết dáng điệu tiệm cận nghiệm ta hiểu dự đốn xu phát triển hệ động lực tương lai, từ ta đưa đánh giá điều chỉnh thích hợp để đạt kết mong muốn Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình đạo hàm riêng parabolic, hệ động lực tương ứng phức tạp tính vơ hạn chiều khơng gian trạng thái, người ta thường sử dụng lí thuyết tập hút Tập hút hệ động lực tập compact, bất biến, hút tập bị chặn chứa đựng nhiều thông tin dáng điệu tiệm cận hệ động lực xét Trong năm gần đây, tồn tính chất tập hút nghiên cứu cho nhiều lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính, trường hợp không suy biến trường hợp suy biến Tuy nhiên, phần lớn kết tập hút đạt trường hợp phương trình parabolic vô hướng (xem, chẳng hạn, chuyên khảo [12, 17, 49, 56] tài liệu trích dẫn đó) Việc phát triển kết cho trường hợp hệ phương trình, trường hợp khó nhiều tương tác số hạng phi tuyến hệ, đạt số tiến năm gần [13, 16, 37, 58] Đây vấn đề thời sự, có nhiều ý nghĩa thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học giới Bên cạnh việc tìm hiểu tồn tính chất tập hút, tồn tính ổn định nghiệm dừng vấn đề quan trọng Nghiệm dừng hệ tương ứng với trạng thái dừng trình xét quan trọng Như vậy, việc tìm hiểu tồn tính chất tập hút cho số lớp phương trình hệ phương trình parabolic phi tuyến chứa nhiều vấn đề mở, cần tiếp tục tiếp cận Đó lí mà chúng tơi lựa chọn nội dung "Dáng điệu tiệm cận nghiệm số phương trình hệ phương trình parabolic phi tuyến" làm vấn đề để tìm hiểu luận án Mục đích nghiên cứu Luận án tìm hiểu tính đặt chỉnh dáng điệu nghiệm số lớp phương trình hệ phương trình parabolic thơng qua tồn tập hút toàn cục tập hút lùi Ngoài ra, tìm hiểu tồn tính ổn định mũ nghiệm dừng trường hợp hệ phương trình mục tiêu nghiên cứu luận án Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Tìm hiểu số phương trình hệ phương trình parabolic phi tuyến • Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tính đặt chỉnh dáng điệu nghiệm thời gian t → ∞ ba lớp tốn sau: Nội dung 1: Lớp phương trình parabolic suy biến tựa tuyến tính với phần phi tuyến tăng trưởng tùy ý Nội dung 2: Lớp phương trình parabolic suy biến tựa tuyến tính khơng ơtơnơm RN , N ≥ 3, với phần phi tuyến tăng trưởng cấp đa thức Nội dung 3: Lớp hệ phương trình phản ứng khuếch tán với phần phi tuyến kiểu mũ Phương pháp nghiên cứu • Để tìm hiểu tính đặt chỉnh nghiệm sử dụng số phương pháp quen thuộc đáng tin cậy, phương pháp xấp xỉ Galerkin, phương pháp compact (tham khảo [32]) kết hợp phương pháp nửa nhóm (tham khảo [42]) • Để tìm hiểu tồn tập hút sử dụng phương pháp lí thuyết hệ động lực vơ hạn chiều (tham khảo [12, 49]) Cấu trúc kết luận án Luận án đề cập đến chương sau: • Chương