Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.Một vài khía cạnh của toán tử plaplace trên các đa tạp riemann.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐẶNG TUYÊN MỘT VÀI KHÍA CẠNH CỦA TOÁN TỬ P -LAPLACE TRÊN CÁC ĐA TẠP RIEMANN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2023 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐẶNG TUYÊN MỘT VÀI KHÍA CẠNH CỦA TOÁN TỬ P -LAPLACE TRÊN CÁC ĐA TẠP RIEMANN Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 9460101.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Nguyễn Thạc Dũng PGS TS Phạm Đức Thoan Hà Nội, 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án mới, cơng bố tạp chí Tốn học có uy tín giới Các kết nêu luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác Nghiên cứu sinh Nguyễn Đặng Tuyên i LỜI CẢM ƠN Luận án tơi hồn thành hướng dẫn tận tình PGS TS Nguyễn Thạc Dũng PGS TS Phạm Đức Thoan Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy Các thầy bảo, sẻ chia, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập nghiên cứu Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Khoa học Tự nhiên (Đại học Quốc gia Hà Nội), Phòng Sau đại học Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi dành cho Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy Bộ mơn Giải tích giảng dạy, giúp đỡ góp ý cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Bên cạnh đó, tơi xin gửi lời cảm ơn đến tập đoàn Vingroup, Quỹ Đổi sáng tạo VINIF tài trợ học bổng cho với thông tin tài trợ sau: Nguyễn Đặng Tuyên tài trợ Tập đoàn Vingroup – Cơng ty CP hỗ trợ Chương trình học bổng thạc sĩ, tiến sĩ nước Quỹ Đổi sáng tạo Vingroup (VINIF), Viện Nghiên cứu Dữ liệu lớn, mã số VINIF.2021.TS.078 Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn từ tận đáy lòng đến đồng nghiệp, gia đình người thân ln đồng hành, khích lệ, động viên tơi chia sẻ khó khăn để tơi hồn thành luận án Tác giả i MỤC LỤC ii Lời cam đoan Lời cảm ơn iii Danh mục quy ước kí hiệu vi MỞ ĐẦU 11 TỔNG QUAN 1.1 Tính triệt tiêu dạng vi phân p-điều hòa đa tạp Riemann 11 1.2 Tính triệt tiêu 1-dạng vi phân p-điều hịa đa tạp thực hồn tồn dạng không gian phức 18 1.3 Định lí Liouville cho phương trình elliptic đa tạp Riemann 21 1.4 Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplace có trọng đa tạp Riemann 24 TÍNH TRIỆT TIÊU CỦA CÁC DẠNG VI PHÂN P -ĐIỀU HÒA TRấN CC 26 A TP RIEMANN 2.1 Cụng thc Weitzenbăock 26 2.2 Tính chất triệt tiêu đa tạp với bất đẳng thức Poincaré có trọng 28 2.3 Tính chất triệt tiêu đa tạp với tensor độ cong túy 40 2.4 Tính chất triệt tiêu đa tạp với bất biến Yamabe dương 42 2.5 Tính triệt tiêu 1-dạng vi phân p-điều hịa đa tạp thực hồn tồn dạng khơng gian phức 47 ĐỊNH LÍ LIOUVILLE CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TRÊN CÁC ĐA 67 TẠP RIEMANN 3.1 Tính chất triệt tiêu cho nghiệm phương trình loại Lichnerowicz p-Laplace 67 3.2 Một số hệ 72 i ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH P -LAPLACE CĨ TRỌNG 75 TRÊN CÁC ĐA TẠP RIEMANN 4.1 Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplace có trọng 75 4.2 Các định lí Liouville ước lượng gradient địa phương 84 Kết luận kiến nghị 89 Danh mục cơng trình cơng bố liên quan đến luận án 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO 91 v DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Trong tồn luận án, chúng tơi thống số kí hiệu sau: • (M n, g): Đa tạp Riemann n-chiều M với metric Riemann g • T x M : Khơng gian tiếp xúc M điểm x ∈ M • Ωℓ(M): Tập hợp ℓ-dạng vi phân trơn M • Hp,ℓ(LQ(M)) = ℓ-dạng vi phân p-điều hịa ω cho ∫ |ω|Q < ∞ M • C ∞ (M): Tập hợp hàm trơn M • C0∞ (M ): Tập hợp hàm trơn có giá compact M • Bx(r): Hình cầu trắc địa tâm điểm x, bán kính r • |Bx(r)|: Thể tích hình cầu trắc địa Bx(r) v Σ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích hình học lí thuyết tốn học đẹp đẽ liên kết hình học, giải tích tơ pơ, giải tích cơng cụ để nghiên cứu hình học tơ pơ đa tạp Riemann Chúng ta biết nhóm đồng điều kì dị đa tạp trơn, compact nghiên cứu thơng qua lí thuyết phân tích Hodge