Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình NavierStokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm.

Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình NavierStokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm.Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình NavierStokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm.Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình NavierStokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm.Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình NavierStokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm.Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình NavierStokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm.Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình NavierStokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm.Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình NavierStokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm.Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình NavierStokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm.Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình NavierStokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm.Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình NavierStokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm.Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình NavierStokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm.Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình NavierStokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm.Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình NavierStokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm.Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình NavierStokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm.Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình NavierStokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm.Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình NavierStokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm.Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình NavierStokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm.Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình NavierStokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm.Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình NavierStokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm.Dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình NavierStokes trên đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm.BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI NGUYỄN THỊ VÂN DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH NAVIER STOKES TRÊN ĐA TẠP RIEMANN VỚI ĐỘ CONG RICCI ÂM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội 2023 BỘ.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI NGUYỄN THỊ VÂN DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES TRÊN ĐA TẠP RIEMANN VỚI ĐỘ CONG RICCI ÂM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI NGUYỄN THỊ VÂN DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES TRÊN ĐA TẠP RIEMANN VỚI ĐỘ CONG RICCI ÂM Ngành : Toán học Mã số : 9460101 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH Nguyễn Thiệu Huy TS Phạm Trường Xuân Hà Nội - 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận án Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình Navier-Stokes đa tạp Riemann với độ cong Ricci âm cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy TS Phạm Trường Xuân Các kết luận án hoàn toàn trung thực chưa tác giả khác công bố công trình