trình bày kiến thức sở cần thiết • Chương trình bày tính đặt chỉnh tốn dáng điệu nghiệm thời gian t → ∞ lớp phương trình parabolic suy biến tựa tuyến tính chứa tốn tử có trọng p-Laplace với phần phi tuyến tăng trưởng tùy ý • Chương trình bày tồn tập hút lùi lớp phương trình suy biến tựa tuyến tính khơng ơtơnơm trường hợp thiếu phép nhúng compact với phần phi tuyến tăng trưởng cấp đa thức • Chương trình bày tính đặt chỉnh tốn tồn tập hút toàn cục lớp hệ phương trình phản ứng khuếch tán với phần phi tuyến kiểu mũ; tồn tập hút toàn cục trường hợp hệ gradient Ngồi ra, chúng tơi đưa kết tồn tính ổn định mũ nghiệm dừng toán Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương dành trình bày số định nghĩa kết khơng gian hàm, lớp tốn tử, lí thuyết tập hút toàn cục, tập hút lùi, số bất đẳng thức, bổ đề, định lí để triển khai chương sau 1.1 Các lớp tốn tử khơng gian hàm 1.1.1 Khơng gian Sobolev có trọng Trong luận án, chúng tơi sử dụng số khơng gian Sobolev có trọng 1,p W0 (Ω, a), 1,p W0 (RN , σ) 1.1.2 Một số lớp tốn tử Trong luận án, chúng tơi sử dụng số lớp toán tử sau: Toán tử L p,a suy biến tập có độ đo khơng, tốn tử L p,σ suy biến kiểu Cadiroli-Musina 1.2 Sơ lược lí thuyết tập hút tồn cục Trong mục này, nhắc lại số khái niệm hệ động lực, tập hút toàn cục, định lí tồn tập hút tồn cục sử dụng luận án Nội dung mục viết dựa tài liệu chuyên khảo J C Robinson (2001) R Temam (1997) 1.3 Sơ lược lí thuyết tập hút lùi Trong phần này, nhắc lại số khái niệm kết liên quan đến lí thuyết tập hút lùi dựa tài liệu T Caraballo, G Łukasiewicz J Real (2006); Y Li C.K Zhong (2007); C.K Zhong, M.H Yang, C.Y Sun (2006) 1.4 Một số kết bổ trợ Trong mục này, nhắc lại số bất đẳng thức sơ cấp quan trọng thường xuyên sử dụng luận án Chúng tơi trình bày lại số bổ đề quan trọng thường sử dụng để chứng minh kết luận án như: Bổ đề compact Aubin-Lions-Simon F Boyer P Fabrie (2013); Bổ đề 6.1 hội tụ mạnh hàm phi tuyến P G Geredeli (2015); Bổ đề Ehrling Robinson (2021), Chương TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN TỰA TUYẾN TÍNH VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN BẬC TÙY Ý Ở chương dành tìm hiểu tồn dáng điệu nghiệm yếu cho lớp phương trình parabolic suy biến tựa tuyến tính chứa tốn tử p-Laplace có trọng với lớp số hạng phi tuyến kiểu Đầu tiên, kết hợp phương pháp compact lược đồ Garlerkin xây dựng khơng gian Orlicz để tính giải nghiệm tồn cục Tiếp đó, dùng đánh giá tiên nghiệm tiệm cận để tồn tập hút Chương dẫn giải dựa theo cơng trình [1] 2.1 Đặt tốn Ở phần này, ta đề cập đến phương trình parabolic suy biến tựa tuyến tính sau: u t − div(a(x)|∇u| p−2 ∇u) + f (u) = g(x), u(x, t) = 0, u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω, t > 0, x ∈ ∂ Ω, t > 0, (2.1) x ∈ Ω, Ω miền bị chặn RN (N ≥ 2) với biên trơn ∂ Ω, ≤ p ≤ N , u0 ∈ L (Ω) cho trước, hệ số khuếch tán a(·), f số hạng phi tuyến g ngoại lực Bài toán (2.1) tổng quát hóa nhiều lớp quan trọng phương trình parabolic, ví dụ phương trình truyền nhiệt nửa tuyến tính (khi a = 1, p = 2), phương trình parabolic suy biến nửa tuyến tính (khi p = 2), phương trình pLaplace (khi a = 1, p 6= 2), Chúng ta có giả thiết sau nghiên cứu toán (2.1) (H1) Hàm a : Ω → R thỏa mãn điều kiện a ∈ Lloc (Ω) a(x) = với x ∈ Σ, a(x) > với x ∈ Ω \ Σ, Σ tập đóng Ω với m(Σ) = Giả sử thêm Z [a(x)] −N α d x < ∞ với α ∈ (0, p) Ω (H2) f : R → R thuộc lớp C cho − µu2 − c1 ≤ f (u)u, (2.2) − ` ≤ f (u), (2.3) với c1 , `, µ > 0, p = ta giả sử < µ < c0 với c0 xác định (2.4) (H3) g ∈ L (Ω) 2.2 Một số kết bổ trợ Để thu kết chương này, số mệnh đề mà sử dụng sau: Mệnh đề kết quan trọng phép nhúng Mệnh đề 2.1 Nếu hàm a(·) thỏa mãn điều kiện (H1) Ω miền bị chặn RN (2 ≤ N ) ta có kết sau phép nhúng 1,p 1,β (i) Phép nhúng W0 (Ω, a) ,→ W0 (Ω) liên tục ≤ β ≤ pN ; N +α 1,p (ii) Phép nhúng W0 (Ω, a) ,→ L r (Ω) liên tục ≤ r ≤ pα∗ , đó, pα∗ = pN ; N −p+α 1,p (iii) Phép nhúng W0 (Ω, a) ,→ L r (Ω) compact ≤ r < pα∗ Nhờ vào Mệnh đề 2.1, có số c0 thỏa mãn c0 kuk2L (Ω) ≤ kuk2 1,p W0 (Ω,a) (2.4) Tính chất toán tử L p,a phát biểu mệnh đề cần thiết để sử dụng cho phần sau 1,p Mệnh đề 2.2 Toán tử L p,a xác định từ W0 (Ω, a) vào W −1,p (Ω, a) Hơn nữa, 1,p (i) L p,a nửa liên tục, tức là, với u, v, w ∈ W0 (Ω, a), ánh xạ λ 7→ 〈L p,a (u + λv), w〉 liên tục từ R đến R; (ii) L p,a đơn điệu mạnh p ≥ 2, nghĩa là, ∃δ > để 〈L p,a u − L p,a w, u − w〉 ≥ δku − wk 1,p p 1,p W0 (Ω,a) với u, w ∈ W0 (Ω, a) Mệnh đề sau kết quan trọng phép nhúng Mệnh đề 2.3 Nếu hàm a(·) thỏa mãn điều kiện (H1) Ω miền bị chặn 1,p RN (2 ≤ N ) phép nhúng D(L p,a ) ,→ W0 (Ω, a) compact 2.3 Sự tồn nghiệm yếu tồn cục Ta kí hiệu Ω T = Ω × (0, T ) với T > 0, cặp (p, p0 ) hệ số liên hợp p + p0 = 1, p, p0 > Định nghĩa 2.1 Nghiệm yếu toán (2.1) khoảng (0, T ) hàm u thỏa mãn điều kiện sau: 1,p u ∈ L p (0, T ; W0 (Ω, a)) ∩ C([0, T ]; L (Ω)) du dt 0 ∈ L p (0, T ; W −1,p (Ω, a)) + L (Ω T ), u| t=0 = u0 hầu khắp Ω, f (u) ∈ L (Ω T ), Z ΩT ∂u ∂t χ + a(x)|∇u| p−2 ∇u∇χ + f (u)χ − gχ d x d t = 0, 1,p với hàm thử χ ∈ L p (0, T ; W0 (Ω, a) ∩ L ∞ (Ω)) Kết tồn nghiệm yếu tốn (2.1) trình bày định lí sau: Định lí 2.1 Nếu điều kiện (H1) - (H3) thỏa mãn với u0 ∈ L (Ω) T > , tốn (2.1) có nghiệm yếu (0, T ) nghiệm yếu phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu 2.4 Sự tồn tập hút tồn cục Xây dựng nửa nhóm {S(t)} t≥0 sau: S(t) : L (Ω) → L (Ω), u0 7→ S(t)u0 := u(t), u(t) nghiệm yếu