nhóm đối đồng điều De Rham dạng vi phân Đây kết tiếng tơ pơ giải tích Hơn nữa, định lí tách cổ điển Cheeger – Gromoll khẳng định đa tạp đầy đủ M với độ cong Ricci khơng âm có chứa đường thẳng trắc địa đẳng cự với hình trụ N × R N đa tạp Riemann với độ cong Ricci không âm Sau này, P Li J Wang [52, 54] tổng quát hóa kết Cheeger-Gromoll lên đa tạp với độ cong Ricci bị chặn Kết Li-Wang (thực chất mở rộng lí thuyết Cheeger-Gromoll X D Wang [84]) nói giá trị riêng thứ tốn tử Laplace đạt giá trị cực đại đa tạp liên thơng vơ hạn có tính chất tách Do đó, ta sử dụng lí thuyết tuyến tính tốn tử Laplace, đặc biệt lí thuyết dạng vi phân điều hịa để tìm hiểu tính chất hình học tơ pơ đa tạp Một toán thú vị hình học tơ pơ tìm điều kiện đủ đa tạp đầy đủ cho ta thu định lí triệt tiêu cho dạng vi phân điều hòa p-điều hịa Đây vấn đề thú vị biết, M đa tạp compact khơng gian ℓ-dạng vi phân điều hịa đẳng cấu với nhóm đối đồng De Rham thứ ℓ Mặc dù, điều khơng cho trường hợp M không compact việc nghiên cứu ℓdạng vi phân L2 điều hòa quan trọng (xem [17]) Với giả sử độ cong Ricci bị chặn dưới, P Li [49] chứng minh đa tạp compact, khơng gian ℓ-dạng vi phân điều hịa có hữu hạn chiều P Li J Wang [52] chứng minh định lí triệt tiêu 1-dạng vi phân L2 điều hòa độ cong Ricci bị chặn số hạng chứa số chiều giá trị riêng thứ sau Định lí 0.0.1 ([52]) Cho M đa tạp Riemann đầy đủ Giả sử λ1(M) > nλ1(M ) Ric ≥ − n + ε, với số ε > Khi đó, H2,1(L2(M)) = {0} Gần đây, H Lin xét đa tạp Riemann với độ cong vô hướng không âm thu báo [58] định lí triệt tiêu M thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré có trọng sau Định lí 0.0.2 ([58]) Cho (M n, g)(n ≥ 4) đa tạp Riemann không compact, đầy đủ, thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré có trọng (1.2) với hàm trọng dương ρ(x) độ cong vô hướng R ≥ Giả sử |W |(x) + aℓ|E|(x) ≤ Cℓρ(x) 1+ Σ 2( n−1)|n−2ℓ| (ℓ−1)√(n+1)(n−2)3 n ) ℓ = (2 ≤ ℓ ≤ n − 2, Khi đó, ℓ-dạng vi phân đóng đối đóng ω M thỏa mãn lim inf |ω|2 = triệt tiêu Đặc biệt, H2,ℓ(L2(M)) = {0} với số < r r ∫ ℓ < ma ℓ n n Nhắc lại rằng, BEx0và W tensor Ricci vết không tensor độ cong Weyl M Để thấy rõ kết theo hướng nghiên cứu này, tham khảo thêm báo [9, 15, 51, 54, 55, 68, 76] tài liệu tham khảo Lí thuyết dạng vi phân L2 điều hòa phát triển nhiều Một vấn đề tự nhiên tìm kết tương tự cho không gian dạng vi phân LQ p-điều hòa Đối với 1-dạng vi phân p-điều hịa, bất đẳng thức Poincaré có trọng M , Chang-Chen-Wei [18] thu vài định lí triệt tiêu cho hàm p-điều hịa với lượng Lq hữu hạn, p > q ∈ R+ Hơn nữa, X Zhang [96] thu định lí triệt tiêu M có độ cong Ricci khơng âm sau Định lí 0.0.3 ([96]) Nếu M đa tạp không compact, đầy đủ, với độ cong Ricci khơng âm khơng có 1-dạng vi phân p-điều hịa khác khơng Lq(M), < q < ∞ p > Xuất phát từ kết này, Chang-Guo-Sung [19] tổng quát hóa kết X Zhang thu tính compact cho tập hợp bị chặn 1-dạng vi phân p-điều hòa Y B Han, Q Y Zhang M H Liang [41] thu vài định lí tính hữu hạn tính triệt tiêu giả thiết độ cong vô hướng độ cong Ricci Bên cạnh đó, Sung-Wang [80] sử dụng lí thuyết hàm pđiều hòa để vài tính chất đa tạp Riemann với p-phổ lớn Năm 2017, N T Dũng [28] chứng minh định lí triệt tiêu cho ℓ-dạng vi phân Lp pđiều hòa sau Định lí 0.0.4 ([28]) Giả sử M đa tạp Riemann thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré có trọng với hàm trọng dương ρ Nếu toán tử độ cong Weitzenbăock K > a v a < 4(p1) thỡ ℓ-dạng vi phân p-điều hòa (2 ≤ ℓ ≤ n − 2) có p chuẩn Lp hữu hạn M triệt tiêu Chúng ta xem thêm kết báo [34, 40, 41, 60, 77, 78, 83] tài liệu tham khảo để thấy thêm phát triển hướng nghiên cứu Từ kết trên, đặt tốn xây dựng định lí triệt tiêu cho dạng vi phân p-điều hòa đa tạp Riemann Mặt khác, ta biết phương trình ∆f u + h(u) = có chứa nhiều lớp phương trình quan trọng phương trình vi phân vật lí Ví dụ, hàm h(u) = bu + up với số b < p > f ≡ const phương trình trở thành phương trình loại Yamabe sau ∆u + bu + up = Bidaut-Véron Véron [8] nghiên cứu phương trình đa tạp compact Với vài điều kiện thêm vào tensor Ricci, số chiều miền b, p,