nghiên cứu Các nguồn tài liệu tham khảo trích dẫn đầy đủ theo quy định Hà Nội, ngày 11 tháng năm 2023 Người hướng dẫn Nghiên cứu sinh PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy TS Phạm Trường Xuân i Nguyễn Thị Vân LỜI CẢM ƠN Luận án thực Đại học Bách khoa Hà Nội hướng dẫn PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy TS Phạm Trường Xuân Các thầy tận tình bảo, hướng dẫn nghiên cứu vấn đề tốn học khó hồn thành luận án thời gian quy định Hơn nữa, thầy Nguyễn Thiệu Huy không nhà khoa học giỏi mà nhà giáo mẫu mực công việc sống Thầy Phạm Trường Xuân nhà nghiên cứu trẻ, say mê tâm huyết với công việc nghiên cứu giảng dạy Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đặc biệt sâu sắc tới hai thầy Trong thời gian làm nghiên cứu sinh Đại học Bách Khoa Hà Nội, nhận giúp đỡ thầy mơn Tốn Cơ bản, thầy Viện Tốn Ứng dụng Tin học Đặc biệt, thành viên nhóm seminar “Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân ứng dụng” Đại học Bách Khoa Hà Nội PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy điều hành nhóm seminar "Partial Differential Equations and Related Problems" VIASM TS Phạm Trường Xuân điều hành, chia sẻ giúp đỡ sinh hoạt học thuật Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô thành viên hai nhóm seminar Nhân dịp này, xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu, Phịng, Ban liên quan, Khoa Cơng nghệ thông tin, đặc biệt đồng nghiệp thân thiết Bộ mơn Tốn học thuộc Trường Đại học Thủy lợi tạo nhiều điều kiện thuận lợi hỗ trợ chi phí đào tạo để tơi tập trung học tập nghiên cứu Cuối cùng, luận án q tinh thần tơi muốn gửi tặng gia đình, người thân, người ln ln ủng hộ, động viên đường phát triển học vấn Và xin bày tỏ tình thương mến tới người bạn song hành sống, chia sẻ hoài bão khát vọng vươn lên khoa học Nghiên cứu sinh ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài 2 Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Kết luận án Cấu trúc luận án 10 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Giới thiệu hình học Riemann 11 11 1.1.1 Đa tạp khả vi, đa tạp Riemann 11 1.1.2 Đạo hàm hiệp biến, liên thông Levi-Civita 18 1.1.3 Metric toán tử Laplace trường ten-xơ 20 1.1.4 Các loại độ cong phân loại đa tạp không compact 22 Khơng gian hàm phương trình Navier-Stokes đa tạp Riemann 25 1.2.1 Không gian hàm không gian Sobolev 25 1.2.2 Nửa nhóm tốn tử tuyến tính 28 1.2.3 Phương trình Navier-Stokes đa tạp Riemann khơng compact 1.2.4 30 Các ước lượng Lp −Lq cho nửa nhóm đa tạp Riemann khơng compact với độ cong âm 33 Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hố đa tạp Einstein khơng compact ứng dụng 35 2.1 36 Phương pháp Massera cho phương trình tuyến tính iii 2.2 2.3 2.1.1 Nghiệm tuần hoàn 36 2.1.2 Nghiệm hầu tuần hoàn 41 2.1.3 Nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận 43 Sự tồn tính ổn định mũ loại nghiệm phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 47 2.2.1 Sự tồn loại nghiệm 47 2.2.2 Tính ổn định mũ loại nghiệm 53 Ứng dụng 57 2.3.1 Phương trình Navier-Stokes 57 2.3.2 Phương trình truyền nhiệt dạng vectơ 63 Chương Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình Navier-Stokes đa tạp Riemann khơng compact 3.1 Sự tồn nghiệm tuần hồn phương trình Stokes theo phương pháp Massera 3.2 3.3 66 67 Sự tồn tính ổn định mũ nghiệm tuần hồn phương trình Navier-Stokes nửa tuyến tính 82 3.2.1 Sự tồn nghiệm 82 3.2.2 Tính ổn định mũ nghiệm 84 Định lí kiểu Serrin đa tạp Riemann: Tính ổn định kéo theo tính tuần hồn KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 89 94 Những kết đạt 94 Đề xuất số hướng nghiên cứu 94 Danh mục cơng trình cơng bố luận án 95 Tài liệu tham khảo 96 iv MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N : Tập số tự nhiên R : Tập số thực R+ : Tập số thực không âm X : Không gian Banach Cb (R+ , X) := u : R → X liên tục sup u(t) X d) đủ nhỏ Định lí 3.3.1 Khi đó, f tuần hồn với chu kỳ T phương trình (3.1) có nghiệm đủ tốt uˆ tuần hoàn với chu kỳ T cầu nhỏ Cb (R+ , Lp (Γ(T M)) ∩ L2 (Γ(T M))) Hơn nữa, nghiệm đủ tốt tuần hoàn với chu kỳ T (3.1) địa phương theo nghĩa: Hai nghiệm đủ tốt u v tuần hoàn với chu kỳ T bắt đầu đủ nhỏ gần (tức u(0) − v(0) Lp ∩L2 đủ nhỏ) trùng Chứng minh Với giá trị ban đầu đủ nhỏ x ∈ Lp (Γ(T M)) ∩ L2 (Γ(T M)), theo phần (I) Định lí 3.3.1, phương trình (3.1) có nghiệm đủ tốt bị chặn v ∈ Cb (R+ , Lp (Γ(T M)) ∩ L2 (Γ(T M))) thoả mãn v(0) = x hình cầu nhỏ Bρ Cb (R+ , Lp (Γ(T M)) ∩ L2 (Γ(T M))) với điều kiện ρ< 2M , u0 Lp ∩L2 ≤ ρ 2C , Ta xét vectơ ban đầu u0 thoả mãn u0 f ∞,Lp ∩L2 Lp ∩L2 ≤ ≤ ρ 4C ρ(1 − 2M ρ) 2C (có thể lấy u0 0) Gọi u nghiệm đủ tốt bị chặn (3.1) hình cầu nhỏ B ρ , 2M ρ nghĩa u(t) Lp ∩L2 ≤ , với t 2M Ta chứng minh {u(nT )}n∈N dãy Cauchy Lp (Γ(T M))∩L2 (Γ(T M)) Thật vậy, với số tự nhiên cố định m, n mà m > n, đặt w(t) = u(t + (m − n)T ) Khi w(t) = u(t + (m − n)T ) 91 t+(m−n)T = e −[t+(m−n)T ]A e−[t+(m−n)T −τ ]A P[∇u u + f ](τ )d(τ ) u0 + (m−n)T = e−tA e−(m−n)T A u0 + e[−(m−n)T −τ ]A P[∇u u + f ](τ )dτ t e−[t−τ ]A P[∇u u + f ](τ + (m − n)T )dτ + Do f tuần hoàn với chu kỳ T nên t −tA w(t) = e e−[t−τ ]A P[∇u u + f ](τ )dτ w(0) + Vì w nghiệm đủ tốt (3.1) Rõ ràng w ∈ Bρ/2M Theo phần (II) Định lí 3.3.1, ta suy u(t) − w(t) với t , K := Lp ∩L2 ≤ Cγ e−γt u(0) − w(0) Lp ∩L2 ≤ Ke−γt , Cγ ρ không phụ thuộc vào m n 2M Lấy t := nT bất đẳng thức (chú ý w(t) = u(t + (m − n)T )), ta có u(nT ) − u(mT ) Lp ∩L2 ≤ Ke−γnT , với m > n; m, n ∈ N Suy {u(nT )}n∈N dãy Cauchy Lp (Γ(T M))∩ L2 (Γ(T M)) Vì dãy {u(nT )}n∈N hội tụ Lp (Γ(T M)) ∩ L2 (Γ(T M)) ρ với u(nT ) Lp ∩L2 ≤ Đặt 2M u∗ := lim u(nT ) ∈ Lp (Γ(T M)) ∩ L2 (Γ(T M)) n→∞ Hiển nhiên u∗ ≤ ρ 2M Bây giờ, ta xét u∗ giá trị ban đầu, theo phần (I) Định lí 3.3.1, tồn Lp ∩L2 nghiệm đủ tốt uˆ(t) (3.1) Bρ Ta chứng minh nghiệm đủ tốt uˆ(t) tuần hoàn với chu kỳ T Để làm việc này, với n ∈ N cố định, ta đặt v(t) = u(t + nT ), với t Do tính tuần hồn f , v nghiệm đủ tốt (3.1) thoả mãn v(0) = u(nT ) Theo công thức (3.27) với v thay w, ta có uˆ(T ) − v(T ) Lp ∩L2 ≤ Cγ e−γT uˆ(0) − v(0) Lp ∩L2 Nghĩa uˆ(T ) − u((n + 1)T ) Lp ∩L2 ≤ Cγ e−γT u∗ − u(nT ) 92 Lp ∩L2 Cho n → ∞ sử dụng lim u(nT ) = u∗ = uˆ(0) Lp (Γ(T M )), ta đạt n→∞ uˆ(T ) = uˆ(0) Do uˆ(t) tuần hồn với chu kỳ T Tính nghiệm tuần hoàn với chu kỳ T suy từ ước lượng chứng minh tính ổn định mũ (3.27) Cụ thể u v hai nghiệm đủ tốt tuần hoàn với chu kỳ T phương trình (3.1) với giá trị ban đầu u0 v0 cho u0 − v0 lim u(t) − v(t) t→∞ Lp ∩L2 Lp ∩L2 đủ nhỏ, theo bất đẳng thức (3.27) ta có = Kết hợp tính tuần hồn liên tục u v, suy u(t) = v(t), với t ∈ R+ Kết luận Chương Trong chương này, đạt kết sau: chứng minh tồn tại, tính ổn định mũ nghiệm đủ tốt tuần hồn phương trình Stokes phương trình Navier-Stokes đa tạp Riemann không compact theo cách: • Chứng minh nguyên lý dạng Massera cho nghiệm tuần hồn • Chứng minh nghiệm tuần hồn dựa vào phương pháp Serrin Các kết chương tổng quát kết phần ứng dụng cho phương trình Navier-Stokes Mục 2.3 Chương Các kết cơng bố báo [1] [2] Danh mục cơng trình cơng bố luận án 93 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Những kết đạt Luận án thu số kết sau đây: • Nghiên cứu tồn tại, tính ổn định mũ lớp nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn, hầu tuần hồn tiệm cận cho phương trình tiến hố tổng quát đa tạp Einstein với độ cong Ricci âm Áp dụng kết tổng quát cho phương trình truyền nhiệt dạng vectơ phương trình Navier-Stokes • Nghiên cứu tồn tại, tính ổn định mũ lớp nghiệm tuần hồn cho phương trình Navier-Stokes đa tạp Riemann không compact với độ cong Ricci âm Các kết mở rộng kết cho phương trình Navier-Stokes với lớp nghiệm tuần hoàn Chương 2 Đề xuất số hướng nghiên cứu Trên sở luận án, đề xuất số vấn đề mở sau: • Nghiên cứu tồn nghiệm hầu tuần hoàn, hầu tuần hoàn tiệm cận hầu tự đồng hình phương trình Navier-Stokes đa tạp Riemann khơng compact thoả mãn giả thiết H • Xây dựng hệ tiên đề cho phương trình tiến hố tổng qt đa tạp Riemann không compact thoả mãn giả thiết H Sau nghiên cứu tồn tại, tính ổn định nghiệm đủ tốt • Mở rộng nghiên cứu phương trình Navier-Stokes đa tạp khơng compact với độ cong Ricci không âm cách xây dựng đa tạp, biểu diễn phương trình nghiên cứu tính chất nghiệm 94 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN Nguyen Thieu Huy, Pham Truong Xuan, Nguyen Thi Van and Vu Thi Ngoc Ha (2022), “On Periodic Solutions of the Incompressible Navier-Stokes Equations on Non-compact Riemannian Manifolds”, Taiwanese Journal of Mathematics, Vol 26, No 3, pp.607-633 (SCIE) Nguyen Thieu Huy, Vu Thi Ngoc Ha and Nguyen Thi Van (2022), “Stability and periodicity of solutions to Navier-Stokes equations on non-compact Riemannian manifolds with negative curvature”, Analysis and Mathematical Physics, Vol 12, No 4, pp 89 (SCIE) Pham Truong Xuan, Nguyen Thi Van and Bui Quoc (2023), “Asymptotically almost periodic solutions to parabolic equations on the real hyperbolic manifold ”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 517, Issue (SCIE) Nguyen Thieu Huy, Nguyen Thi Van, Pham Truong Xuan, and Vu Thi Ngoc Ha (2022), “Periodic and almost periodic evolution flows and their stability on non-compact Einstein manifolds and applications”, Annales Polonici Mathematici, Vol 129, pp 147-174 (SCIE) 95 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J Serrin (1959), “A note on the existence of periodic solutions of the NavierStokes equations”, Arch Ration Mech Anal., Vol 3, pp 120-122 [2] S Kaniel and M Shinbrot (1967), “ A reproductive property of the NavierStokes equations”, Arch Ration Mech Anal Vol 24, pp 363-369 [3] T Miyakawa and Y Teramoto (1982), “Existence and periodicity of weak solutions to the Navier-Stokes equations in a time dependent domain”, Hiroshima Math J., Vol 12, pp 513-528 [4] P Maremonti (1991), “Existence and stability of time periodic solutions to the Navier-Stokes equations in the whole space”, Nonlinearity, Vol 4, pp 503-529 [5] H Kozono and M Nakao (1996), “Periodic solution of the Navier-Stokes equations in unbounded domains”, Tohoku Math J., Vol 48, pp 33-50 [6] J G Heywood (1980), “The Navier-Stokes equations: On the existence, regularity and decay of solutions”, Indiana Univ Math J., Vol 29, pp 639681 [7] G Prodi (1960), “Qualche risultato riguardo alle equazioni di Navier-Stokes nel caso bidimensionale”, Rend Sem Mat Univ Padova, Vol 30, pp 1-15 [8] G Prouse (1963), “Soluzioni periodiche dell’equazione di Navier-Stokes”, Atti Accad Naz Lincei Rend Cl Sci Fis Mat Natur., Vol 35, pp 443447 [9] V Yudovich (1960), “Periodic motions of a viscous incompressible fluid”, Sov Math Dokl., Vol 1, pp 168-172 [10] P Maremonti and M Padula (1999), “Existence, uniqueness, and attainability of periodic solutions of the Navier-Stokes equations in exterior domains”, J Math Sci Vol 93 , pp 719-746 96 [11] G.P Galdi and H Sohr (2004), “Existence and uniqueness of time-periodic physically reasonable Navier-Stokes flows past a