toán (2.1) với điều kiện ban đầu u0 Bổ đề 2.1 Nửa nhóm {S(t)} t≥0 có tập hấp thụ bị chặn L (Ω) 1,p Bổ đề 2.2 Nửa nhóm {S(t)} t≥0 có tập hấp thụ bị chặn W0 (Ω, a) 1,p Từ Bổ đề 2.1, Bổ đề 2.2 phép nhúng W0 (Ω, a) ,→ L (Ω) compact, ta thu kết sau: Định lí 2.2 Nếu điều kiện (H1)-(H3) thỏa mãn nửa nhóm {S(t)} t≥0 có tập hút tồn cục A L L (Ω) Bổ đề 2.3 Nếu điều kiện (H1)-(H3) thỏa mãn tồn tập hấp thụ bị chặn nửa nhóm {S(t)} t≥0 D(L p,a ) 1,p Từ Bổ đề 2.3 D(L p,a ) ,→ W0 (Ω, a) compact, ta có định lí Định lí 2.3 Nếu điều kiện (H1)-(H3) thỏa mãn nửa nhóm {S(t)} t≥0 có 1,p tập hút tồn cục AW 1,p W0 (Ω, a) Chương TẬP HÚT LÙI ĐỐI VỚI LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN TỰA TUYẾN TÍNH KHƠNG ƠTƠNƠM Chương nghiên cứu lớp phương trình parabolic suy biến tựa tuyến tính khơng ơtơnơm chứa tốn tử tồn khơng gian RN , N ≥ 3, với điều kiện liên quan đến hệ số khuếch tán σ(x) không bị hạn chế giới hạn vô Chúng tồn tập hút lùi không gian 1,p L (RN ), L q (RN ), W0 (RN , σ) Chương dẫn giải dựa theo cơng trình số [2] 3.1 Đặt tốn Phần đề cập đến phương trình parabolic suy biến tựa tuyến tính khơng ơtơnơm với hệ số khơng âm, biến thiên RN , N ≥ sau: ∂u − div(σ(x)|∇u| p−2 ∇u) + λ|u| p−2 u + f (u) = g(x, t), x ∈ RN , τ < t, ∂t u(x, τ) = uτ (x), x ∈ RN , (3.1) ≤ p < N , uτ ∈ L (RN ), λ > 0, hệ số khuếch tán σ, ngoại lực g số hạng phi tuyến f Chú ý rằng, toán (3.1) xét miền Ω tùy ý RN , mở rộng kết trước trường hợp nửa tuyến tính (xem [8]) miền bị chặn (xem [1]) Hàm f ,σ,g đáp ứng điều kiện sau: (F ) Hàm f : R → R thuộc lớp C thỏa mãn α1 |u|q − β1 |u| p + γ1 |u|2 ≤ f (u)u ≤ α2 |u|q + β2 |u| p + γ2 |u|2 , 10 (3.2) − γ ≤ f (u), (3.3) với q ≥ 2, αi , βi , γi , γ, i = 1, 2, số không âm, β1 < λ Ru Ta đặt F (u) = f (s)ds, α3 |u|q − β3 |u| p + γ3 |u|2 ≤ F (u) ≤ α4 |u|q + β4 |u| p + γ4 |u|2 , (3.4) αi , βi , γi , i = 3, 4, số dương (H ∞ ) Hàm σ hàm đo không âm cho σ ∈ L l1oc (RN ), với α ∈ (0, p) đó, lim inf x→z σ(x) |x − z|α > với ∀z ∈ RN , hàm σ thỏa mãn điều kiện (i) (ii) sau : (i) tồn M0 > để sup sup (ii) tồn M0 > để sup R p m≥M0 m≤|x|≤ 2m m≥M0 p m≤|x|≤ 2m σ(x) < ∞; 2p−2 |σ(x)| p−2 d x < ∞ 1,2 (G ) Hàm g ∈ Wl oc (R; L (RN )) thỏa mãn yêu cầu sau Z t −∞ eγ1 s kg(s)k2L (RN ) + kg (s)k2L (RN ) ds < ∞, ∀t ∈ R, Z t Z lim sup m→∞ −∞ eγ1 s |g(x, s)|2 d x ds = 0, ∀t ∈ R (3.5) |x|≥m 3.2 Sự tồn tập hút lùi Trước hết, định nghĩa nghiệm yếu toán 1,p Định nghĩa 3.1 Một hàm u : (τ, +∞) → W0 (RN , σ) ∩ L q (RN ) ∩ L (RN ) 1,p gọi nghiệm yếu toán (3.1) u ∈ L p (τ, T ; W0 (RN , σ)) ∩ L q (τ, T ; L q (RN )) ∩ L ∞ (τ, T ; L (RN )) với T > τ, Z tZ Z tZ (u(t), w) L (RN ) + + σ|∇u| p−2 ∇u∇wd x ds + λ τ τ τ RN Z tZ |u| p−2 ud x ds f (u)wd x ds = (uτ , w) L (RN ) + RN 11 Z RN t τ (g, w) L (RN ) ds, ∀t > τ, 1,p với hàm thử w ∈ W0 (RN , σ) ∩ L q (RN ) ∩ L (RN ) Định lí 3.1 Nếu điều kiện (F ) − (H ∞ ) − (G ) thỏa mãn, với ∀τ ∈ R, τ < t, uτ ∈ L (RN ) cho trước tốn (3.1) có nghiệm yếu u Thêm nữa, ta có đánh giá sau: ku(t)k2L (RN ) ≤ C e−γ1 (t−τ) kuτ k2L (RN ) + e−γ1 t Z t −∞ eγ1 s kg(s)k2L (RN ) ds (3.6) 1,p Tiếp theo, để xây dựng tập hấp thụ bị chặn không gian W0 (RN , σ) ∩ L q (RN ) ∩ L (RN ), ta dùng ước lượng tiên nghiệm thông qua bổ đề sau: Bổ đề 3.1 Nếu điều kiện (F ) − (H ∞ ) − (G ) thỏa mãn q trình {U(t, τ)} 1,p có họ tập hấp thụ lùi bị chặn Bˆ = {B(t) : t ∈ R} W0 (RN , σ) ∩ L q (RN )∩ L (RN ), nghĩa là, với t ∈ R tập bị chặn B L (RN ), ∃r0 = r0 (t) > τ0 = τ0 (t, B) < t cho với τ ≤ τ0 , uτ ∈ B, ta có ku(t)k p 1,p W0 (RN ,σ) q + ku(t)k L q (RN ) + ku(t)k2L (RN ) ≤ r0 (t) Tiếp theo, ước lượng cho đạo hàm nghiệm theo thời gian Bổ đề 3.2 Nếu điều kiện (F ) − (H ∞ ) − (G ) thỏa mãn với t ∈ R tập B bị chặn L (RN ), tồn r1 = r1 (t) > τ0 = τ0 (t, B) < t để ku t (t)k2L (RN ) ≤ r1 (t), với τ ≤ τ0 , uτ ∈ B Bổ đề 3.3 Nếu điều kiện (F ) − (H ∞ ) − (G ) thỏa mãn q trình {U(t, τ)} có họ tập hấp thụ lùi bị chặn L 2p−2 (RN ), tức là, với t ∈ R B tập bị chặn L (RN ), tồn r2 (t) > τ0 = τ0 (t, B) < t cho ku(t)k L 2p−2 (RN ) ≤ r2 (t), với τ ≤ τ0 , uτ ∈ B 1,p Từ Bổ đề 3.1 ta nhận thấy {U(t, τ)} biến tập compact W0 (RN , σ)∩ 1,p L q (RN ) ∩ L (RN ) thành tập bị chặn W0 (RN , σ) ∩ L q (RN ) ∩ L (RN ) với ∀t ≥ τ, nhờ vào Mệnh đề 1.2, {U(t, τ)} liên tục mạnh-yếu 1,p W0 (RN , σ) ∩ L q (RN ) ∩ L (RN ) Như vậy, phần ta cần {U(t, τ)} compact tiệm cận lùi kết hợp Bổ đề 3.2 ta nhận 1,p {U(t, τ)} có họ tập hấp thụ lùi W0 (RN , σ) ∩ L q (RN ) ∩ L (RN ) 12 3.2.1 Sự tồn tập hút lùi L (RN ) Bổ đề 3.4 Nếu giả thiết (F ) − (H ∞ ) − (G ) thỏa mãn với η > 0, t ∈ R, B tập bị chặn L (RN ), tồn τ0 = τ0 (η, B, t) < t M = M (η, B, t) > cho với τ ≤ τ0 m ≥ M , Z |u(x, t)|2 d x ≤ η, |x|≥m u nghiệm yếu (3.1) thỏa mãn u(τ) = uτ ∈ B Bổ đề 3.5 Nếu giả thiết (F ) − (H ∞ ) − (G ) thỏa mãn trình {U(t, τ)} compact tiệm cận lùi L (RN ), nghĩa là, với t ∈ R, tập bị chặn B ⊂ L (RN ), dãy τn → −∞, dãy {x n } ⊂ B, có dãy dãy {U(t, τn )x n } hội tụ L (RN ) Từ kết dễ dàng tồn tập hút lùi {U(t, τ)} L (RN ) Định lí 3.2 Nếu điều kiện (F ) − (H ∞ ) − (G ) thỏa mãn q trình {U(t, τ)} có tập hút lùi Aˆ2 L (RN ) 3.2.2 Sự tồn tập hút lùi L q (RN ) Bổ đề 3.6 Nếu {U(t, τ)} trình liên tục mạnh - yếu L q (RN ) L (RN ), {U(t, τ)} thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) Quá trình {U(t, τ)} compact tiệm cận lùi L (RN ), (ii) Với " > 0, B ∈ L (RN ) bị chặn bất kì, có L = L(", B) > τ0 (", B) ≤ t để Z RN (|U(t,τ)uτ |≥L) |U(t, τ)uτ | q 1 q < ", với τ ≤ τ0 uτ ∈ B(τ), {U(t, τ)} compact tiệm cận lùi L q (RN ) Định lí 3.3 Nếu giả thiết (F ) − (H ∞ ) − (G ) thỏa mãn q trình {U(t, τ)} có tập hút lùi Aˆq L q (RN ) 13 1,p 3.2.3 Sự tồn tập hút lùi W0 (RN , σ) 1,p Mệnh đề 3.1 Toán tử L p,σ xác định từ W0 (RN , σ) vào W −1,p (RN , σ) Hơn nữa, 1,p L p,σ nửa liên tục, nghĩa là, với u, v, w ∈ W0 (RN , σ), ánh xạ λ 7→ 〈L p,σ (u + λv), w〉 liên tục từ R vào R L p,σ đơn điệu mạnh p ≥ 2, nghĩa là, tồn ε > để 〈L p,σ u − L p,σ w, u − w〉 ≥ εku − wk 1,p p 1,p W0 (RN ,σ) , với u, w ∈ W0 (RN , σ) Bổ đề 3.7 Nếu giả thiết (F ) − (H ∞ ) − (G ) thỏa mãn trình {U(t, τ)} 1,p compact tiệm cận lùi W0 (RN , σ) Từ Bổ đề 3.1 Bổ đề 3.7, ta có định lí sau: Định lí 3.4 Nếu điều kiện (F ) − (H ∞ ) − (G ) thỏa mãn trình {U(t, τ)} có tập hút lùi AˆW 1,p W0 (RN , σ) 1,p 14 Chương SỰ TỒN TẠI VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM ĐỐI VỚI MỘT LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHẢN ỨNG KHUẾCH TÁN VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN KIỂU MŨ Ở chương này, ta tìm hiểu tính đặt chỉnh dáng điệu nghiệm lớp hệ phương trình phản ứng khuếch tán trường hợp miền bị chặn với phần phi tuyến kiểu mũ Đầu tiên, ta tồn tập hút tồn cục 2 2 khơng gian L (Ω) , H01 (Ω) (đối với hệ có cấu trúc gradient) Tiếp theo, ta đưa nghiên cứu tồn ổn định mũ nghiệm dừng Chương dẫn giải dựa theo cơng trình [3] 4.1 Đặt tốn Ở mục này, ta đề cập đến hệ phương trình parabolic miền bị chặn Ω ⊂ Rn với biên trơn ∂ Ω ∂ u − ∆u + f (u, v) = g1 (x), ∂t ∂v − ∆v + h(u, v) = g2 (x), ∂t u(x, t) = 0, v(x, t) = 0, u(x, 0) = u0 , v(x, 0) = v0 , x ∈ Ω, t > 0, x ∈ Ω, t > 0, (4.1) x ∈ ∂ Ω, t > 0, x ∈ Ω Để tìm hiểu tốn (4.1), ta có giả thiết sau: (H1) f , h : R2 → R hàm liên tục thỏa mãn f (u, v) + h(u, v) (u + v) ≥ −µ(u + v)2 − C0 , f (u, v) − h(u, v) (u − v) ≥ −µ(u − v)2 − C0 , f (u, v)h(u, v)uv ≥ 0, ` fu0 (u, v)w1 + f v0 (u, v)w2 w1 ≥ − w1 + w22 , 15 (4.2) (4.3) (4.4) (4.5) ` h0u (u, v)w1 + h0v (u, v)w2 w2 ≥ − w1 + w22 , (4.6) với u, v, w1 , w2 ∈ R Ở ` C0 số dương, < µ < λ1 , với λ1 giá trị riêng toán tử Au = −∆u Ω (H2) g1 ∈ L (Ω), g2 ∈ L (Ω) Để ngắn gọn, đặt H := L (Ω), V := H01 (Ω) 4.2 Sự tồn nghiệm yếu Định nghĩa 4.1 Cặp hàm số (u(t), v(t)) gọi nghiệm yếu toán (4.1) [0, T ] u, v ∈ C([0, T ]; H) ∩ L (0, T ; V ), du d v , ∈ L (0, T ; H −1 (Ω) + L (Ω)), dt dt u(x, 0) = u0 (x), v(x, 0) = v0 (x) ZZ u t ϕd x d t + ΩT ZZ ΩT ZZ ∇u.∇ϕd x d t + ZZ ΩT vt ϕd x d t + ZZ với hầu khắp x ∈ Ω, f (u, v)ϕd x d t = ZZ ΩT ∇v.