body”, Arch Ration Mech Anal Vol 172, pp 363-406 [12] M Yamazaki (2000), “The Navier-Stokes equations in the weak−Ln space with time-dependent external force”, Math Ann., Vol 317, pp 635-675 [13] T Kato (1984), “Strong Lp solutions of the Navier-Stokes equations in Rm with applications to weak solutions, Math Zeit, Vol 187, pp 471-480 [14] Y Giga (1986), “ Solutions for semilinear parabolic equations in Lp and regularity of weak solutions of the Navier-Stokes system”, J Differential Equations, Vol 61, pp 186-212 [15] Y Taniuchi (2009), “On the uniqueness of time-periodic solutions to the Navier-Stokes equations in unbounded domains”, Math Z., Vol 261, pp 597-615 [16] G Van Baalen and P Wittwer(2011), “Time periodic solutions of the Navier-Stokes equations with nonzero constant boundary conditions at infinity”, SIAM J Math Anal., Vol 43, pp 1787-1809 [17] G.P Galdi and A.L Silvestre (2006), “Existence of time-periodic solutions to the Navier-Stokes equations around a moving body”, Pac J Math Vol 223, pp 251-267 [18] Massera, J (1950) “ The existence of periodic solutions of systems of differential equations.” Duke Math J Vol 17, pp 457–475 [19] T H Nguyen (2014), “Periodic motions of Stokes and Navier-Stokes flows around a rotating obstacle”, Arch Ration Mech Anal., Vol 213, pp 689703 [20] G P Galdi (2013), “Existence and uniqueness of time-periodic solutions to the Navier-Stokes equations in the whole plane”, Discrete Contin Dyn Syst., Vol 6, pp 1237-1257 [21] G P Galdi (2013), “On the time-periodic flow of a viscous liquid past a moving cylinder”, Arch Ration Mech Anal., Vol 210, pp 451-498 97 [22] M Geissert, M Hieber and T H Nguyen (2016), “A general approach to time periodic incompressible viscous fluid flow problems”, Arch Ration Mech Anal., Vol 220 , pp 1095-1118 [23] T.H Nguyen, T.X Pham, T.N.H Vu and T M Vu (2021), “Periodic Solutions of Navier-Stokes Equations on Non-compact Einstein Manifolds with Negative Ricci Curvature Tensor”, Analysis and Mathematical Physics, Vol 11, pp 60 [24] P Maremonti (1991), “Existence and stability of time periodic solution of the Navier-Stokes equations in the whole space”, Nonlinearity, Vol.4, pp.503–529 [25] P Maremonti (1991), “Some theorems of existence for solutions of the Navier-Stokes equations with slip boundary conditions in half-space”, Ricerche Mat., Vol.40, pp.81–135 [26] Y Taniuchi (1999), “On stability of periodic solutions of the Navier-Stokes equations in unbounded domains”, Hokkaido Math J Vol 28, pp.147–173 [27] M Yamazaki (2000), “Solutions in the Morrey spaces of the Navier-Stokes equation with timedependent external force”, Funkcialaj Ekvacioj, Vol 43 , pp 419–460 [28] A Novotny and M Padula (1995), “Note on decay of solutions of steady Navier-Stokes equations in 3-D exterior domains”, Differential and Integral Equations Vol 8, pp 1833–1842 [29] G.P Galdi and C.G Simader(1994), “New estimate for the steady-state Stokes problem in exterior domains with applications to the Navier-Stokes problem”, Differential and Integral Equations, Vol 7, pp 847–861 [30] W Borchers and T Miyakawa (1995), “On stability of exterior stationary Navier-Stokes flows”, Acta Math Vol 174, pp 311–382 [31] R Finn, (1965)“On exterior stationary problem for the Navier-Stokes equations and associated perturbation problems”, Arch Rational Mech Anal., Vol 19, pp 363–406 98 [32] H Kozono and H Sohr (1993), “On stationary Navier-Stokes equations in bounded domains”, Ricerche Mat., Vol 42, pp 69–86 [33] H Kozono and M Yamazaki (1998), “Exterior problem for the stationary Navier-Stokes equations in the Lorentz