∇ϕd x d t + ZZ ΩT g1 ϕd x d t, ΩT h(u, v)ϕd x d t = ΩT ZZ g2 ϕd x d t, ΩT với hàm thử ϕ ∈ C0∞ ([0, T ]; V ∩ L ∞ (Ω)) Định lí 4.1 Nếu điều kiện (H1)-(H2) thỏa mãn với u0 , v0 ∈ H T > , tốn (4.1) có nghiệm yếu toàn cục (u, v) [0, T ], nghiệm yếu phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu 4.3 Sự tồn tập hút toàn cục (L (Ω))2 Dựa vào Định lí 4.1, xây dựng nửa nhóm S(t) : (L (Ω))2 → (L (Ω))2 sau: S(t)(u0 , v0 ) = (u(t), v(t)), 16 (u, v) nghiệm yếu toán (4.1) với điều kiện ban đầu (u0 , v0 ) Mệnh đề 4.1 Nửa nhóm {S(t)} t≥0 có tập hấp thụ bị chặn (L (Ω))2 Tiếp theo, ta xét tập hấp thụ (H01 (Ω))2 Mệnh đề 4.2 Nửa nhóm {S(t)} t≥0 có tập hấp thụ bị chặn (H01 (Ω))2 Định lí 4.2 Nếu {S(t)} t≥0 nửa nhóm (L (Ω))2 sinh tốn (4.1) Khi giả thiết (H1)-(H2) thỏa mãn {S(t)} t≥0 có tập hút tồn cục (L (Ω))2 4.4 Tập hút toàn cục hệ gradient Trong phần này, nghiên cứu hệ (4.1) trường hợp hệ gradient Giả sử f h thỏa mãn điều kiện sau: (H1bis) f h thỏa mãn (H1) nữa, tồn µ > cho f (u, v)u + h(u, v)v ≥ F (u, v) − µ (u2 + v ) − C0 , µ C0 F (u, v) ≥ − (u2 + v ) − , 2 (4.7) (4.8) đó, F (u, v) hàm thỏa mãn Fu0 = f , F v0 = h Dựa vào điều kiện trên, hệ phương trình (4.1) trở thành hệ gradient Khi đó, ta nhận tập hút tồn cục khơng gian (H01 (Ω))2 Mệnh đề 4.3 Giả sử giả thiết (H1bis)-(H2) thỏa mãn, nửa nhóm {S(t)} t≥0 có tập hấp thụ bị chặn (H (Ω) ∩ H01 (Ω))2 , tức là, tồn số dương ρ3 cho với tập bị chặn B (L (Ω))2 , nghiệm (u(t), v(t)) toán (4.1) với điều kiện ban đầu (u0 , v0 ) ∈ B thỏa mãn k∆u(t)k2H + k∆v(t)k2H ≤ ρ3 , 17 với t ≥ T3 = T3 (B) 4.5 Tập hút toàn cục hệ gradient Trong phần này, ta tìm hiểu hệ (4.1) trường hợp hệ gradient Giả sử hàm f h thỏa mãn điều kiện (H1bis) Hàm f h thỏa mãn (H1) nữa, tồn µ > để f (u, v)u + h(u, v)v ≥ F (u, v) − µ (u2 + v ) − C0 , µ C0 F (u, v) ≥ − (u2 + v ) − , 2 F (u, v) hàm cho Fu = f , F v = h (4.9) (4.10) Dựa vào điều kiện trên, hệ phương trình (4.1) trở thành hệ gradient Khi đó, ta nhận tập hút tồn cục khơng gian (H01 (Ω))2 Mệnh đề 4.4 Nếu (H1bis)-(H2) thỏa mãn {S(t)} t≥0 có tập hấp thụ bị chặn (H (Ω) ∩ H01 (Ω))2 4.6 Sự tồn tính ổn định mũ nghiệm dừng Nghiệm dừng toán (4.1) phần tử (u∞ , v∞ ) ∈ (H01 (Ω))2 cho Z Ω Z Ω ∇u∞ · ∇ϕd x + ∇v∞ · ∇ψd x + Z Ω Z f (u∞ , v∞ )ϕd x = h(u∞ , v∞ )ψd x = Ω ∞ Z g1 ϕd x, Ω Z g2 ψd x, Ω với hàm thử ϕ, ψ ∈ H01 (Ω) ∩ L (Ω) Định lí 4.3 Dưới giả thiết (H1)- (H2), tốn (4.1) có nghiệm dừng yếu (u∞ , v∞ ) thỏa mãn ku∞ k2H + kv∞ k2H ≤ η(τ0 ), η(τ0 ) = λ1 (4k1 τ0 + k2 ) 4τ0 (k3 − τ0 ) 18 , (4.11) với p τ0 = k22 + 4k1 k2 k3 − k2 4k1 , k1 = C0 |Ω|, k2 = kg1 k2H + kg2 k2H , k3 = λ1 − µ Thêm nữa, điều kiện sau thỏa mãn ` < λ1 , (4.12) đó, nghiệm dừng (u∞ , v∞ ) toán (4.1) ổn định mũ, tức là, với nghiệm yếu (u, v) tốn (4.1), ta có ku(t) − u∞ k2H + kv(t) − v∞ k2H ≤ ku(0) − u∞ k2H + kv(0) − v∞ k2H e−2(λ1 −`)t , (4.13) với t ≥ 4.7 Một số ví dụ Trong phần này, ta đưa vài ví dụ hàm f , h mà đáp ứng điều kiện (H1)-(H2) chương Ví dụ 4.1 Chúng ta xét hệ sau miền Ω×R+ , Ω miền bị chặn Rn ∂u − ∆u + u e2u + ln(1 + v ) = g1 (x), ∂t ∂ v − ∆v + v e2v + ln(1 + u2 ) = g2 (x), ∂t f (u, v) = u e2u + ln(1 + v ) h(u, v) = v e2v + ln(1 + u2 ) Hàm g1 g2 thuộc L (Ω) Ví dụ 4.2 Ta xét hệ sau miền Ω × R+ ∂u − ∆u + u(e2u + |v|α ) = g1 (x), ∂t ∂ v − ∆v + v(e2v + |u|α ) = g2 (x), ∂t f (u, v) = u(e2u + |v|α ) h(u, v) = v(e2v + |u|α ), với ≤ α < 2, hàm g1 2 g2 thuộc L (Ω) 19 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết đạt Các kết đạt luận án bao gồm: • Đã chứng minh tính đặt chỉnh tồn tập hút toàn cục lớp phương trình parabolic suy biến tựa tuyến tính chứa tốn tử có trọng p-Laplace với hàm phi tuyến tăng trưởng tùy ý • Đã chứng minh tồn tập hút lùi lớp phương trình parabolic suy biến tựa tuyến tính khơng ôtônôm trường hợp không compact với hàm phi tuyến tăng trưởng cấp đa thức • Đã chứng minh tính đặt chỉnh, tồn tập hút tồn cục, tồn tính ổn định mũ nghiệm dừng hệ phương trình phản ứng khuếch tán với hàm phi tuyến kiểu mũ; nói riêng hệ gradient tính trơn tập hút toàn cục Kiến nghị số vấn đề nghiên cứu Một số hướng cần tiếp tục nghiên cứu là: • Trong Chương mở rộng kết miền Ω không bị chặn Ở trường hợp toán trở nên phức tạp nhiều thiếu tính compact phép nhúng kiểu Sobolev • Trong Chương tiếp tục tìm hiểu thêm số tính chất quan trọng tập hút lùi thu được, số chiều Fractal hữu hạn, tính phụ thuộc liên tục vào tham số, ví dụ, hệ số khuếch tán σ số mũ p (khi p → 2), Ngoài ra, nghiên cứu dáng điệu nghiệm lớp phương trình parabolic suy biến tựa tuyến không ôtônôm miền không bị chặn phần phi tuyến tăng trưởng tùy ý câu hỏi thú vị 20 • Trong Chương tiếp tục phát triển kết cho hệ phương trình suy biến kiểu Caldiroli Musina hay chứa hệ số khuếch tán a(x) suy biến tập có độ đo khơng 21 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CƠNG BỐ LIÊN QUAN LUẬN ÁN Tran Thi Quynh Chi, Le Thi Thuy and Nguyen Xuan Tu (2021), "Global attractor for a class of quasilinear degenerate parabolic equations with non-linearity of arbitrary order", Communications of the Korean Mathematical Society, Vol 36, No 3, 447-463 Tran Thi Quynh Chi, Le Thi Thuy and Nguyen Xuan Tu (2021), "Dynamics of non-autonomous quasilinear degenerate parabolic equations: the noncompact case", Acta Mathematica Vietnamica, Vol 46, 579-598 Cung The Anh, Tran Thi Quynh Chi and Vu Manh Toi (2023), "Existence and asymptotic behavior of solutions to a class of reaction-diffusion systems with exponential nonliniearities", submitted Các kết luận án báo cáo tại: Xê-mi-na Bộ mơn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 22