space”, Math Ann., Vol 310, pp 279–305 [34] H Kozono and T Ogawa (1994), “On stability of the Navier-Stokes flows in exterior domains”, Arch Rat Mech Anal., Vol 128, pp 1–31 [35] H Kozono, and M Yamazaki (1995), “ The stability of small stationary solutions in Morrey spaces of the Navier-Stokes equation”, Indiana University Mathematics Journal, Vol 44, no 4, pp 1307–1336 [36] H Kozono and M Yamazaki (1998), “On a larger class of stable solutions to the Navier-Stokes equations in exterior domains”, Math Z., Vol 228, pp 751–785 [37] C Cao, M.A Rammaha and E.S Titi (1999), “ The Navier-Stokes equations on the rotating 2-D sphere: Gevrey regularity and asymptotic degrees of freedom”, Z Angew Math Phys., Vol 50, pp 341-360 [38] A.A Il’yin (1991) “Navier-Stokes and Euler equations on two-dimensional closed manifolds” (Russian), Mat Sb Vol 181, pp 521-539; translation in Math USSR-Sb [39] S Fang and D Luo (2018), “Constantin and Iyer’s representation formula for the Navier-Stokes equations on manifolds”, Potential Anal Vol 48, pp 181-206 [40] S Fang (2020), “Nash embedding, shape operator and Navier-Stokes equations on a Riemannian manifold ”, Acta Math Appl Sin., Engl Ser Vol 36, pp 237-252 [41] M Kobayashi (2008), “On the Navier-Stokes equations on manifolds with curvature”, J Eng Math., Vol 60, pp 55-68 [42] M Samavaki and J Tuomela (2020), “ Navier-Stokes equations on Riemannian manifolds”, J Geom Phys., Vol 148, 103543 99 [43] Q S Zhang (2006), “The ill-posed Navier-Stokes equation on connected sums of R3 ”, Complex Variables and Elliptic Equations, Vol 51, pp 10591063 [44] V I Arnold and B A Khesin (1999) “Topological Methods in Hydrodynamics”, Springer, New York [45] D.G Ebin and J.E Marsden (1970), “Groups of diffeomorphisms and the motion of an incompressible fluid ”, Ann of Math (2) Vol 92 , pp 102-163 [46] M Czubak, C.H Chan and M Disconzi(2017), “ The formulation of the Navier-Stokes equations on Riemannian manifolds”, In: J Geom Phys., Vol 121, pp 335–346 [47] M Czubak and C.H Chan (2013), “Non-uniqueness of the Leray-Hopf solutions in the hyperbolic setting”, Dynamics of PDE, Vol 10, pp 43-77 [48] M Czubak and C.H Chan (2016), “Remarks on the weak formulation of the Navier-Stokes equations on the 2D-hyperbolic space”, Ann l’Inst Henri Poincare (C) Nonlinear Anal., Vol 33, pp 655-698 [49] B Khesin and G Misiolek (2012), “Euler and Navier–Stokes equations on the hyperbolic plane”, Proc Natl Acad Sci U S A., Vol 109, pp 18324 18326 [50] L A Lichtenfelz (2016), “Nonuniqueness of solutions of the Navier-Stokes equations on Riemannian manifolds”, Ann Global Anal Geom., Vol 50, pp 237-248 [51] V Pierfelice (2017), “The incompressible Navier-Stokes equations on noncompact manifolds”, J Geom Anal., Vol 27, pp 577-617 [52] T.H Nguyen and T.N.H Vu (2022), “Navier-Stokes equations on noncompact Einstein manifolds: Stability implies periodicity”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 505, Issue [53] M Hieber, N.T Huy and A Seyfert (2017), “On periodic and almost periodic solutions to incompressible vicous fluid flow problems on the whole line”, Mathematics for Nonlinear Phenomena: Analysis and Computation, pp 51-81 100 [54] T H Nguyen, T S Le and T X Pham (2018), “On Almost Automorphic Solutions to Incompressible Viscous Fluid Flow Problems”, International Journal of Evolution Equations, Vol 11, No.3, pp 501-516 [55] T H Nguyen , N H T Vu , T S Le and T X Pham (2021), “Weighted Stepanov-Like Pseudo Almost Automorphic Solutions for Evolution Equations and Applications”, Acta Math Vietnam, Vol 46, pp 103–122 [56] N H T Vu, H T Nguyen, T S Le and T X Pham (2022), “Interpolation Spaces and Weighted Pseudo Almost Automorphic Solutions to Parabolic Equations and Application to Fluid Dynamics”, Czech Math J, Vol.72, pp 935-955 [57] T H Nguyen, T X, Pham, N H T Vu and T S Le (2022), “Existence and Stability of Periodic and Almost Periodic Solutions to Boussinesq Systems in Unbounded Domains”, Acta Math Sci 42, 1875–1901 [58] E Hebey (2000), “Nonlinear Analysis on Manifolds: Sobolev Spaces and Inequalities”, Courant Lectures in Mathematics, AMS, New York [59] J Jăost (2008), Riemannian Geometry and Geometric Analysis ”, Universitext Springer, Berlin [60] O Druet (2005), “Nonlinear Analysis on Manifolds” Lecture notes, Springer, New York [61] C Nobili hyperbolic (2011), space”, “Semi-linear PhD parabolic thesis equations in the https://www.math.uni- hamburg.de/home/nobili/TesiSpecialistica2011-Nobili.pdf [62] I Chavel, B Randol and J Dodziuk (1984), “Eigenvalues in Riemannian Geometry”, Academic Press, INC., New York [63] J Eichhorn (2007), “Global Analysis on Open Manifolds”, Nova Science Publishers, NewYork [64] N Lohoué (2006), “Estimation des projecteurs de De Rham Hodge de certaines variété riemanniennes non compactes”, Math Nachr Vol 279, Issue 3, pp 272-298 101 [65] A Reznikov (1995), “ The volume and the injectivity radius of a hyperbolic manifold ”, Topology, Vol 34 No 2,pp 477-479 [66] S Helgason (1994) “Geometric Analysis on Symmetric Spaces“, Mathematical Surveys and Monographs, Vol 39, American Mathematical Society [67] E Damek and F Ricci (1992), “A class of nonsymmetric harmonic Riemannian spaces“, Bull Amer Math Soc., Vol 27, pp 139-142 [68] P Erbelein (1996), “Geometry of non positively curved manifolds“, Chicago Lectures in Mathematics, The University of Chicago Press [69] Ju L Daleckii, M G Krein (1974), “Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Spaces“ Transl Amer Math Soc Provindence RI [70] T Diagana (2013), “Almost automorphic type and almost periodic type funtions in abstract spaces”, Springer, Switzerland [71] H Brezis (2010), “Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations ”, Springer, New York [72] R A Adams (1975), “Sobolev Space”, Academic Press, New York [73] A Pazy (1983), “Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations ”, Springer, New York [74] M Taylor (2011), “Partial Differential Equations III: Nonlinear equations”, 2nd edn, Springer, New York [75] K Kodaira (1949), “Harmonic fields in Riemannian manifolds (generalized potential theory)”, Ann of Math., Vol.2, No 50, pp 587-665 [76] B Khesin and G Misiolek (2012), “ The Euler and Navier-Stokes equations on the hyperbolic plane”, Proc.Natl.Acad.Sci., Vol 109, No 45, pp 18324–18326 [77] R Strichartz (1983), “Analysis of the Laplacian on the complete Riemannian manifolds”,Funct Anal., Vol 52, pp 48–79 [78] W Borchers and T Miyakawa (1995), “ On stability of exterior stationary Navier-Stokes flows”, Acta Math., Vol 174, pp 311–382 102 [79] T H Nguyen, T X Pham and N H T Vu (2016), “Boundedness and stability of solutions to semi-linear equations and applications to fluid dynamics”, Communications on Pure and Applied Analysis, Vol 15, No 6, pp 2103-2116 [80] T H Nguyen, V D Trinh, N H T Vu and T M Vu (2017), “Boundedness, almost periodicity and stability of certain Navier–Stokes flows in unbounded domains”, Journal of Differential Equations, Vol 263, No 12 [81] T H Nguyen, N H T Vu (2022), “Navier-Stokes equations on non- compact Einstein manifolds: Stability implies periodicity,” Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 505, Issue.2, s125544 103